Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phânPhương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– QUÁCH THỊ TUYẾT NHUNG PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 10/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– QUÁCH THỊ TUYẾT NHUNG PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 10/2017 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 1.1 Một số đặc trưng hình học khơng gian Banach 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi trơn 1.1.2 1.1.3 1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Giới hạn Banach 1.1.4 Ánh xạ không giãn điểm bất động 12 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 15 1.2.1 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 15 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 17 1.2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc 19 Chương Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân 2.1 Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc 2.1.1 2.1.2 2.2 20 21 Mô tả phương pháp 21 Sự hội tụ 22 Ví dụ minh họa 33 2.2.1 2.2.2 Bài toán cực trị 33 Minh họa cho phương pháp (2.2) 34 2.2.3 2.2.4 Minh họa cho phương pháp (2.5) 35 Minh họa cho phương pháp (2.6) 36 iv Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực X X∗ không gian Banach không gian đối ngẫu X SX R mặt cầu đơn vị X tập số thực ∀x D(A) với x miền xác định ánh xạ A R(A) miền ảnh ánh xạ A I lp , < p < ∞ ánh xạ đồng không gian dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], < p < ∞ khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn xn → x0 giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn J dãy {xn } hội tụ yếu x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc x0 j Fix(T ) ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stampacchia (xem [11] [16]), nghiên cứu đưa vào cuối năm 60 đầu năm 70 kỷ trước Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân đề tài thời sự, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vai trò quan trọng toán lý thuyết toán học nhiều ứng dụng thực tế Khi tập ràng buộc C tốn bất đẳng thức biến phân Tìm điểm x0 ∈ C thỏa mãn: Ax0 , x − x0 ≥ ∀x ∈ C, (1) A : H → H ánh xạ không gian Hilbert H, C tập lồi đóng H, cho dạng ẩn tập điểm bất động ánh xạ không giãn tập điểm bất động chung họ (hữu hạn vô hạn) ánh xạ khơng giãn tốn (1) có nhiều ứng dụng tốn thực tế xử lý tín hiệu, khơi phục ảnh, toán điều khiển tối ưu Đối với lớp toán này, năm 2001 Yamada đề xuất phương pháp lai ghép đường dốc để giải Dựa cách tiếp cận Yamada, có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc cho bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc C tập điểm bất động chung họ hữu hạn, họ vô hạn đếm hay nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Luận văn trình bày phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach sở báo [17] Nguyễn Thị Thu Thủy đồng tác giả công bố năm 2015 Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương: Chương "Bất đẳng thức biến phân không gian Banach": giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu không gian Banach số kiến thức liên quan Chương "Phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân": giới thiệu phương pháp lặp ẩn lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, trình bày hội tụ phương pháp trình bày ví dụ minh họa Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Quách Thị Tuyết Nhung Chương Bất đẳng thức biến phân không gian Banach Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết đặc trưng hình học khơng gian Banach, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, tốn tử đơn điệu, toán tử j-đơn điệu, giới hạn Banach, ánh xạ khơng giãn điểm bất động, nửa nhóm ánh xạ không giãn, phương pháp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3] [5] 1.1 Một số đặc trưng hình học không gian Banach Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian đối ngẫu X x, x∗ ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ), miền giá trị R(T ) Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T , nghĩa Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x} Kí hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : x = 1} 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi trơn Định nghĩa 1.1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn X gọi không gian phản xạ phép nhúng chuẩn tắc H không gian X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ tồn ánh Ví dụ 1.1.2 Rn khơng gian phản xạ Thật vậy, dim(Rn )∗∗ = dim Rn = n phép nhúng chuẩn tắc H : Rn −→ (Rn )∗∗ đơn ánh tuyến tính Do H tồn ánh Vậy Rn không gian phản xạ Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach X gọi lồi chặt ∀x, y ∈ SX , ⇒ (1 − λ)x + λy < λ ∈ (0, 1) x=y Ví dụ 1.1.4 Khơng gian Hilbert H không gian lồi chặt Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành x+y + x−y = 2( x + y ), suy x+y 2 = x + y − x−y =1− x−y Ví dụ 1.1.5 Khơng gian X = Rn , n ≥ với chuẩn x x2i = < định nghĩa n x 2 , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=1 không gian lồi chặt Ví dụ 1.1.6 Khơng gian X = Rn , n ≥ với chuẩn x x 1 định nghĩa = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn không gian lồi chặt Thật vậy, với x = (1, 0, , 0), ta thấy x = y, x = y y = (0, 1, 0, , 0), = x + y = Ví dụ 1.1.7 Khơng gian X = Rn , n ≥ với chuẩn x ∞ định nghĩa x = max |xi | , i = 1, n, x = (x1 , x2 , , xn ) ∞ không gian lồi chặt Thật vậy, với x = (1, 0, , 0), ta thấy x = y, x ∞ = y y = (1, 1, 0, , 0), = x + y ∞ ∞ = Định nghĩa 1.1.8 Không gian Banach X gọi không gian lồi với ε ∈ (0, 2], với x, y ∈ X thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε, tồn δ = δ(ε) > cho x+y ≤ − δ Ví dụ 1.1.9 Khơng gian Hilbert H khơng gian lồi Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành x+y + x−y = 2( x + y ) ∀x, y ∈ H, giả sử x, y ∈ SH với x = y x − y ≥ ta có x+y ≤ − ε2 Suy x+y ≤ − δ( ), với δ(ε) = − − ε2 /4 Do đó, H khơng gian lồi Ví dụ 1.1.10 Không gian l1 không gian lồi Thật vậy, chọn x = (1, 0, 0, ), y = (0, −1, 0, 0, ) ε = 1, x Tuy nhiên, = 1, x+y y x−y = 1, = > = ε = không tồn δ > cho x+y ≤ − δ Do đó, l1 khơng phải không gian lồi 27 Tiếp theo, ta chứng minh dãy {vk } bị chặn Thật vậy, với điểm p ∈ F cố định, ta có vk − p = γk (I − λk A)vk + (1 − γk )T (tk )vk − p, j(vk − p) = γk λk (I − A)vk + (1 − λk )vk − p, j(vk − p) + (1 − γk ) T (tk )vk − p, j(vk − p) = γk λk (I − A)vk − (I − A)p, j(vk − p) + γk (1 − λk ) vk − p, j(vk − p) + γk λk −Ap, j(yk − p) + (1 − γk ) T (tk )vk − T (tk )p, j(vk − p) ≤ γk λk (1 − τ ) vk − p + (1 − γk ) vk − p = (1 − γk λk τ ) vk − p + γk (1 − λk ) vk − p 2 − γk λk Ap, j(vk − p) − γk λk Ap, j(vk − p) Do đó, ta có bất đẳng thức (2.7) với uk thay vk dạng sau: vk − p ≤ τ −1 Ap, j(p − vk ) (2.15) Từ suy ra, vk − p ≤ τ −1 Ap Điều chứng tỏ {vk } dãy bị chặn Suy {Avk } dãy bị chặn A ánh xạ L-liên tục Lipschitz với L = + 1/γ Tiếp theo, ta chứng minh vk − T (t)vk → k → ∞ với t ≥ Dễ thấy, giới hạn thỏa mãn với t = Với t > 0, tk → nên ta giả sử t ≥ tk với k t t t [ ]≤