Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)

Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp hiện lai ghép đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUỐC VIỆT PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN LAI GHÉP ĐƯỜNG DỐC NHẤT GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2017 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 1.1 Không gian Banach 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian Banach phản xạ, lồi trơn Ánh xạ j-đơn điệu 11 1.1.3 Giới hạn Banach 15 Bất đẳng thức biến phân 16 1.2.1 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 16 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 18 Chương Phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 21 2.1 2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Ví dụ 24 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc 25 2.2.1 2.2.2 2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc Yamada 25 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc 27 Ví dụ minh họa 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực E E∗ không gian Banach không gian đối ngẫu E SE R mặt cầu đơn vị E tập số thực ∀x D(A) với x miền xác định ánh xạ A R(A) miền ảnh ánh xạ A I lp , < p < ∞ ánh xạ đồng không gian dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], < p < ∞ không gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } lim inf n→∞ xn xn → x0 giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn J dãy {xn } hội tụ yếu x0 ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc x0 j Fix(T ) ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H F : H → H ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (classical variational inequality) phát biểu sau: Tìm điểm p∗ ∈ C thỏa mãn: F p∗ , p − p∗ ≥ ∀p ∈ C (1) Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stampacchia (xem [10] [15]), nghiên cứu đưa vào cuối năm 60 đầu năm 70 kỷ trước Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân đề tài thời sự, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vai trò quan trọng toán lý thuyết toán học nhiều ứng dụng thực tế Khi tập ràng buộc C toán (1) cho dạng ẩn tập điểm bất động chung họ (hữu hạn vô hạn) ánh xạ không giãn toán (1) có nhiều ứng dụng toán thực tế xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, phân phối băng thông toán điều khiển tối ưu Đối với lớp toán này, phương pháp lai ghép đường dốc Yamada đề xuất năm 2001 (xem [17]) tỏ phương pháp hiệu ánh xạ F : H → H ánh xạ đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz không gian Hilbert H Phương pháp khắc phục khó khăn việc thực phép chiếu mêtric PC chiếu H lên tập lồi đóng C H dùng dãy lặp Picard dạng xn+1 = PC (xn − λn F xn ) để giải, {λn } dãy tham số thỏa mãn số điều kiện định Dựa cách tiếp cận Yamada, có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng cải biên phương pháp lai ghép dạng đường dốc cho bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc C tập điểm bất động chung họ hữu hạn, họ vô hạn đếm hay nửa nhóm ánh xạ không giãn Các phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach sở báo [6] [8] Nguyễn Thị Thu Thủy đồng tác giả công bố năm 2015 2017 Nội dung đề tài luận văn trình bày hai chương: Chương "Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu j-đơn điệu không gian Banach Chương "Phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu nửa nhóm ánh xạ không giãn, trình bày hội tụ phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn trình bày ví dụ minh họa Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô khoa Toán–Tin thầy cô trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Trung học phổ thông Đông Triều - Quảng Ninh anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K9C bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Việt Chương Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Chương trình bày số khái niệm tính chất không gian Banach phản xạ, lồi đều, trơn đều, ánh xạ đơn điệu, ánh xạ j-đơn điệu, đồng thời giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, j-đơn điệu không gian Banach Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]-[5], [9]-[14] [18] 1.1 Không gian Banach Cho E không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu E ∗ Ta dùng ký hiệu cho chuẩn E E ∗ viết tích đối ngẫu x∗ , x thay cho giá trị phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ điểm x ∈ E, tức x∗ , x = x∗ (x) 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi trơn Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi phản xạ, với phần tử x∗∗ ∈ E ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai E, tồn phần tử x ∈ E cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ E ∗ Định lý 1.1.2 Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) E không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn E có dãy hội tụ yếu Ví dụ 1.1.3 Các không gian véc tơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b], < p < ∞ không gian Banach phản xạ Ký hiệu SE := {x ∈ E : x = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach E Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SE , x = y, ta có (1 − λ)x + λy < với λ ∈ (0, 1) Chú ý 1.1.5 Định nghĩa 1.1.4 phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ E, x = y, mà x = 1, y = ta có x+y < Ví dụ 1.1.6 Không gian E = Rn với chuẩn x n x xác định 1/2 x2i = 2 , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=1 không gian lồi chặt Không gian E = Rn , n ≥ với chuẩn x xác định n x |xi |, = x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn i=1 không gian lồi chặt Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, , 0), y = (0, 1, 0, , 0) ∈ Rn Ta thấy x = y, x x + y = = y Tương tự không gian E = Rn với x không lồi chặt ∞ = max |xi |, 1≤i≤n x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn = Định nghĩa 1.1.7 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ = δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta có x+y ≤ − δ Ví dụ 1.1.8 Không gian Hilbert H, không gian lp , không gian Lp [a, b] với < p < ∞ không gian lồi Ta không gian Hilbert H không gian lồi Thật vậy, từ đẳng thức hình bình hành x+y + x−y x+y = 2( x = 2( x + y ) ∀x, y ∈ H suy + y 2) − x − y ∀x, y ∈ H Lấy x, y ∈ SH , hình cầu đóng đơn vị H, với x = y x − y ≥ ε, ε > Khi x + y ≤ − ε2 Suy x+y 2 ε2 ≤1− Do x+y ≤ 1− ε2 =1− 1− 1− ε2 , δ(ε) = − 1− ε2 Định lý 1.1.9 Mọi không gian Banach lồi đều không gian lồi chặt phản xạ Để đo tính lồi không gian Banach E người ta sử dụng khái niệm mô đun lồi E Định nghĩa 1.1.10 Cho E không gian Banach Hàm δE (ε) : [0, 2] → [0, 1] gọi mô đun lồi E x+y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε δE (ε) = inf − Ví dụ 1.1.11 Mô đun lồi không gian Hilbert H δH (ε) = − 1− ε2 , ε ∈ (0, 2] 26 Trong trường hợp F = ϕ, ϕ : H → R ∪ {∞} hàm lồi khả vi Gâteaux không gian Hilbert H bất đẳng thức biến phân cổ điển Tìm điểm p∗ ∈ C cho: F p∗ , p − p∗ ≥ ∀p ∈ C (2.5) điều kiện tối ưu cho toán tối ưu lồi minp∈C ϕ(p) tập C dãy lặp Picard viết dạng xn+1 = PC (I − λn ϕ)xn Việc tính toán phép chiếu mêtric PC từ H lên tập lồi đóng C H không dễ dàng phức tạp cấu trúc tập C Để ý thân ánh xạ chiếu mêtric PC ánh xạ không giãn với Fix(PC ) = C, mà tập ràng buộc C bất đẳng thức biến phân thường cho dạng ẩn, chẳng hạn tập điểm bất động chung họ (hữu hạn vô hạn) ánh xạ không giãn Xuất phát từ nhận xét đó, năm 2001, Yamada [17] đưa phương pháp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc C := ∩N i=1 Fix(Ti ) dạng: un+1 = T[n+1] un − λn+1 µF (T[n+1] un ), n ≥ 0, (2.6) [n] := n mod N hàm modulo lấy giá trị tập {1, 2, , N }, u0 điểm ban đầu H, µ ∈ (0, 2η/L2 ), {Ti }N i=1 họ hữu hạn ánh xạ không giãn Phương pháp Yamada đề xuất hội tụ mạnh đến phần tử nằm tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.5) C := ∩N i=1 Fix(Ti ) với điều kiện đặt lên dãy tham số {λn } sau: (L1) limn→∞ λn = 0, (L2) ∞ n=1 λn = ∞, ∞ n=1 |λn − λn+N | (L3) < ∞ Khi N = 1, phương pháp lai ghép đường dốc Yamada trở dạng un+1 = T (un ) − λn+1 µF (T un ) 27 Mục giới thiệu phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu với tập ràng buộc C tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach 2.2.2 Phương pháp lặp lai ghép đường dốc Mục giới thiệu phương pháp lặp [6] giải toán VI∗ (F, F): Xuất phát từ điểm x1 ∈ E tùy ý, ta xây dựng dãy {xn } sau: xn+1 = γn Fn xn + (1 − γn )Tn xn , n ≥ (2.7) Các ánh xạ Tn Fn (2.7) xác định Tn x = tn tn T (s)xds, (2.8) Fn x = (I − λn F )x ∀x ∈ E, (2.9) {λn }, {tn } {γn } dãy tham số thỏa mãn điều kiện sau: ∞ λn ∈ (0, 1), λn → 0, λn = ∞, (2.10) |tn+1 − tn | = 0, n→∞ tn+1 (2.11) n=1 lim tn = ∞, n→∞ lim γn ∈ (0, 1) cho < lim inf γn ≤ lim sup γn < n→∞ (2.12) n→∞ Ta sử dụng số kết sau để chứng minh hội tụ phương pháp lặp (2.7): Bổ đề 2.2.1 Cho {xn } {zn } dãy bị chặn không gian Banach E thỏa mãn xn+1 = (1 − γn )xn + γn zn với n ≥ 1, {γn } ⊂ 28 (0, 1) thỏa mãn < lim inf n→∞ γn ≤ lim supn→∞ γn < Giả sử zn+1 − zn − xn+1 − xn lim sup ≤ n→∞ Khi limn→∞ xn − zn = Bổ đề 2.2.2 Cho dãy {sn } số thực không âm thỏa mãn sn+1 ≤ (1 − ζn )sn + ζn ηn + θn , n ≥ 0, dãy {ζn }, {ηn }, {θn } thỏa mãn điều kiện sau: ∞ n=0 ζn (i) {ζn } ⊂ [0, 1], = ∞; (ii) lim supn→∞ ηn ≤ 0; (iii) θn ≥ 0, ∞ n=0 θn < ∞ Khi limn→∞ sn = Bổ đề 2.2.3 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó, bất đẳng thức sau thỏa mãn x+y ≤ x + y, j(x + y) ∀x, y ∈ E, ∀j(x + y) ∈ J(x + y) Mệnh đề sau tham khảo [8] Mệnh đề 2.2.4 Cho E không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux đều, F : E → E ánh xạ L-liên tục Lipschitz {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ không giãn E với F := ∩t≥0 Fix(T (t)) = ∅ Nếu tồn dãy bị chặn {xn } thỏa mãn limn→∞ xn − T (t)xn = với t ≥ tồn limk→∞ yk = p∗ ∈ F, dãy {yk } xác định yk = γk (I − λk F )yk + (1 − γk )T (tk )yk , tk > 0, k ≥ lim sup F p∗ , j(p∗ − xn ) ≤ n→∞ Chứng minh Với n, k ∈ N cố định x, y ∈ E ta có yk − xn = γk [(I − λk F )yk − xn ] + (1 − γk )[T (tk )yk − xn ] (2.13) 29 T (tk )x − T (tk )y, j(x − y) ≤ x − y , ∀tk > Suy ra, yk − x n = = (1 − γk ) T (tk )yk − xn , j(yk − xn ) + γk (I − λk F )yk − xn , j(yk − xn ) = (1 − γk )[ T (tk )yn − T (tk )xn , j(yk − xn ) + T (tk )xn − xn , (yk − xn ) ] + γk (I − λk F )yk − yk , j(yk − xn ) + γk yk − xn ≤ (1 − γk )( yk − xn + T (tk )xn − xn yk − xn ) + γk (I − λk F )yk − yk , j(yk − xn ) + γk yk − xn ≤ yk − x n + T (tk )xn − xn 2 yk − x n + γk (I − λk F )yk − yk , j(yk − xn ) = yk − x n + T (tk )xn − xn yk − xn − γk λk F yk , j(yk − xn ) Và vậy, ta có F yk , j(yk − xn ) ≤ xn − T (tk )xn γk λk yk − x n (2.14) Khi đó, theo giả thiết limn→∞ xn − T (t)xn = với t ≥ ta suy lim xn − T (tk )xn = ∀tk > k cố định n→∞ Do dãy {yk } {xn } bị chặn nên {yk − xn } bị chặn lim xn − T (tk )xn = với tk > 0, lấy lim sup hai vế (2.14), ta n→∞ lim sup F yk , j(yk − xn ) ≤ (2.15) n→∞ Mặt khác, sử dụng tính liên tục Lipschitz ánh xạ F giả thiết yk → p∗ k → ∞ ta có F yk − F p∗ ≤ L yk − p∗ → 0, k → ∞ (2.16) 30 Mặt khác, ta lại có: | F yk , j(yk − xn ) − F p∗ , j(p∗ − xn ) | = | F yk − F p∗ , j(yk − xn ) + F p∗ , j(yk − xn ) − j(p∗ − xn ) | ≤ F yk − F p∗ yk − x n + | F p∗ , j(yk − xn ) − j(p∗ − xn ) | Do yk → p∗ k → ∞ dãy {xn } bị chặn, sử dụng tính liên tục mạnh-yếu∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ta có lim F p∗ , j(yk − xn ) − j(p∗ − xn ) = k→∞ Do vậy, với ε > 0, tồn < K ∈ N cho với k ≥ K, với n ∈ N ta có | F yk , j(yk − xn ) − F p∗ , j(p∗ − xn ) | < ε Từ suy ra, ε > 0, tồn < K ∈ N cho với k ≥ K, với n ∈ N ta có F p∗ , j(p∗ − xn ) < F yn , j(yn − xn ) + ε Sử dụng (2.15), ta có lim sup F p∗ , j(p∗ − xn ) ≤ lim sup F yn , j(yn − xn ) + ε ≤ ε n→∞ n→∞ Do ε bé tùy ý nên ta thu (2.13) Điều phải chứng minh Sự hội tụ phương pháp lặp (2.7) chứng minh [6] Ta có định lý sau Định lý 2.2.5 Cho E không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux đều, F : E → E ánh xạ η-j-đơn điệu mạnh γ-giả co chặt với η, γ ∈ (0, 1) thỏa mãn η + γ > 1, {T (s) : s ≥ 0} nửa nhóm ánh xạ không giãn E cho F := ∩s≥0 Fix(T (s)) = ∅ Khi dãy lặp {xn } xác định (2.7) với dãy tham số thỏa mãn điều kiện (2.10)-(2.12) hội tụ mạnh đến nghiệm p∗ bất đẳng thức biến phân: Tìm điểm p∗ ∈ F cho: F p∗ , j(x − p∗ ) ≥ ∀x ∈ F (2.17) 31 Chứng minh Nội dung chứng minh Định lý 2.2.5 chia thành bước sau Bước Ta chứng minh dãy {xn } bị chặn Thật vậy, với p ∈ F cố định, ta có Tn p = p đó, theo Bổ đề 1.1.44, xn+1 − p = γn (I − λn F )xn + (1 − γn )Tn xn − p ≤ γn (I − λn F )xn − p + (1 − γn ) Tn xn − Tn p ≤ γn [(1 − λn τ ) xn − p + λn F p ] + (1 − γn ) xn − p Fp = (1 − γn λn τ ) xn − p + γn λn τ τ ≤ ≤ max{ x1 − p , F p /τ } Suy ra, {xn } dãy bị chặn Từ suy dãy {Tn xn }, {Fn xn }, {F xn }, {xn − p} bị chặn Giả sử dãy bị chặn số dương M1 Bước Ta với t ≥ 0, lim T (t)xn − xn = (2.18) n→∞ Đặt zn = Tn xn − γn λn F xn − γn Từ (2.7) ta suy xn+1 = γn xn + (1 − γn )zn zn+1 − zn ≤ Tn+1 xn+1 − Tn xn + γn λn γn+1 λn+1 F xn − F xn+1 − γn − γn+1 ≤ Tn+1 xn+1 − Tn+1 xn + Tn+1 xn − Tn xn γn λn γn+1 λn+1 F xn − F xn+1 − γn − γn+1 βM1 |tn+1 − tn | ≤ xn+1 − xn + M1 + (λn + λn+1 ) , tn+1 1−β + với β số dương thuộc khoảng (0, 1) cho γn ≤ β Kết hợp điều với λn → |tn+1 − tn |/tn+1 → n → ∞ ta thu lim sup n→∞ zn+1 − zn − xn+1 − xn ≤ 32 Do vậy, từ (2.12) Bổ đề 2.2.1 suy lim xn − zn = n→∞ Mặt khác, zn − Tn xn = λn γn βM1 F xn ≤ λn − γn 1−β λn → n → ∞, nên zn − Tn xn → Tiếp theo, ≤ xn − Tn xn ≤ xn − zn + zn − Tn xn → 0, n → ∞, (2.19) nên xn − T (t)xn ≤ xn − Tn xn + Tn xn − T (t)Tn xn + T (t)Tn xn − T (t)xn ≤ xn − Tn xn + Tn xn − T (t)Tn xn Sử dụng (2.19) Bổ đề 2.1.7 bất đẳng thức cuối ta suy giới hạn (2.18) thỏa mãn với t ≥ n → ∞ Bước Ta khẳng định limn→∞ xn − p∗ = 0, với p∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.17) Xác định dãy {yk } sau: yk = γk (I − λk F )yk + (1 − γk )T (tk )yk , k ≥ Sử dụng kết [16], k → ∞ dãy yk hội tụ mạnh đến p∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.17) 33 Tiếp theo ta đánh giá xn+1 − p∗ xn+1 − p∗ 2 sau: = = (1 − γn ) Tn xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ ) + γn (I − λn F )xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ ) = (1 − γn ) Tn xn − Tn p∗ , j(xn+1 − p∗ ) + γn λn (I − F )xn − p∗ j(xn+1 − p∗ ) + γn (1 − λn ) xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ ) ≤ (1 − γn ) xn − p∗ xn+1 − p∗ + γn (1 − λn ) xn − p∗ xn+1 − p∗ + γn λn (I − F )xn − p∗ , j(xn+1 − p∗ ) ≤ (1 − γn λn ) xn − p∗ xn+1 − p∗ + γn λn (1 − τ ) xn − p∗ xn+1 − p∗ + γn λn −F p∗ , j(xn+1 − p∗ ) với τ = − xn − p ∗ + xn+1 − p∗ −F p∗ , j(xn+1 − p∗ ) + γn λn τ , τ ≤ (1 − γn λn τ ) 1−η Do đó, γ xn+1 − p∗ ≤ − γn λn τ x n − p∗ + γn λn τ 2γn λn τ −F p∗ , j(xn+1 − p∗ ) + , + γn λn τ τ hay xn+1 − p∗ 2γn λn τ xn − p∗ + γn λn τ 2γn λn τ F p∗ , j(p∗ − xn+1 ) + + γn λn τ τ ≤ 1− Ta viết lại bất đẳng thức cuối dạng xn+1 − p∗ ≤ (1 − ζn ) xn − p∗ + ζn ηn , (2.20) 34 ζn = 2γn λn τ F p∗ , j(p∗ − xn+1 ) ηn = + γn λn τ τ ∞ Sử dụng giả thiết ∞ n=1 λn = ∞, ta có n=1 ζn = ∞ Kết hợp (2.18) Mệnh đề 2.2.4 ta có giới hạn (2.13) suy lim supn→∞ ηn ≤ Áp dụng Bổ đề 2.2.2 (với θn = 0) vào (2.20) ta suy limn→∞ xn −p∗ = Vậy dãy {xn } hội tụ mạnh điểm p∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.17) Định lý chứng minh Chú ý 2.2.6 Phương pháp (2.7) tác giả [6] cải thiện t theo hướng không sử dụng tích phân Bochner Tn x = t1n n T (s)xds mà thay ánh xạ T (tn ) xác định từ nửa nhóm {T (s) : s ≥ 0} sau: xn+1 = γn (I − λn F )xn + (1 − γn )T (tn )xn , n ≥ 1, x1 ∈ E (2.21) với λn ∈ (0, 1], γn ∈ (0, 1) tn > thỏa mãn γn = n→∞ tn lim tn = lim n→∞ Sự hội tụ mạnh phương pháp (2.21) chứng minh với điều kiện đặt lên không gian Banach E, ánh xạ F nửa nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0} tương tự Định lý 2.2.5 Nhận xét 2.2.7 (a) (2.7) viết lại dạng   y = (I − λ F )x n n n  x n+1 = γn yn + (1 − γn )Tn xn (2.22) Khi đó, yn = (I − λn F )xn xây dựng theo phương pháp đường dốc xn+1 = γn yn + (1 − γn )Tn xn thiết lập dựa dãy lặp dạng Mann (Mann, 1953 [11]) (b) Xét trường hợp F = Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn dãy lặp (2.7) trở thành phương pháp xn+1 = γn (I − λn F )xn + (1 − γn )T xn (2.23) 35 Ceng đồng nghiệp (2008) [7] nghiên cứu để giải toán bất đẳng thức biến phân (2.17) không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy (c) Tích phân Bochner toán tử T (s), s ≥ bước lặp thứ n t phương pháp lặp (2.7), (2.21) xác định Tn xn = n T (s)xn ds tính gần tổng Riemann (Neerven, 2002 [12]) 2.3 Ví dụ minh họa Trong mục ta xét ví dụ số nhằm minh họa cho phương pháp lặp (2.7) để giải bất đẳng thức biến phân ngôn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính DELL INSPIRON, CORE i5, RAM 1,7GHz Xét toán cực trị có ràng buộc ϕ(p∗ ) = ϕ(x), (2.24) x∈C với C tập khác rỗng lồi đóng không gian Euclid RN , với ϕ : RN → R hàm lồi thường liên tục RN có dạng ϕ(x) = x − a , x ∈ RN , a = (1, 1, , 1)T ∈ RN ϕ : RN → RN hàm ϕ Khi đó, ta có gradient ϕ(x) = 2(x − a), điều kiện tối ưu cho toán (2.24) bất đẳng thức biến phân sau: ϕ(p∗ ), x − p∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (2.25) Xét trường hợp N = C = F tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : R6 → R6 , t ≥ 0} sau:  cos(αt)    sin(αt)    T (t)x =        − sin(αt) 0 cos(αt) 0 0 0 0 0 0 cos(βt) 0 sin(βt)   x1      x2       x3   ,    x4      − sin(βt) x5    x6 cos(βt) 36 với x = (x1 , x2 , , x6 )T ∈ R6 α ∈ R cố định Khi đó, Mục 2.1, ta thấy {T (t) : t ≥ 0} xác định thỏa mãn tính chất nửa nhóm không giãn F = {x ∈ R6 : x = (0, 0, x3 , x4 , 0, 0)T } tập điểm bất động chung nửa nhóm không giãn {T (t) : t ≥ 0} Nghiệm toán (2.24) điểm p∗ = (0, 0, 1, 1, 0, 0)T ∈ F ⊂ R6 Với xấp xỉ ban đầu x0 = (5, 5, , 5)T ∈ R6 , chọn α = π/5, β = π/7 dãy số tn = (n + 1)2 , γn = (n + 1)−1/2 λn = (n + 1)−1/3 Kết tính toán MATLAB cho bảng n err = xn − p∗ Thời gian 40.669 0.49 6.2061 0.529 3.6527 0.542 10 1.3108 0.563 20 0.30432 0.563 50 0.093269 0.65 100 0.044659 0.81 Bảng 2.4: Bảng tính toán thử nghiệm cho dãy lặp (2.7) 37 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số khái niệm tính chất không gian Banach cụ thể không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn đều, có chuẩn khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux đều; ánh xạ đơn điệu j-đơn điệu, ánh xạ giả co chặt, ánh xạ không giãn nửa nhóm không giãn; tổng quan bất đẳng thức biến phân đơn điệu j-đơn điệu Đề tài giới thiệu phương pháp lặp dựa phương pháp lai ghép đường dốc để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập điểm bất động nửa nhóm không giãn không gian Banach lồi có chuẩn khả vi Gâteaux Trình bày chứng minh hội tụ mạnh phương pháp dựa nguyên lý ánh xạ co Banach tính chất liên tục mạnh-yếu∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j số điều kiện đặt lên dãy tham số phương pháp, ví dụ số minh họa cho hội tụ phương pháp 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] R.P Agarwal, D O’Regan D., D.R Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [4] Y Alber (1996), "Metric and generalized projection operators in Banach spaces: Properties and applications" in: Kartsatos A G (Ed), Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type, Lecture Notes in Pure and Appl Math., 178, 15–50 [5] I Cioranescu (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [6] Ng Buong, P.T Hieu, and Ng.T.T Thuy (2013), "An explicit iteration method for a class of variational inequalites in Banach spaces", Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ Thông tin Truyền thông", NXB Khoa học Kỹ thuật 39 [7] L.-C Ceng, Q.H Ansari, J.-C Yao (2008), "Mann-type steepestdescent and modified hybrid steepest descent methods for variational inequalities in Banach spaces", Numer Funct Anal Optim., 29(9-10), 987–1033 [8] P.T Hieu, Ng.T.T Thuy, and J.J Strodiot (2017), "Explicit iterative methods for variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Bull Malays Math Sci Soc DOI 10.1007/s40840-017-0494-8 (online) [9] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [10] J.L Lions, G Stampacchia (1967), "Variational inequalities", Comm Pure Appl Math., 20, 493–519 [11] W.R Mann (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc., 4, 506–510 [12] J.M Neerven (2002), "Approximating Bochner integrals by Riemann sums", Indagationes Mathematicae, 13(2), 197–208 [13] W.V Petryshyn (1970), "A characterization on strict convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings", J Funct Anal., 6, 282–291 [14] F Schoepfer (2007), "Iterative regularization methods for the solution of the split feasibility problem in Banach spaces", PhD Dissertation, Saarbrucken [15] G Stampacchia (1964), "Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes", C R Acad Sci Paris, 258, 4413–4416 [16] Ng.T.T Thuy, P.T Hieu (2013), "Implicit iteration methods for variational inequalites in Banach spaces", Bull Malays Math Sci Soc., 36(4), 917–926 40 [17] I Yamada (2001), "The hybrid steepest descent method for variational inequalities problems over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings", Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and Their Applications, Chapter 8, pp 473–504 [18] E Zeidler (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, II/B - Nonlinear Monotone Operator, Springer–Verlag ... Chương Phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu Chương trình bày phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu tập điểm bất động... Chương "Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu": giới thiệu bất đẳng thức biến phân đơn điệu j-đơn điệu không gian Banach Chương "Phương pháp lặp lai ghép đường dốc giải bất đẳng thức biến phân j-đơn... 15 Bất đẳng thức biến phân 16 1.2.1 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 16 Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu 18 Chương Phương pháp lặp lai ghép đường dốc