Đang tải... (xem toàn văn)
Mở đầu Bài toán điểm bất động tách (Split Fixed Point Problem), viết tắt là (SFPP) được phát biểu như sau: Tìm phần tử x ∗ ∈ Fix(U) sao cho Ax∗ ∈ Fix(V ), (SFPP) ở đây, U : H1 → H1 và V : H2 → H2 lần lượt là các các toán tử xác định trong các không gian Hilbert thực H1 và H2 tương ứng, A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn, Fix(U), Fix(V ) lần lượt là ký hiệu tập điểm bất động của toán tử U và V tương ứng, tức là Fix(U) = {x ∈ H1 : x = U(x)} và Fix(V ) = {x ∈ H2 : x = V (x)}. Nếu đặt C = Fix(U) và Q = Fix(V ), ta nhận được bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem): Tìm phần tử x ∗ ∈ C sao cho Ax∗ ∈ Q. (SFP) Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài toán xử lý tín hiệu và khôi phục ảnh (xem 5), liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ (xem 10, 11), hay có thể áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trò chơi (xem 13). Bài toán chấp nhận tách trong các không gian Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Yair Censor và Tommy Elfving (xem 9). Để giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều, Charles Byrne (xem 4) đã đề xuất phương pháp CQ bằng cách xét dãy lặp
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ MAI MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ MAI MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Mã số: TOÁN ỨNG DỤNG 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 iii Mục lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một phương pháp lặp giải toán điểm bất động tách không gian Hilbert hữu hạn chiều 1.1 Bài tốn điểm bất động tách khơng gian Hilbert 1.1.1 Toán tử chiếu 1.1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn 1.1.3 Bài toán điểm bất động tách 1.2 Một phương pháp lặp giải tốn điểm bất động tách khơng gian Hilbert hữu hạn chiều 1.2.1 Tốn tử hướng khơng gian RN 1.2.2 Bài toán phương pháp lặp 11 1.2.3 Sự hội tụ 12 Chương Phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán điểm bất động tách 16 2.1 Phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ 17 2.1.1 Bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn điểm bất động tách 17 2.1.2 Phương pháp lặp 17 2.1.3 Sự hội tụ 19 2.2 Ví dụ minh họa 29 iv Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc, động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, ngày 05 tháng 11 năm 2020 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Mai Bảng ký hiệu R R+ RN H B(a, r) ∅ ∀x ∈ D(A) R(A) A∗ I d(x, C) Fix(T ) Γ PC (x) ∇f tập số thực tập số thực không âm không gian Euclid N chiều khơng gian Hilbert thực hình cầu đóng tâm a bán kính r tập rỗng với x thuộc miền xác định toán tử A miền ảnh toán tử A toán tử liên hợp toán tử A toán tử đồng khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C tập điểm bất động ánh xạ T tập nghiệm toán SFP phép chiếu trực giao (mêtric) phần tử x lên tập C gradient f Mở đầu Bài toán điểm bất động tách (Split Fixed Point Problem), viết tắt (SFPP) phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ Fix(U ) cho Ax∗ ∈ Fix(V ), (SFPP) đây, U : H1 → H1 V : H2 → H2 các toán tử xác định không gian Hilbert thực H1 H2 tương ứng, A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn, Fix(U ), Fix(V ) ký hiệu tập điểm bất động toán tử U V tương ứng, tức Fix(U ) = {x ∈ H1 : x = U (x)} Fix(V ) = {x ∈ H2 : x = V (x)} Nếu đặt C = Fix(U ) Q = Fix(V ), ta nhận toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem): Tìm phần tử x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q (SFP) Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế tốn xử lý tín hiệu khơi phục ảnh (xem [5]), liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ (xem [10, 11]), hay áp dụng cho việc giải tốn cân kinh tế, lý thuyết trị chơi (xem [13]) Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert hữu hạn chiều giới thiệu lần Yair Censor Tommy Elfving (xem [9]) Để giải tốn chấp nhận tách khơng gian hữu hạn chiều, Charles Byrne (xem [4]) đề xuất phương pháp CQ cách xét dãy lặp xk+1 = PC (xk − γAT (I − PQ )Axk ), n ≥ 0, (CQ1) C Q hai tập lồi đóng khác rỗng RN RM , A ma trận thực cỡ M × N , AT ma trận chuyển vị ma trận A, L giá trị riêng lớn ma trận AT A γ ∈ 0, L2 Năm 2010, Hong-Kun Xu (xem [7]) giải tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực vơ hạn chiều phương pháp CQ có dạng xk+1 = PCH1 (I H1 − γA∗ (I H2 − PQH2 )A)xk , với γ ∈ 0, A n ≥ 0, (CQ2) , I H1 I H2 toán tử đơn vị H1 H2 , A∗ toán tử liên hợp A, PCH1 PQH2 phép chiếu mêtric từ H1 lên C từ H2 lên Q Tác giả chứng minh dãy lặp {xn } xác định (CQ2) hội tụ yếu đến nghiệm toán chấp nhận tách (SFP) toán chấp nhận tách có nghiệm Luận văn nghiên cứu phương pháp lặp giải toán điểm bất động tách, suy rộng tốn chấp nhận tách, khơng gian Hilbert hữu hạn chiều tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn điểm bất động tách khơng gian Hilbert vơ hạn chiều đề xuất ví dụ số minh họa Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày phương pháp giải tốn điểm bất động tách khơng gian Hilbert hữu hạn chiều Chương trình bày phương pháp lặp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn điểm bất tách động khơng gian Hilbert vơ hạn chiều Phần cuối chương đưa ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp lặp giải toán Chương Một phương pháp lặp giải toán điểm bất động tách không gian Hilbert hữu hạn chiều Chương nghiên cứu phương pháp lặp giải toán điểm bất động tách không gian Hilbert thực hữu hạn chiều Nội dung chương trình bày ba mục Mục 1.1 giới thiệu số toán tử khơng gian Hilbert thực vơ hạn chiều tốn điểm bất động tách không gian Mục 1.2 giới thiệu tốn điểm bất động tách khơng gian Hilbert hữu hạn chiều, trình bày phương pháp lặp giải tốn trình bày chứng minh hội tụ phương pháp N 26 Từ (2.19), ta có νk (1 − δ A ) Suk − Axk + uk − Axk ≤ ( xk − x∗ − xk+1 − x∗ ) + Ψk ≤ ( xk − x∗ + xk+1 − x∗ ) xk+1 − xk + Ψk (2.20) Vì lim xk+1 − xk = 0, lim λk = lim αk = α ∈ (0, 1), dãy xk , k→∞ k→∞ k→∞ yk bị chặn nên vế phải (2.20) tiến tới k → ∞ Chú ý nên − δ A > lim νk = δ(1 − α) > 0, ta δ ∈ 0, k→∞ A +1 lim Suk − Axk = 0, k→∞ lim uk − Axk = k→∞ (2.21) Sử dụng tính không giãn PC xk ⊂ C , ta y k − xk = PC (xk + δA∗ (Suk − Axk )) − PC (xk ) ≤ xk + δA∗ (Suk − Axk ) − xk = δA∗ (Suk − Axk ) ≤ δ A∗ Suk − Axk = δ A Suk − Axk Kết hợp với (2.21), ta suy lim y k − xk = k→∞ (2.22) Theo bất đẳng thức tam giác y k − T (y k ) ≤ xk − y k + xk − T (y k ) uk − Suk ≤ uk − Axk + Suk − Axk ) , từ đó, theo (2.22), (2.14) (2.21), ta có lim y k − T (y k ) = 0, k→∞ lim uk − Suk ) = k→∞ Bước 6: Chứng minh lim sup x∗ , x∗ − y k + λk µy k ≤ k→∞ (2.23) ... tụ phương pháp lặp giải toán 5 Chương Một phương pháp lặp giải toán điểm bất động tách không gian Hilbert hữu hạn chiều Chương nghiên cứu phương pháp lặp giải toán điểm bất động tách không gian. .. Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một phương pháp lặp giải toán điểm bất động tách không gian Hilbert hữu hạn chiều 1.1 Bài toán điểm bất động tách không gian Hilbert 1.1.1 Toán tử chiếu ... 1.1.3 Bài toán điểm bất động tách 1.2 Một phương pháp lặp giải toán điểm bất động tách không gian Hilbert hữu hạn chiều 1.2.1 Toán tử hướng không gian RN