Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÊ ĐÀO HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ KIỂU CO TRONG KHÔNG GIAN bMETRIC Trang 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÊ ĐÀO HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ KIỂU CO TRONG KHÔNG GIAN b METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÊ ĐÀO HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ KIỂU CO TRONG KHƠNG GIAN b METRIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan thực việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận văn qua phần mềm Turnitin cách trung thực đạt kết mức độ tương đồng 10% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm cứng nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Thái Ngun, ngày 15 tháng 07 năm 2022 TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT Lê Đào Huyền Trang i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2022 Tác giả Lê Đào Huyền Trang ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b metric không gian b metric suy rộng 1.2 Một số hàm đặc biệt 1.3 Điểm trùng số ánh xạ kiểu co Chƣơng 2: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ KIỂU CO TRONG KHÔNG GIAN b METRIC 2.1 Định lý điểm bất động chung ánh xạ điều kiện co dạng cyclic 2.2 Định lý điểm bất động điểm trùng ánh xạ co yếu tổng quát 18 2.3 Định lý điểm bất động không gian b metric suy rộng 31 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 iii MỞ ĐẦU Khái niệm không gian b metric đưa Bakhtin [3] Czerwik [4], tổng quát hóa khái niệm khơng gian metric Từ có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu lớp không gian này, đặc biệt định lý điểm bất động ánh xạ kiểu co không gian b metric Gần A.M Malkawi [7] cộng đạt số kết điểm trùng điểm bất động ánh xạ co yếu tổng quát không gian b metric liên quan đến số hàm có tính chất đặc biệt, chẳng hạn hàm (c) so sánh, ánh xạ chấp nhận được, hàm C lớp, hàm biến đổi khoảng cách, … Một đề tài hấp dẫn khác lý thuyết điểm bất động khái niệm ánh xạ cyclic điểm bất động ánh xạ cyclic giới thiệu vào năm 2003 W.A Kirk [6] Năm 2017, W Shatanawi [9] đạt số kết điểm bất động ánh xạ dạng cyclic thỏa mãn điều kiện co tuyến tính Tiếp theo, ánh xạ dạng cyclic thỏa mãn điều kiện co khơng tuyến tính, ( , A, B) co cyclic, ( , K ) co yếu, kết đạt A Rabaiah [8] cộng S Atallaoui [2] đạt số kết điểm bất động ánh xạ cyclic không gian b metric suy rộng Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài “Định lý điểm bất động số ánh xạ kiểu co không gian b metric” Nội dung đề tài viết dựa tài liệu [2], [7] [8] gồm 37 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Trình bày số khái niệm không gian b gian b metric, không metric suy rộng, hàm so sánh số ánh xạ kiểu co Chương Là nội dung luận văn, trình bày số kết điểm bất động chung ánh xạ khơng tuyến tính điều kiện co dạng cyclic Một số kết điểm bất động điểm trùng ánh xạ co yếu tổng qt khơng gian b metric Cuối chương, trình bày kết điểm bất động ánh xạ cyclic không gian b rộng, sử dụng hàm C lớp Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt metric suy Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b metric không gian b metric suy rộng Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho E tập hợp (không rỗng) thực Một hàm :E E b số metric với a,b, c E điều kiện sau thỏa mãn: (b1) (a,b) a b, (b2) (a,b) (b,a) , (b 3) (a,c) [ (a,b) (b, c)] Ký hiệu (E, , ) không gian b metric với hệ số , hay gọn (E, ) Ví dụ 1.1.2 Cho E :E E hàm (a,b) Khi đó, (E, ) khơng gian b |a xác định b |2 metric với hệ số , không gian metric Ví dụ 1.1.3 Cho (E, ) khơng gian b Dp : E E2 d(a, c) d(b, u) metric E với hệ số Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Cho (E, ) không gian b metric Khi đó, dãy {an } E gọi là: (a) b hội tụ a E cho (an , a) Trong trường hợp này, ta viết lim an n (b) b Khi đó, hàm ) xác định [0, Dp ((a,b),(c, u)) b metric với hệ số Cauchy (an , am ) n a với n, m metric (E, ) đầy đủ với dãy b Không gian b b Cauchy hội tụ E Chú ý 1.1.5 Giả sử an a n (an ,b) Khi lim cho (a, a) không gian b n (a,b) với b Định nghĩa 1.1.6 ([2]) Cho E tập không rỗng :E E [0, ) gọi b :E E metric (E, ) E [1, ) Hàm metric suy rộng với a,b, c E điều kiện sau thỏa mãn: ( 1) (a,b) ( 2) (a,b) ( 3) (a, c) Cặp (E , a (b, a ) ; (a, c)[ (a,b) (b, c)] ) gọi không gian b (a,b) Chú ý 1.1.7 Nếu lấy không gian b ta định nghĩa với số a {2, 3, 4} Định nghĩa b :E E (2,2) (2, 3) (2, 4) (3, 4) Khi (E, metric suy rộng metric Ví dụ 1.1.8 Cho E (a,b) b; [0, (3, 3) (3,2) (4,2) (4, 3) :E E [1, ) xác định ) xác định (4, 4) 30, 200, 2000 0, ) không gian b metric suy rộng Định nghĩa 1.1.9 ([2]) Cho (E, ) khơng gian b metric suy rộng Khi đó, dãy {an } E gọi là: (a) hội tụ đến a với 0, N cho (an ,a) với n N Trong trường hợp này, ta viết lim an a n 0, N cho (b) dãy Cauchy với với n, m (an ,am ) ) gọi đầy đủ với dãy Cauchy hội tụ Không gian (E, E Ví dụ 1.1.10 ([2]) Cho E C ([ , ], ) không gian tất hàm giá trị thực liên tục [ , ] E không gian b metric suy rộng đầy đủ với sup | a(s) b(s) |2 , (a,b) s [ , ] (a,b) | a(s) | :E E [1, | b(s) | , ) 1.2 Một số hàm đặc biệt Định nghĩa 1.2.1 ([7]) Cho số Hàm số gọi hàm (c) so sánh với hệ số (i) [0, ) ) thỏa mãn: đơn điệu tăng; n (ii) Nếu : [0, n n ( t ) hội tụ với t hàm (c) so sánh (t ) Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ t với t )2 : [0, 0 (0) gọi hàm C lớp ; với s, t ) liên tục thỏa mãn tiên đề sau: I) (s, t ) s s kéo theo s II) (s, t ) Ký hiệu Nhận xét: (0, 0) tập hợp tất hàm C s [0, lớp Ví dụ 1.2.3 Các hàm 1) (s, t ) t : [0, t, (s, t ) )2 s sau thuộc lớp t , với s, t [0, ) :