Định lý điểm bất động đối với ỏnh xạ co trong khụng gian metric 6 1.4.. Nú đảm bảo sự tồn tại và tớnh duy nhất của điểm bất động trong khụng gian metric và cung cấp một phương phỏp xõy
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN HỮU GIỎI ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN HỮU GIỎI ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa cơng bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Hữu Giỏi Xác nhận Khoa chuyên môn Xác nhận Người hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An PGS.TS Phạm Hiến Bằng i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hồn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt thầy, tổ Tốn, trường THPT Thanh Miện, Tỉnh Hải Dương tạo điều kiện thuận lợi để Tơi n tâm học tập hồn thành tốt luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2021 Tác giả Nguyễn Hữu Giỏi ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.1 Một số ánh xạ co đặc biệt 1.2 Ánh xạ co 1.3 Định lý điểm bất động ánh xạ gian metric 1.4 Một số hệ co không 10 1.5 Các định lý ánh xạ co không gian metric trang bị quan hệ thứ tự phận 18 Chương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ 20 CO TỔNG QUÁT TRONG KHƠNG GIAN b 2.1 Khơng gian b metric 20 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ không gian b METRIC co tổng quát 21 metric 2.3 Một số hệ 30 2.4 Định lý điểm bất động không gian b metric trang bị quan hệ thứ tự phận 31 2.5 Định lý điểm bất động ánh xạ co cyclic 34 2.6 Ứng dụng vào phương trình tích phân bậc hai phi tuyến 35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan giải tích hàm phi tuyến Đó có nhiều toán thực tế khoa học ứng dụng, kinh tế, vật lý kỹ thuật,… đưa tốn tìm điểm bất động ánh xạ phi tuyến Nguyên lý co Banach kết lý thuyết điểm bất động Nó đảm bảo tồn tính điểm bất động không gian metric cung cấp phương pháp xây dựng để xấp xỉ điểm bất động Trong vài thập kỷ qua, số mở rộng nguyên lý tiếng thiết lập Định lý điểm bất động ánh xạ co không gian metric lần B.Samet [7] phát biểu vào năm 2012 Năm 2014, B Samet [8], tiếp tục mở rộng kết đạt [7] cho không gian metric đầy đủ Năm 2018, X.Wu L Zhao [11] đạt số kết điểm bất động ánh xạ co không gian b metric Theo hướng nghiên cứu này, chúng tơi chọn đề tài: “Định lí điểm bất động ánh xạ co không gian b metric áp dụng” Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày số kết Điểm bất động ánh xạ co không gian b metric Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích hàm Bố cục luận văn Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [8] [11] gồm 39 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số khái niệm ánh xạ co, ánh xạ co, ánh xạ chấp nhận số kết điểm bất động ánh xạ nói khơng gian metric Một số hệ định lý điểm bất động số ánh xạ đặc biệt như: ánh xạ co Dass-Gupta, ánh xạ co Jaggi, ánh xạ co yếu, ánh xạ co cyclic Chương 2: Trình bày số kết điểm bất động ánh xạ co tổng quát không gian b metric, kết điểm bất động không gian metric trang bị quan hệ thứ tự phận, số định lý điểm bất động ánh xạ co cyclic Phần cuối chương, trình bày áp dụng kết đạt để chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân bậc hai phi tuyến Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.1 Một số ánh xạ co đặc biệt Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp tùy ý d : X X hàm số thỏa mãn điều kiện sau: a ) d (x , y ) 0, x , y X ; d (x , y ) x y b) d (x , y ) d (y, x ), x , y X c) d (x , z ) d (x , y ) d (y, z ), x , y, z X Khi d gọi metric hay khoảng cách X Cặp (X , d ) gọi không gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, d(x, y ) gọi khoảng cách hai điểm x y Định nghĩa 1.1.2 [3] Cho (X , d ) không gian metric Ánh xạ T : X X gọi ánh xạ co Dass-Gupta tồn số , với cho với x , y X , d (Tx ,Ty ) d (y,Ty ) d (x ,Tx ) d (x , y ) d (x , y ) (1.1) Định nghĩa 1.1.3 ([5]) Cho (X , d ) không gian mêtric đầy đủ T : X X ánh xạ cho Ta nói T ánh xạ co Jaggi tồn , với cho d (Tx ,Ty ) d (x ,Tx )d (y,Ty ) d (x , y ), d (x , y ) (1.2) với x, y X , x y Định nghĩa 1.1.4 [1] Cho (X , d ) không gian metric Ánh xạ T : X X gọi co yếu tồn (0,1) L cho d(Tx,Ty ) d(x , y ) Ld(y,Tx ) với x , y X (1.3) Định nghĩa 1.1.5 ([6]) Cho (X , d ) không gian metric, m số nguyên dương T : X X toán tử X i 1 X i biểu diễn cyclic X m T (i) Xi , i 1, , m tập khác rỗng; (ii ) T (X1 ) X 2, ,T (Xm 1 ) Xm ,T (Xm ) X Định nghĩa 1.1.6 ([6]) Cho (X , d ) không gian metric, A1, A2, , Am Pcl (X ), Y i 1 Ai với m số nguyên dương , T : Y Y tốn tử Ta m nói T ánh xạ co cyclic (i) m i 1 Ai biểu diễn cyclic Y T ; (ii ) d(Tx,Ty ) (d (x , y )), với x Ai , y Ai 1, i 1, , m , Am 1 A1 Ở đây, Pcl (X ) tập hợp tập đóng khác rỗng (X , d ) Định nghĩa 1.1.7 Cho (X , ) tập hợp thứ tự phận, T : X X ánh xạ Ta nói T tăng , x y Tx Ty với x , y X Định nghĩa 1.1.8 Cho (X , ) tập hợp thứ tự phận Dãy {x n } X gọi tăng , x n x n 1 với n Định nghĩa 1.1.9 Cho (X , , d ) không gian metric thứ tự phận Ta nói (X , , d ) qui với dãy tăng {x n } X cho x n x X n , tồn dãy {x n (k ) } {x n } cho x n (k ) x với k 1.2 Ánh xạ co Cho họ hàm số : [0, ) [0, ) thỏa mãn điều kiện: (P 1) hàm không giảm (P 2) k 0 k (t ) với t , k lặp thứ k Hàm gọi hàm (c) so sánh Định nghĩa 1.2.1 Cho (X , d ) không gian metric Ánh xạ T : X X gọi co tồn hàm cho d (Tx ,Ty ) (d (x , y )) với x , y X (1.4) Định nghĩa 1.2.2 ([8]) Cho (X , d ) không gian metric T : X X ánh xạ cho trước Ta nói T ánh xạ co tồn hai hàm : X X [0, ) cho (x , y )d (Tx ,Ty ) (d (x , y )), x , y X (1.5) Rõ ràng, ánh xạ co ánh xạ co với (x, y ) với x , y X (t ) kt, k (0,1) Định nghĩa 1.2.3 ([8]) Cho T : X X : X X [0, ) Ta nói T ánh xạ chấp nhận với x , y X ta có: (x , y ) (Tx ,Ty ) Kết đạt [7] tóm tắt sau: Định lý 1.2.4 ([7]) Cho (X , d ) không gian metric đầy đủ T : X X ánh xạ cho trước Giả sử tồn : X X cho (i) Bất đẳng thức (1.5) xảy ra; (ii ) T ánh xạ chấp nhận được; (iii ) tồn x X cho (x 0,Tx ) ; (iv ) T liên tục (v ) với {x n } X , x n x X (x n , x n 1 ) với n ,