Định lý điểm bất động đối với một số ánh xạ kiểu co trong không gian b metric

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÊ ĐÀO HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ KIỂU CO TRONG KHÔNG GIAN bMETRIC Trang 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ ĐÀO HUYỀN TRANG

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ KIỂU CO TRONG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ ĐÀO HUYỀN TRANG

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ KIỂU CO TRONG

Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung

luận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ

tương đồng 10% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã nộp

để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2022

TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT

Lê Đào Huyền Trang

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2022

Tác giả

Lê Đào Huyền Trang

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian b metric và không gian b metric suy rộng 3

1.2 Một số hàm đặc biệt 5

1.3 Điểm trùng và một số ánh xạ kiểu co 6

Chương 2: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ KIỂU CO TRONG KHÔNG GIAN b METRIC 9

2.1 Định lý điểm bất động chung đối với các ánh xạ dưới điều kiện co dạng cyclic 9

2.2 Định lý điểm bất động và điểm trùng đối với ánh xạ co yếu tổng quát 18

2.3 Định lý điểm bất động trong không gian b metric suy rộng 31

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

MỞ ĐẦU

Khái niệm không gian b metric được đưa ra đầu tiên bởi Bakhtin [3] và Czerwik [4], là tổng quát hóa khái niệm không gian metric Từ đó có nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu về lớp không gian này, đặc biệt là định lý điểm bất động đối với các ánh xạ kiểu co trong không gian b metric Gần đây A.M Malkawi [7] và các cộng sự đã đạt được một số kết quả về điểm trùng và điểm bất động đối với ánh xạ co yếu tổng quát trong không gian b metric liên quan đến một số hàm có tính chất đặc biệt, chẳng hạn như hàm ( )c so sánh, ánh xạ chấp nhận được, hàm C lớp, hàm biến đổi khoảng cách, …

Một đề tài hấp dẫn khác trong lý thuyết điểm bất động là khái niệm ánh

xạ cyclic và điểm bất động của ánh xạ cyclic đã được giới thiệu vào năm 2003 bởi W.A Kirk [6] Năm 2017, W Shatanawi [9] đã đạt được một số kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ dạng cyclic thỏa mãn điều kiện co tuyến tính Tiếp theo, đối với ánh xạ dạng cyclic thỏa mãn điều kiện co không tuyến tính, như ( , , )A B co cyclic, ( ,K) co yếu, kết quả đạt được bởi A Rabaiah [8]

và các cộng sự S Atallaoui [2] đã đạt được một số kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ cyclic trong không gian b metric suy rộng

Theo các hướng nghiên cứu trên tôi chọn đề tài “Định lý điểm bất động đối với một số ánh xạ kiểu co trong không gian b metric”

Nội dung đề tài được viết dựa trên các tài liệu [2], [7] và [8] gồm 37 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Trình bày một số khái niệm về không gian b metric, không gian b metric suy rộng, hàm so sánh và một số ánh xạ kiểu co

Chương 2 Là nội dung chính của luận văn, trong đó trình bày một số kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ không tuyến tính dưới điều kiện co dạng cyclic Một số kết quả về điểm bất động và điểm trùng đối với ánh

b

quả về điểm bất động đối với ánh xạ cyclic trong không gian b metric suy rộng, sử dụng hàm C lớp

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian b metric và không gian b metric suy rộng

Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho E là một tập hợp (không rỗng) và 1 là một số

thực Một hàm : E E là một b metric nếu với mọi a b c, , E các

điều kiện sau được thỏa mãn:

( 1)b ( , )a b 0 a b ,

( 2)b ( , )a b ( , )b a ,

( 3)b ( , )a c [ ( , )a b ( , )]b c

Ký hiệu ( , , )E là không gian b metric với hệ số , hay gọn là ( , )E

Ví dụ 1.1.2 Cho E và hàm : E E được xác định bởi

là một b metric trên E2 với hệ số

Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Cho ( , )E là không gian b metric Khi đó, một dãy

{ } an trong E được gọi là:

( ) b hội tụ a E sao cho ( , ) a an 0 khi n

Trong trường hợp này, ta viết lim n

n a a ( )b b Cauchy khi và chỉ khi ( , ) a an m 0 với n m,

Không gian b metric ( , )E là đầy đủ nếu với mỗi dãy b Cauchy đều

b hội tụ trong E

Chú ý 1.1.5 Giả sử an a khi n trong không gian b metric ( , )E

sao cho ( , )a a 0 Khi đó lim ( , )n ( , )

n a b a b với mỗi b E

Định nghĩa 1.1.6 ([2]) Cho E là tập không rỗng và :E E [1, ) Hàm

:E E [0, ) được gọi là b metric suy rộng nếu với mọi a b c, , E

các điều kiện sau được thỏa mãn:

( 1) ( , )a b 0 a b ;

( 2) ( , )a b ( , )b a ;

( 3) ( , )a c ( , )[ ( , )a c a b ( , )]b c

Cặp ( , )E được gọi là không gian b metric suy rộng

Chú ý 1.1.7 Nếu lấy ( , )a b với hằng số 1 thì ta được định nghĩa không gian b metric

Ví dụ 1.1.8 Cho E {2, 3, 4} Định nghĩa :E E [1, ) xác định bởi ( , )a b 2 a b và :E E [0, )xác định bởi

Khi đó ( , ) E là không gian b metric suy rộng

Định nghĩa 1.1.9 ([2]) Cho ( ,E ) là không gian b metric suy rộng Khi đó, một dãy { } an trong E được gọi là:

( )a hội tụ đến a nếu với 0, N sao cho ( , ) a an với mọi n N

Trong trường hợp này, ta viết lim n

n a a ( )b dãy Cauchy nếu với 0, N sao cho ( , ) a an m với n m , Không gian ( ,E ) được gọi là đầy đủ nếu với mỗi dãy Cauchy đều hội tụ trong E

Ví dụ 1.1.10 ([2]) Cho E C([ , ], ) là không gian tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên [ , ] E là không gian b metric suy rộng đầy đủ với

( ) i đơn điệu tăng;

( ) 0 n n( )

n

Nếu là hàm ( )c so sánh thì ( )t t với mọi t 0 và (0) 0

Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ : [0, )2 được gọi là hàm C lớp nếu nó liên tục và thỏa mãn các tiên đề sau:

Ký hiệu tập hợp các hàm biến đổi khoảng cách là a

Định nghĩa 1.2.5 Hàm siêu biến đổi khoảng cách là một hàm liên tục, ánh xạ

không giảm : [0, ) [0, ) sao cho ( )t 0,t 0 và (0) 0

Ký hiệu tập hợp các hàm siêu biến đổi khoảng cách là u

1.3 Điểm trùng và một số ánh xạ kiểu co

Định nghĩa 1.3.1 Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric ( , )E vào chính nó Nếu v Su Tu với u E thì u được gọi là điểm trùng của S

và T, v được gọi là giá trị trùng của S và T

Định nghĩa 1.3.2 Cho f E : E và : E E [0, ) Khi đó, f được gọi là ánh xạ chấp nhận được nếu ( , )a b 1 với a b, E, thì

( ( ), ( )) 1 f a f b

Định nghĩa 1.3.3 ([8]) Cho A B, là các tập con của không gian metric ( , )E và T A: B A B Khi đó T được gọi là ánh xạ cyclic nếu ( )

Nếu k [0,1), thì T có một điểm bất động duy nhất trong A B

Định nghĩa 1.3.5 ([8]) Cho ( , )E là không gian b metric và A B, là các tập con đóng không rỗng của E Cho f T E, : E là hai ánh xạ Cặp ( , )f T

được gọi là ( , , )A B co b cyclic, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(1) là một hàm biến đổi khoảng cách,

(2) A B có một biểu diễn cyclic đối với cặp ( , ) f T ; tức là ( ) f A B ,

cặp ( , )Q R là một biến đổi của ( , ) K co yếu tổng quát nếu tồn tại K 0 sao cho

1

1 2

Định nghĩa 1.3.8 ([7]) Cho ( , )E là không gian b metric và Q R E, : E

là hai ánh xạ Ta gọi cặp ( , )Q R là một biến đổi của ( , )K co yếu tổng quát nếu tồn tại K 0 sao cho

Chương 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ ÁNH XẠ

KIỂU CO TRONG KHÔNG GIAN b METRIC

Giả sử f T E, : E là các ánh xạ đã cho, ta kí hiệu Fix f là tập hợp tất cả ( )các điểm bất động của f , tức là

Fix f( ) {a E a: fa }

Ký hiệu

Fix f T( , ) {a E a: fa Ta }

là tập hợp tất cả các điểm bất động chung của hai ánh xạ f và T

2.1 Định lý điểm bất động chung đối với các ánh xạ dưới điều kiện co dạng cyclic

Định lý 2.1.1 ([8]) Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ và A B, là các tập con đóng không rỗng của E Cho f T E, : E là hai ánh xạ Giả sử : (1) cặp ( , ) f T là ( , , ) A B co b cyclic,

(2) f hoặc T là liên tục

Khi đó tồn tại a Fix f T ( , )

Chứng minh Chọn a0 A, cho a1 fa0 Vì ( )f A B , nên ta có a1 B Ngoài ra, cho a2 Ta1 Vì T B( ) A, ta có a2 A Tiếp tục quá trình này, ta xây dựng được dãy { }a n trong E sao cho

a2n 1 fa2n, a2n 2 Ta2n 1, a 2n A và a2n 1 B

Ta chia chứng minh thành các bước sau:

Bước 1 Ta sẽ chỉ ra rằng { }a n là một dãy Côsi trong ( , )E

Trường hợp 1 Giả sử a2n a2n 1 với n N Vì a a2n, 2n 1 E với a 2n A

và a2n 1 B, ta có

Tương tự, ta có a2n 3 a2n 2 Do đó { }a n là một dãy hằng trong E , vì vậy

nó là một dãy Côsi trong ( , )E

Trường hợp 2 a2n a2n 1 với mọi n N Cho n Nếu n chẵn thì

là mâu thuẫn Do đó 0 Như vậy

lim ( ,n n 1) 0.

n a a (2.6) Tiếp theo, ta chứng minh { } an là một dãy Côsi trong ( , )E Chỉ cần chỉ ra 2

{ a n} là một dãy Côsi trong ( , )E là đủ Thật vậy, giả sử { a2n} không phải là một dãy Côsi trong ( , )E Khi đó, 0 và hai dãy con {a2 ( )m i }, {a2 ( )n i }của { a2n} sao cho n i là chỉ số nhỏ nhất để cho ( )

n i( ) m i( ) i, (a2 ( )m i,a2 ( )n i ) (2.7) Điều đó có nghĩa là

Từ tính chất của kéo theo 2 Vì 2 1 nên suy ra 0, điều đó

là mâu thuẫn Do đó { } an là một dãy Côsi trong ( , )E

Bước 2 Sự tồn tại của điểm bất động chung

Vì { } an là dãy Côsi trong ( , )E , mà ( , )E đầy đủ, nên { } an hội tụ về

Do tính duy nhất của giới hạn, ta có a fa

Bây giờ, vì a A và a B , nên ta có

Hệ quả 2.1.2 ([8]) Cho ( , ) E là không gian b metric và A B, là các tập con đóng không rỗng của E Cho f T E, : E là hai ánh xạ và A B có một biểu diễn b cyclic đối với cặp ( , ).f T Giả sử tồn tại 0 với 2 1 sao cho với mọi a b, E với a A và b B , ta có

( , )a a 0 nếu a {1,2,3,4,5};

(1) ( , )E là không gian b metric đầy đủ,

(2) A B có biểu diễn cyclic đối với cặp ( , ), f T

(3) Với hai phần tử a b, E bất kỳ với a A và b B , ta có

Chứng minh (1) là hiển nhiên với 2

(2) Vì ( )f A {1,4} B và ( ) T B {1} A nên A B có biểu diễn ,

cyclic với cặp ( , ).f T

(3) Xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 Cho a 1, 3 và b B Khi đó ( ) f a 1 và T b( ) 1 do đó ( ( ,fa Tb)) 0 Ta có

(2 ( ,fa Tb))

2.2 Định lý điểm bất động và điểm trùng đối với ánh xạ co yếu tổng quát

Định lý 2.2.1 ([7]) Cho ( , ) E là một không gian b metric đầy đủ và ánh xạ

điều này là mâu thuẫn Vậy tồn tại duy nhất a Fix S ( )

Định lý 2.2.2 ([7]) Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ và

, , :

P Q R E E là các ánh xạ sao cho cặp ( , ) Q R là một biến đổi của

( , )K co yếu tổng quát Nếu là hàm ( ) c so sánh và ( ) P E là không gian con đầy đủ của E , thì P Q, và R có một điểm trùng

Chứng minh Lấy Pa0 E Đặt Pa1 Qa0, Pa2 Ra1 Tiếp tục quá trình này , ta xây dựng được dãy {Pa n} E sao cho

n m Pa Pa n Pa P c P c Pc (2.17) Bây giờ, ta chứng minh Rc Qc Vì lim ( 2n 1, ) ( , )

Vì ( )t t với mọi t 0, nên suy ra ( ,Pc Rc) 0 Sử dụng ( 1)b và ( 2) b ta

được Rc Pc Lập luận tương tự, ta có Qc Pc Vậy c là điểm trùng của

i Q có một điểm trùng; tức là, a E sao cho a ia Qa Ra

Do đó c Fix Q R Giả sử ,( , ) a b Fix Q R Khi đó ( , )

Qa Ra a và Qb Rb b Theo (2.16), ta có

( , )a b ( ,Qa Rb)

1

1 2

Vì ( )t t với mọi t 0, nên suy ra ( , )a b 0 a b

Hệ quả 2.2.4 ([7]) Cho ( , ) E là không gian b metric đầy đủ và Q E: E

là ánh xạ sao cho

1 2

(1) ( )Q E R E ; ( )

(2) ( )R E là không gian con đầy đủ của E

Nếu là hàm ( )c so sánh, thì tồn tại duy nhất a Fix Q R ( , )

Hệ quả 2.2.6 ([7]) Cho ( , ) E là không gian b metric đầy đủ và Q E: E

là một ánh xạ Giả sử tồn tại hai số k l, 0sao cho

1 2

với mọi a b, E Nếu k [0,1), thì tồn tại duy nhất u Fix Q ( )

Hệ quả 2.2.7 ([7]) Cho ( , )E là không gian b metric và Q R E, : E là hai ánh xạ Giả sử tồn tại hai số k l, 0sao cho

1 2

(2) ( )R E là không gian con đầy đủ của E

Nếu k [0,1), thì tồn tại duy nhất a Fix Q R ( , )

Định lý 2.2.8 ([7]) Cho ( , ) E là không gian b metric đầy đủ và

Chứng minh Lấy Pa0 E Đặt Pa1 Qa0, Pa2 Qa1 Tiếp tục như vậy, ta dựng được dãy {Pa n} E sao cho Pan 1 Qan

Ta chứng minh {Pa n} là dãy Côsi trong P E Thật vậy, cho ( ) 0, vì

Bây giờ, lấy m n, , m n Cần chỉ ra: Pa Pa n, m với mọi

m n k Ta chứng minh bằng qui nạp theo m Vì k 1 k, nên

1 1

k k

Pa Pa

Ta chỉ ra bất đẳng thức sau Pa Pa n, m đúng với m k 1 Giả sử điều

đó xảy ra với m k Ta chứng minh nó đúng với m k 1, ta có

max Pa Pa n, k , Pa Pa n, n 1 , Pa Pa k, k 1 Pa Pa k, k 1 , thì (2.23) suy ra

n m Pa Pa n Pa Pc Pc Pc (2.24) Bây giờ, giả sử ( ,Pc Qc) 0 Sử dụng (2.21), ta có

điều này là mâu thuẫn Như vậy ( ,c Qc) 0 Sử dụng ( 1)b và ( 2) b , ta nhận

được Pc Qc, tức là, c là một điểm trùng của P và Q

Ví dụ 2.2.9 ([7]) Cho E [0, ) Xét không gian metric đầy đủ ( , , )E với

: E E E cho bởi ( , )a b (a b với )2 2

Từ đó P Q R, , và thỏa mãn tất cả các giả thiết của Định lý 2.2.3, nên tồn

tại duy nhất a Fix Q R ( , )

2.3 Định lý điểm bất động trong không gian b metric suy rộng

Sau đây là một số kết quả về điểm bất động trong không gian b metric

suy rộng đối với ánh xạ cyclic, sử dụng hàm C lớp

Định lý 2.3.1 ([2]) Cho ( , )E là không gian b metric đầy đủ suy rộng Cho

A và B là hai tập con đóng không rỗng của E sao cho A B và

E A B Cho : T A B A B là ánh xạ cyclic Giả sử tồn tại ,

,

a u sao cho

(Ta Tb, ) ( , ) ,a b ( , )a b , với mọi a b, E (2.26) Giả sử với a0 E , ta có

Chứng minh Lấy a0 A Khi đó a1 Ta0 B a, 2 Ta1 A Tiếp tục quá

trình này, ta nhận được dãy { } an E sao cho Tan an 1 với a2n A và

Do đó ( )r 0 hoặc ( )r 0 Vì ( )r 0, nên suy ra r 0, điều này là mâu thuẫn Từ đó r 0 và

lim n, n 1 0

n a a (2.29) Bây giờ ta chứng minh { }a n là dãy Côsi Giả sử { }a n không là dãy Côsi Khi

đó 0 và các dãy con {a n k( )}, {a m k( )} của { }a n với n k( ) m k( ) k