Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân J đơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)

Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân Jđơn điệu trong không gian Banach (LV thạc sĩ)

1 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 1.1 1.2 Không gian Banach Ánh xạ J-đơn điệu 1.1.1 Không gian Banach Không gian Hilbert 1.1.2 Ánh xạ J-đơn điệu 10 1.1.3 Giới hạn Banach 16 Bất đẳng thức biến phân 17 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 17 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian Banach 19 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân J-đơn điệu 2.1 2.2 24 Phương pháp lặp Mann Phương pháp lai đường dốc 24 2.1.1 Phương pháp lặp Mann 24 2.1.2 Phương pháp lai đường dốc 25 Phương pháp đường dốc - kiểu Mann 25 2.2.1 25 Mô tả phương pháp 2.2.2 Sự hội tụ Kết luận Tài liệu tham khảo 26 37 38 BẢNG KÝ HIỆU X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A Fix(T ) tập điểm bất động toán tử T H không gian Hilbert C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC phép chiếu mêtric H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x MỞ ĐẦU ∗ Cho X không gian Banach thực J : X → 2X ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X, X ∗ ký hiệu không gian liên hợp X Cho {xn } dãy phần tử X Ký hiệu xn → x (tương ứng xn x) hội tụ mạnh (tương ứng hội tụ yếu) dãy {xn } tới x ∈ X Cho F : X → X ánh xạ phi tuyến Ký hiệu C = Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn T : X → X, nghĩa Fix(T ) = {x ∈ X : T x = x} Trong đề tài xét toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị sau: Tìm u∗ ∈ C cho : F (u∗ ), J(u∗ − v) ≤ 0, ∀v ∈ C (0.1) Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi phân, điều khiển tối ưu, quy hoạch toán học, học, tài chính, Mục đích luận văn nhằm trình bày phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn (0.1) với toán tử J-đơn điệu báo L.-C Ceng cộng [6] công bố năm 2008 Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân không gian Banach" nhằm trình bày số khái niệm tính chất không gian Banach, ánh xạ không giãn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; Bài toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu gradient giải bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1]-[9] Chương với tiêu đề "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân J-đơn điệu" nhằm giới thiệu phương pháp lặp Mann, phương pháp lai đường dốc nhất, phương pháp đường dốc - kiểu Mann giải bất đẳng thức biến phân J-đơn điệu Nội dung chương viết sở báo [6] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình cô giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư công tác Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Tác giả Vương Minh Hải Chương Bất đẳng thức biến phân không gian Banach Chương trình bày số khái niệm tính chất không gian Banach, không gian Hilbert, ánh xạ không giãn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ giả co, nguyên lý ánh xạ co Banach Đồng thời giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert không gian Banach Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1]-[9] 1.1 1.1.1 Không gian Banach Ánh xạ J-đơn điệu Không gian Banach Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp X Ánh xạ d : X × X → R gọi mêtric thỏa mãn điều kiện sau: (i) d(x, y) ≥ ∀x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X; (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X Tập X với mêtric d xác định gọi không gian mêtric kí hiệu (X,d ) Định nghĩa 1.2 Không gian mêtric (X,d ) gọi không gian đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Định nghĩa 1.3 Cho không gian tuyến tính X trường số thực, ánh xạ ||.|| : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau: (i) ||x|| ≥ ∀x ∈ X; ||x|| = ⇔ x = 0; (ii) ||kx|| = |k|.||x|| ∀x ∈ X, ∀k ∈ R; (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀x, y ∈ X Không gian tuyến tính X với chuẩn ||.|| xác định gọi không gian định chuẩn ký hiệu (X, ||.||) Nhận xét 1.1 Cho không gian định chuẩn (X, ||.||) Với x, y ∈ X, đặt d(x, y) = ||x − y|| d mêtric X Do đó, không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn xác định Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Ví dụ 1.1 Không gian Rn với chuẩn xác định bởi: n |xi |2 ) , ||x||2 = ( i=1 x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn không gian C[a,b] hàm liên tục đoạn [a, b] với chuẩn xác định bởi: ||f || = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]} , f ∈ C[a,b] không gian Banach Định nghĩa 1.5 Cho không gian tuyến tính H trường số thực R, ánh xạ , : H × H → R gọi tích vô hướng H thỏa mãn điều kiện sau: (i) x, x ≥ ∀x ∈ H; x, x = ⇔ x = 0; ∀x, y ∈ H; (ii) x, y = y, x (iii) kx, y = k x, y ∀x, y ∈ H, ∀k ∈ R; (iii) x + y, z = x, z + y, z ∀x, y, z ∈ H Không gian tuyến tính H với tích vô hướng , nói gọi không gian tiền Hilbert Nhận xét 1.2 Không gian tiền Hilbert H không gian định chuẩn với chuẩn ||x|| = x, x với x ∈ H Định nghĩa 1.6 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Ví dụ 1.2 Không gian Rn với tích vô hướng: n x, y = x i yi , x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn i=1 không gian L2[a,b] với tích vô hướng: b x, y = x(t)y(t)dt, a x, y ∈ L2[a,b] không gian Hilbert Định nghĩa 1.7 Toán tử A : X → X ∗ gọi (i) đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (ii) η-đơn điệu mạnh tồn η > cho A(x) − A(y), x − y ≥ η x − y , ∀x, y ∈ D(A); (iii) L-liên tục Lipschitz tồn số L > cho A(x) − A(y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ D(A) Nếu ≤ L < toán tử A gọi toán tử co Nếu L = toán tử A gọi toán tử không giãn Định nghĩa 1.8 Không gian Banach X gọi (i) không gian trơn (hay có chuẩn khả vi Gâteaux ) tồn giới hạn ||x + ty|| − ||x|| t→0 t lim với x, y ∈ SX ; (ii) không gian trơn (hay có chuẩn khả vi Gâteaux đều) giới hạn đạt với x ∈ SX Ở đây, ký hiệu SX = {x ∈ X : ||x|| = 1} mặt cầu đơn vị X Định nghĩa 1.9 Không gian Banach X gọi thỏa mãn điều kiện Opial với dãy {xn } X, xn lim sup xn − x < lim sup xn − y , n→∞ n→∞ x (n → ∞) ta có ∀y ∈ X, với x = y 10 1.1.2 Ánh xạ J -đơn điệu Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian liên hợp X Ký hiệu D(A) R(A) tương ứng miền xác định miền giá trị toán tử A : X → Y ∗ Định nghĩa 1.10 Ánh xạ J : X → 2X gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x x∗ , x∗ = x }, x ∈ X Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn không gian Banach nói chung ánh xạ đa trị Nếu X không gian Hilbert H ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc toán tử đơn vị I không gian Hilbert H Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có số tính chất sau Mệnh đề 1.1 Giả sử X không gian Banach Khi đó, (i) J(x) tập lồi, J(λx) = λJ(x), với λ > 0; (ii) J ánh xạ đơn trị X ∗ không gian lồi chặt Nếu X không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị Nếu X không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục tập bị chặn X Định nghĩa 1.11 Cho X không gian Banach Toán tử A : X → X gọi là: (i) J-đơn điệu với x, y ∈ D(A) tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0; 24 Chương Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân J-đơn điệu Chương trình bày phương pháp lặp Mann, phương pháp lai đường dốc nhất, phương pháp đường dốc - kiểu Mann giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach X với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có tính liên tục yếu theo dãy Kết chương viết từ báo [6] số tài liệu trích dẫn 2.1 Phương pháp lặp Mann Phương pháp lai đường dốc 2.1.1 Phương pháp lặp Mann Cho T toán tử liên tục từ tập lồi đóng C H vào Khi dãy {xn } C xác định bởi:   x0 ∈ C,  x n+1 = (1 − αn )xn + αn T xn , n ≥ 0, (2.1) 25 đó, {αn } dãy số thực thỏa mãn điều kiện (C1 ) α0 = 1; (C2 ) < αn < 1, n ≥ 1; ∞ αn = ∞ (C3 ) n=0 hội tụ tới điểm bất động T , người ta gọi (2.1) dãy lặp Mann 2.1.2 Phương pháp lai đường dốc Cho F : H → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz, η-đơn điệu mạnh; T : H → H ánh xạ không giãn với Fix(T ) = ∅ Khi dãy {xn } H xác định bởi:   x0 ∈ H,  x n+1 = T xn − τn+1 µF (T xn ), (2.2) n = 0, 1, 2, đây, µ ∈ (0, 2η/L2 ) τn ∈ (0, 1] thỏa mãn điều kiện (L1 ), (L2 ) (L3 ), hội tụ tới nghiệm toán (1.6) Dãy lặp (2.2) dãy lặp phương pháp lai đường dốc 2.2 2.2.1 Phương pháp đường dốc - kiểu Mann Mô tả phương pháp Cho X không gian Banach phản xạ thực với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có tính chất liên tục yếu theo dãy Trong mục này, không làm tính tổng quát, ta ký hiệu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị 26 J Giả sử T : X → X ánh xạ không giãn C = Fix(T ) = ∅ Cho F : X → X ánh xạ δ-J-đơn điệu mạnh λ-giả co chặt với δ + λ > Ta xét toán bất đẳng thức biến phân VI∗ (F, C) đề cập (1.8) Thuật toán đường dốc - kiểu Mann tìm nghiệm xấp xỉ (1.8) mô tả thuật toán sau: Thuật toán 2.1 Giả sử λn , µn ∈ (0, 1) với n ≥ Với xấp xỉ ban đầu x0 ∈ X tùy ý, dãy xn xác định bởi:   yn = λn xn + (1 − λn )T xn ,  x n+1 = yn − λn µn F (xn ), (2.3) ∀n ≥ Phương pháp đường dốc - kiểu Mann dựa sở phương pháp lặp Mann phương pháp lai đường dốc Thật vậy, Thuật toán 2.1, bước lặp yn = λn xn + (1 − λn )T xn lấy từ phương pháp lặp Mann bước lặp xn+1 = yn − λn µn F (xn ) lấy từ phương pháp lai đường dốc 2.2.2 Sự hội tụ Cho X không gian Banach thực trơn T : X → X ánh xạ không giãn Giả sử F : X → X ánh xạ δ-J-đơn điệu mạnh λ-giả co chặt với δ + λ > Với t ∈ (0, 1) ta chọn số µt ∈ (0, 1) tùy ý xét ánh xạ Γt : X → X xác định (1.3) Ta có Γt : X → X ánh xạ co, nên tồn điểm bất động xt Γt X, nghĩa xt = txt + (1 − t)T xt − tµt F (xt ) (xem (1.4)) 27 Bây ta chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp xác định (1.4) nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.8) không gian Banach phản xạ với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có tính liên tục yếu theo dãy Mệnh đề 2.1 Cho X không gian Banach phản xạ thực với ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ liên tục yếu theo dãy Giả sử T : X → X ánh xạ không giãn C = Fix(T ) = ∅ Giả sử F : X → X δ-J-đơn điệu mạnh λ-giả co chặt với δ + λ > Với t ∈ (0, 1) chọn số µt ∈ (0, 1) tùy ý dãy {xt } xác định (1.4) Khi t ∈ 0+ xt hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ (1.8) Chứng minh Cho u ∈ C = Fix(T ) Từ Bổ đề 1.4(ii), {xt : t ∈ (0, 1)} bị chặn tập {T xt : t ∈ (0, 1)} {F (xt ) : t ∈ (0, 1)} bị chặn Vì xt = txt + (1 − t)T xt − tµt F (xt ) nên ta có xt − T xt = txt + (1 − t)T xt − tµt F (xt ) − T xt = t(xt − T xt ) − tµt F (xt ) ≤ t xt − T xt + tµt F (xt ) ≤ t xt − T xt + t F (xt ) → 0, t → 0+ Suy lim xt − T xt = t→0+ Chú ý tập {xt : t ∈ (0, 1)} bị chặn X phản xạ nên tồn dãy {xtn } ⊂ {xt } hội tụ yếu {tn } dãy (0, 1) hội tụ tới n → ∞ Bây ta giả sử xn := xtn xn u∗ Sử dụng Bổ đề 1.3 ta có u∗ = T u∗ Trong (1.5) lấy u = u∗ 28 ta xn − u∗ ≤ −δ −1 F (u∗ ), J(xn − u∗ ) Vì J liên tục yếu theo dãy nên xn → u∗ n → ∞, tức là, xtn → u∗ n → ∞ Tiếp theo ta {xt } hội tụ mạnh tới u∗ Thật vậy, tập {xt } {F (xt )} bị chặn ánh xạ đối ngẫu J đơn trị liên tục yếu theo dãy nên, F (xsk ) − F (v ∗ ) → sk → 0, | F (xsk ), J(xsk − u) − F (v ∗ ), J(v ∗ − u) | = | F (xsk ) − F (v ∗ ), J(xsk − u) + F (v ∗ ), J(xsk − u) − J(v ∗ − u) | ≤ F (xsk ) − F (v ∗ ) xsk − u + | F (v ∗ ), J(xsk − u) − J(v ∗ − u) | → sk → Vì vậy, từ Bổ đề 1.4(i), với u ∈ C = Fix(T ) ta có F (v ∗ ), J(v ∗ − u) = lim F (xsk ), J(xsk − u) ≤ sk →0 (2.4) Tương tự ta có F (u∗ ), J(u∗ − u) = lim F (xtn ), J(xtn − u) ≤ tn →0 Chọn u = u∗ (2.4) u = v ∗ (2.5) ta có F (v ∗ ), J(v ∗ − u∗ ) ≤ 0, (2.5) 29 F (u∗ ), J(u∗ − v ∗ ) ≤ Cộng hai bất đẳng thức cuối sử dụng tính δ-J-đơn điệu mạnh F , ta nhận δ u∗ − v ∗ ≤ F (u∗ ) − F (v ∗ ), J(u∗ − v ∗ ) ≤ Suy v ∗ = u∗ u∗ nghiệm VI∗ (F, C) Để chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp (2.3) ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1 Cho {sn } dãy số thực không âm thỏa mãn sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn βn + γn , ∀n ≥ 0, {αn }, {βn } {γn } thỏa mãn điều kiện: ∞ ∞ (i) {αn } ⊂ [0, 1], αn = ∞ tương đương n=0 (1 − αn ) = 0; n=0 (ii) lim sup βn ≤ 0; n→∞ ∞ (iii) γn ≥ (n ≥ 0), γn < ∞ n=0 Khi lim sn = n→∞ Bây ta chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp xác định Thuật toán 2.1 tới nghiệm (1.8) Định lý 2.1 Cho X không gian Banach phản xạ thực với ánh ∗ xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → 2X liên tục yếu theo dãy Giả sử T : X → X ánh xạ không giãn với C = Fix(T ) = ∅ Giả sử F : X → X δ-J-đơn điệu mạnh λ giả co chặt với δ + λ > Cho 30 {xn } xác định (2.3) {λn } {µn } hai dãy (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: λn (i) lim = n→∞ µn ∞ λn µn = ∞; n=0 ∞ |λn+1 − λn | < ∞; (ii) n=0 ∞ µn = n→∞ µn+1 |µn+1 − µn | < ∞ lim (iii) n=0 Khi {xn } hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ (1.8) Chứng minh Trước tiên ta lim λn = Thật vậy, {µn } n→∞ dãy (0, 1) nên ta có λn = µ n λn λn ≤ µn µn → n → ∞, tức là, lim λn = n→∞ Tiếp theo, ta chứng minh {xn } bị chặn Thật vậy, lấy u ∈ C = Fix(T ) Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.2(iii) ta có xn+1 − u = yn − λn µn F (xn ) − u = λn xn + (1 − λn )T xn − λn µn F (xn ) − u = λn [(I − µn F )xn − u] + (1 − λn )(T xn − u) ≤ (1 − λn ) T xn − u + λn (I − µn F )xn − u ≤ (1 − λn ) xn − u + λn [ (I − µn F )xn − (I − µn F )u + (I − µn F )u − u ] 31 1−δ λ ≤ (1 − λn ) xn − u + λn − µn − xn − u + λn µn F (u) = − λn µn − = 1−δ λ − λn µn − + λn µn − ≤ max xn − u + λn µn F (u) 1−δ λ xn − u 1−δ λ xn − u , − 1− 1−δ λ 1−δ λ −1 F (u) −1 F (u) Bằng quy nạp suy xn − u ≤ max x0 − u , − 1−δ λ −1 F (u) ) , ∀n ≥ Do {xn } bị chặn {T xn } {F (xn )} bị chặn Bây giờ, ta xn+1 − xn → n → ∞ (2.6) Thật vậy, ta có (với số M > 0) xn+1 − xn = λn xn + (1 − λn )T xn − λn µn F (xn ) − (λn−1 xn−1 + (1 − λn−1 )T xn−1 − λn−1 µn−1 F (xn−1 )) = λn (I − µn F )xn + (1 − λn )T xn − (λn−1 (I − µn−1 F )xn−1 + (1 − λn−1 )T xn−1 ) ≤ (1 − λn )(T xn − T xn−1 ) 32 + (λn − λn−1 )[(I − µn−1 F )xn−1 − T xn−1 ] + λn (I − µn F )xn − (I − µn−1 F )xn−1 ≤ (1 − λn ) T xn − T xn−1 + |λn − λn−1 | (I − µn−1 F )xn−1 − T xn−1 + λn [ (I − µn F )xn − (I − µn F )xn−1 + (µn−1 − µn )F (xn−1 ) ] ≤ (1 − λn ) xn − xn−1 + |λn − λn−1 |M + λn 1−δ λ − µn − xn − xn−1 + |µn−1 − µn |M = − λn µn − 1−δ λ xn − xn−1 + λn |µn−1 − µn |M + |λn − λn−1 |M Đặt αn = λn µn − βn = 1− 1−δ , λ 1−δ λ −1 µn−1 −1 , µn γn = |λn − λn−1 |M Khi ta suy xn+1 − xn ≤ (1 − αn ) xn − xn−1 + αn βn + γn (2.7) Ta thấy từ điều kiện (i)-(iii), hai điều kiện (a) (b) 33 sau thỏa mãn: ∞ ∞ αn = ∞, lim βn = 0, (a) n→∞ n=0 ∞ n=0 ∞ αn = ∞, (b) < ∞; n=0 ∞ αn βn < ∞, n=0 γn < ∞ n=0 Do đó, áp dụng Bổ đề 2.1 vào (2.7) ta suy xn+1 − xn → n → ∞ Bây ta xn − T xn → n → ∞ (2.8) Thật vậy, ta thấy xn+1 − T xn = λn xn + (1 − λn )T xn − λn µn F (xn ) − T xn ≤ λn xn − T xn + λn F (xn ) Do đó, từ (2.6) ta suy xn − T xn ≤ xn − xn+1 + xn+1 − T xn ≤ xn − xn+1 + λn xn − T xn + λn F (xn ) → 0, n → ∞ Đặt u∗ = lim+ xt , {xt } xác định (1.4) Theo Mệnh t→0 ∗ đề 2.1, u nghiệm VI∗ (F, C), tức F (u∗ ), J(u∗ − v) ≤ 0, ∀v ∈ C (2.9) Tiếp theo ta lim sup F (u∗ ), J(u∗ − xn ) ≤ n→∞ Thật vậy, ta chọn dãy {xnk } {xn } cho lim sup F (u∗ ), J(u∗ − xn ) = lim F (u∗ ), J(u∗ − xnk ) n→∞ k→∞ (2.10) 34 Vì X phản xạ {xn } bị chặn nên ta giả sử xnk w Từ điều kiện Bổ đề 1.3 xn − T xn → (n → ∞) suy w ∈ C = Fix(T ) Do ánh xạ đối ngẫu J liên tục yếu theo dãy nên từ (2.9) ta có lim sup F (u∗ ), J(u∗ − xn ) = F (u∗ ), J(u∗ − w) ≤ n→∞ Cuối cùng, xn → u∗ n → ∞ Thật vậy, ta có xn+1 −(λn xn +(1−λn )u∗ −λn µn F (xn )) = xn+1 −u∗ −λn ((I−µn F )xn −u∗ ) Sử dụng Bổ đề 1.1 Mệnh đề 1.2(iii) ta có xn+1 − u∗ = xn+1 − (λn xn + (1 − λn )u∗ − λn µn F (xn )) + λn ((I − µn F )xn − u∗ ) ≤ xn+1 − (λn xn + (1 − λn )u∗ − λn µn F (xn )) + 2λn (I − µn F )xn − u∗ , J(xn+1 − u∗ ) = (1 − λn )2 T xn − u∗ + 2λn (I − µn F )xn − (I − µn F )u∗ , J(xn+1 − u∗ ) + 2λn (I − µn F )u∗ − u∗ , J(xn+1 − u∗ ) ≤ (1 − λn )2 xn − u∗ + 2λn (I − µn F )xn − (I − µn F )u∗ + 2λn µn F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) xn+1 − u∗ 35 ≤ (1 − λn )2 xn − u∗ 1−δ λ + 2λn − µn − xn − u∗ xn+1 − u∗ + 2λn µn F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) ≤ (1 − λn )2 xn − u∗ − µn − + λn 1−δ λ xn − u∗ + xn+1 − u∗ + 2λn µn F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) 1−δ λ ≤ (1 − λn )2 xn − u∗ + λn − µn − + λn xn+1 − u∗ + 2λn µn F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) xn − u∗ Vì vậy, ta có λn − µn − xn+1 − u∗ ≤ − λn + − λn 1−δ λ xn − u∗ 2λn µn F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) − λn λn µn 1−δ λ2n 1− 1− + xn − u∗ − λn λ − λn 2λn µn F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) + − λn λn µn 1−δ λn µn 1− 1− xn − u∗ + 1− − λn λ − λn + = = × 1− 1−δ λ −1 λn xn − u∗ µn 1−δ λ + F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) 36 Đặt αn = βn = 1−δ , λ λn µn 1− − λn 1− 1−δ λ −1 λn xn − u∗ µn + F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) , γn = Suy xn+1 − u∗ ≤ (1 − αn ) xn − u∗ ∞ ∞ n=0 ∞ + αn βn + γn λn µn = ∞ nên Vì lim λn = n→∞ n=0 (2.11) λn µn = ∞ − λn αn = ∞ n=0 Chú ý lim λn /µn = lim sup F (u∗ ), J(u∗ − xn+1 ) ≤ n→∞ n→∞ (2.10) Do đó, từ tính bị chặn {xn − u∗ } ta có lim sup βn ≤ Áp n→∞ ∗ dụng Bổ đề 2.1 cho (2.11) suy lim xn − u n→∞ = 37 Kết luận Đề tài trình bày toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert không gian Banach tập điểm bất động ánh xạ không giãn Trình bày phương pháp đường dốc - kiểu Mann giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach báo [6] Phương pháp mở rộng cho việc giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động họ ánh xạ không giãn không gian Banach (xem [5]) Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc Gia, Hà Nội Tiếng Anh [2] Y.I Alber (1996), "Metric and generalized projection operation in Banach spaces: Properties and applications", Theory and Application of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type (A G Kartsators, ed.) Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 178, Marcel Dekker, New York, pp 15–50 [3] K Aoyama, H Iiduka, and W Takahashi (2006), "Weak convergance of an iterative sequence forr accretive operation in Banach spaces", Fixed Point Theory Appl., 2006, Art no 35390 [4] K Aoyama, H Iiduka, and W Takahashi (2006), "Strong convergance of Halpern’s sequence for accretive operation in a Banach spaces", PanAmer Math J., 16, pp 97–104 [5] Ng Buong, Ng.T.H Phuong and Ng.T.T Thuy (2014), "Explicit iteration methods for a class of variational inequalities in Banach ... gradient giải bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1]-[9] Chương với tiêu đề "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân J- đơn điệu" nhằm giới thiệu phương pháp lặp Mann,... bất đẳng thức biến phân J- đơn điệu Chương trình bày phương pháp lặp Mann, phương pháp lai đường dốc nhất, phương pháp đường dốc - kiểu Mann giải bất đẳng thức biến phân không gian Banach X với... co Banach Đồng thời giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert không gian Banach Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1]-[9] 1.1 1.1.1 Không gian Banach Ánh xạ J- đơn điệu Không