Định lý điểm bất động đối với ánh xạ trong không gian metric và áp dụng

Định lý điểm bất động đối với ỏnh xạ co trong khụng gian metric 6 1.4.. Nú đảm bảo sự tồn tại và tớnh duy nhất của điểm bất động trong khụng gian metric và cung cấp một phương phỏp xõy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

 -NGUYỄN HỮU GIỎI

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - -

NGUYỄN HỮU GIỎI

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

ii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin

cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình

học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ

nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo

điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là các thầy, cô

trong tổ Toán, trường THPT Thanh Miện, Tỉnh Hải Dương đã tạo mọi điều kiện

thuận lợi để Tôi yên tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì

vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn

học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi

trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2021

Tác giả

Nguyễn Hữu Giỏi

Chương 1 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ

Chương 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ

20

2.2 Định lý điểm bất động đối với ánh xạ co tổng quát trong

không gian b metric

2.5 Định lý điểm bất động đối với ánh xạ co cyclic 34

2.6 Ứng dụng vào phương trình tích phân bậc hai phi tuyến 35

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động đóng vai trò quan trong giải tích hàm phi tuyến

Đó là vì có nhiều bài toán thực tế trong khoa học ứng dụng, kinh tế, vật lý và kỹ thuật,… có thể đưa về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ phi tuyến Nguyên

lý co Banach là một trong những kết quả cơ bản trong lý thuyết điểm bất động

Nó đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất của điểm bất động trong không gian metric và cung cấp một phương pháp xây dựng để xấp xỉ các điểm bất động đó Trong vài thập kỷ qua, một số mở rộng của nguyên lý nổi tiếng này đã được thiết

lần đầu tiên được B.Samet [7] phát biểu vào năm 2012 Năm 2014, B Samet [8],

đã tiếp tục mở rộng các kết quả đã đạt được trong [7] cho không gian metric đầy

đủ Năm 2018, X.Wu và L Zhao [11] đã đạt được một số kết quả về điểm bất

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động đối với ánh xạ   co trong không gian b metric và áp dụng”

Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về Điểm bất động đối với các ánh xạ   co trong không gian b metric

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm

4 Bố cục luận văn

Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [8] và [11] gồm 39 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số khái niệm về các ánh xạ  co, ánh xạ

  co, ánh xạ  chấp nhận được và một số kết quả về điểm bất động đối

2

với các ánh xạ nói trên trong không gian metric Một số hệ quả của các định lý trên về điểm bất động đối với một số ánh xạ đặc biệt như: ánh xạ co Dass-Gupta, ánh xạ co Jaggi, ánh xạ co yếu, ánh xạ  co cyclic

Chương 2: Trình bày một số kết quả về điểm bất động đối với các ánh xạ

  co tổng quát trong không gian b metric, kết quả về điểm bất động trên không gian metric được trang bị quan hệ thứ tự bộ phận, một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ co cyclic Phần cuối chương, trình bày áp dụng kết quả đạt được để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân bậc hai phi tuyến

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

3

CHƯƠNG 1 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ

  CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC

1.1 Một số ánh xạ co đặc biệt

Định nghĩa 1.1.1 Cho X   là một tập hợp tùy ý :d X X   là một hàm

số thỏa mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.1.2 [3] Cho ( , )X d là không gian metric Ánh xạ :T X  Xđược gọi là ánh xạ co Dass-Gupta nếu tồn tại các hằng số    với , 0    1sao cho với mọi x y X,  ,

là một ánh xạ đã cho Ta nói rằng T là ánh xạ co Jaggi nếu tồn tại    với , 0

Định nghĩa 1.1.4 [1] Cho ( , )X d là không gian metric Ánh xạ :T X  Xđược gọi là co yếu nếu tồn tại  (0,1) và L  sao cho 0

4

d Tx Ty( , )d x y( , )Ld y Tx( , ) với mọi x y X,  (1.3)

Định nghĩa 1.1.5 ([6]) Cho ( , )X d là không gian metric, m là số nguyên dương

và T X:  là một toán tử X X  mi1Xi là biểu diễn cyclic của X đối với

Y    A với m là một số nguyên dương , và :T Y  là một toán tử Ta Y

nói rằng T là ánh xạ   co cyclic đối với    nếu

( )i mi1Ailà biểu diễn cyclic của Y đối với T ;

( )ii ( , )d Tx Ty ( ( , )),d x y với mọi x A y A i,  i1, i 1, ,m,

trong đó Am1 A1

Ở đây, P X là tập hợp các tập con đóng khác rỗng của ( , )cl( ) X d

Định nghĩa 1.1.7 Cho ( , )X  là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận,

:

T X  là một ánh xạ Ta nói rằng T là tăng đối với , nếu X

x y Tx Ty   với mọi x y X, 

Định nghĩa 1.1.8 Cho ( , )X  là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận Dãy

{ }xn  được gọi là tăng đối với , nếu X x xn n1 với mọi n

Định nghĩa 1.1.9 Cho ( , , )X d là một không gian metric được sắp thứ tự bộ

phận Ta nói rằng ( , , )X d là chính qui nếu với mỗi dãy tăng { }xn  sao cho X

 với mọi t  , trong đó 0  là lặp thứ k của  k

Hàm    được gọi là hàm ( )c so sánh

Định nghĩa 1.2.1 Cho ( , )X d là không gian metric Ánh xạ :T X  được Xgọi là  co nếu tồn tại hàm    sao cho

d Tx Ty( , )( ( , ))d x y với mọi x y X,  (1.4) Định nghĩa 1.2.2 ([8]) Cho ( , )X d là một không gian metric và :T X  là Xmột ánh xạ cho trước Ta nói rằng T là một ánh xạ    co nếu tồn tại hai hàm :X X   và    sao cho [0, )

( , ) ( , )x y d Tx Ty  ( ( , )),d x y x y X,  (1.5)

Rõ ràng, một ánh xạ co bất kỳ cũng là ánh xạ   co với ( , ) 1x y  với mọi x y X,  và ( ) t kt k, (0,1)

Định nghĩa 1.2.3 ([8]) Cho T X:  và :X  X X   Ta nói rằng [0, )

T là một ánh xạ  chấp nhận được nếu với mọi ,x y X ta có:

( , ) 1x y   ( , ) 1.Tx Ty 

Kết quả đạt được trong [7] có thể tóm tắt như sau:

Định lý 1.2.4 ([7]) Cho ( , )X d là một không gian metric đầy đủ và :T X  X

là một ánh xạ cho trước Giả sử tồn tại : X X   và

6

ta có ( , ) 1x xn  với n  

Khi đó T có điểm bất động Ngoài ra, nếu thêm vào giả thiết với mỗi cặp ( , )u v   tồn tại w XX X  sao cho ( , ) 1u w  và ( , ) 1 v w  , thì điểm bất động là duy nhất

Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày việc mở rộng Định lí 1.2.4

bỏ qua điều kiện  chấp nhận được

1.3 Điểm bất động đối với ánh xạ   co trong không gian metric Giả sử T X:  là một ánh xạ đã cho, ta kí hiệu X Fix T là tập hợp tất ( )

(iii)  liên tục tại t  0

Với    đã cho, ta kí hiệu

{  (0, ) :  } Mệnh đề 1.3.2 Cho ( , )X d là không gian metric và :T X  là một ánh xạ X

đã cho Giả sử tồn tại : X X   và    sao cho T là   co Giả

sử tồn tại    và với một số nguyên dương p, tồn tại một dãy hữu hạn 0

n  i  p

Khi đó {T x là dãy Cauchy trong ( , )n 0} X d

Chứng minh Lấy   Theo định nghĩa của , ta có    Lấy một dãy hữu hạn { }p 0

i i X

   thỏa mãn (1.6) Xét một dãy { } Xx  xác định bởi n

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.2 và tính đầy đủ của không gian metric ( , )X d ,

ta có {T x hội tụ đến xn 0}   Giả sử tồn tại dãy con X ( )

0{T x n } của dãy 0

Định lí sau đây cho một điều kiện đủ đối với tính duy nhất của điểm bất động

Định lí 1.3.5 ([8]) Cho ( , )X d là không gian metric đầy đủ và :T X  là Xmột ánh xạ đã cho Giả sử tồn tại : X X   và    sao cho T là

Khi đó T có điểm bất động duy nhất

Chứng minh Lấy     Giả sử ,u v X là hai điểm bất động của T sao cho d u v  Ta xét hai trường hợp: ( , ) 0

Trường hợp 1 ( , ) 1u v  Vì T là   co, nên ta có

  Theo Định lí 1.3.3, T có điểm bất động Tính duy nhất suy trực tiếp từ (1.12) và Định lí 1.3.5

Nhận xét Nguyên lí co Banach suy trực tiếp từ Hệ quả 1.4.2 với

12

ánh xạ đã cho Giả sử T X:  là ánh xạ co Dass-Gupta Khi đó tồn tại X

   và : X X   sao cho T là   co

Chứng minh Theo (1.1), với mọi x y X,  ta có

( , ) ( , )1 ( , ) ( , )

1 d x Tx( , )

d Tx Ty d y Ty d x y d x y , suy ra

Hệ quả 1.4.4 ([3]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T X:  X

là một ánh xạ đã cho Giả sử tồn tại các hằng số    với , 0    sao 1cho (1.1) được thỏa mãn Khi đó T có điểm bất động duy nhất

Chứng minh Lấy x0  tùy ý Nếu với r   nào đó, X 1

T x T xthì T x sẽ là điểm bất động của T Vì vậy, ta có thể giả sử r 0 1

T x T x , với mọi r   Từ (1.15), với mọi n   , ta có

là điểm bất động duy nhất của T

Định lý 1.4.5 ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric và T X:  là một ánh X

xạ đã cho Giả sử rằng T là ánh xạ co Jaggi Khi đó tồn tại    và : X X

    sao cho T là   co

Chứng minh Từ (1.2), với mọi x y X x y,  ,  , ta có

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

( , )

d x Tx d y Ty

d Tx Ty  d x y d x y điều này dẫn đến

Hệ quả 1.4.6 ([5]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T X:  X

là một ánh xạ liên tục Giả sử tồn tại    với , 0    sao cho (1.2) được 1thỏa mãn Khi đó T có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh Lấy x0  tùy ý Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử X

là điểm bất động duy nhất của T

Định lý 1.4.7 ([1]) Cho ( , )X d là không gian mêtric và :T X  là một ánh X

Chứng minh Lấy x0  tùy ý Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử Xrằng T xr 0 T xr1 0, với mọi r   Từ (1.19), với n   , ta có

Khi đó (1.6) thỏa mãn với p  và 1   Từ phần thứ nhất của Định lý 1.3.4, 1

ta có dãy  T x hội tụ đến xn 0   Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử Xrằng tồn tại một số N   sao cho

Hệ quả 1.4.10 Cho ( , )X d là một không gian metric đầy đủ, m là một số nguyên dương, A1, ,Am P X Ycl( ),  mi1Ai,    và :T Y  là một toán tử YGiả sử rằng

( )i mi1Ailà biểu diễn cyclic của Y đối với T ;

lý

17

1.3.4, dãy {T x hội tụ tới xn 0}   Theo (i), dãy Y {T x có vô số số hạng n 0}

trong mỗi A ii, 1, ,m, do đó từ mỗi A ii, 1, ,m, có thể trích ra một dãy

Khi đó theo (1.20), với j 1, ,m cố định, ta có (Tj( )nx x0, ) 1  , với mọi

n   Theo phần thứ hai của Định lý 1.3.4 (với l  ), ta suy ra x1  là một điểm

( , ) 1x y  , với mọi ( , )x y Fix T Fix T( ) ( )

Theo Định lý 1.3.5, x là điểm bất động duy nhất của T 

Một hệ quả khác của kết quả chính là phiên bản tổng quát sau đây của định

lý điểm bất động Edelstein [4]

Hệ quả 1.4.11 Cho ( , )X d là không gian metric đầy đủ Với ,x y X và   0

cho trước, tồn tại số nguyên dương N và dãy   0

Chứng minh Rõ ràng là từ (1.22), ánh xạ T là liên tục Bây giờ, xét hàm

Cho ( , )X d là một không gian metric và  là quan hệ thứ tự bộ phận trên X Ta ký hiệu

 {( , )x y  X X x y:  hoặc y x 

Hệ quả 1.5.1 Cho X là không gian metric và :T X  là một ánh xạ liên Xtục Giả sử tồn tại    sao cho

d Tx Ty( , )( ( , )),d x y với mọi ( , )x y  ,

Khi đó  T x hội tụ tới một điểm bất động của T n 0

Chứng minh Xét hàm : X X   được xác định bởi

Khi đó kết quả suy ra từ Định lý 1.3.3 với   1

Hệ quả 1.5.2 Cho X là không gian metric và :T X  là một ánh xạ Giả X

Khi đó T có một điểm bất động duy nhất

Hệ quả trên suy ra từ Định lý 1.3.5 với   1

20

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ

   CO TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN b METRIC

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày các định lý điểm bất động đối với ánh xạ   co tổng quát trong không gian b metric đầy đủ, một số kết quả

về điểm bất động trên không gian metric được trang bị sắp thứ tự bộ phận Một

số kết quả về điểm bất động đối với các ánh xạ co cyclic Cuối cùng là áp dụng kết quả đạt được để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân bậc hai phi tuyến

2.1 Không gian b metric

Định nghĩa 2.1.1 Cho X   là một tập hợp tùy ý và s  là số thực Hàm 1

số b X X:    thỏa mãn các điều kiện sau: [0, )

Định nghĩa 2.1.3 Cho ( , )X b là một không gian b metric, khi đó với x X

và   , b hình cầu tâm x bán kính  là 0

B x( , ) y X b x y | ( , )

Định nghĩa 2.1.4 Cho ( , )X b là không gian b metric, A X A được gọi là

21

tập đóng nếu với x X và với   , ( , )0 B x    , thì x AA 

Định nghĩa 2.1.5 Cho ( , )X b là một không gian b metric, A X Đường kính của A là

Định nghĩa 2.1.6 Dãy { }x trong không gian b metric ( , )n X b gọi là:

( )i dãy hội tụ khi và chỉ khi tồn tại x X sao cho với mọi   tồn tại 0( )

n    sao cho với mỗi n n  ( ) ta có b x x( , )n  

( )ii dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi   tồn tại 0 n    sao cho với mỗi ( )

n m n  ta có b x x( , )n m  ;

Định nghĩa 2.1.7 Không gian b metric ( , )X b được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy { }xn  đều hội tụ tới x XX 

Định nghĩa 2.1.8 Cho ( , )X b là một không gian b metric và :T X  X

là một ánh xạ T là liên tục tại x X khi và chỉ khi với bất kì dãy { }x n

hội tụ tới x , thì dãy {Tx hội tụ tới Tx n}

2.2 Định lí điểm bất động đối với ánh xạ   co tổng quát trong không gian b metric

Ký hiệu  là họ các hàm : [0, ) [0, )    thỏa mãn các điều kiện: ( )i  là hàm tăng;

( )ii  là song ánh liên tục;

( )iii lim n( ) 0

n t  , với mọi t  0

Dễ thấy rằng   với mọi ( )t t t  và (0) 00  

Trong chương này ta ký hiệu G t( ) t   s t s( ), (0,1] Khi đó G là song ánh liên tục tăng, do đó G1 liên tục, tăng và G1(0) 0

22

Định nghĩa 2.2.1 Cho ( , )X d là một không gian metric và :T X  là một Xánh xạ cho trước Ta nói rằng T là một ánh xạ   co tổng quát nếu tồn tại hai hàm :X X  [0, ),   , với mọi ,x y X sao cho

Định nghĩa 2.2.3 Cho T X:  và X :X X  0,  Ta nói rằng T là

ánh xạ tam giác  chấp nhận được nếu với mọi , ,x y z X ta có:

( , ) 1x y  ( , ) 1Tx Ty  và

( , ) 1, ( , ) 1x y   y z   ( , ) 1x z 

Định lí 2.2.4 Cho ( , )X b là một không gian b  metric đầy đủ với hệ số s  1

và T X:  là một ánh xạ cho trước Giả sử tồn tại hàm    và hằng sốX(0,1/ ]s

  , với mọi x y X,  sao cho

và thỏa mãn các điều kiện sau:

( )i T là ánh xạ tam giác  chấp nhận được;

( )ii tồn tại x0  sao cho X ( ,x Tx0 0) 1;

x x  với n nào đó, thì 0 xn0 là một điểm bất động của T Do đó,