Sự liên hệ giữa toán tử cực đại và toán tử calderón zygmund trên không gian lorentz tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC Nguyễn Văn Tiến Đạt SỰ LIÊN HỆ GIỮA TOÁN TỬ CỰC ĐẠI VÀ TOÁN TỬ CALDERĨN-ZYGMUND TRÊN KHƠNG GIAN LORENTZ TỔNG QT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC GVHD: TS Trần Trí Dũng Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Trí Dũng người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp TP HCM, ngày 19 tháng 04 năm 2022 Sinh viên Nguyễn Văn Tiến Đạt Mục lục Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Sự liên hệ toán tử cực đại toán tử Calderón-Zygmund 11 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 Lời mở đầu Xuất phát từ việc nghiên cứu vấn đề ngành khoa học khác nghiên cứu tính đàn hồi, tính tốn phương trình biến phân, nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng việc đánh giá mối liên hệ toán tử cực đại tốn tử Calderón-Zygmund đóng vai trị quan trọng Ngoài việc đánh giá giúp chứng minh số điều kiện đủ để tốn tử hốn tử Calderón-Zygmund bị chặn khơng gian Lorentz tổng qt Khóa luận tập trung làm rõ số vấn đề sau: Trình bày định lý liên hệ toán tử cực đại tốn tử Calderón-Zygmund, bổ đề nhận xét để chứng minh định lý Bố cục khóa luận bao gồm chương: • Chương khóa luận trình bày tóm tắt định nghĩa, bổ đề, nhận xét kết liên quan đến khóa luận • Chương khóa luận chứng minh định lý liên hệ tốn tử cực đại tốn tử Calderón-Zygmund khơng gian Lorentz tổng quát Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! TP HCM, ngày 19 tháng 04 năm 2022 Sinh viên Nguyễn Văn Tiến Đạt Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi trình bày số ký hiệu, định nghĩa bổ đề sử dụng khóa luận Ký hiệu B( x, r ) cầu mở tâm x ∈ Rn , bán kính r, tức B( x, r ) = {y ∈ Rn : |y − x | < r } Với A ⊂ Rn tập đo Lebesgue, ký hiệu | A| độ đo Lebesgue A χ A hàm đặc trưng A Với hàm f xác định Rn , ký hiệu supp( f ) giá hàm f , tức supp( f ) = { x ∈ Rn : f ( x ) 6= 0} Với f hàm khả tích địa phương cầu B bất kỳ, ký hiệu f B tích phân trung bình hàm f B, tức fB = | B| Z B f ( x )dx Ký hiệu C0∞ (Rn ) tập hợp hàm khả vi vô hạn lần Rn có giá tập compact Như thơng thường, C ký hiệu số dương, không phụ thuộc vào tham số, có giá trị khác trường hợp nhắc đến, C (n) số phụ thuộc vào n Với f ≤ Cg, ta viết f g g & f với f g f , ta viết f ∼ g Định nghĩa 1.1 Ánh xạ u : Rn −→ R+ w : R+ −→ R+ gọi hàm trọng chúng hàm đo Lebesgue, dương khả tích địa phương Nếu w hàm trọng R+ , ta ký hiệu W (t) = Z t hàm nó, ta ln có W (t) < ∞, với t > 0 w(s)ds nguyên Cho u hàm trọng Rn hàm đo f , hàm lại giảm f định nghĩa sau n o ∗ u f u (t) = inf s : λ f (s) ≤ t , t ≥ 0, λuf (s) = u ({ x ∈ X : | f ( x )| > s}) , s ≥ 0, hàm phân phối Z f với độ đo u( x )dx Chú ý u( A) = A u( x )dx, với A ⊂ Rn Định nghĩa 1.2 (Không gian Lorentz tổng quát) Cho u hàm trọng Rn w hàm trọng R+ Với p > 1, không gian Lorent tổng quát p Λu (w) tập hợp tất hàm đo f thỏa mãn Z ∞ 1/p ∗ p k f kΛ p (w) = f u (t) w(t)dt < ∞ u Định nghĩa 1.3 Giả sử f ∈ L1loc (Rn ) k f k BMO = sup B ⊂Rn | B | Z B | f ( x ) − f B |dx, k f k BMO gọi chuẩn BMO f Không gian BMO định nghĩa sau: BMO = { f ∈ L1loc (Rn ) : k f k BMO < ∞} Định nghĩa 1.4 Cho < p < ∞ Ta ký hiệu A p tập hợp hàm trọng u ∈ L1loc (Rn ), với u( x ) > h.k.n Rn cho   p −1  Z Z 1 u( x )dx (u( x ))−1/( p−1) < ∞ sup | B | | B | n B B B ⊂R Trường hợp p = ∞ A∞ = ∪ p>1 A p Định nghĩa 1.5 Cho < p < ∞, ta nói hàm trọng w ∈ L1loc (R+ ) ∗ thuộc vào lớp B∞ tồn C > cho Z t W (s) s ds ≤ CW (t), với W (t) = Z t w(s)ds Ta nhắc lại nhân K Rn × Rn hàm khả tích địa phương xác định Rn × Rn \ {( x, x ) : x ∈ Rn } Chúng ta có khái niệm nhân chuẩn sau 6 Định nghĩa 1.6 (Nhân chuẩn) [1, Definition 8.1.2] Hàm K ( x, y) xác định Rn × Rn \ {( x, x ) : x ∈ Rn } gọi nhân chuẩn tồn số δ, A > cho với x, y ∈ Rn phân biệt z ∈ Rn ta có (i) (Điều kiện kích thước) |K ( x, y)| ≤ A | x − y|n (1.1) (ii) (Điều kiện quy) |K ( x, y) − K (z, y)| ≤ | x − z| ≤ A| x − z|δ (| x − y| + |z − y|)n+δ max{| x − y|, |z − y|} A| x − z|δ |K (y, x ) − K (y, z)| ≤ (| x − y| + |z − y|)n+δ | x − z| ≤ (1.2) (1.3) max{| x − y|, |z − y|} Tập hợp tất nhân chuẩn với số δ A ký hiệu SK(δ, A) Định nghĩa 1.7 (Tốn tử Calderón-Zygmund) [1, Definition 8.1.8] Tốn tử tuyến tính T xác định lớp hàm Schwartz S(Rn ) gọi tốn tử Calderón-Zygmund (C-Z) liên kết với nhân chuẩn K T thoả mãn tính chất sau (i) T bị chặn L2 (Rn ), tức k T f k L2 ≤ C k f k L2 , với f ∈ L2 (Rn ) (1.4) (ii) Tồn nhân chuẩn K cho với hàm f ∈ C0∞ (Rn ) x ∈ / supp( f ), ta có T f (x) = Z Rn K ( x, y) f (y)dy (1.5) Toán tử C-Z T bị chặn không gian Lebesgue L p (Rn ) (với < p < ∞) bị chặn yếu (1, 1), tức T bị chặn từ L1 (Rn ) vào L1,∞ (Rn ) ([1], Theorem 8.2.1) Hơn nữa, xét b ∈ BMO(Rn ) hốn tử T b xác định sau [b, T ]( f ) = bT ( f ) − T (b f ) Các khái niệm cần thiết để chứng minh kết Đầu tiên, với β > B = B( x, r ), ta xét toán tử cực đại Hardy-Littlewood loại β !1/β Z Mβ f ( x ) = M(| f | β )1/β ( x ) = sup | f (y)| β dy , | B | B r >0 toán tử cực đại nhọn loại β  Z 1/β Mβ] f ( x ) = sup inf | f (y)| β − |c| β dy c | B | B r >0 Nhận xét 1.1 Ta có Mβ] ( f )( x )  ∼ sup r >0 | B| 1/β β β | f (y)| − | f | B dy Z B Thật vậy, chọn số c = | f | B , ta có  Z 1/β β ] β Mβ ( f )( x ) ≤ sup | f (y)| − | f | B dy | B| B r >0 Mặt khác, với B = B( x, r ), ta có đánh giá sau  Z 1/β β | f (y)| β − | f | B dy | B| B  Z Z 1/β 1 β ≤ | f (y)| β − |c| β dy + | f | B − |c| β dy | B| B | B| B  Z 1/β β ≤ | f (y)| β − |c| β dy + | f | B − |c| β | B| B  Z 1/β ≤ | f (y)| β − |c| β dy | B| B  Z 1/β , với c ∈ R = 21/β | f (y)| β − |c| β dy | B| B (1.6) Suy   Z Z 1/β 1/β 1 β β β β 1/β ≤ inf | f (y)| − | f | B dy | f (y)| − |c| dy c | B| B | B| B Từ ta   Z Z 1/β 1/β 1 β β β β 1/β sup ≤ sup inf | f (y)| − | f | B dy | f (y)| − |c| dy | B| B | B| B r >0 x∈B c = 21/β Mβ] ( f )( x ) Ta có điều phải chứng minh Định nghĩa điều kiện trơn sau dựa [2], trang 125-126 Định nghĩa 1.8 (Điều kiện trơn) Cho K nhân Rn × Rn , với cầu B = B( x0 , r ), đặt 1 DB K (y) = | B| | B| Z Z B B |K (z, y) − K ( x, y)|dxdz Nhân K gọi thoả mãn điều kiện trơn tồn số C, N cho Z (D) sup r >0 |y− x0 |> Nr | f (y)| DB K (y)dy ≤ CM f ( x0 ) với hàm f ∈ C0∞ (Rn ) x0 ∈ Rn Ta có nhận xét sau, dựa vào ([3], Remark 4.6) Nhận xét 1.2 Nhân chuẩn K Định nghĩa 1.6 thoả mãn điều kiện (D) Thật vậy, giả sử f ∈ C0∞ (Rn ), x0 ∈ Rn , r > y ∈ Rn thoả | x0 − y| > 5r Lấy x, z ∈ B( x0 , r ) tuỳ ý, ta có | x − z| ≤ | x − x0 | + | x0 − z| < r + r = 2r, 5r < | x0 − y| ≤ | x0 − x | + | x − y| < r + | x − y| Suy | x − z| < 2r < | x − y| Mặt khác, ta lại có | x0 − y | ≤ | x0 − x | + | x − y | < r + | x − y | < | x0 − y | + | x − y | Suy | x − y | > | x0 − y | Hồn tồn tương tự, ta có | z − y | > | x0 − y | Do K nhân chuẩn thoả điều kiện (1.3) nên ta có 1 DB K (y) = | B| | B| Z Z 1 ≤ | B| | B| Z Z 1 ≤ | B| | B| Z Z = B B B |K (z, y) − K ( x, y)|dxdz B A| x − z|δ dxdz (| x − y| + |z − y|)n+δ B A(2r )δ 5n+δ dxdz B 8n + δ | x − y | n + δ Cr δ | x0 − y | n + δ n Ta có {y ∈ R : |y − x0 | > 5r } = ∞ [
B( x0 , j+1 5r ) \ B( x0 , j 5r ) Khi j =0 Z |y− x0 |>5r | f (y)| DB K (y)dy = ∞ Z ∑ j +1 j j=0 B( x0 ,2 5r )\ B( x0 ,2 5r ) ∞ Z δ | f (y)| DB K (y)dy | f (y)| dy j+1 5r )\ B ( x ,2 j 5r ) | x − y | n + δ B ( x ,2 0 j =0 ∞ Z | f (y)| ≤ Cr δ ∑ dy j n+δ j +1 j j=0 B( x0 ,2 5r )\ B( x0 ,2 5r ) |2 5r | ∞ Z | f (y)| δ ≤ Cr ∑ dy j+1 5r ) |2 j 5r | n + δ B ( x ,2 j =0 ∑ ≤ Cr ∞ ≤ Cr | B(0, 1)| ∑ (2 j 5r )−n−δ (2 j+1 5r )n M f ( x0 ) δ j =0 = C ( δ ) M f ( x0 ) Dẫn đến sup r >0 Z |y− x0 |>5r | f (y)| DB K (y)dy ≤ C (δ) M f ( x0 ) 10 Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Kolmogorov) [4, Theorem 1.3.3] Giả sử T tốn tử tuyến tính từ L p (Rn ) vào không gian đo ≤ p < ∞ Khi (i) Nếu T bị chặn yếu ( p, p) với < r < p, tồn số C > 0, với tập E đo có độ đo hữu hạn cho | E| Z E | T f ( x )|r dx ≤ C k f krp r/p | E| (1.7) (ii) Nếu tồn < r < p số C > cho (1.7) với tập E đo có độ đo hữu hạn f ∈ L p (Rn ) T bị chặn yếu ( p, p) Định nghĩa 1.9 [8] Một hàm φ : [0, ∞) → [0, ∞) gọi hàm Young φ liên tục, lồi, hàm tăng thỏa mãn φ(0) = 0, φ(t) → ∞ t → ∞ Cho hàm f hàm đo Chuẩn Luxemberg hàm f cầu B định nghĩa sau:     Z | f (y)| φ dy k f kφ,B = inf λ > : | B| B λ Ta nhắc lại bất đẳng thức sau: Bất đẳng thức Holder tổng quát [8]: Cho φ hàm Young φ hàm bù φ ta có: | B| Z B | f (y) g(y)|dy k f kφ,B k gkφ,B (1.8) Từ báo [8] ta biết φ(t) = t(1 + log+ (t)) với log+ (t) = max {log(t), 0} φ ≈ exp(t) Khi có: k f kφ,B = k f k L log L,B , k gkφ,B = k gkexp L,B | B| Z B | f (y) g(y)|dy k f k L log L,B k gkexp L,B (1.9) Ta định nghĩa hàm cực đại liên kết với φ(t) = t(1 + log+ (t)) sau ML log L f ( x ) = sup k f kφ,B x∈B 11 Chương Sự liên hệ toán tử cực đại tốn tử Calderón-Zygmund Định lý 2.1 [2, Theorem 2.1] Cho T tốn tử Calderón-Zygmund < β < Khi tồn số C = C ( β) > cho Mβ] ( T f )( x0 ) ≤ CM f ( x0 ) với hàm f ∈ C0∞ (Rn ) x0 ∈ Rn Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh với < β < 1, với cầu B = B( x0 , r ) số c = c B đó, tồn C = Cβ > cho  | B| 1/β ≤ CM f ( x0 ) | T f | β − |c| β dx Z B Đặt f = f + f , với f = f χ B( x0 ,Nr) f = f χRn \ B( x0 ,Nr) với N số điều kiện (D) Chọn c = ( T f ) B Ta có hai bất đẳng thức sau β β β với < β < 1, | a| − |b| ≤ | a − b| | a + b| β | a| β + |b| β với a, b ∈ R với < β < 1, 12 Áp dụng hai bất đẳng thức trên, ta  1/β  Z Z 1/β 1 β β β ≤ | T f − ( T f ) B | dx | T f | − | ( T f ) B | dx | B| B | B| B  1/β Z β = | T f + ( T f − ( T f ) B )| dx | B| B  Z   1/β β β | T f | + | T f − ( T f ) B | dx | B| B  1/β Z | T f | β dx | B| B  1/β Z β + | T f − ( T f ) B | dx | B| B 1/β  1/β  Z Z 1 β β | T f | dx I2 = | T f − ( T f ) B | dx Đặt I1 = | B| B | B| B Do T tốn tử tuyến tính bị chặn yếu (1, 1) < β < nên áp dụng bất đẳng thức Kolmogorov, ta có β  Z Z 1 | f ( x )|dx | T f | β dx | B| B | B | Rn Suy Z Z 1 I1 | f ( x )|dx = | f |dx M f ( x0 ) | B | Rn | B| B Áp dụng bất đẳng thức Holder với < β < 1, ta có: Z 1/β Z 1−1/β 1 I2 = | T f − ( T f ) B | β dx dx 1/β − 1/β | B| | B| B B Z | T f − ( T f ) B |dx | B| B Z Z Z Z 1 dx K ( x, y ) f ( y ) dy − K ( z, y ) f ( y ) dydz 2 | B | B Rn | B | B Rn Z Z Z Z Z 1 dx K ( x, y ) f ( y ) dydz − K ( z, y ) f ( y ) dydz 2 n n | B| B | B| B R | B| B R Z Z Z 1 dx f ( y ) K ( x, y ) − K ( z, y )) dydz ( | B | | B | B B Rn 1 | B| | B| Z Z Z B B Rn | f (y)| |K ( x, y) − K (z, y)| dydzdx 13 Áp dụng định lý Fubini ta I2 = = Z Rn Z ZR n 1 | B| | B| Z Z B B | f (y)| |K ( x, y) − K (z, y)| dxdzdy | f (y)| DB k(y)dy |y− x0 |> Nr | f (y)| DB k(y)dy M f ( x0 ) Điều dẫn đến  | B| 1/β β β I1 + I2 M f ( x0 ) | T f | − |c| dx Z B Từ đây, ta có điều phải chứng minh Định lý 2.2 Cho T toán tử Calderón-Zygmund , b ∈ BMO(Rn ), < β < e < Khi   ] Mβ ([b, T ]( f )) ( x0 ) C kbk BMO Me ( T ( f ))( x0 ) + M ( f )( x0 ) , với hàm f bị chặn có giá tập compact x0 ∈ Rn , M2 ( f ) = M( M( f )) Chứng minh Lấy x0 thuộc Rn tùy ý Do < β < nên ta có bất đẳng thức || a| β − |b| β | | a − b| β với a, b ∈ R Do cần chứng minh tồn C > cho với cầu B = B( x0 , r )  | B| 1/β Z B |[b, T ] f (y) − c| β   C kbk BMO Me ( T f )( x0 ) + M ( f )( x0 ) Đặt f = f + f , với f = f χ2B f = f χRn \2B Khi ta có: [b, T ] f = (b − b2B ) T f − T ((b − b2B ) f ) − T ((b − b2B ) f ) Chọn c = −( T ((b − b2B ) f )) B Từ bất đẳng thức sau đây: Với a, b ∈ R ta có | a + b| β | a| β + |b| β với < β < 14 Từ ta có đánh giá sau:  1/β Z |[b, T ] f (y) − c| β dy | B| B  Z |(b(y) − b2B ) T f (y) − T ((b − b2B ) f )(y) − T ((b − b2B ) f )(y) | B| B +( T ((b − b2B ) f )) B | dy 1/β  1/β  Z Z 1 |b(y) − b2B | β | T f (y)| β dy + | T ((b − b2B ) f )(y)| β dy | B| B | B| B 1/β  Z | T ((b − b2B ) f )(y) − ( T ((b − b2B ) f )) B | β dy + | B| B = I1 + I2 + I3 β Đánh giá I1 Với < r < e/β, sử dụng bất đẳng thức Holder với số liên hợp r r [9, Theorem 3.14] ta có đánh giá sau  1/βr  1/βr0 Z Z 1 I1 | T f (y)| βr dy |b(y) − b2B | βr dy | B| B | B| B 1/βr  1/βr0  Z Z 1 βr βr | T f (y)| dy |b(y) − b2B | dy | B| B |2B| 2B kbk BMO Mβr ( T f )( x0 ) kbk BMO Me ( T f )( x0 ) Đánh giá I2 Vì T bị chặn yếu (1, 1) < β < 1, theo bất đẳng thức Kolmogorov bất đẳng thức Holder tổng quát (1.9) ta có đánh giá sau: Z I2 |(b − b2B ) f (y)|dy | B | Rn Z |(b − b2B ) f (y)|dy | B| 2B kb − b2B kexp L,2B k f k L log L,2B Tiếp theo, ta tồn số dương C cho với cầu B, ta có: kb − b2B kexp L,2B kbk BMO 1/β 15 Thật vậy, điều tương đương với   Z |b(y) − bB | dy C exp | B| B C kbk BMO đánh giá John Nirenberg [10] Mặt khác, theo định nghĩa ML log L f ( x0 ), ta có k f k L log L,2B ML log L f ( x0 ) Do đó, I2 kbk BMO ML log L f ( x0 ) Đánh giá I3 Áp dụng bất đẳng thức Holder với < β < 1, ta có I3 = 6 6 Z 1/β Z 1−1/β 1 β | T ((b − b2B ) f ) − ( T ((b − b2B ) f ) B | dx dx | B|1/β | B|1−1/β B B Z | T ((b − b2B ) f ) − ( T ((b − b2B ) f )) B |dx | B| B Z Z K ( x, y)(b(y) − b2B ) f (y)dy | B | B Rn Z Z K (z, y)(b(y) − b2B ) f (y)dydz dx − | B | B Rn Z Z Z 1 K ( x, y)(b(y) − b2B ) f (y)dydz | B | B | B | B Rn Z Z − K (z, y)(b(y) − b2B ) f (y)dydz dx | B | B Rn Z Z Z 1 dx ( b ( y ) − b ) f ( y ) K ( x, y ) − K ( z, y )) dydz ( 2B | B | | B | B B Rn 1 |(b(y) − b2B ) f (y)| |K ( x, y) − K (z, y)| dydzdx | B | | B | B B Rn Z Z Z 1 = |(b − b2B ) f (y)| |K ( x, y) − K (z, y)| dydzdx | B| | B| B B Rn \2B Z Z Z 16 Tiếp theo ta có đánh giá sau j |b2j+1 B − b2B | ∑ |b2j+1 B − b2j B | i =1 j ∑ j i =1 | B | j ∑2 i =1 j n Z b(y)dy − b2j+1 B 2j B | j +1 B | Z j +1 B |b(y) − b2j+1 B |dy ∑ kbkBMO i =1 jkbk BMO Khi z, x ∈ B y ∈ / 2B ta có 2| x − x0 | < |y − x0 | 2|z − x0 | < |y − x0 | Từ điều kiện (1.3) kết hợp với đánh giá ta có: Z Rn \2B |(b(y) − b2B ) f (y)| |K ( x, y) − K ( x0 , y)| dy  ∞ Z ∑  | x − x0 | δ | y − x0 | |(b(y) − b2B ) f (y)|dy | x0 − y | n j +1 j j =1 B \2 B Z ∞ −j δ |(b(y) − b2B ) f (y)|dy (2 ) j +1 j +1 B | B | j =1 Z ∞ −j δ (2 ) j +1 |(b(y) − b2j+1 B )|| f (y)|dy j +1 B | B | j =1 Z ∞ −j δ + (2 ) |b2j+1 B − b2B | j+1 | f (y)|dy j +1 B | B | j =1 ∞ ∞ −j δ (2 ) kb − b2j+1 B kexp L,2j+1 B k f k L log L,2j+1 B + j(2− j )δ kbk BMO M f ( x0 ) j =1 j =1 ∞ j(2− j )δ kbk BMO ML log L f ( x0 ) j =1 ∞ j (2− j )δ kbk BMO ML log L f ( x0 ) j =1 Z δ t ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ t dtkbk BMO ML log L f ( x0 ) kbk BMO ML log L f ( x0 ) 17 Tương tự ta đánh giá được: Z Rn \2B |(b(y) − b2B ) f (y)| |K (z, y) − K ( x0 , y)| dy kbk BMO ML log L f ( x0 ) Như ta có 1 |(b − b2B ) f (y)| |K ( x, y) − K (z, y)| dydzdx I3 | B| | B| B B Rn \2B Z Z Z 1 |(b(y) − b2B ) f (y)| (|K ( x, y) − K ( x0 , y)| | B| | B| B B Rn \2B + |K (z, y) − K ( x0 , y)|) dydzdx Z Z 1 kbk BMO ML log L f ( x0 )dzdx | B| | B| B B kbk BMO ML log L f ( x0 ) Z Z Z Cuối cùng, M2 f ≈ ML log L ([1], Bổ đề 7.5.4) Ta có 1/β  Z β I1 + I2 + I3 |[b, T ] f (y) − c| | B| B   kbk BMO Me ( T f )( x0 ) + ML log L f ( x0 )   kbk BMO Me ( T f )( x0 ) + M2 ( f )( x0 ) Vậy ta chứng minh xong Định lý ∗ Định lý 2.3 Cho < p < ∞, u ∈ A∞ , w ∈ B∞ W ∈ ∆2 Khi k M( f )kΛ p (w) k M] ( f )kΛ p (w) , u u với k M( f )kΛ p (w) < ∞ u Chứng minh Ta nhắc lại bất đẳng thức good-λ ([11], Bổ đề 4.2): Nếu u ∈ A∞ , tồn C > ρ > cho với t, γ > 0: u({ x : M( f )( x ) > 2t, M] ( f )( x ) ≤ γt}) ≤ Cγρ u({ x : M( f )( x ) > t}) (2.1) n với hàm f khả tích địa phương R Theo ([12], Mệnh đề 2.2.5), ta có p k M( f )k p Λu (w) = Z ∞ = p2 p pW (u({ x : M( f )( x ) > t}))t p−1 dt Z ∞ W (u({ x : M( f )( x ) > 2t}))t p−1 dt 18 Từ W ∈ ∆2 , ta có W (s + t) ≤ c(W (s) + W (t)), với s, t > 0, Do đó, dùng (2.1), ta p k M( f )k p Λu (w) p ≤ p2 c + p2 p c ≤ p2 p c + p2 p c ≤ p2 p c Z ∞ Z 0∞ Z0 ∞ Z 0∞ Z0 ∞ p W (u({ x : M( f )( x ) > 2t, M] ( f )( x ) ≤ γt}))t p−1 dt W (u({ x : M( f )( x ) > 2t, M] ( f )( x ) > γt}))t p−1 dt W (Cγρ u({ x : M( f )( x ) > t}))t p−1 dt W (u({ x : M] ( f )( x ) > γt}))t p−1 dt W (Cγρ u({ x : M( f )( x ) > t}))t p−1 dt + (2/γ) ck M] ( f )k p p Λu (w) ∗ Ta đánh giá tích phân cuối sử dụng đặc trưng B∞ ([13], Mệnh ∗ đề 2.3 (vi)): Nếu w ∈ B∞ , với e > 0, tồn α > cho W (t) ≤ eW (s), miễn t ≤ αs Do đó, với e = (2 p+1 c)−1 , tồn α > cho, Cγρ ≤ α, W (Cγρ u({ x : M( f )( x ) > t})) ≤ (2 p+1 c)−1W (u({ x : M( f )( x ) > t})) Do đó, lấy γ ≤ (α/C )1/p (2.1), cuối ta p k M( f )k p Λu (w) p ≤ p2 c(2 p +1 c) −1 Z ∞ W (u({ x : M( f )( x ) > t}))t p−1 dt p + (2/γ) ck M ( f )k p Λu (w) p p = 2−1 k M( f )k p + (2/γ) p ck M] ( f )k p Λu (w) Λu (w) p ] Từ k M( f )kΛ p (w) < ∞, ta có điều phải chứng minh u Kết luận Trong khóa luận em chứng minh định lý liên hệ toán tử cực đại tốn tử Calderón- Zygmund khơng gian Lorentz tổng quát Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều cịn có sai sót em mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 20 Tài liệu tham khảo [1] Grafakos, L (2009) Modern fourier analysis (Vol 250, pp xvi+504) New York: Springer [2] Alvarez, J., & Pérez Moreno, C (1994) Estimates with A∞ weights for various singular integral operators Bollettino dell’unione matematica italiana, (1), 123-133 [3] Diening, L., & Ruicka, M (2003) Calderón-Zygmund operators on generalized Lebesgue spaces L p (·) and problems related to fluid dynamics [4] Lu, S., Ding, Y., & Yan, D (2007) Singular integrals and related topics World Scientific [5] Yabuta, K (1985) Generalizations of Calderón-Zygmund operators Studia Mathematica, 82(1), 17-31 [6] Liu, Z., & Lu, S (2002) Endpoint estimates for commutators of Calderón-Zygmund type operators Kodai Mathematical Journal, 25(1), 79-88 [7] Quek, T., & Yang, D (2000) Calderón-Zygmund-type operators on weighted weak Hardy spaces over Rn Acta Mathematica Sinica, 16(1), 141-160 [8] Z G Liu and S Z Lu, “Endpoint estimates for commutators of Calderon-Zygmund type operators,” ´ Kodai Mathematical Journal, vol 25, no 1, pp 79–88, 2002 [9] Juha Kinnunen, Harmonic Analysis, Department of Mathematics and Systems Analysis, Aalto University, 2020 [10] John, F., & Nirenberg, L., “On functions of bounded mean oscillation Communications on pure and applied Mathematics”, vol.14, no 3, pp 415-426, 1961 21 [11] Duoandikoetxea, J.: Weight for maximal functions and singular integrals In: NCTH Summer School on Harmonic Analysis in Taiwan (2005) [12] Carro, M.J., Raposo, J.A., Soria, J.: Recent developments in the theory of Lorentz spaces and weighted inequalities Mem Am Math Soc (2007) [13] Agora, E., Carro, M.J., Soria, J.: Characterization of the weaktype boundedness of the Hilbert transform on weighted Lorentz spaces J Fourier Anal Appl 19, 712–730 (2013)