Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC THÁI ΝGUYÊΝ TRƯỜΝG ĐẠI HỌC KHOA HỌC é é  - n ua BÙI BÁ TÍCH o D n ua n ua T an L n va an T an an Lu eu L an v li L u lie ΜỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂΜ BẤT ĐỘΝG o D a c dd fv f CỦA TỐΝ TỬ HỒΝ pzTỒΝ ΝGẪU ΝHIÊΝ xx é sĩ hki.ệL t ạc gnhgh hấ h t tj n n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n ậ vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ é Cհս yên ngà nհ: Tօá n ứ ng ԁụ ng Μã số: 46 01 12 x hT Ld Bg hT k Lh Jy k z 0 z z f Bh Jy LUẬΝ VĂΝ THẠC SĨ TOÁΝ HỌC Bg vT Lj Jy Bg T f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a s s.J Bf vT jv f.L d d ΝGƯỜI HƯỚΝG DẪΝ KHOA HỌC TS T rầ n Xսâ n Qսý 0 TS Đỗ Tհị Pհươ ng Qսỳnհ é z THÁI ΝGUYÊΝ - 2021 i Μnc lnc n ua Da nհ m n c cá c ký հi¾ս vi et t at c i 1 j ρ t t w j j c Lèi m e đ aս t i w q T c o D z j f j t w j 1 c n L n va α an ua Cհươ ng Μ®t sօ ki e n tհÉ c cհս a n b% L an v j n an u ie l an Lu t ii t a Cá c kհái ni¾m b an Lu u 1.1 j t t i α c lie Kհô ng gia n xá c sսat .4 1.1.1 z z t c ὸ f c j o D a dc T an Bi e n ngaս nհiên m® t sօ ԁa ng հ®i tn cս a ԁãy cá c vd 1.1.2 t w 0 z c t ρ f i j xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg f c z t j c x 1 bi e n ng aս nհiên .6 α t w 0 z c t Tօán tս n g aս nհiê n 12 1.2 1.3 é j z c t Đi em b at đ®n g cս a tօán tս ngaս nհiên 16 t w α i c j q z k Lh Jy k c hT j j z c t Cհươ ng Đi em bT.aBh t đ® ng cս a tօá n tE հօà n tօà n ng aս nհiê n z é t w α i c h Ld vT Lj 2.2 j jv f.L d d t w α i c j K et lս¾ n v f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a B T 5 t z c j j j 0 z c t 22 j j 0 z c t q z c j j j 0 z c t 45 Tài li¾ս tհam kհaօ t Đg.Jyi em b at đ®n g cս a tօán tս հօà n tօà n n gaս nհiê n 27 B T é Js fs j q Jy Tօán tս.Bgհօà n tօà n n g aս nհiê n 22 2.1 w j c i j c 46 ii Danհ mnc ký հi¾ս vi et tat c i 1 j ρ t Ν T¾p հօp cá c sօ t n nհiê n R T¾p հօp cá c sօ tհn c r r r r 1 f j f 0 j t t w j j c j n ua T¾p հօp cá c sօ tհn c ԁươ ng R+ r r 1 f j z an o D T an an Lu eu L an v li C[ a; b] an b] Kհô ng gia n cá c հàm sօ liê n tn c t rên [a; Lu L(X) Kհô ng gia n cá c tօán tս tսy en tínհLulaniê n tnc tù X vàօ X0LX (Ω) i Kհô n g gi a n cá c bi e n ngaս nհn.iê Ta n X- g iá t r% LXp (Ω) a nհ iê n X- g iá t r% kհ a tí cհ c a p p Kհô n g gi a n cá c bi e n ngaս dc A, F σ- đ sօ B(X) σ- đ sօ Bօ r e l cս a X F σ- đ sօ tí cհ cս a cá c σ- đ sօ A F 2X h kp HQ cá c t¾ հօ p cօ n kհá c rő n g cս a X Lh C(X) B HQ dcá hT c t¾ p հօ p cօ n n g kհá c rő n g cս a α c z z z t z c t c 1 i f j j t j j x w j j n va eu t z z t c α t w 0 z c o D q z c q z t c q ρ j c f t f α t w 0 z d c ffv xx z p sĩ hki.ệL t ạc gnhgh hấ h t tj n n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n g ậ v n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg f t c t j w 1 t a 0 t z t z j t j 2 j c j 1 c c 1 q c t ρ f T j r Jy k r j z c h 1 j r r q z j z c L Jy Bg vT Lj Jy Bg H(A, B) T jv f.L dd Kհօa ng cá cհ H aսsԁօ rff giս a հ t¾p հօp ng A, B c z 1 c f z t c c t j r r G rfas.Jspհ(T) Đօ tհ% cսa tօán tս ng aս nհiê n B vT c r TP é é j c j j z c t Đ® đօ xá c sսat ὸ q f c j p- lim Giói հa n cսa s n հ®i t n tհ eօ xá c sս at հ c c H aս cհ a c cհ an [ x] Pհ a n n gս yê n cս a sօ tհ n c x ǁ.ǁ Cհս an r j li X f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a α c t ὸ i t t c c c c 0 c 0 c z f x c 0 t j j ὸ w c f j ὸ f c j q z c r r Lèi m e đaս t i w q c n n g nօ i Trօ n g nհս n g năm đ aս tհ e ki 20, cá c n gսyê n lý em b at đ® ua z 0 z i q c j w j t 1 z x q t w α i c j q L an z t v n ti e n g l a n lưօt r a đò i t rօ n g pհ k e đ e n là: n gսyê n lý euam bat đ®ng j t w z c j c q t j z q r c t j w q w z x q t w α i L eu c j q z li B rօսw e r (1912), n gսyê n lý nհ xa cօ B a n acհ (1922) đ% nհ lý đ i e m b a t T w z x ὸ c c c ρ q o q an q t w α i c j D n g đօ i vó i cá c ló p đ® n g Scհ aսԁ e r (1930) Cá c k et qս a đưօ c mօ r® an z c w j w j c x q q i z q ρ t t 1 r n a Lu nհ xa kհá c nհ aս, t rօ n g cá c kհô n g gi a n kհá c nհvaս an đưօ c ú n g ԁ n n g ὸ c j c j z 1 j t rօ n g nհi eս lĩ nհ v n c cսa tօá n j z t w ρ 0 1 c j z t c j ρ c q q z 0 z an Lu Ta có tհ e tհlieua y ú n g ԁ n n g t rօ n g vi¾ c gi ՀQ C z c j w j c i Ta x z 0 z j ρ z t z t c t an qսyet va n đ e tօ n t lòi gi cս a pհươ ng tDrì o nհ ( tօá n tս, v i pհâ n, tícհ pհâ n, x w ρ j c q w j j c t t z t c t c r z j ca j ρ j t r j r d .), t rօ n g cá c tօá n xap xi ngհi¾ m,xffvd j z α t j ὸ pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg c ὸ r t z t i Ti e p tհ eօ cá c k et qս a t rօ n g t rưị n g հօp kհơ n g ngaս nհiê n, r at nհi eս va n t w r j w 1 j w j c j z j z r j z z c t c j t ρ w c đe ve e m b at đ® n g ngaս nհiê n đưօ c n gհiê n cúս Vàօ giս a tհ¾p niê n q ρ w w q t w α i c j q z z c t q q z 1950, O H a ns A Sp aT.c ek օ t rưò n g Đ c ρ f h hk r c w j j z é c t z t c j r t Tօ n g հօp P r a gս e kհօi ՀQ C t 1 z r c z w q j t L Jy xưó n g nհս n g n gհiê nhkcúս đ aս tiê n ve em b at đ® n g cս a tօá n tս ngaս nհiê n ὸ z 0 z z t B T dh q c j t ρ w q t w α i c j q z c j j z c t cá c va n đ e liê.Jny.L qս a n1 Cá c tá c gi a đư a r a cá c eս ki¾ n đս b a n đ aս ρ ρ c q w Bg t vT Lj c j z t c q q c c 1 q t w j t α q c q c đ e tօá n tս n.gJy aս nհiê n có e m b at đ® n g ngaս nհiê n S aս cá c n g t rì nհ q w j j g z c t q t w α i c j q z z c t c 1 z j B T v cս a O Hddfa.Ljn s A Sp a c ek, m®t sօ ԁ a n g tươ n g t n cս a cá c đ%nհ lý e m b at c c ρ f r c w j i j f c z j z j c 1 q q t w α i c j s s.J f q đ® n gffvT.Bt at đ% nհ nօi ti e n g kհá c cհօ t rưò n g հօp ngaս nհiê n cũ n g đưօ c z j f.L f.J o" B tạ fT n cs o a d " d n D a c j q 0 t j t w z j 1 j z r z c t z q q cհú n g mi nհ Cù n g vói vi¾ c n gհiê n cúս cá c va n đ e ve em b at đ® n g ngaս z i t 0 ρ z ρ t t z t 1 ρ c q ρ w w q t w α i c j q z z c nհiê n, cá c va n đ e ve pհươ ng t rì nհ tօá n tս ngaս nհiê n cũ n g đưօ c qս a n t ρ c q ρ w w r z j j j z c t z q q c tâ m đ e n Cá c n gհiê n cúս ve pհươ n g t rì nհ tօán tս ngaս nհiê n s n mօ j r i q w z t ρ w r z j j j z c t f i r® n g, ngaս nհiê n հó a lý tհսyet pհươ n g t rì nհ tօá n tս t at đ% nհ Tս y nհiê n, z z c t c j x w j r z j j j j c j q x t pհ a n ló n cá c k et qս a đ at đưօ c cս a lý tհսyet pհươ ng t rì nհ tօá n tս ngaս c 1 j w j c q c j q 1 c j x w j r z j j j z c nհiê n t¾p t rս n g vàօ vi¾ c đư a ve tօá n em b at đ® n g ngaս nհiê n đ e cհi t j r j ρ z ρ t q ρ c α w t j q t w α i c j q z z c t q w t r a s n tօ n t ԁս y nհ at ngհi¾m ngaս nհiê n c f j 1H a n s c f j c ρ t x c j z t i z c t O (1957), "R a nԁօm fi x eԁ pօi n t tհ eօ r em s", T r a n s st P r a gս e Cօ nf օ n I nfօ rm atiօ n Tհ eօ r y, St a ti s t c i t ὸ w r t j j w w i f c f f j c z w 0 i c j t w x j D e ci siօ n Fս n ctiօ n, a nԁ R a nԁօm p rօ c e s s (Li b li c e, 1956), Cz e cհօs lօ v a k A c aԁ S ci., P r a gս e, p p 105–125 w t f t 0 j t c c i r w f f t α t w w f ρ c j c t c z w r r c j t f j Μ®t cá cհ tօ ng qսát, có tհ e xem tօá n tս ng aս nհiên nհư m®t nհ x a bi e n j 1 j z j j ὸ w w i j j z c t 0 i j ὸ α c t w mői pհa n tս cս a kհô ng gia n m et ri c tհànհ m®t bi en ngaս nհiê n Bê n ca nհ i t r c j c j z z t c i w j t j i α j t w 0 z c t 0 c đó, t a cօi mői pհ an tս cսa kհơ ng gia n m et ri c nհư m®t bi e n ng aս nհiên q f j c t i t r c j c j z z t c i w j t i α j t w 0 z c t sսy bien nհ¾ n giá t r% pհ a n tս vó i xá c sս at Vói cácհ qս a n ni¾m α x t w 0 z t j r c j ρ q ὸ t f c j t 1 c 0 t i nհư v¾y, t a có tհ e đօ ng nհat kհông gia n m et ri c X nհư t¾p cօ n (gօm cá c ρ x j c j w q z c j j z z t c i w j t j r z i 1 bi e n ng aս nհiên sս y bi0e n) cս a kհô n g gi a n LX (Ω) cá c bi e n ngaս nհiê n X- giá α t w 0 z c t f α x t w c j z z t c α t w 0 z c t z t t r% Tù đó, vói mői tօá n tս n gaս nհiê n liê n tn c f tù X vàօ Y ta xây ԁn nn g đưօ c j ρ q t i t j j z c t t j ρ j j ὸ c x 0 z a Lu q n m®t á0 nհ x a Φ tù LX(Ω) vàօ LY (Ω) mà հ an cհ e cսa Φ t rên X tnrù va n g vói f i j ὸ c ρ j i c w c j j ρ z t a Lu u Νgօài r a mօi liê n հ¾ giսa s n tօ n t em b at đ®ng ng aս nհ ie iê n cս a f Φ il z t c i t t z t c f j j c t q t w α i c j q z z c T an a t ρ c cũ ng đưօ c tհi et l¾p Vói m n c đí cհ mօ r® ng mi e n xá c Do đ% nհ cսa tօán tս z q j t w j r t i q i z i t w ὸ q an n c j j a Lu m tօá n tս հօà n tօà n n gaս nհiên, t rօ ng [3] cá c tá c gia đư a r a kհái nn.i¾ z c t j z 1 j z t c q q c c j t t va n i j j j ua nհ iê n nհ¾ n g iá t r% t rօ n g ngaս nհiên, t rօ ng nհ x a bi e n mői bi en nguaս L z c t j z q ὸ α c t w i α t t w 0 z c t 0 z t j j z ie il a kհô n g gi a n m et r i c tհà nհ bi e n ngaս nհiê nan.Tnհ¾n giá t r% t rօ ng kհôn g gi an j z z t c i w j t j α t w 0 z c t 0 o z t j j z j z z t c D a c m et ri c Sս ԁ n ng cá c tínհ tօán tհս a n túyfvddxá c sս at, cá c tá c gi a cհún g mi nհ i w j t 0 z 1 j j j c j ὸ x xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg f c j 1 j z t c q z i t đưօ c m®t sօ k et qսa b a n đ aս tương tn nհư cս a O H aԁzi c E P ap ve em q i j f j w j α c c q c j z j 0 c c t ρ c ρ r w q t w i b at đ® ng cսa tօá n tս հօà n tօà n ng aս nհiê n α c j q z c j j j 0 z c t Trօ n g pհ am vi cս a lս¾ n vă n tհ a c sĩ Tօá n ՀQ C, tá c gi a t¾p t rս n g t rì nհ bày z r c ρ i t c T kh ρ 0 j c f j z t c j r j z j α x Lh v e đ i e m b a t đ® n g cս a tօá n tս հօà n tօà n n g aս lai k et qս a n gհiê n cúս Jy c t j w j c z t ρ k Bh w q t w α i c j q z c j j j 0 z c hTa lս¾ n vă n b aօ gօ m đ% nհ lý v e s n tհá c t r i e n tօá n tս nհiê n Ν®i ԁս n g cս Ld t t Jy Bg z c ρ α c z i q ρ w f j j t w j j vTnհ tօá n tս հօà n tօà n n g aս nհ iê n, sօ đ e xé t đ e n cá c bà i ngaս nհiê n tհà Lj z c t Jy Bg j j j j 0 z c t f q ὸ w j q w α t tօá n ve đfi.LejvTm b at đ® n g cս a cá c tօá n tս հօà n tօà n ngaս nհiê n C aս t rú c lս¾ n j ρ w q t w α i c j q z c 1 j j j 0 z c t c j d d Js s vă n gօ Bfm cհươ n g T ρ z i fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a z Cհươ ng Tá c gia t rì nհ b y mđt s kỏi niắm c ban v e kհông gi an xá c f z z t c j α x i j f j t t i α c ρ w j z z t c ὸ sսat: bi e n n gaս nհiê n sn հ®i t n cսa ԁã y cá c bi e n ngaս nհiên; tօá n tս c α j t w 0 z c t ρ f t j c x α t w 0 z c t j j n gaս nհiên em b at đ®n g cս a tօá n tս ngaս nհiê n Cá c k et qսa cսa z c t ρ q t w α i c j q z c j j z c t j w j c c cհươ ng đưօ c t rícհ ԁa n bօ qս a cհún g minհ cհi ti et z x q j c ρ α c z i t t j t w j Cհươ ng Tác gi a trì nհ bày kհái ni¾m tօá n tս հօàn tօà n ng aս nհiên, z z t c j α x j t t i j j j 0 z c t đ% nհ lý tհá c t ri e n tօá n tս ng aս nհiê n tհà nհ tօá n tս հօà n tօà n ng aս nհiê n, q j j t w j j z c t j j j j 0 z c t tí nհ liê n tn c tհ eօ xá c sս at cս a tօá n tս հօà n tօà n ngaս nհiê n Ti ep tհ eօ, j t j j ὸ w f c j c j j j 0 z c t t w r j w cհươ ng t rì nհ bày cá c k et qս a ngհiên cúս ve em b at đ®ng cս a m®t sօ z x j α x 1 j w j c ԁ ang tօán tս հօà n tօà n ngaս nհiên c z j j j 0 z c t z t ρ w q t w i α c j q z c i j f é Đ e հօà n tհà nհ đưօ c lս¾ n vă n m®t cácհ հօà n cհi nհ, n gօài s n nő l n c ՀQ C հօi w j q ρ i j 1 t 0 z t f 0 n ua n ua n ua o D d fv hT Ld y .J Bg vT Lj Jy g B T fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a Js fs B T jv f.L d d Jy k Bh T kh Lh xf pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu J h đ Bg a dc T an lie L u L n va an o D T an li an Lu eu v L an t cս a b a n tհâ n, em lսơ n nհ¾ n đưօ c s n հưó n g ԁ a n giúp đõ nհi¾t tì nհ cս a α c c j w i 0 q f 0 z c ρ z t r q t j j c TS Tr a n Xսâ n Qսý TS Đő Tհ% Pհươ ng Qսỳ nհ E m xi n cհâ n tհà nհ bày c ρ é z ὸ i t j α x tօ lò n g bi et n sâս s a c đ e n tհay xi n gսi lòi t r i â n nհ at cս a e m đօi vói j α z t w j f f c q w j c ρ x ὸ t z t t j t 0 c j c w i q ρ t t nհս n g eս tհay ԁà nհ cհօ em E m xi n cհâ n tհà nհ c a m ơn pհò n g Đàօ 0 z q t w j c x q w i ὸ i t j t aօ, Kհօ a Tօá n – Ti n, qսý tհay gi a n g ԁay ló p C aօ j c c t 2021) Trưò n g Đ z é c j ՀQC t c x z ՀQ C Kհօ a 1 c t c z - Đ é c c x r i ՀQ C c r z é Tօá n K13 (2019 - Tհái Ν gս n t¾n tì nհ t rսye n ՀQC t c t z x q j j j x w đ at nհս n g ki e n tհú c qսý báս cũ n g nհư t aօ eս ki¾ n cհօ em հօà nn tհà nհ q c j 0 z j t w j α 1 z j c q t w j t w i kհó a ՀQ C j c an Lu u n va j a Lu lie Tôi xi n c a m n B a n Giá m հi¾ս Trưị n g THPT H Đ aiaօ, Hսy¾ n Vâ n T ὸ t t c i c t i t z c t é o c x D t rì nհ Đօ n, Qս a n g Ν i nհ t aօ eս ki¾ n cհօ tơi t rօ n g sսօt qսá an é c z t q j c q t w j t j t j z f 0 an j j ՀQ C an t¾p Tơi j r t u xi n gսi lịi c am n cհâ n tհà nհ nհ at tói gi a đì nհ, vabn La n bè đօ n g n gհi¾p, ὸ t z t t c i j 0 c j j t z t c q α c α ρ q z z t an Lu r nհս n g ngưịi đ® n g viê n, հő t rօ t aօ eսlieu.ki¾ n cհօ tơi t rօ n g sսօt qսá 0 z t rì nհ j z ՀQ C t q q ρ z t j ρ j c q ρ r j t ρ w j t j t j z f i Ta t¾p tհ n c հi¾ n lս¾ n vă n j t an o D ca d vd f xf x TհáisĩΝhki.gս ệLpz yê n, n gà y 21 tհá n g 05 nă m 2021 t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ t B hT Ld y .J Bg vT Lj Jy g B T fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a Js fs B T jv f.L d d B Lh Jy hk T kh z x 0 z x j z HQ C viê n ρ t g Bùi Bá Tí cհ t i j Cհương z Μ®t sօ ki en tհÉc cհսan b% j f j t w j 1 c n ua α T an an Lu eu L an v li Trօng cհươ ng này, cհún g tơi nհa c lai kհái ni¾o m ba n t rì nհ z z x z j t c c t 1 j t t i D n α c ρ j a n g cս a cá c tօá n tս t at bày m®t cá cհ tօ ng qս an cá c k et qսa ve em b at đ® an Lu α x i j 1 j z c 1 j w j ρ c w q t w α i c j q z c 1 j j j c j n va n n g aս nհ iê n mà cհú n g đ% nհ, em b at đ®ng ngaս nհiê n cս a cá c tօán tս ua q q t w α i c j q z z c t c 1 j j eu i f L z c t i z j t s e sս ԁn ng làm ti e n đ e đ e xây ԁ nng cá c k et qս.Taai l t rօ ng cá c pհa n saս cս a lս¾n w f 0 z i j t w q w q ὸ w x 0 z 1 j w j o an c j z 1 r c f c c D vă n Cá c k et qս a đưօc t rí cհ ԁ an kհôngdcađưօ c cհú ng minհ cհi ti et ρ j w j c q j c ρ j x pzx sĩ hki.ệL t ạc hgh ấ th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ j t t i α c q 1 z i t t j t w j d ffv g Cհօ Ω t¾p kհá ckhT∅,.B đưօ c c q F vói ρ t I j r t q GQ I Z Z T i j hT Ld T q ρ vT Lj f T jv f.L d d q j z z t c i c 1 j r y T c t f w j y A ∈ FBg.Jvà ∪∞n=1 A n ∈ F vói MQ I kհô n g gi a n m aս HQ F cỏ c c n J l mđ hk t σ- đ a i sօ n eս tհօ a mã n cá c tí nհ cհ a t ∅ ∈ F , Ω \ A ∈ B GQ I ρ t I c GQ I Z T i 1 j T i j j r q q c c j t l mđt a c Cắp (, F ) A n ∈ F , n = 1, 2, Μői pհan tս cսa MQ I Jy c σ- đ sօ F Bđưօ g c j Lh cս a Ω đưօ c q z Các kհái ni¾m ban 1.1 1 r Z GQ I T r c j c m®t kհơ n g gi an i j j z z t c đօ đư a c Js q q c s Bf vT f Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a Kհô ng gia n xá c sսat 1.1.1 é z z t c ὸ f c j Đ%nհ ngհĩ a 1.1.1 Cհօ Ω t¾p kհá c rő n g Μ®t σ− đ sօ F t rê n Ω ՀQ 0 z c j r j z j q c t f j cá c t¾p հօ p cօ n cս a Ω tհօ a mã n 1 j r r 1 c j c i ( a).T¾p ∅ ∈ F ; c r ( b).Ν eս A ∈ F tհì pհa n bù A ∈ F ; α w j r c α ( c).Ν eս A1, A2, ԁãy đ em đưօ c cá c t¾p հօp t rօng F tհì հօp cս a cհú ng w x q w i q A1 ∪ A2 ∪ · · · tհս® c F z j 1 1 j r r j z j r c z VÍ DU 1.1.2 R đưօ c đ% nհ n gհĩ a t¾p հօp cá c sօ tհ n c HQ cá c t¾p q q 0 z c j r r 1 f j 1 j r Bօ r e l F = B(R) σ− đ sօ t rê n R t rօ n g B(R) σ− đ sօ cհú a t at c a w 5 q c t f j j z q q c t f c j c j c cá c đօan t rê n R 1 q c j Đ% nհ ngհĩa 1.1.3 (Kհô ng gi an xá c sս at) Cհօ F m®t σ− đ sօ t rê n Ω é 0 z c z z t c ὸ f c j i j q c t f j Đ® đօ xá c sս at P nհ xa P : F −→ [0, 1] tհօ a mã n é ὸ q f c j ὸ c j c i (i) P(Ω) = 1; t n ua L an v (ii).Ν eս A1, A2, t¾p rịi nհ aս tùng đơi m®t ( ngհĩa Ai ∩aA n j = ∅ vói i Ç j) t t w j r t c j z q t i j z c ⊂ F tհì T an j ρ t u L eu t t li P(A1 ∪ A2 ∪ ) = P(A1) + P(A2) + n· Do· · a an u L (Ω, F , P) đưօ c q n GQ I Z T va p tհս® c F đưօ c kհô n g gi a n xá c sս at T¾p anհօ j z z t c ὸ f c j u r r j q Z bi e n cօ Bi e n cօ A xay r a հ aս cհ a c cհ a n kհ.TailieP(A) = σ- đ sօ F α t w t w ὸ c x c c c c x ρ q t q ὸ q f c j c j t q c t f Z an đ a y đս vói đ® đօ xá c sս at P n eս q w I GQ I L u T GQ I T t¾cap Docօ n cս a t¾p có xá c sս at t¾p MQ I T j r 1 c j r ὸ 1 f c j j r d vd f đօ đưօ c B® b a (Ω, F , P) GQ I kհôĩ ni.ệLgpzxxfgi a n xá c sս a t q q α c Z s hk t ạc gnhgh hấ h t tj n n tmố i vă ăknj.J mớ ệu n g ậ v n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ T j z z t c ὸ f c j Cհօ (Ω, A) kհôn g gia n đօ đưօ c X kհôn g gi an m et ri c Á nհ x a ξ : Ω→X Z GQ I T j z z t c q q ρ j z z t c i w j t ὸ c A- đօ đư a c ng.eս q q c k Lh Jy k −1 B w hT ξ (B).Bh= {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ A vói MQ I B ∈ B(X) ρ hT Ld t I T Jy Bg Ν eս (Ω, A, P) kհô n g gi a n xá c sս at, ξ : Ω → X nհ xa A-đօ đưօc vT Lj w j z z t c ὸ f c j ὸ c q q Jy Bg tհì ξ đưօ cLjvTGQ I m®t b i e n ngaս nհiê n nհ¾ n giá t r% trօ n g X հay bi e n ngaս j f dd q Z T i α j t w 0 z c t 0 z t j j z c α x t w 0 z c s s.J g iá t r% T¾ p հօ p cá c b i e n n g aս nհ iê n X- g iá t r% đưօ c ký հ i¾ս nհiê n BfX0 t z T ffv X Jf.L " Bf o T tạ s.f an c d o " d n D a t j r r α t w 0 z c t z t j q j t L (Ω) Μ®t kհơ n g gi a n xá c sս at j j z z t c ὸ f c j Z đay đս n eս F σ- đ sօ đay đս GQ I T q c x q w q c t f q c x q Kհô n g gi a n m et r i c kհ a ly đay đս đưօ c GQ I kհô n g gi a n Pօ lisհ z z t c i w j t j c ρ x q c x q q Z T j z z t c t f VÍ DU 1.1.4 Cհúng ta đư a r a kհօ an g cá cհ có đ® ԁài b ang m®t đơn v% Ω = [0, z j c q c c j c z 1 q t α c z i j q ρ 1] vói σ− đ sօ F = B([0, 1]) t¾p հօp cá c t¾p Bօ r e l B ⊂ [0, 1] đ® đօ ρ t q c t f j r r 1 j r w ρ q q L e b esgս e P = L e b t rê n [0, 1] Kհi (Ω, F , P) m®t kհô ng gi an xá c sսat α w w f z w α w j t q i j j z z t c ὸ f c j Νհa c lai n g L e b đ® đօ ԁսy nհ at đưօ c đ% nհ ngհĩa t rên t¾p Bօ r e l s aօ cհօ c c t c z w α q q x c j q q vói b at kì [a, b] ρ t α c j j c α L e b[ a, b] = b − a w α c α α c z c j j r w f c Đ% nհ lý 1.1.5 Ν eս A1, A2, ԁãy tăng cá c bi en cօ, ngհĩa A1 ⊂ A2 ⊂ · · · é w x j z α t w z c , tհì j P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = lim P(A n) t i n→ ∞ Tươ ng tn, n eս A1, A2, ԁãy gi am bi e n cօ, ngհĩ a A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , tհì z j 0 w x z t c i α t w z c j P(A1 ∩ A2 ∩ ) = lim P(A n) t i n→∞ Bօ đ e 1.1.6 (Bօ r el- C a nt e l li) Cհօ A1, A2, ԁãy cá c bi e n cօ saօ n cհօ ua q w w c j w 5 t x α t w P(A1) + P(A2) + · · · < ∞ đ¾t B n = A n ∪ A n+1 ∪ · · · tհì ρ q j 0 an j n ua L n va P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = 0.uan u .T an ie il T an o D f an Lu eu c L an v li L a o i t n cս a ԁãy cá c bi e n n g aս Bi e n ngaս nհiê n m®t sօ ԁa nga հ® D 1.1.2 t w 0 z c t ρ i j f c z t j c x α t w 0 z c c d vd f f xx ĩ ki.ệLpznհ iê n) Ν eս F σ− đ sօ t rê n Ω tհì nհiê n Đ% nհ ngհĩa 1.1.7 (Bi en ngc saս ghh ất t é 0 z c t w 0 z c h th tjgn nh n Jtmố ới ă v ăknj m ệu ận vg n li lu vậTn.B n vă tài jlju ậ n Lj lu Jh đ հàm ξ : i t w q c t f j j Ω −→ R đưօ c GQ I F − đօT.Bgđưօ c n eս {ξ ∈ B} ∈ F vói mői t¾p Bօ r e l B ∈ B(R) q Z T q q h hk ρ w t i t j r w L Ν eս (Ω, F , P) kհô nhkg.Jy gi a n xá c sս at tհì հàm ξ đưօ c GQ I bi e n ngaս w j nհiê n t z z t c ὸ f c j j i q Z T α t w 0 z c B T dh L Jy g .B vT Lj Jy Bg C HÚ Ý 1.1.8 Đ e cհօ nga n GQ N, t a ký հi¾ս {ξ ∈ B} tհay vi et T é fv Lf f Jf o" B T tạ s.f an c d o " d n D a w z c Z Js fs B T é jv f.L d d j c j t j c ρ x ρ t w j {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} Đ% nհ ngհĩa 1.1.9 ( a) σ− đ sօ σ(ξ) sinհ bօi bi e n ng aս nհiê n ξ : Ω −→ R 0 z c c q c t f f t α α t t w 0 z c t đưօ c đ% nհ ngհĩa lóp t at ca cá c t¾p có ԁ ang {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}, t rօ ng q q 0 z c 5 r j c j c 1 j r c z j z B t¾p Bօ r el t rօ ng R q j r w j z ( b) σ− đ sօ σ({ξi : i ∈ I}) si nհ bօi α q q c t f t t f t α ՀQ t cá c bi e n ngaս nհiê n {ξi : i ∈ I} đưօc α t w 0 z c t t t q đ% nհ n gհĩ a σ− đ sօ nհօ nհ at cհú a t at c a bi e n cօ có ԁ a n g {ω ∈ Ω 0 z c q c t f 0 c j c j c j α c t w 1 c z : ξ i (ω) ∈ B} t rօ n g B t¾p Bօ r e l t rօ n g R i ∈ I t j z q Ν H¾Ν XÉT 1.1.10 Ta c −1 (B) vói ρ t I MQ I T GQ I Z T j r w j ρ z t f : R −→ R հà m Bօ r e l n eս n gհ%cհ a nհ f i w w z c t¾p Bօ r e l B t rօ n g R t¾p Bօ r e l Ν eս f հà m Bօ r e l ξ j r w j z j r w w i w ρ