Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TRUNG THÔNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục iii Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 1.1.2 1.2 1.1.3 Một số tính chất Hàm lồi vi phân 1.2.1 1.2.2 1.3 Tập lồi Hàm lồi Dưới vi phân hàm lồi 10 Toán tử không gian Hilbert 10 1.3.1 1.3.2 1.4 Định nghĩa Một số ví dụ Toán tử đơn điệu 10 Toán tử tuyến tính 12 Điểm bất động ánh xạ không giãn 13 1.4.1 Ánh xạ không giãn điểm bất động 13 1.4.2 Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 15 Chương Phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert 2.1 17 Bài toán chấp nhận tách 17 2.1.1 2.1.2 Phát biểu toán 17 Một số bổ đề bổ trợ 18 ii 2.2 Phương pháp giải toán chấp nhận tách 22 2.2.1 Giới thiệu 22 2.2.2 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp 27 Một ví dụ áp dụng 36 Kết luận Tài liệu tham khảo 40 41 iii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: N tập số nguyên không âm N∗ tập số nguyên dương R H tập số thực không gian Hilbert thực C ∅ tập đóng lồi H tập rỗng ∀x x ∃x x, y tồn x tích vô hướng hai véctơ x y x xn → x chuẩn véctơ x xn hội tụ mạnh đến x xn T xn hội tụ yếu x toán tử đơn điệu không gian Hilbert x I Jr toán tử đồng H toán tử giải T P lim supn→∞ xn phép chiếu mêtric từ H lên T −1 giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dãy số {xn } ∂f vi phân hàm lồi f Mở đầu Bài toán chấp nhận tách tổng quát đóng vai trò đặc biệt quan trọng việc mô hình hóa nhiều toán ngược xuất thực tế toán nén hình ảnh, chụp hình cộng hưởng từ, mạng nơ ron, khôi phục ảnh Một phương pháp nhiều tác giả sử dụng để giải toán chấp nhận tách phương pháp chiếu cần phải thực phép chiếu mêtric lên tập lồi đóng không gian Hilbert Tuy nhiên, việc tính ảnh ánh xạ chiếu mêtric tập lồi đóng không dễ thực thi Do vậy, việc xây dựng phương pháp xấp xỉ điểm bất động để giải toán chấp nhận tách hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Nhiều kết công bố gần phương pháp giải cho lớp toán thường đòi hỏi tính liên tục Lipschitz hệ số Lipschitz ánh xạ Tuy nhiên thực hành tính toán, việc tính hệ số Lipschitz thường phức tạp tốn kém, dẫn đến việc cần thiết phải cải tiến loại bỏ điều kiện để xây dựng phương pháp giải hiệu Đề tài luận văn phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert Đây đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: giới thiệu cách hệ thống lại định nghĩa, ví dụ số tính chất quan trọng không gian Hilbert thực Chương 2: trình bày phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert, trình bày số định lý hội tụ, kết áp dụng Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, cô giáo Nguyễn Thị Thu Thủy toàn thể thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa 2014–2016), bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, góp ý cho tác giả nhận xét quý báu Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Hoàng Trung Thông Chương Một số kiến thức bổ trợ Trong chương này, ta trình bày số kiến thức sử dụng chương sau Đó nhắc lại kiến thức không gian Hilbert, tính chất quan trọng không gian Hilbert giải tích lồi, trình bày vi phân Bên cạnh ta nhắc lại số toán tử không gian Hilbert phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[6] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian véctơ X trường số thực R Tích vô hướng xác định X ánh xạ , :X × X → R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) x, x ≥ 0, với x ∈ X, x, x = ⇔ x = 0; (ii) y, x = x, y , với x, y ∈ X; (iii) x + x , y = x, y + x , y với x, x , y ∈ X; (iv) λx, y = λ x, y với x, y ∈ X, λ ∈ R Số x, y gọi tích vô hướng hai véctơ x, y X Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy với x, y, z ∈ X, λ ∈ R: (1) x, y + y = x, y + x, y ; (2) x, λy = λ x, y ; (3) x, = Định nghĩa 1.1.3 Cặp (X, , ), X không gian tuyến tính R, , tích vô hướng X gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.4 Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức x = x, x (1.1) Định nghĩa 1.1.5 Nếu X không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định (1.1) X gọi không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1.6 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, xn − x → n → ∞ Định nghĩa 1.1.7 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn với y ∈ H x, xn , y → x, y n → ∞ Chú ý 1.1.8 (a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, điều ngược lại không (b) Mọi không gian Hilbert có tính chất Kadec-Klee, tức dãy {xn } không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện xn → x xn x, xn → x n → ∞ Định nghĩa 1.1.9 Cho C tập không gian Hilbert H Khi C gọi là: (a) Tập đóng dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x n → ∞, ta có x ∈ C; (b) Tập đóng yếu dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn ta có x ∈ C; x n → ∞, (c) Tập compact dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ phần tử thuộc C; (d) Tập compact tương đối dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ; (e) Tập compact yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu phần tử thuộc C; (f) Tập compact tương đối yếu dãy {xn } ⊂ C có dãy hội tụ yếu Nhận xét 1.1.10 (a) Mọi tập compact tập compact tương đối, điều ngược lại không (b) Mọi tập đóng yếu tập đóng, điều ngược lại không Mệnh đề 1.1.11 Cho H không gian Hilbert thực C tập H Khi đó, ta có khẳng định sau: (a) Nếu C tập lồi, đóng C tập đóng yếu; (b) Nếu C tập bị chặn C tập compact tương đối yếu Định nghĩa 1.1.12 Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng không gian Hilbert thực H Ta biết với x ∈ H, tồn phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn x − PC (x) = inf x − y y∈C Phần tử PC (x) xác định gọi hình chiếu x lên C ánh xạ PC : H → C biến phần tử x ∈ H thành PC (x) gọi phép chiếu mêtric từ H lên C Đặc trưng phép chiếu mêtric cho mệnh đề Mệnh đề 1.1.13 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H Khi đó, ánh xạ PC : H → C phép chiếu mêtric từ H lên C x − PC (x), y − PC (x) ≥ với y ∈ C Nhận xét 1.1.14 Về phương diện hình học, với y ∈ C, ta gọi α π góc tạo véc tơ x − PC (x) y − PC (x), α ≤ 1.1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.1.15 Rn không gian Hilbert thực với tích vô hướng n x, y = λk α k k=1 x = (λ1 , λ2 , , λn ) y = (α1 , α2 , , αn ) chuẩn cảm sinh n x n = x, x = |αk |2 αk αk = k=1 k=1 Ví dụ 1.1.16 Không gian ∞ l = x = {xn }n ∈ R : xn yn k=1 ∞ không gian Hilbert với tích vô hướng x, y = xn yn chuẩn cảm n=1 sinh ∞ |xn |2 x = k=1 với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 28 Vn không giãn Với x∗ ∈ S = Fix(Vn ) ta có: xn+1 − x∗ = (1 − αn )(xn − x∗ ) + αn (Vn xn − x∗ ) = (1 − αn ) xn − x∗ + αn Vn xn − x∗ 2 −αn (1 − αn ) xn − Vn xn ≤ xn − x∗ − αn (1 − αn ) xn − Vn xn (2.19) Do với I − Tn = α(I − Vn ) ta nhận − αn xn − Tn xn αn ≤ xn − x∗ − xn − x∗ Vì αn = + γn A 2 ∈ ,1 ta thu (a) xn+1 − x∗ ≤ xn − x∗ với n, lim xn − x∗ tồn với n→∞ x∗ ∈ S; ∞ (b) (1 − γn A ) xn − Tn xn < ∞ n=1 ∞ xn − Tn xn với điều kiện (ii) (b) ta có < ∞ Điều n=1 lim xn − xn+1 = lim xn − Tn xn = n→∞ n→∞ (2.20) Bây ta ký hiệu ωω (xn ) tập tất điểm hội tụ yếu {xn } Lấy xˆ ∈ ωω (xn ) giả sử xnj → xˆ yếu Không giảm tổng quát ta giả sử ˆ > γn → γˆ ∈ (0, A −2 ) Ký hiệu λnj → λ j Tˆ = Jλˆ (I − γˆ A∗ (I − T )A) + γˆ A -trung bình Fix(Tˆ) = S Tˆ 29 Đặt zj = (I − γnj A∗ (I − T )A)xnj , ta suy xnj − Tˆxnj ≤ xnj − xnj +1 + T nj xnj − Tˆxnj ≤ xnj − xnj +1 + Jλnj zj − Jλˆ zj + Jλˆ zj − Tˆxnj (2.21) Số hạng cuối (2.21) ước lượng theo Jλˆ zj − Tˆxnj = Jλˆ (I − γnj A∗ (I − T )A)xnj − Jλˆ (I − γˆ A∗ (I − T )A)xnj ≤ |γnj − γˆ | A∗ (I − T )A xnj → (2.22) Số hạng (2.21) ước lượng theo Jλnj zj − Jλˆ zj ˆ ˆ λ λ zj + (1 − )Jλnj zj ) − Jλˆ zj λnj λnj ˆ λ ≤ |1 − | Jλnj zj − zj → λnj = Jλˆ ( (2.23) Thay (2.20), (2.22), (2.23) vào (2.21) cho lim xnj − Tˆxnj = (2.24) j→∞ Từ suy xˆ ∈ Fix(Tˆ) = S Vì ωω (xn ) ⊂ S Sử dụng điều (a) ta áp dụng Bổ đề 2.1.5 dãy {xn } hội tụ yếu đến z0 ∈ S Theo Bổ đề 2.1.4 ta thấy z0 đồng thời giới hạn mạnh {PS xn } Định lý 2.2.8 Cho H1 , H2 không gian Hilbert B : H1 → 2H1 toán tử đơn điệu cực đại cho Jλ = (I + λB)−1 toán tử giải B với số λ > Cho T : H2 → H2 ánh xạ không giãn, A : H1 → H2 toán tử tuyến tính giới nội Giả sử B −1 ∩ A−1 Fix(T ) = ∅ Với x1 = x ∈ H1 , xác định xn+1 = βn xn + (1 − βn )Jλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn , ∀n ∈ N, {βn } ⊂ (0, 1) {λn } ⊂ (0, +∞) thỏa mãn điều kiện (2.25) 30 ∞ βn (1 − βn ) = ∞, (C1) n=1 (C2) < a ≤ λn ≤ Khi xn ||A||2 ∞ |λn − λn+1 | < ∞ n=1 z0 ∈ B −1 ∩ A−1 Fix(T ), z0 = lim PB −1 0∩A−1 Fix(T ) xn n→∞ Chứng minh Tập S = B −1 ∩ A−1 Fix(T ) lấy x∗ ∈ S Cho Tn = Jλn (I − λn A∗ (I − T )A) Un = βn I + (1 − βn )Tn Khi thuật toán (2.25) viết lại sau xn+1 = βn xn + (1 − βn )Tn xn = Un xn (2.26) Lưu ý Un (1 − βn )-trung bình Lặp lại chứng minh (2.19) [thay αn Vn (1 − βn ) Tn , tương ứng] ta xn+1 − x∗ ≤ xn − x∗ − βn (1 − βn ) xn − Tn xn (2.27) điều • xn+1 − x∗ ≤ xn − x∗ với n, lim xn − x∗ tồn với x∗ ∈ S n→∞ • βn (1 − βn ) xn − Tn xn ≤ xn − x∗ − xn+1 − x∗ (2.28) với n, < ∞ (2.29) ∞ βn (1 − βn ) xn − Tn xn n=1 ∞ Từ điều kiện βn (1 − βn ) = ∞ kéo theo n=1 lim inf xn − Tn xn = n→∞ (2.30) 31 Bây ta chứng minh lim xn − Tn xn tồn Đặt n→∞ un = (I − λn A∗ (I − T )A)xn yn = Tn xn = Jλn un Vì Jλn (I − λn A∗ (I − T )A) không giãn, theo Bổ đề 2.1.3 ta có yn+1 − yn = Jλn+1 un+1 − Jλn un ≤ Jλn+1 un+1 − Jλn+1 (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn ) + Jλn+1 (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn − Jλn un ≤ xn+1 − xn + Jλn+1 (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn − Jλn un ≤ Jλn+1 (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn − Jλn+1 (I − λn A∗ (I − T )A)xn + Jλn+1 un − Jλn un + xn+1 − xn ≤ (I − λn+1 A∗ (I − T )A)xn − (I − λn A∗ (I − T )A)xn + Jλn+1 un − Jλn un + xn+1 − xn ≤ |λn+1 − λn | A∗ (I − T )Axn |λn+1 − λn | + Jλn+1 un − un + xn+1 − xn a ≤ xn+1 − xn + M |λn+1 − λn |, M số thỏa mãn M ≤ sup( A∗ (I − T )A)xn + n Jλn+1 un − un ) a 32 Vì thế, ta suy xn+1 − yn+1 = βn xn + (1 − βn )yn − yn+1 ≤βn xn − yn+1 + (1 − βn ) yn − yn+1 ≤βn ( xn − xn+1 + xn+1 − yn+1 ) +(1 − βn )( xn+1 − xn + M |λn+1 − λn |) = xn − xn+1 + βn xn+1 − yn+1 + (1 − βn )M |λn+1 − λn |) =(1 − βn ) xn − yn + βn xn+1 − yn+1 + (1 − βn )M |λn+1 − λn | Điều suy xn+1 − yn+1 ≤ xn − yn + M |λn+1 − λn | Từ ta suy lim xn − yn tồn tại, đồng thời từ (2.30) ta thu n→∞ lim xn − Tn xn = (2.31) lim xn − xn+1 = (2.32) n→∞ Suy n→∞ Tiếp theo ta chứng minh z ∈ ωω (xn ) cụm điểm yếu {xn }, z ∈ S Thật vậy, lấy dãy {xni } {xn } xni Lưu ý ta có xni +1 ˆ ∈ [a, A −2 ] Cho λn → λ z z quan sát thấy điều kiện (C2) có nghĩa ˆ ∗ (I − T )A) Tˆ = Jλˆ (I − λA Khi Tˆ không giãn Fix(Tˆ) = S Lặp lại chứng minh từ (2.21) - (2.23) ta nhận ˆ λ xnj − Tˆxnj ≤ xnj − xnj +1 + |1 − | Jλnj unj − unj λnj ˆ A∗ (I − T )A xn → (j → ∞) + |λn − λ| j j 33 Điều đảm bảo z = Tˆz, có nghĩa z ∈Fix(Tˆ) = S Giờ ta áp dụng Bổ đề 2.1.4 Bổ đề 2.1.5 để kết luận dãy {xn } hội tụ yếu đến z0 ∈ S giới hạn mạnh dãy {PS xn } Định lý 2.2.9 Cho H1 , H2 không gian Hilbert thực C tập lồi đóng khác rỗng H1 Cho B : H1 → 2H1 ánh xạ đơn điệu cực đại với D(B) ⊂ C cho Jλ = (I + λB)−1 toán tử giải B với λ > Cho V : C → C ánh xạ lai ghép tổng quát T : H2 → H2 ánh xạ không giãn A : H1 → H2 toán tử tuyến tính giới nội Giả sử S = Fix(V ) ∩ B −1 ∩ A−1 Fix(T ) = ∅ Với x1 = x ∈ C, ta xây dựng dãy {xn } xác định thuật toán xn+1 = βn xn + (1 − βn )V (Jλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn ), ∀n ∈ N, (2.33) dãy {βn } {λn } thỏa mãn điều kiện: (i) < c ≤ βn ≤ d < (ii) < a ≤ λn ≤ b < A Khi {xn } hội tụ yếu đến z0 ∈ S, z0 = lim PS xn n→∞ Chứng minh Như chứng minh định lý trên, ta đặt Tn = Jλn (I − λn A∗ (I − T )A), un = (I − λn A∗ (I − T )A)xn , yn = Tn xn = Jλn un Khi Tn αn -trung bình, αn = + λn A 2 ta viết lại Tn sau Tn = (1 − αn )I + αn Vn Vn ánh xạ không giãn Cho z ∈ S lặp lại chứng minh (2.19) nhận yn − z ≤ xn − z − αn (1 − αn ) xn − Vn xn (2.34) 34 Đặc biệt, yn − z ≤ xn − z Từ (2.33) ta có xn+1 = βn xn + (1 − βn )V yn Vì V z = z ta suy xn+1 − z 2 = βn (xn − z) + (1 − βn )(V yn − z) =βn xn − z + (1 − βn ) V yn − z ≤βn xn − z + (1 − βn ) yn − z ≤βn xn − z + (1 − βn )[ xn − z −βn (1 − βn ) xn − V yn ≤ xn − z 2 − βn (1 − βn ) xn − V yn − βn (1 − βn ) xn − V yn 2 − αn (1 − αn ) xn − V xn ] (2.35) − (1 − βn )αn (1 − αn ) xn − Vn xn −βn (1 − βn ) xn − V yn Do điều kiện (i) (ii), ta thấy (1 − βn )αn (1 − αn ) βn (1 − βn ) hai đại lượng dương Ta suy từ (2.35) xn+1 − z ≤ xn − z với n, lim xn − z tồn với z ∈ S, (2.36) lim xn − V xn = 0, (2.37) lim xn − V yn = (2.38) n→∞ n→∞ n→∞ ta có: lim xn − yn = 0, (2.39) lim xn − xn+1 = (2.40) n→∞ n→∞ 35 Với z = Jλn z, (I − T )Az = I − T -ism Ta suy yn − z = Jλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn − Jλn z ≤ xn − λn A∗ (I − T )Axn − z 2 = xn − z − 2λn xn − z, A∗ (I − T )Axn + (λn )2 A∗ (I − T )Axn = xn − z − 2λn Axn − Az, (I − T )Axn + (λn )2 A∗ (I − T )Axn ≤ xn − z − λn (I − T )Axn = xn − z − λn (1 − λn A ) (I − T )Axn + (λn )2 AA∗ (I − T )Axn 2 (2.41) Với điều kiện (ii), điều (I − T )Axn ≤ ( xn − z a(1 − b||A ) − yn − z ) Sử dụng (2.39) ta lim (I − T )Axn = n→∞ (2.42) Theo Bổ đề 2.1.5 (2.36) chứng tỏ {xn } hội tụ yếu Ta phải chứng minh dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu đến điểm x∗ , x∗ ∈ S Thật vậy, A toán tử tuyến tính giới nội, ta có Axnj Ax∗ Vì T không giãn, ta có từ (2.42) T Ax∗ = Ax∗ ; Ax∗ ∈ Fix(T ) x∗ ∈ A−1 Fix(T ) Tiếp theo ta chứng minh x∗ ∈ B −1 Lưu ý yn = Jλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn có nghĩa (xn − yn − λn A∗ (I − T )Axn ) ∈ Byn λn Vì B đơn điệu, ta có với (u, v) ∈ B yn − u, (xn − yn − λn A∗ (I − T )Axn ) − v ≥ 0, λn 36 hay yn − u, x n − yn − A∗ (I − T )Axn − v ≥ λn Thay n nj ynj − u, Vì xnj x∗ , ynj xnj − ynj − A∗ (I − T )Axnj − v ≥ λnj (2.43) x∗ A∗ (I − T )Axn → 0, lấy giới hạn j → (2.43) khẳng định x∗ − u, −v ≥ Tính đơn điệu cực đại B ∈ Bx∗ Nghĩa x∗ ∈ B −1 Cuối cùng, ta thấy x∗ ∈ Fix(V ) Kết hợp (2.38) (2.39) lim yn − V yn (2.44) n→0 Vì ynj x∗ ta áp dụng Bổ đề 2.1.10 có x∗ ∈ Fix(V ) Trong phần ta chứng minh x∗ ∈ B −1 0∩ Fix(V ) ∩ A−1 Fix(T ) = S Cho nên ta áp dụng Bổ đề 2.1.5 để có hội tụ yếu dãy {xn } tới điểm z0 ∈ S theo Bổ đề 2.1.4 với giới hạn mạnh dãy {PS xn } 2.2.3 Một ví dụ áp dụng Cho H không gian Hilbert f hàm thường nửa liên tục lồi H (−∞, ∞) Đã biết [9] vi phân ∂f f xác định sau ∂f (x) = {z ∈ H : f (x) + z, y − x ≤ f (y), ∀y ∈ H}, x ∈ H toán tử đơn điệu cực đại, đặc biệt tập đóng lồi khác rỗng H, hàm C, iC , xác định iC (x) = 0, x ∈ C ∞, x ∈ /C hàm thường nửa liên tục lồi H, ∂iC toán tử đơn điệu cực đại Nón chuẩn tắc tập C u ∈ C xác định 37 sau NC (u) = {z ∈ H : z, y − u ≤ 0, ∀y ∈ C} Dễ dàng (1) ∂iC (u) = NC (u) với u ∈ C; (2) Jλ x = PC x với x ∈ H, Jλ = (I + λ∂iC )−1 toán tử giải ∂iC với λ > Áp dụng Định lý 2.2.8 cho trường hợp B = ∂iC ta có kết sau Định lý 2.2.10 (xem [12]) Cho C tập đóng lồi khác rỗng không gian Hilbert H cho U : C → C ánh xạ không giãn cho Fix(U ) = ∅ Với x1 = x ∈ C, xác định xn+1 = βn xn + (1 − βn )U xn ∀n ∈ N (2.45) {βn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện ∞ βn (1 − βn ) = ∞ n=1 Khi xn z0 ∈ Fix(U ), z0 = lim PFix(U ) xn n→∞ Chứng minh Đặt H1 = H2 = H, B = ∂iC , T = U PC A = I Định lý 2.2.8 ta có Fix(T ) = Fix(U ) Jλ = PC với λ > Hơn lấy λ = với n ∈ N ta thấy toán tử giải (2.26) Định lý 2.2.8 rút gọn toán tử giải (2.45), kết thúc Định lý 2.2.10 Áp dụng Định lý 2.2.9 cho kết sau Định lý 2.2.11 Cho H1 H2 không gian Hilbert C tập lồi đóng khác rỗng H1 Cho V : C → C ánh xạ co hẹp cho T : H2 → H2 ánh xạ không giãn Cho A : H1 → H2 toán tử tuyến tính giới nội Giả sử Fix(V ) ∩ A−1 Fix(T ) = ∅ Với x1 = x ∈ C, định nghĩa dãy {xn } C sau xn+1 = βn xn + (1 − βn )V PC (I − λn A∗ (I − T )A)xn ∀n ∈ N 38 dãy {βn } {λn } thỏa mãn < c ≤ βn ≤ d < 1và < a ≤ λn ≤ b < Khi xn ||A||2 z0 ∈ Fix(V ) ∩ A−1 Fix(T ) z0 = lim PFix(V )∩A−1 Fix(T ) xn n→∞ Chứng minh Một ánh xạ co hẹp V : C → C (2, 1)-lai ghép tổng quát Hơn nữa, đặt B = ∂iC Định lý 2.2.9, ta có Jλ = PC với λ > Như có kết mong muốn từ Định lý 2.2.9 Tiếp theo giải toán cân với ánh xạ không giãn không gian Hilbert Định lý 2.2.12 (xem [11]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H f : C × C → R song hàm thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) Định nghĩa Af sau Af (x) = {z ∈ H : f (x, y) ≥ y − x, z , ∀y ∈ C}, x ∈ C, ∅, x ∈ / C (2.46) Khi EP (f ) = A−1 f (0) Af đơn điệu cực đại với miền xác định Af C Hơn Tr (x) = (I + rAf )−1 (x), ∀r > Từ Định lý 2.2.8 ta có định lý sau Định lý 2.2.13 Cho H1 H2 không gian Hilbert Cho C tập đóng lồi khác rỗng H1 Cho f : C × C → R thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) ký hiệu Tλ toán tử giải Af (như định nghĩa (2.46)) với số λ > Cho T : H2 → H2 ánh xạ không giãn Cho A : H1 → H2 toán tử tuyến tính giới nội Giả sử EP (f ) ∩ A−1 Fix(T ) = ∅ Với x1 = x ∈ H1 , định nghĩa xn+1 = βn xn + (1 − βn )Tλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn , ∀n ∈ N, 39 {βn } ⊂ (0, 1) {λn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn điều kiện sau ∞ βn (1 − βn ) = ∞, n=1 Khi đó, xn < a ≤ λn ≤ , ||A||2 ∞ |λn − λn+1 | < ∞ n=1 z0 ∈ EP (f )∩A−1 Fix(T ), z0 = lim PEP (f )∩A−1 Fix(T ) xn n→∞ Chứng minh Áp dụng dụng Định lý 2.2.8 cho trường hợp B = Af Có kết Định lý 2.2.13 Định lý 2.2.14 Cho H1 H2 không gian Hilbert Cho C tập đóng lồi khác rỗng H1 Cho f : C × C → R thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) cho Tλn toán tử giải Af với λn > Định lý 2.2.12 Cho V : C → C ánh xạ lai ghép tổng quát cho T : H2 → H2 ánh xạ không giãn Cho A : H1 → H2 toán tử tuyến tính giới nội Giả sử Fix(V ) ∩ EP (f ) ∩ A−1 Fix(T ) = ∅ Với x1 = x ∈ C, định nghĩa xn+1 = βn xn + (1 − βn )V Tλn (I − λn A∗ (I − T )A)xn , ∀n ∈ N, {βn } {λn } thỏa mãn < c ≤ βn ≤ d < 1, Khi xn < a ≤ λn ≤ b < z0 ∈ Fix(V ) ∩ EP (f ) ∩ A−1 Fix(T ), z0 = lim PFix(V )∩EP (f )∩A−1 Fix(T ) xn n→∞ A 40 Kết luận Những vấn đề luận văn: (1) Nhắc lại số khái niệm tính chất không gian Hilbert tích vô hướng, trực giao, trực chuẩn đồng thời trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, vi phân hàm lồi số ví dụ minh họa (2) Phần trọng tâm luận văn trình bày kiến thức toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert, ứng dụng phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn giải toán cân Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp, thời gian khả hạn chế nên có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo người quan tâm để luận văn hoàn thiện 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu (2003), Nhập môn Giải tích lồi ứng dụng, Viện Toán học, Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Đỗ Văn Lưu, Nguyễn Đức Lạng (2010), Giáo trình Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [6] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Tiếng Anh [7] Blum E., Oettli W (1994), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems", Math Student 63, 123–145 [8] Kocourek, P., Takahashi, W., Yao, J.C (2010), "Fixed Point Theorems and Weak Convergence Theorems for Genelalized Hybrid Mappings in Hilbert Spaces", Taiwan J Math., 14, 2497–2511 [9] Opial, Z (1967), "Weak Covergence of the Sequence of Successive Approximations for Nonexpansive Mappings", Bull Amer Math Soc., 73, 591-597 42 [10] Reich, S (1979), "Weak Covergence Theorems for Nonexpansive Mappings in Banach Spaces", J Math Anal Appl., 67, 274-276 [11] Rockafellar, R.T (1970), "On The Maximal Monotonicity of Subdifferential Mappings", Pac J Math., 33, 209-216 [12] Takahashi W., Xu H.K., Yao J.C (2015), "Iterative Methods for Generalized Split Feasibility Problems in Hilbert Spaces", Springer, 23, 205-221 [13] Xu H.K (2006), "A Variable Krasnosel’skii–Mann Algorithm and the Multiple-set Split Feasibility Problem", Inverse Probl., 22, 2021-2034 ... chiều dãy lặp (1.7) cho hội tụ yếu 17 Chương Phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert Chương nghiên cứu toán chấp nhận tách tổng quát sinh ánh xạ lai ghép tổng quát trình... định nghĩa, ví dụ số tính chất quan trọng không gian Hilbert thực Chương 2: trình bày phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert, trình bày số định lý hội tụ, kết áp... 15 Chương Phương pháp lặp giải toán chấp nhận tách tổng quát không gian Hilbert 2.1 17 Bài toán chấp nhận tách 17 2.1.1 2.1.2 Phát biểu toán 17 Một số