Mở đầu Trong thực tế, có những mô hình, chẳng hạn mô hình IMRT (Intensity– Modulated Radiation Therapy) trong bức xạ trị liệu (xem 6, 7) yêu cầu tìm nghiệm của một bài toán trong không gian này sao cho ảnh của nó qua một toán tử tuyến tính bị chặn là nghiệm của một bài toán trong không gian khác. Bài toán này có tên là bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem). Bài toán chấp nhận tách, viết tắt là (SFP), được phát biểu như sau: Tìm phần tử x ∗ ∈ C sao cho A(x ∗ ) ∈ Q, (SFP) ở đây, C và Q lần lượt là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H1 và H2, A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Bài toán chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế trong các bài toán xử lý tín hiệu và khôi phục ảnh (xem 4), liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ (xem 6, 7), hay có thể áp dụng cho việc giải các bài toán cân bằng trong kinh tế, lý thuyết trò chơi (xem 10). Bài toán chấp nhận tách trong các không gian Hilbert hữu hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Yair Censor và Tommy Elfving (xem 5). Để giải bài toán chấp nhận tách trong không gian hữu hạn chiều, Charles Byrne (xem 3) đã đề xuất phương pháp CQ bằng cách xét dãy lặp
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ ĐIỂM MỘT PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Mã số: TOÁN ỨNG DỤNG 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, NĂM 2020 iii Mục lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert 1.1 1.2 Tốn tử chiếu khơng gian Hilbert 1.1.1 Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh 1.1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử chiếu 1.1.3 Tốn tử tuyến tính bị chặn 13 Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert 15 1.2.1 Bài toán chấp nhận tách 15 1.2.2 Phương pháp CQ không gian Hilbert hữu hạn chiều 15 Chương Phương pháp lặp giải tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert 2.1 2.2 19 Một phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách 19 2.1.1 Bài toán chấp nhận tách toán điểm bất động 19 2.1.2 Một phương pháp lặp khơng gian Hilbert 22 Ví dụ áp dụng 27 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời cảm ơn Trong suốt thời gian học tập nghiên cứu luận văn, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo, bạn bè gia đình Em xin chân thành cảm ơn lãnh đạo, quý thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên giúp đỡ em trình học tập trường, đồng thời nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em việc hoàn thành luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, truyền tải kiến thức, kinh nghiệm quý báu động viên, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Trong khoảng thời gian hạn hẹp, làm luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý, giúp đỡ thầy giáo, giáo để em hồn thành luận văn cách tốt Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 05 tháng 12 năm 2020 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Điểm Bảng ký hiệu R tập số thực R+ tập số thực không âm RN không gian Euclid N chiều H khơng gian Hilbert thực B(a, r) hình cầu đóng tâm a bán kính r ∅ tập rỗng ∀x với x ∈ thuộc D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A∗ toán tử liên hợp toán tử A I toán tử đồng d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Γ tập nghiệm toán SFP PC (x) phép chiếu trực giao (mêtric) phần tử x lên tập C ∇f toán tử đạo hàm f Mở đầu Trong thực tế, có mơ hình, chẳng hạn mơ hình IMRT (Intensity– Modulated Radiation Therapy) xạ trị liệu (xem [6, 7]) u cầu tìm nghiệm tốn khơng gian cho ảnh qua tốn tử tuyến tính bị chặn nghiệm tốn khơng gian khác Bài tốn có tên toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) Bài toán chấp nhận tách, viết tắt (SFP), phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho A(x∗ ) ∈ Q, (SFP) đây, C Q tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách có nhiều ứng dụng thực tế tốn xử lý tín hiệu khơi phục ảnh (xem [4]), liệu pháp xạ trị điều chỉnh cường độ (xem [6, 7]), hay áp dụng cho việc giải tốn cân kinh tế, lý thuyết trị chơi (xem [10]) Bài toán chấp nhận tách không gian Hilbert hữu hạn chiều giới thiệu lần Yair Censor Tommy Elfving (xem [5]) Để giải tốn chấp nhận tách khơng gian hữu hạn chiều, Charles Byrne (xem [3]) đề xuất phương pháp CQ cách xét dãy lặp xn+1 = PC (xn − γAT (I − PQ )Axn ), n ≥ 0, (1) A ma trận thực cỡ M × N , AT ma trận chuyển vị ma trận A, C Q hai tập lồi đóng khác rỗng RN RM , L giá trị riêng lớn ma trận AT A γ ∈ 0, L2 Sau Hong–Kun Xu (xem [13]) xây dựng phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực vô hạn chiều: xn+1 = PCH1 (I H1 − γA∗ (I H2 − PQH2 )Axn ), với γ ∈ 0, A n ≥ 0, (2) , I H1 I H2 toán tử đơn vị H1 H2 , A∗ toán tử liên hợp A, PCH1 PQH2 phép chiếu mêtric từ H1 lên C từ H2 lên Q A ký hiệu chuẩn toán tử A Tác giả chứng minh dãy lặp {xn } xác định (2) hội tụ yếu đến nghiệm toán chấp nhận tách (SFP) tốn có nghiệm Luận văn trình bày phương pháp CQ phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực (hữu hạn vô hạn chiều) Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương "Bài tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert" Chương trình bày khái niệm, số tính chất khơng gian Hilbert thực H ; trình bày phép chiếu mêtric tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert thực Phần cuối chương giới thiệu toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực phương pháp CQ giải tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều Chương "Phương pháp lặp giải tốn chấp nhận tách" Chương trình bày phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực vô hạn chiều, chứng minh hội tụ phương pháp, đồng thời đưa số ví dụ minh họa cho hội tụ phương pháp Chương Bài toán chấp nhận tách khơng gian Hilbert Chương trình bày số tính chất khơng gian Hilbert thực H , giới thiệu khái quát toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực H Nội dung chương trình bày hai mục Mục 1.1 trình bày số tính chất khơng gian Hilbert thực, khái niệm ví dụ tốn tử tuyến tính bị chặn tốn tử chiếu khơng gian Hilbert thực Mục 1.2 trình bày khái niệm tốn chấp nhận tách không gian Hilbert thực số toán liên quan Kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [2]–[13] 1.1 Toán tử chiếu không gian Hilbert Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng chuẩn ký hiệu tương ứng , 1.1.1 Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Cho {xn } dãy phần tử không gian Hilbert thực H Dãy {xn } gọi (a) hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H limn→∞ xn , y = x, y với y ∈ H ; (b) hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H lim xn − x = n→∞ x, tức dãy {xn } hội tụ yếu đến x xn → x, Ta sử dụng ký hiệu xn tức dãy {xn } hội tụ mạnh đến x Định lý 1.1.2 (xem [2]) Trong không gian Hilbert thực H , dãy {xn } ⊂ H hội tụ yếu đến x0 ∈ H dãy { xn } ⊂ H hội tụ đến x0 ∈ H dãy {xn } hội tụ mạnh x0 ∈ H Chứng minh Sử dụng tính chất chuẩn tích vơ hướng khơng gian Hilbert thực H ta có xn − x0 = xn − x0 , xn − x0 = xn − x0 , xn − xn , x0 + x0 ∀n Từ giả thiết định lý ta suy ra: lim xn n→∞ = x0 , Do đó, limn→∞ xn − x0 lim xn , x0 = x0 , n→∞ lim x0 , xn = x0 n→∞ = Sau số tính chất khơng gian Hilbert Định lý 1.1.3 (xem [2]) Trong không gian Hilbert thực H ta ln có (i) x + y = x + y + x, y với x, y ∈ H ; (ii) x − y = x + y − x, y với x, y ∈ H ; =t x + (1 − t) y (iii) tx + (1 − t)y 2 − t(1 − t) x − y với t ∈ [0, 1] x, y ∈ H Định lý 1.1.4 (xem [2]) Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, (i) | x, y | ≤ x (ii) x + y y với x, y ∈ H (bất đẳng thức Cauchy–Schwartz); + x−y = 2( x + y ) (đẳng thức hình bình hành); (iii) Nếu limn→∞ xn = a, limn→∞ yn = b limn→∞ xn , yn = a, b Định lý 1.1.5 (xem [2]) Trong không gian Hilbert thực H ta có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z ∀x, y, z ∈ H Bổ đề 1.1.6 (Z Opial) Cho H không gian Hilbert thực {xn } dãy phần tử H cho tồn tập hợp C ⊂ H khác rỗng thỏa mãn điều kiện: (a) Tồn giới hạn limn→∞ xn − z với z ∈ C (b) Nếu dãy {xnk } dãy {xn } thỏa mãn xnk Khi đó, tồn x∗ ∈ C cho xn 1.1.2 x, x ∈ C x∗ Ánh xạ khơng giãn tốn tử chiếu Định nghĩa 1.1.7 (xem [2]) Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H (i) Ánh xạ T : C → H gọi ánh xạ L-liên tục Lipschitz C tồn số L ≥ cho T (x) − T (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C (1.1) (ii) Trong (1.1), L ∈ [0, 1) T gọi ánh xạ co; L = T gọi ánh xạ khơng giãn Định nghĩa 1.1.8 Cho T : H → H ánh xạ (a) T ánh xạ không giãn vững 2T − I ánh xạ không giãn, I ánh xạ đơn vị H (b) Nếu S : H → H không giãn T = (1 − α) I + αS ánh xạ α-trung bình, α ∈ (0, 1) Từ định nghĩa ta có nhận xét sau 10 Nhận xét 1.1.9 (a) Định nghĩa 1.1.8 tương đương với T = (I + S)/2 ánh xạ khơng giãn vững, S : H → H không giãn (b) T ánh xạ không giãn vững x − y, T x − T y ≥ T x − T y , x, y ∈ H (c) Một ánh xạ khơng giãn vững ánh xạ 1/2-trung bình Định nghĩa 1.1.10 Cho A : H → H ánh xạ (a) A ánh xạ đơn điệu Ax − Ay, x − y ≥ với x, y ∈ H (b) A ánh xạ β -đơn điệu mạnh với β > 0, x − y, Ax − Ay ≥ β x − y ∀x, y ∈ H A ánh xạ ν -đơn điệu mạnh ngược với ν > 0, x − y, Ax − Ay ≥ ν Ax − Ay ∀x, y ∈ H Cho H không gian Hilbert thực Ký hiệu Fix (T ) tập hợp điểm bất động ánh xạ T : H → H , tức Fix (T ) = {x ∈ H : T x = x} Mệnh đề 1.1.11 (xem [4, 13]) Cho T : H → H ánh xạ Các khẳng định sau đúng: (i) T ánh xạ không giãn I − T toán tử 21 -đơn điệu mạnh ngược (ii) Nếu T toán tử ν -đơn điệu mạnh ngược γ > 0, γT tốn tử γν -đơn điệu mạnh ngược (iii) T ánh xạ trung bình I − T toán tử ν -đơn điệu mạnh ngược với số ν > 21 21 Tức là, A∗ (I − PQ )A x∗ , z − x∗ ≥ 0, z ∈ C Ax∗ − PQ Ax∗ , Ax∗ − Az ≤ 0, z ∈ C Do đó, (2.5) Mặt khác, lại theo tính chất phép chiếu (Mệnh đề 1.1.19) ta có Ax∗ − PQ Ax∗ , v − Ax∗ ≤ 0, v ∈ Q (2.6) Cộng hai bất đẳng thức (2.5) (2.6) ta nhận Ax∗ − PQ Ax∗ , v − Az ≤ 0, v ∈ Q, z ∈ C (2.7) Thay z = x∗ ∈ C v = PQ Ax∗ ∈ Q (2.7) suy Ax∗ = PQ Ax∗ ∈ Q Tức x∗ nghiệm toán chấp nhận tách (2.1) Từ kết Mệnh đề 2.1.1 nhận thấy sử dụng phương pháp điểm bất động để giải toán chấp nhận tách (2.1) Phương pháp CQ (2.2) viết lại sau: xk+1 = T xk , k ≥ 0, (2.8) toán tử T : H → H cho T (x) = PC I − γA∗ (I − PQ )A (x) (2.9) Định lý 2.1.2 (xem [13]) Cho C Q hai tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn Giả sử tốn chấp nhận tách (2.1) có nghiệm Nếu < γ < 2/ A , dãy xk sinh dãy lặp (2.8) hội tụ yếu đến nghiệm toán chấp nhận tách (2.1) Chứng minh Với < γ < 2/ A tốn tử T : H → H xác định (2.9) ánh xạ trung bình Theo Mệnh đề 1.1.12 Mệnh đề 2.1.1, ta suy dãy xk xác định (2.8) hội tụ yếu đến nghiệm toán chấp nhận tách (2.1) 22 2.1.2 Một phương pháp lặp không gian Hilbert Cho C Q tập lồi khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Ta giả sử tốn chấp nhận tách (2.1) có nghiệm, tức Ω = {x∗ ∈ C ∩ A−1 Q} = ∅ Ta nghiên cứu phương pháp lặp giải toán sau: Cho u ∈ C điểm x0 ∈ C , dãy xk+1 định nghĩa y k = αk u + (1 − αk )xk f (y k )∇f (y k ) xk+1 = PC y k − τk , ∇f (y k ) (2.10) k ≥ 0, {αk } ⊂ (0, 1) {τk } ⊂ (0, 2), f ∇f xác định f (x) = Ax − PQ Ax 2 (2.11) ∇f (x) = A∗ (I − PQ )A (2.12) Trong phần ta giả sử ∇f (y k ) = với k Để chứng minh hội tụ phương pháp (2.10), ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1.3 (xem [13]) Giả sử {ak } dãy số thực không âm thỏa mãn: ak+1 ≤ (1 − γk )ak + δk (2.13) {γk } ∈ (0, 1) {δk } dãy số thực thỏa mãn: ∞ γk = ∞ (1) k=1 δk ≤ (2) lim supk→∞ γk ∞ |δk | < ∞, k=1 lim ak = k→∞ Bổ đề 2.1.4 (xem [13]) Cho {sk } dãy số thực không giảm theo nghĩa tồn dãy {ski } dãy {sk } cho ski < ski +1 với i ≥ 23 Với k ≥ k0 , xác định dãy số nguyên {τ (k)}: τ (k) = max n ≤ k : ski < ski+1 (2.14) Khi τ (k) → ∞ k → ∞ với k ≥ k0 max sτ (k) , sk ≤ sτ (k)+1 (2.15) Sự hội tụ phương pháp (2.10) trình bày định lý sau Định lý 2.1.5 (xem [13]) Cho C Q tập lồi khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn, f ∇f cho (2.11) (2.12) Giả sử tốn chấp nhận tách (2.1) có nghiệm, tức Ω = {x∗ ∈ C ∩ A−1 Q} = ∅ Nếu điều kiện sau thỏa mãn: ∞ αk = ∞; (i) lim αk = 0, k→∞ k=1 (ii) inf k τk (2 − τk ) > dãy xk xác định (2.10) hội tụ mạnh đến PΩ (u) Chứng minh Lấy v ∈ Ω, ∇f (v) = với v ∈ Ω Vì f hàm lồi khả vi nên từ (1.11) ta suy ra: f (y k ) = f (y k ) − f (v) ≤ ∇f (y k ), y k − v Do từ (2.10) (2.16) ta có: x k+1 −v = PC f (y k )∇f (y k ) y τk ∇f (y k ) − −v f (y k )∇f (y k ) ≤ y − τk −v ∇f (y k ) f (y k ) k = y − v − 2τk ∇f (y k ), y k − v k ∇f (y ) k f (y ) + τk2 ∇f (y k ) k (2.16) 24 hay xk+1 − v ≤ yk − v k = y −v − 2τk f (y k ) ∇f (y k ) + τk2 f (y k ) − τk (2 − τk ) , yk − v k ∇f (y ) = αk (u − v) + (1 − αk )(xk − v) ≤ αk u − v f (y k ) ∇f (y k ) 2 (2.17) + (1 − αk ) xk − v Do đó: xk+1 − v ≤ αk u − v + (1 − αk ) xk − v f (y k ) − τk (2 − τk ) ∇f (y k ) ≤ αk u − v 2 (2.18) + (1 − αk ) xk − v u − v , xk − v ≤ max 2 Bằng phương pháp quy nạp, ta suy ra: xk+1 − v ≤ max { u − v , x0 − v } (2.19) Do dãy xk bị chặn Mặt khác yk − v = αk (u − v) + (1 − αk )(xk − v) ≤ (1 − αk ) xk − v 2 + 2αk u − v, y k − v (2.20) Do xk+1 − v ≤ (1 − αk ) xk − v f (y k ) + 2αk u − v, y − v − τk (2 − τk ) ∇f (y k ) k = (1 − αk ) xk − v + 2αk u − v, αk (u − v) + (1 − αk )(xk − v) f (y k ) − τk (2 − τk ) ∇f (y k ) = (1 − αk ) xk − v 2 (2.21) + 2αk2 u − v f (y k ) − τk (2 − τk ) ∇f (y k ) 2 + 2αk (1 − αk ) u − v, xk − v 25 Từ suy xk+1 − v + αk − xk − v xk − v 2 − 2αk u − v + τk (2 − τk ) + 2αk u − v, xk − v (2.22) k f (y ) ∇f (y k ) ≤ 2αk u − v, xk − v Tiếp theo, ta chứng minh xk → v Đặt wk = xk − v với k ≥ Bởi αk → inf k τk (2 − τk ) > 0, không tính tổng qt ta giả sử τk (2 − τk ) ≥ σ , σ > Khi ta viết lại (2.22) dạng w k+1 σf (y k ) − w + αk U + ≤ 2αk u − v, xk − v k ∇f (y ) k k (2.23) U k = xk − v − 2αk u − v + 2αk u − v, xk − v Xét hai trường hợp sau Trường hợp Giả sử wk dãy giảm, nghĩa tồn N > cho wk giảm với k > N , trường hợp wk hội tụ từ (2.23) ta có: 0≤ σf (y k ) ≤ wk − wk+1 − αk U k + 2αk u − v k ∇f (y ) k ≤w −w k+1 xk − v (2.24) + M αk , M > số cho sup u − v xk − v + U k < M k Cho k → ∞ từ công thức (2.24) ta được: lim f (y k ) = (2.25) k→∞ Vì dãy y k bị chặn, nên tồn dãy y ki y k hội tụ yếu đến x˜ ∈ C Vì xk − y k → 0, ta có xki xk hội tụ yếu đến x˜ ∈ C Từ tính nửa liên tục yếu f ta có: ≤ f (˜ x) ≤ lim inf f (y ki ) = lim f (y k ) = i→∞ k→∞ (2.26) 26 Do đó, f (˜ x) = mà A˜ x ∈ Q Điều rằng: wk (y k ) = wk (xk ) ⊂ Ω (2.27) Hơn nữa, cách sử dụng tính chất phép chiếu ta suy ra: lim sup u − v, xk − v = maxk u − PΩ (u), x˜ − PΩ (u) ≤ x ˜∈wk (x ) k→∞ (2.28) Từ (2.22) ta thu được: wk+1 ≤ (1 − αk )wk + αk 2αk u − v + 2(1 − αk ) u − v, xk − v (2.29) Điều với Bổ đề 2.1.3 suy wk → Trường hợp 2: Giả sử wk không giảm Điều có nghĩa tồn số nguyên k0 cho wk0 ≤ wk0 +1 Do ta định nghĩa dãy số nguyên {τ (k)} với k ≥ k0 sau: τ (k) = max n ∈ N : k0 ≤ n ≤ k, wn ≤ wn+1 (2.30) Rõ ràng τ (k) dãy không giảm cho τ (k) → +∞ k → ∞ wτ (k) ≤ wτ (k)+1 , ∀k ≥ k0 (2.31) Trong trường hợp ta suy từ (2.24) rằng: σf (y τ (k) ) ≤ M ατ (k) → ∇f (y τ (k) ) (2.32) lim f (y τ (k) ) = (2.33) Suy k→∞ Điều ngụ ý điểm hội tụ yếu dãy y τ (k) nằm tập Ω nghĩa wk (y τ (k) ) ⊂ Ω Vì Vậy wk (xτ (k) ) ⊂ Ω Mặt khác, ta để ý rằng: y τ (k) − xτ (k) = ατ (k) u − xτ (k) → 0, x τ (k)+1 −y τ (k) ττ (k) f (y τ (k) ) ≤ → ∇f (y τ (k) ) (2.34) 27 Từ ta suy ra: lim sup u − v, xτ (k) − v = k→∞ max x ˜∈wk (xτ (k) ) u − PΩ (u), −PΩ (u) ≤ (2.35) Vì wτ (k) ≤ wτ (k)+1 , từ (2.23) ta có: wτ (k) ≤ (1 − 2ατ (k) ) u − v, xτ (k) − v + 2ατ (k) u − v (2.36) Kết hợp với (2.35) (2.36) ta được: lim sup wτ (k) ≤ (2.37) k→∞ đó: lim wτ (k) = (2.38) lim sup wτ (k)+1 ≤ lim sup wτ (k) (2.39) k→∞ Từ (2.29) ta có: k→∞ k→∞ Do đó: lim wτ (k)+1 = k→∞ (2.40) Từ Bổ đề 2.1.4 ta có: ≤ wk ≤ max wτ (k) , wτ (k)+1 (2.41) Do wk → suy xk → v 2.2 Ví dụ áp dụng Trong mục ta tiến hành hai ví dụ số minh họa hội tụ phương pháp lặp (2.10) giải tốn chấp nhận tách (2.1) Ví dụ viết ngôn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính Asus Vivo Book, CORE i5-7200U, RAM 4GB Các ký hiệu bảng kết phần sau: err: Sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm k : Số bước lặp 28 Ví dụ 2.2.1 Xét tốn tử tuyến tính bị chặn A : R2 → R3 cho A(x) = (x1 + x2 , x2 , x1 − x2 ), x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 Ma trận tốn tử tuyến tính bị chặn 1 A= -1 √ Chuẩn ma trận A A = Toán tử liên hợp A∗ : R3 → R2 A cho bởi: A∗ (y) = (y1 + y3 , y1 + y2 − y3 ), (y1 , y2 , y3 )T ∈ R3 Cho hai tập C = {x = (x1 , x2 )T ∈ R2 : x1 + 2x2 + = 0} Q = {y = (y1 , y2 , y3 )T ∈ R3 : y1 + y2 − y3 − ≤ 0} tập lồi đóng khơng gian R2 R3 Bài tốn chấp nhận tách (2.1) trường hợp tìm phần tử x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ C ⊂ R2 nghiệm hệ phương trình, bất phương trình: x1 + 2x2 + = 0, (x1 + x2 ) + x2 − 2(x1 − x2 ) − ≤ Khi đó, tập nghiệm toán chấp nhận tách (2.1) là: Ω = (−2α − 2, α)T ∈ R2 , α ∈ R, α ≤ Để sử dụng phương pháp lặp (2.10) xấp xỉ nghiệm toán, trước hết ta tìm nghiệm có u-chuẩn nhỏ với u = (−4, 1) ∈ C sau: x−u = (−2 + 2α)2 + (1 − α)2 = 5(1 − α)2 , với α ≤ Suy nghiệm có u-chuẩn nhỏ x∗ = (−2, 0)T α = Dãy xk xác định (2.10) hội tụ mạnh đến PΩ (u), nghiệm có u-chuẩn nhỏ 29 Kết tính tốn với dãy tham số chọn khác cho bảng sau err = xk − x∗ k xk = (xk1 , xk2 )T 100 (−2.2887, 0.1443)T 0.3227 1000 (−2.0294, 0.0147) T 0.0329 5000 (−2.0059, 0.0029)T 0.0066 50000 (−2.0006, 0.0003)T 6.5920e-04 60000 (−2.0005, 0.0002)T 5.4934e-04 T 3.2961e-04 100000 (−2.0003, 0.0001) Bảng 2.1: Bảng tính toán với x0 = − 3, T ∈ C, u = (−4, 1)T ∈ C, αk = err = xk − x∗ k xk = (xk1 , xk2 )T 100 (−2.0274, 0.0137)T 0.0306 1000 (−2.0027, 0.0014) T 0.0030 2000 (−2.0014, 0.0007)T 0.0015 5000 (−2.0005, 0.0003)T 6.0878e-04 6000 (−2.0005, 0.0002)T 5.0731e-04 10000 (−2.0003, 0.0001)T 3.0437e-04 Bảng 2.2: Bảng tính tốn với x0 = − 3, T τk = 0, k+2 ∈ C, u = (−4, 1)T ∈ C, αk = 2k + τk = k+2 k+2 Nhận xét 2.2.2 Từ Bảng (2.1), (2.2) ta thấy rằng, với xấp xỉ ban đầu x0 , u ∈ C dãy αk ⊂ (0, 1) τk ⊂ (0, 2) dãy lặp (2.10) hội tụ đến nghiệm có u-chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách Khi ta thay đổi dãy lặp αk τk ảnh hưởng đến số lần lặp để đạt nghiệm xấp xỉ với sai số cho trước Chẳng hạn, (a) Trong Bảng 2.1 ta thấy sau 100000 bước lặp ta thu nghiệm xấp xỉ x(100000) = (−2, 0003; 0, 0001) với sai số 3, 2961 × 10−4 Đây xấp xỉ tốt cho nghiệm x∗ = (−2; 0) 30 (b) Trong Bảng 2.2, nghiệm xấp xỉ x(10000) = (−2, 0003; 0, 0001) đạt sau 10000 bước lặp với sai số 3, 0437 × 10−4 Ví dụ 2.2.3 Xét tốn tử tuyến tính bị chặn A : R4 → R2 cho A(x) = (x1 − x2 − x4 , x2 + x3 − x4 ) Ma trận tốn tử tuyến tính bị chặn A = −1 −1 Toán tử liên hợp A∗ : R2 → R4 A cho bởi: A∗ (y) = (y1 , −y1 + y2 , y2 , −y1 − y2 ), −1 có A = √ (y1 , y2 )T ∈ R2 Cho hai tập C = (x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4 : x1 − x2 + 2x3 = Q = (u1 , u2 )T ∈ R2 : u1 − u2 = tập lồi đóng R4 R2 Bài toán chấp nhận tách (2.1) đưa việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính: x1 − x2 + 2x3 = 1, (x1 − x2 − x4 ) − (x2 + x3 − x4 ) = Tập nghiệm toán chấp nhận tách trường hợp là: Ω = (−5α − 1, −3α − 2, α, β)T ∈ R4 , α, β ∈ R Nghiệm có u-chuẩn nhỏ với u = (1, 0, 0, 0)T ∈ C xác định sau: x−u = (−5α − 2)2 + (−3α − 2)2 + α2 + β = 35α2 + 32α + β + 24 24 16 + β2 + ≥ = 35 α + 35 35 35 31 −16 β = Suy nghiệm có u-chuẩn Dấu "=" xảy α = 35 T −22 −16 nhỏ x∗ = , , , Kết tính tốn cho dãy lặp (2.10) 35 35 sau: k xk = (xk1 , xk2 , xk3 , xk4 )T err = xk − x∗ 100 (1.2322, −0.6363, −0.4342, 0.0196)T 0.0619 000 (1.2803, −0.6294, −0.4548, 0.0020)T 0.0063 000 (1.2846, −0.6287, −0.4567, 0.0004)T 0.0013 000 (1.2850, −0.6287, −0.4569, 0.0002)T 7.8946e-04 15 000 (1.2854, −0.6286, −0.4570, 0.0001)T 4.2109e-04 Bảng 2.3: Bảng tính toán với x0 = (−1, −2, 0, 1)T ∈ C, u = (1, 0, 0, 0)T ∈ C, αk = k xk = (xk1 , xk2 , xk3 , xk4 )T err = xk − x∗ 50 (1.2712, −0.5966, −0.4339, −0.0000)T 0.0422 60 (1.2723, −0.5992, −0.4358, 0.0000)T 0.0388 100 (1.2748, −0.6045, −0.4396, 0.0000)T 0.0318 000 (1.2781, −0.6118, −0.4450, 0.0000)T 0.0221 000 (1.2784, −0.6125, −0.4455, 0.0000)T 0.0211 100 000 (1.2785, −0.6126, −0.4456, 0.0000)T 0.0210 Bảng 2.4: Bảng tính toán với x0 = (−1, −2, 0, 1)T ∈ C, u = (1, 0, 0, 0)T ∈ C, αk = τk = 0.5 k+2 10k + 2k + τk = 11k + k+2 Nhận xét 2.2.4 Từ Bảng (2.3), (2.4) ta thấy rằng, với xấp xỉ ban đầu x0 , u ∈ C dãy αk ⊂ (0, 1) τk ⊂ (0, 2) dãy lặp (2.10) hội tụ đến nghiệm có u-chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách Khi ta thay đổi dãy lặp αk τk ảnh hưởng đến số lần lặp để đạt nghiệm xấp xỉ toán với sai số cho trước (a) Bảng 2.3 cho thấy sau 15000 bước lặp, nghiệm xấp xỉ x(15000) = (1, 2854; −0, 6286; −0, 4570; 0.0001)T 32 −22 −16 , , ,0 35 35 (b) Từ Bảng 2.4 cho thấy sau 100000 bước lặp, nghiệm xấp xỉ xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ x∗ = T x(100000) = (1, 2785; −0, 6126; −0, 4456; 0, 0000)T xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ x∗ = −22 −16 , , ,0 35 35 T 33 Kết luận Luận văn đạt mục tiêu đề "Nghiên cứu phương pháp lặp giải lớp toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực H ; đưa tính tốn ví dụ minh họa" Kết luận văn Luận văn trình bày phương pháp lặp giải tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực vơ hạn chiều tính tốn ví dụ minh họa Cụ thể: Trình bày phương pháp CQ giải tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert hữu hạn chiều áp dụng cho toán tìm cực tiểu phiếm hàm lồi Trình bày mối liên hệ toán chấp nhận tách tốn điểm bất động khơng gian Hilbert thực vơ hạn chiều, từ sử dụng phương pháp điểm bất động để giải toán chấp nhận tách Trình bày phương pháp lặp giải tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực vơ hạn chiều, chứng minh hội tụ phương pháp Đưa số ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp, chương trình thực nghiệm viết ngôn ngữ MATLAB 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] C Byrne (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Problems, 18(2), pp 441–453 [4] C Byrne (2004), "A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction", Inverse Problems, 18, pp 103–120 [5] Y Censor and T Elfving (1994), "A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221– 239 [6] Y Censor, T Elfving, N Kopf, T Bortfeld (2006), "The multiple-sets split feasibility problem and its application", Inverse Problems, 21, pp 2071– 2084 [7] Y Censor, T Bortfeld, B Martin, A Trofimov (2006), "A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy", Phys Med Biol., 51, pp 2353–2365 35 [8] H Hundal (2004), "An alternating projection that does not converge in norm", Nonlinear Anal., 57, pp 35–61 [9] P.E Maingé (2008), "A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems", SIAM J Control Optim., 47(3), pp 1499–1515 [10] Y Shehu, D F Agbebaku (2018), "On split inclusion problem and fixed point problem for multi-valued mappings", Comp Appl Math., 37, pp 1807–1824 [11] D.X Son (2018), "An algorithm for solving a class of bilevel split problems involving pseudomonotone equilibrium problem", Afrika Matematika, 29, pp 1159–1171 [12] H.K Xu (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc., 66(1), pp 240–256 [13] H.K Xu (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in infinite dimensional Hilbert spaces", Inverse Problems, 26, 105018 [14] Y Yu (2012), "An explicit method for the split feasibility problem with self-Adaptive step sizes", Abstract and Applied Analysis, 2012, Article ID 432501, pages doi:10.1155/2012/432501 ... Chương Phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách không gian Hilbert 2.1 2.2 19 Một phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách 19 2.1.1 Bài toán chấp nhận tách toán điểm bất động 19 2.1.2 Một phương. .. giải toán chấp nhận tách (SFP) nhằm khắc phục hạn chế 19 Chương Phương pháp lặp giải tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert Chương trình bày phương pháp lặp giải tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert. .. khơng gian Hilbert thực Phần cuối chương giới thiệu tốn chấp nhận tách khơng gian Hilbert thực phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách không gian Hilbert thực hữu hạn chiều Chương "Phương pháp lặp