R ánh xạ trong không gian mêtric

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sứ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC

Trang 2

LOT CAM ON

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đậu Thế Cấp đã tan

tình hướng dẫn và có những chỉ bảo quí báu trong suốt quá trình thực

hiện để em hoàn thành khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô phản biện đã cho

em những nhận xét quí báu để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong khoa về

những kiến thức cũng như những điều bổ ích mà thầy cô đã chỉ dạy trong

suốt bốn năm học

Tp Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 4 năm 2008

Trang 3

MUC LUC Lời mở đầu Chương 1 Một số khái niệm và tính chat cua r - ánh xạ Định nghĩa vả tính chất của r - ánh xạ Anh xạ co rút và cái co rút Co rút và thác triển ánh xạ r - dạng vả r - bắt biến Đồng luân vả co rút điểm Co rút điểm địa phương h — ánh xạ và trội đồng luân Các không gian đồng luân thường Một số vi dụ

Chương 2 r - ánh xạ đều địa phương 1 Ánh xạ liên tục đều địa phương 2 r—- ánh xạ đều địa phương Tài liệu tham khảo

OO

NDAAL

OWN

Trang 4

Khỏa luận tốt nghiệp r - ảnh xạ trong không gian mêtric Ị

LỜI MỞ ĐÀU

r - Ánh xạ là một khải niệm cơ bản của lý thuyết co rút, một ngành tôpô học ra đời

khoảng những năm 40 của thế kỷ trước Nhiều kết quả và phương pháp của lý thuyết co rút

đã xâm nhập vào nhiều ngành khác nhau của toán học như lý thuyết tập hợp, tôpô hình học,

tôpô đại số, giải tích ham, lý thuyết điểm bắt động

Khóa luận của chúng tôi đặt vẫn để khảo sát một số tinh chất của r - ánh xạ, cơ sở để nghiên cứu lý thuyết co rút

Vào những năm 70 - 80 của thẻ kỷ 20, lý thuyết co rút được nghiên cứu trong phạm trù không gian mêtric và ảnh xa liên tục đều vả đã thu được nhiều kết quả quan trọng Một

vai tac giả đã đẻ cập đến vân đề thác triển va co rút trong phạm trù không gian mêtric vả

ảnh xa liên tục đều địa phương

Đề chỉ ra bài toán tương tự trường hợp liên tục trong phạm trủ liên tục đều địa phương là không tảm thường, cần phải chỉ ra chủng là khác nhau Việc đâu tiên là phải chỉ ra được sự tôn tại của những ánh xạ liên tục không liên tục đều địa phương như một sự chuẩn bị đẻ khảo sát r - ảnh xa đều địa phương Và chúng tôi đã xây dựng được vỉ dụ vẻ một r - ánh xạ

không là r - ánh xa đều địa phương (ví dụ 2 3 chương 2) dựa trên vi du I2 chương 2 hoặc

định lý 1 3 chương 2 (vi dụ ! 2 chương 2 được xảy dựng trong [7])

Trong khỏa luận này chúng tỏi cũng đã chứng mình định lý 1 3 chương 2, cho một

điều kiến cần và đủ để một không gian mêtric không có điểm cô lập compắc địa phương đó

là mọ ánh xa liên tục trên nó đều liên tục đêu địa phương Ý tưởng của chứng mình dựa trên vi dụ 1,2 chương 2

Vi kiến thức còn hạn chế và thời gian đầu tư chưa nhiều nên khỏa luận củng chưa

được thật sâu sắc và chắc cỏn có sai sót Kính mong được các thay cé chi báo vả lượng thứ Ip He Chi Minh, thang 4 ndm 2008

Trang 5

Khỏa luận tốt nghiệp r ánh xa trong không gian mêtric +

Chương Ï

Một số khái niệm và tính chất của r - ánh xạ Trong khỏa luận cỏ sử dụng hai định lý đáng chú ý sau:

Định lý Tietze — Urysohn về thác triển, Gia sw E /a mỏi khong gian metric, A la mot

tập con đóng của E, và f là một ảnh xạ liên tục và bị chặn từ tập A vào R Khi đó f sẽ có thác triên liên tục g từ không gian E vào R

Định lý Brouwer về điểm bất động, Mfổi tập lôi compắc trong không gian Euclide hữu hạn chiều đều có tỉnh chất điểm bat động, tức là mọi ảnh xạ liên tục từ các tập con lỗi compắc của khong gian Euclide hữu hạn chiều vào chính nó đều có ít nhất một điểm bắt động

Trong khỏa luân, các không gian nói đến đều là các không gian mẻtric, tất cả các ảnh

xa đều liên tuc

1 Định nghĩa và tính chất của r - ánh xạ

1.1 Dinh nghia Anh xa f X—Y được gọi là r - ảnh xa nếu tổn tại ánh xạ g Y =>X lả nghịch phải của f Nghĩa là hop thanh fg: Y — Y Ia anh xa don v; 1 tu không

gian Y lên chỉnh no

Từ định nghĩa trên ta có một số tính chất của r - ánh xạ như sau 1.2 Dinh ly i) Mor phép dong phoi f -X —» Y đều là r - ánh xạ

ti) Morr - dnh xa f ` X —> Y đều là toàn ánh

Chimg minh 1) Hién nhién

1) Giả sử g Y => X lạ nghịch phải cua £ Ta có l z1 Y => Y và g(Y)C X, cùng có

nghĩa là mỗi ye Y đều thuốc X) Từ đó ta cỏ f là toàn anh

1.3 Dinhly (ho f NY lar ảnh vạ và g Y —*X là nghịch phat cuat Ahi do iW ĐẾ(x)= x &Jtr vở cÍt ki" xe (Vì

mad \ de tape com dome trome X ( lưng th ({ xì Elren nhàcn

Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp r - ảnh xạ trong không gian mêtnc 3

(©=) Nếu xeg(Y) thi tổn tại một điểm yeY sao cho x=g(y), nghĩa là

gf (x) = gfa(y) = g(y) = x

un) Gia sử {x„} C g(Y), x„ +x, X Khi đó 3y, e Y sao cho x„ = g(y„) với mọi n Tir dé taco y, =fa(y,)=f(x,) > f(x,) > x, =g(y„) => gf(xạ)

Do giéi han cla day la duy nhat nén x, =gf(x,) Tir do theo dinh ly 1.3 1) ta có x, €g(Y) Vay ef Y) la tap dong

1.4 Định lý Hợp của hai r - ánh xạ là r - ảnh xạ

Chimg minh, Gia sit f,:X— Y va f,:Y—Z là các r - ánh xa và g,: YX va

8; Z->Y lần lượt là các nghịch phải của chúng

Ta có f =f,f,:X => Z và g=eyg;:Z->X Khi đỏ fe(z) = f;f6y8;(2) = Í;g;(z) =z với mỗi ze Z Từ đỏ, suy ra ø là nghịch phải của £ Vậy f là r - ảnh xạ

1.5 Định lý, Nếu f:X ->Y là r - ánh xạ, Y„ C Y, X, =f"'(Y„) thì ảnh xạ thu hẹp f,ạ=f|X„ làr- ánh xạ từ X, lên Y,

Chứng minh Nêu g: Y —> X là nghịch phải của f thì ánh xa g„ = ø| Y,„ là nghịch phải của f,, vi voi mi y, € Y, c6 gu(y„)c X„ Từ đó, suy ra f,ga(y„)= fg(yg) =yụ

1.6 Nhận xét Xuất phát từ quan hệ fg =¡, ta suy ra ánh xạ h Y ->g(Y) cho bởi

công thức h(y) = g(y), y e Y lả phép đồng phôi không gian Y lên g(Y)c X

17 Định nghĩa Nếu tôn tại r - ảnh xạ f X —> Y thi ta gọi không gian Y là r - ảnh

của X Trong trường hợp nảy ta cũng nói X là r - làm trỏi lên Y, vá ta viết X>Y hoặc

Y<x

Neu X Y là hai không gian đồng phổi với nhau thí X >Y và Y<X xảy ra củng lúc 1.8 Dinh ly Moir anh cua khong gian X dong phot von tap con déng nao dé cna no,

Ching minh Gasa ff \ > ÝY lạ r - anh xạ và Y -*N la nehich phar cua f Khe do thee nlian set | 6 va dink hị L3 0ì ta có điều phát chưng mình

Trang 7

Khóa luận tốt nghiệp r - ánh xạ trong không gan mếtric 4

2 Ánh xạ co rút và cái co rút

2.1 Định nghĩa Giả sử Y là tập con của X Khi đỏ ánh xạ f X—>Y được gọi là ảnh xạ co rút (hay phép co rút) nếu ánh xa lỗng ¡: Y ->X là nghịch phải của f Nghĩa là

f(x)=x với mọi x€ Y Do f là ảnh xa liên tục nên ta nói f co X lên Y

Nói cách khác ta có thể xác định ánh xa co rút như là ảnh xạ f:X >X thỏa mãn phương trình ff - f,

2.2 Định lý Ảnh xạ f:X —> Y là r— ánh xạ khi và chỉ khi f có dạng lr, trong đó t là

phép co rủi, h là phép đồng phôi

Chimg minh (<=) Hiện nhiên

(=>) Giả sử f:X => Y là r - ảnh xạ với nghịch phải ø Ta đặt X, = g(Y), r = gf,

h=g'”-X„ => Y, ta nhận được r là phép co rút từ X lên X„, vả h là phép đồng phôi tir X, lên Y (nhận xét | 6) Khi đỏ f là hr, 2.3 Định nghĩa Tập con X,„ của không gian X được gọi là cái co rút của X nêu tôn tại một phép co rút từ X lên X,, 2.4 Định lý, Môi cái có rút của không gian X bắt kỳ thì đóng trong không gian đó Chứng minh Suy ra từ định lý 1 3 n)

2.5 Ví dụ Ký hiệu K" =̓x eE" '||x| <1} là hình cầu đóng đơn vị trong không gian Euclide n - chiếu Khi đó E* co rút về K”,

Chứng minh Đặt

x khixeK*" MX} = x khixe E"\K"

lịx

Ta nhân được anh xa r liên tục và t+ E* KP”, thoa mãn điều kiến f(x) =x với mọi xekK" D› do r là anh xa co rut tự EÊ lén K" hay R” lạ cai có rút của E”

2.6 Dinh ly Guar Ge la tap econ mer hy chan cua khome sean foc tide EP Kha do Ne EF” Gi Ahone la cat core cna khong gan F"

the heen Nguyen honk tem

Trang 8

Khóa luận tốt nghiệp r ~ ánh xạ trong không gian mêtfc s

Việc chứng minh định lý 2.6 được suy ra từ bổ đề sau đây:

2.7 Bỗ đề Néu X là tập con đóng của không gian Euelide E" và G là một trong những thành phản liên thông bị chặn của E"\X, thì không tôn tại ánh xạ liên tục

f:G—>X sao cho f(x)=x với mỗi xeG\G

Chứng minh Ta có thé gid thiét Oc G và đường kính của tập G là õ(G) <1 Giả sử K" là hinh cầu đóng đơn vị cỏ tâm tại O Nếu như tổn tai ánh xạ f như trong bố đề thi sẽ có mâu thuẫn That vay, ta dat _ |x] —f(x) khixeG [Fox Ta nhận được ảnh xạ @ biến K" lên biên S**' của K* Theo Định ly Brouwer ve khixe K*\G (x)= điểm bắt động thì sẽ có ít nhất một điểm x„ e K* sao cho (x,)=x, Vi GAS*'=@ va o(x,) €S"" nén x, © K"\G Tu dé, tacd —* =x, Do |x,||=1 nén —x, =x, (!) Ix

Suy ra không tồn tại ảnh xa f như trên

Từ bỏ để trên ta suy ra tập G\G không là cải co rút của G

2.8 Hệ quả Nếu X là cái co rút bị chặn của E*", với n > Ì thì E"\X liên thông Chimg minh Dé thay E"\X chi cé mét thanh phan lién thong khong bj chan, Mat khác nêu tôn tại thành phân liên thông bị chăn thì mâu thuẫn với bỏ đẻ 2 7

Từ định lý 2 4 suy ra mỗi! cát co rút bị chăn của E` hoặc là môt điểm hoặc lả một đoan thăng Tư đó ta có

1.9 Hệ quả Véu X là cát có rút bị chặn cua E` thì E'\X gồm hài thành phán liên thong

Trang 9

Khóa luận tốt nghiệp r ánh xạ trong không gan mêtrc 6

2.10 Hệ quả Biên S"”! của hình câu đóng đơn vị K" không là cái co rút của nó

Chứng minh Ký hiệu K" = {x e E* :|x||< 1}; S”" = {x e E* :|x||= I}

Khi đó, S"” là tập đóng trong E* Ký hiệu G là thành phân liên thông bị chặn của E"\S°” thì G=K" và G\G =§*”,

Theo bổ đề 27, không tôn tại ánh xạ liên tục f :G —>§""' sao cho f{x) = x với mọi

xeS**' Điều đó có nghĩa là G không co rút được vẻ S*®*

2.11 Định nghĩa Tâp con đóng X,„ của không gian X được gọ: là cái co rút lần cận

của X, nếu X¿ lả cát co rút của tập con mở U cX,và X;cU.,

Từ định nghĩa 2 l Ì ta suy ra răng mỗi cải co rút la co nut lin can cua nó,

2.12 Ví dụ Biên S" của hinh cầu đóng đơn vị K°*của không gian E" là cải co rút lan cân của không gian đỏ

Chứng minh Ta khoét đi điểm O của E", thì nhận được lân cận mở U = E* \{O}

Ta có S“'c=UC E* Ta đại =F) với mỗi xeU=E*\{O} Khi đó, ta nhận

được r liên tục và thỏa mãn điều kiên r(x) = x với mỗi x ES" Nhu vay, S$"! fa co nit lan cận của E*,

3 Co rút và thác triển ánh xạ

3.1 Định nghĩa Ánh xạ f X-»Y được gọi là thác triển liên tục của ảnh xạ

f, X„ =>Y ,nêu X„CX và f, trung với f | Xạ

Khái niệm thác triển ảnh xạ lén quan chất chế vơi khái niệm co rút

3.2 Dinh ly Tap con X, cua không gian X là củi có rút của nó khi và chỉ khi môi ảnh vạ f, X, => Y có thắc triển hen túc Ê X => Y (Y là không gian tùy Ý)

( hứng minh (=) Giá sự tòn tại phén có nú r X->X, thí đổi vớt mỗi ảnh xạ i oN, ¬Y ta đắt F =fr Khoi de tla anh xa thác tiến của £, Thật vảy ven cách đặt như trêu thị NX—>V liền tục và với nói x.eN, thị r{(x }=x, nên PÍx }=l {x }

Trang 10

Khóa luận tốt nghiệp r — ánh xạ trong không gian mêtric 7 (©) Nếu mỗi ánh xạ f, : X, —>Y có thác triển liên tục f:X —>Y thì trong trường hợp riêng, ánh xạ đồng nhất ¡ : X„ —> X,„ cỏ thác triển liên tục f :X —> X,„ là phép co rút

3.3 Định lý Tập con Y„ của không gian Y là cái co rút của nó khi và chỉ khi, nếu

với mỗi không gian X, mỗi tập con X, của không gian đó và mỗi ánh xạ f„: X„ —>Y sao cho £(X,)c Y,, thi tir sy ton tai một thac trién nao dé f':X — Y sé kéo theo ton tại thác

triển £ :X—» Y thoa man diéu kién £{X)< Y,

Chimg minh (=) Gia sit ton tai phép co rút r: Y —> Y„ và thác triển f“: X-—> Y của f, thì khi đặt f =irf’, voi i: ¥, > Y 1a anh xa lỏng, ta nhận được f là thắc triển của f, vả

f(X)C Y, Thật vậy, dễ thấy f(X)C Y„ và f :X — Y là hợp thành của ba ánh xạ liên tục

nên liên tục, Ngoải ra, với mọi xạ € X, thi f(x,) = irf'(x,) = (xạ) = fq(Xạ)

(©) Nếu Y„c Y có đầy đủ các tính chất như đã chỉ ra trong định lý thì ta lây Y thay cho X, Y, thay cho X, và ánh xạ lồng ¡: Yạ„ —> Y cỏ thác triển ƒ: Y ->Y thỏa mãn

f{(Y) Y, và nó cũng là ánh xạ co rút 4 r— đạng và r - bất biến

4.1 Định nghĩa Hai không gian X và Y được gọi la r - bảng nhau nêu mỗi không

gian là r - ảnh của không gian kia Nghĩa là X<Y và Y<X

Trong trường hợp đó ta viet X= Y

Dẻ thấy rắng quan hệ nảy có các tính chất: phản xa, đối xứng, bắc cầu Như vây, lớp

tắt cả các không gian được chìa thành các lớp không gian r - băng nhau không giao nhau từng đô: một Lớp không gian như vậy ta gọi la r - dạng Dé thay rang hai không gian đồng

phô: sẽ cùng thuộc mỗt dang

Néu X<¥Y hay quan hé Y <X không xay ra thị ta việt X<Y hay Y<X Khi đó ta nói Xr nhỏ hơm Y hav Yr lớn hơn N

Trang 11

Khỏa luận tốt nghiệp r ~ ảnh xa trong không gan mÊtric §

4.2 Định nghĩa Tính chất tôpô œ được gọi lả r - bất biến nếu đối với hai không gian X va Y là r— bằng nhau nếu X có tỉnh chất œ thì Y cũng có tinh chat a

Vì vậy, lý thuyết co rút có thể xem như lý thuyết các r - bất biến

Bởi vì tôpô học là lý thuyết các bắt biến tôpô, còn mỗi r - bắt biến 1a bắt biển tôpô Vì vay lý thuyết co rút là một phần của tôpô học

Chúng ta có nhiều tính chất tôpô như: tính compäc, tính liên thông, tỉnh chính tắc, tinh chiều, đều thuộc vẻ lớp r — bắt biến

4.3 Định nghĩa Ta nói X cỏ tình chất điểm bất đông nêu với rỗi ảnh xạ liên tục ọ: X +X thi tôn tại xạ€X sao cho qg(X„) = Xụ

4.4 Định lý Tính chất điểm bắt động là r - bắt biến

Chứng mình Giả sử f:X->Y là r - ảnh xa với nghịch phải g: Y +X và ụ:Y —> Y là ảnh xa bắt kỳ Khi đó hảm hợp thành @ = guf X => X có điểm bất động xu

nghĩa là @(x„) = xạ Tử đó f[@(x,)Ì= f(x„) hay w[f(x„)]= f (xạ) vi fg là ảnh xạ đơn vị

Từ đó ta có f(xạ) là điểm bắt động của ự Dinh lý được chứng minh

5 Đồng luân và co rút điểm

Cho hai không gian X, Y Ta ký hiệu YY là tập gồm mọi ánh xa tử X vào Y Giả sử X

compắc, ta có thê trang bị metric trong YŸ như sau:

P(ọ.) = supp(@(x),\w(x)) voig, ye Y `

Ký hiệu cặp khỏng gian (X,X,„)} gồm không gian X và tập con X, cua nd Cap

(X,@) ta xem như X

S.I Định nghĩa Ảnh xa cặp » (X,X,)—(Y-.Y,) hiéu là anh xa @ X —> Y thỏa mản điều kiện @(X,)C Y, Anh xá @ được gọi là r - anh xa néu ton tại ảnh xã

w (Y-¥,) 4(X.X,) sao cho ow dong nhật trẻn (Y.Y,)

Trang 12

Khoa luận tốt nghiệp r ~ ánh xạ trong không gan mêtríc ọ

Trường hợp riêng khi Y c X, Y, C Xạ, thì ảnh xa @:(X,X,)->(Y,Y„) được gọi là anh xa co rút nếu ánh xạ lồng ::(Y,Y,)—>(X,X,) là nghịch phải của Trong trường

hợp nay ta ndi cap (Y, Y,) la cai co rút của (X,X,)

§.2 Dinh nghia Khong gian ham Y* gém tat cả các ánh xạ me Y* thoa mãn

@(X,)c Y, được ký hiệu lả (Y, Y„ ƒ*"!

5.3 Định nghĩa Các ánh xa f,, f, e(Y,Y,)}*ŠÌ được gọi là đồng luän nếu với mỗi

te[0,1|, tổn tại ánh xạ f,c(Y,Y„)”"' liên tục phụ thuộc t và thỏa mãn f „=f,,

f_, =f, Khi đó ta cũng nói họ {f,} là họ đồng luân nỗi f, với f,

Dễ thấy rằng trong quan hệ đồng luân có tỉnh chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu trong

không gian (Y, Y, "` Do đó, quan hệ đó chia không gian ( Y, Y, ) ` *' thành những lớp

tương đương đồng luân

Ta ký hiệu mỗi lớp tương đương nảy lả [f k trong đó f là đai diện của nó Như vây,

[f] =[f'] khi và chỉ khi f đồng luân với f”

5.4 Định nghĩa Ta nói f, f, e(Y,Y,) `” là đồng luân yếu nếu chúng thuộc về

{X.X,,)

một thành phản liên thông của (Y,Y,) `”

Dễ thấy rằng đồng luân suy ra đồng luân yêu

5.5 Dinh nghia Tap con Ac X được gọi là co rút theo không gian X vào tập

BCX nếu ánh xạ lễng i: AX đồng luân với ảnh xạ f: Á =>X sao cho f(A)CB

Nếu B chỉ gồm một điểm thì tạ nói tập A co rút theo X vào một điểm

Trong trường hợp riêng ta noi không gian X có rút điểm nêu anh xa đồng nhất ¡:X—>X đồng luân với ảnh xạ F X —>X thoa man f(x)=a với moi xeX, a la mor điểm náo đo của N

Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp r - ánh xa trong không gian mêtric Ị(@ 5,6 Ví dụ Mọi tập con lôi A của không gian tuyến tính X là co rút điểm

Chứng minh Ta cô định ae A va dat f.(x) = ta+(I—t)x với xeA, te[0,1] Khi

đó ta nhận được họ đồng luân {f,} nổi ảnh xa déng nhất f, =¡ với ánh xa f, biến A vào

một điểm a Thật vay, ta có f, „(x) =x =i(x), f,,(x)=a với mọi xe A

5.7 Định lý Méu X co rút điểm thì r — ảnh của nó cũng có rút điểm

Chứng mính Chà sử f ' X —> Y là r = ánh xạ với nghịch phải g: Y ->X Vì X co rút điểm nên tổn tại họ đồng luân Íf,} c XỶ nổi ảnh xạ đơn vị f, với ảnh xạ f, biến X vào

một điểm Khi đó đặt g,(y) =(ff,g)(y) với mọi ye Y ta nhân được họ {g,}C YÌ sao cho

g, la anh xa đơn vị trên Y, còn g, biển Y vào một điểm Vậy Y co rút điểm

6 Co rút điểm địa phương

6.1 Định nghĩa Không gian X được gọi là co rút điểm địa phương tại điểm x,EX,

nếu mỗi lân cận U của x„ chứa lân cân U,„ co rút theo U vẻ một điểm

Không gian X được gọt là co rút điểm địa phương nếu nó co rút điểm địa phương tại

mọi điểm của nỏ Khi đó ta kỷ hiệu X e LC

Dễ thấy rằng mỗi tập con mở của không gian co rút điểm địa phương cũng co rút

điểm địa phương

6.2 Ví dụ Mỗi tập con lỗi A của không gian mêtric tuyên tính X là co rút điểm địa

phương

Chứng munh Lấy ac A tùy v có đình và U là lần cận của a trong A Ta co A co nit điểm vẻ a với họ đông luân {f,} wong vi du 5.6 De dang tim được lân can U, trong U sao

cho f,(U,)cU vor mor te [0.1] va kiém tra duge U, co rút theo LÍ về một điểm Vi du

được chưng mình

Trang 14

Khóa luận tốt nghiệp r = ánh xa trong không gian mêtric Ị

6.3 Định lý Giả sử X, là cái có rút của X và X là không gian co rút điểm địa phương tại x„ € X,.Khi dé X, co nit điểm địa phương tại xụ

Chứng mình Giả sử r: X =>X, la phép co nit va U la lan can cua x, trong X, Khi đỏ tập V =r!(U) là lân cân của x„ trong X Theo giả thiết X là không gian co rút điểm

địa phương tại x, nên tồn tại lân cân Vụ của xạ chứa trong V va V, co nit theo V về một điểm Nghĩa là tồn tại họ đồng luân {@,}C VÌ" nối ánh xa long g,: V, > V voi anh xa

hằng œ, biến V„ vào một điểm thuộc V

Vi V=r'(U), ta cỏ họ các ảnh xa @/:V„=>U được xác định bởi công thức

p, =(rp,)(x) voi xe V,, te [0.1] Nghĩa là ho {gi} Cc U™, Ta co tap U, = Vy 9X, AU

là lân cận của điểm x, trong X,

Thu hep y, =, \U, cia ho {@/} trên U„ xác định họ đồng luân {,} e U”*, nỗi ánh xa lổng tw„:U, —>U với ảnh xạ w, biến U„ vào một điểm thuộc U Như vậy U, co rút

theo U vào một điểm Định lý được chứng minh

6.4 Hệ quả Môi cái có rút của không gian có rút điểm địa phương là có rút điểm

địa phương

1 h— ánh xạ và trội đồng luân

Chúng ta đưa vào khải niệm h — ánh xạ Khái niệm nảy tông quát hơn khai niệm r -

ảnh xạ

7.1, Dinh nghia Ta noi anh xa f_(X,X,)—>(Y_Y,) lah — anh xa néu ton tai anh xa # (Y,Y„)->(X.X,}) sao cho fg:(Y,Y,„}—>(Y.Y„) đông luân với ánh xa đồng nhật Khi

đó ta nói ø nghịch phải động luân với f

Nếu tôn tại h - ảnh xa như trên từ (X.X.,) vào (Y,Y,) thi ta nor (X_X,,) làm trồi

đóng luân trên (VY, } va v tẻt (X.X.)z ¥, ) hav (4 Y.)s(X.X.)

Trang 15

Khda luận tốt nghiệp r ~ ánh xa trong không gian mêtric 12

Dễ thấy rằng, mỗi r - ánh xa là h ~ ánh xạ Bởi vậy, từ (X,X,)>(Y,Y,) suy ra (X,X,)>(Y,Y,) Khi X;, =Ø, Y, =Ø ta viết X2Y, X2Y

7.2 Nhận xét Nói chung từ (X.X,)z(Y,Y,) không suy ra được (X.X,)z(Y.Y,) Thật vây, ta chon X ={0}, Y =[0,1] Khi đó quan hệ X>Y không xảy ra nhưng quan

hệ X>Y xảy ra, vi ánh xạ f :[0,1] —» [0.1] biến cả đoạn thăng vào một điểm 0 đồng luân

với anh xa don v1

Nếu hai quan hệ (X.X,)>(Y,Y,) vả (X.X,)x(Y Y,) đồng thời xảy ra thì ta nói

(X.X,) và (Y, Y,) là đồng luân bằng vả viết (X, X,)=( Y, Y)

Nếu có (X,X,)=( Y, Y,) thì suy ra (X, X,}=( Y, Y,), điều ngược lại chưa hắn đúng

7.3 Định nghĩa Ta nỏi các cặp (X,X,„) và (Y, Y,) là tương đương đồng luân nêu tổn tại các ảnh xa f :(X,X,)—>(Y,Y„) vả g:(Y,Y,)—>(X,X,) sao cho fg va gf dong

luân với các ảnh xa đơn vi Trong trường hợp đó ta viết (X, Xạ)=( Y, Y,,)

7.4 Nhận xét Dễ kiểm tra được hai quan hệ - va z đêu là các quan hệ tương

đương Bởi vi khái niệm tương đương đồng luân mạnh hơn khải niệm đồng luân bằng nên trong một không gian được phan chia thành các lớp tương đương bởi hai quan hệ trên thì

các lớp tương đương được phản chia bởi = không rộng hơn các lớp tương đương được phan chia bo =

7.5 Định nghĩa Cấp (A.A,)C(X.X,) được goi là cải co rút biên đang của (X.X,,) néu ton tai ho dong luân {f,} trong khơng gian (X.X, Ì``*' nổi ánh xa f, =1 với

anh xa f, sao cho anh xa r (X,X,)—(A.A,) cho bởi công thức r(x) =f(x) với múi

xeX là anh xa có ru!

Trang 16

Khóa luận tốt nghiệp r — ảnh xa trong không gian mêtric 13

Ta nói (Y,Y,) là r - ảnh biến dang của (X,X,) nếu tổn tại ánh xạ

f:(X,X,)—>(Y, Y,) sao cho gf đồng luân với ảnh xa don vj tr (X,X,) vao chính nó (g là

nghịch phải của f) Khi đó ta nói f là r — ánh xạ biến dạng từ (X,X,} lên (Y, Yạ)

T.6 Định lý Nếu Y là r — ảnh biến dang cua X thì XsY và đo đó X=Y

Chứng minh Thât vậy, theo giả thiết thì tồn tại ánh xạ f:X-—>Y với nghịch phải g:Y=>X, sao cho gf:X->X đông luân với ảnh xạ đơn vị 1y :X=>X và fg: Y —> Y đồng luân với ánh xạ ¡y : Y -> Y Khi đỏ ta có X=Y

§ Các khơng gian đồng luân thường

8.1 Định nghĩa Không gian X được gọi là đồng luân thường trên tập A, nếu mỗi ảnh xạ @: A —>X đồng luân với ảnh xạ hằng

8.2 Định nghĩa Ta nói X đồng luân thường địa phương trên tập A tai x, € X, néu

mỗi lân cận U của điểm x, trong X chửa lân cận U„ của điểm x„ trong X sao cho mỗi anh

xạ (@: Á ->U với giá trị trong U„„ đồng luân với ánh xạ hẳng trong U^ Nếu điều kiện đỏ

thỏa mẫn tại mọi điểm của X thi ta nói X đồng luân thường địa phương trên A

8.3 Định lý Xếu không gian X đồng luân thường trên A thì mỗi t - ảnh của nó cũng đẳng luân thường trên A

( hứng mình Giả sử £Ð X =* Y là r — ảnh xạ với nghịch phải g: Y —>X Ta xét anh

xa bat ki w AY Khi do p=gy A-—>X dong ludn voi anh xa hing, bai vi X dong

luản thường tren Á

Khi đó, ảnh xạ è, X` => Yˆ*, cho tương ưng mỗi anh xa gy’: AX mot anh xa fi’ AY, lién tuc Noi néng fip= fey = yw đồng luân với ảnh xạ hãng Định lý được

chưng mình

Trang 17

Khóa luận tốt nghiệp r ánh xạ trong không gian mêtríc — 14 8.4 Định lý Giá sử X, là cdi co rút của không gian X và X đồng luân thường địa

phương trên A tại xạ e Xạ Khi đó X„ đông luân thường địa phương trên A tại điểm xạ

Chứng mình Giả sử r : X => X„ là phép co rút và U là lân cận của điểm xụ trong X,

Khi đó tập U, = V,>UCcUCV là lân cân của điểm x„ trong X, (V là lân cận của x,

trong X và chứa lân cận Vụ của x„ trong X thỏa điều kiện X đồng luân thường địa phương trén A tai x, e X,) Giả sử rằng @: A —> U là ánh xạ voi gia tri trong U, (@{A) Cc U,) Ta dat w =ip voi i: UV 1a anh xa long, ta nhan duge anh xa w A > V vai giá trị trong

V„ đông luân với ánh xa hẳng

Bởi vì 6, liên tục (r,:V —>UI lả ảnh xa co rút), ta có ảnh xạ ry =r,i@=(@ đồng

luân với ánh xạ hăng Định lý được chứng minh

8.5 Hệ quả Mỗi cải co rút cua không gian đồng luân thường địa phương trên A là đông luân thường địa phương trên A 9 Một số ví dụ 9.1 Ví dụ Chứng minh biên S*”' của hình cầu đóng đơn vị K" trong E* không có tính chất điểm bất động (hứng mình Ta lập ảnh xạ f:S"'—»+§*' được xác định bởi f(x,,x,, ,x,) =(—Xx,,—X; —x„ với mỗi (X,,X; x„)e S"” I Nhung vi |/x|| > 0 nén (—x,,-x,, -x, ) #(X),x), %, ) Tức là f(x) # x Nghĩa là, f không có điểm bắt động

9.2 Dinh nghĩa Một không gian X được gọi là liên thông địa phương tại điểm

peX nếu mỏi lân cân LÍ của p chưa một lân căn V liên thông và pe VU Không gian X được gọi la liên thông địa phương nêu no liên thông địa phương tài môi điểm của nó

Trang 18

Khóa luận tốt nghiệp r ~ ánh xa trong không gan mêtríc 1s

9.3 Ví dụ Mỗi cai co rút của không gian liên thông địa phương là liên thông địa

phương

Chứng mình Giả sừ X liên thông địa phương, Á là cái co rút của X với phép co rút

r:X->A Ta chứng minh A liên thông địa phương

Giả sử p là một điểm tùy ý của A, U lả một lân cận bắt kỳ của p trong A Do r liên tục

nên W =rˆ'(U) là một lân cận của p trong X Vì X liên thông địa phương tại p nên W chứa lân cân liên thông T của p trong X Đặt V =r(T), vì V chia lan can TOA cua p

trong A, và V lả ảnh liên tục của tập liên thông T, nên V lả lân cân hiến thông của p trong không gian A

Ta cỏ V =r(T), r(W)=U Từ đó suy ra rằng A liên thông địa phương tại p Do p là điểm tủy ý của A nên A liên thông địa phương

9.4, Vi dy Hay lay vi dụ vẻ tập lỗi không compắc trong không gian hữu hạn chiêu không cỏ tính chất điểm bắt đông

Chứng minh Ta chon tap lồi R c R là tập không compắc Xét ảnh xạ x x +2 voi mỗi xe R Khi đó, không tồn tại điểm x” thuộc R nào để x” =x" +2

Vậy R không có điểm bắt đông đổi với ánh xa trên

9,5 Ví dụ Lấy vi dụ chứng tỏ ánh xạ liên tục f không là r - ảnh xạ

Chứng mình Xét ảnh xa f [-3,3]>[-3,3], duge xác định bởi công thức

f(x)= (x -3x) Dé thay ring fla anh xa liên tục va ta sẽ chỉ ra rằng f không lả r - ảnh xạ Thật vậy, nêu f lả r - ảnh xạ thỉ tôn tại nghịch phải g- [-3.3]>[-3.3] Đặt s(~3) = x Khi đó -3=fg(-3)=f(x)=(x' -3x)Ì© x°-3x+l8=0

Phương trình này có nghiềm duy nhất x - -3, tức g(—3)=—3 Tương tự ta cũng có

2(3)=3 Do fu =1, nén ela don anh Do g hén tuc va nho dinh ly 1 3 1) churong I ta cog la anh xa dong phos Te do 1a suy ra [la anh xa đồng phối Điều đo không dung vi fhhdng phat la dom anh (140) = t3 =0)

Trang 19

Khỏa luận tốt nghiệp r - ánh xạ trong không gian matric ¡6

9.6 Vi dy Cho hai điểm a,be R, a<b Chứng minh rằng tập A =Ía,b} là cái co

rút lân cận của R, không là cái co rút của doan [a,b]

Chứng minh Ta khoẻt một điểm Š ~, ta được lân côn mở U=R\{*Š}, Lập ánh xạ €0 rút r: U —> A sao cho a+b a khi ~z%<x<—— r(x)= b khi BED coeds 2

Ta thu duge r la anh xa co nit va thoa man (x)= x voi moi x € A = {a,b} Vay A la

cải co rút lân cận của R

Bây giờ ta chứng minh tập A không lả cái co rút của đoạn [a,b]

Ta co R\A co thanh phan lién théng bi chin la G=(a,b) Khi do G=[a,b],

G\G=A Theo bổ để 27 chương I1, ta có kết luân: không tổn tai anh xạ liên tục

f G—>A sao cho f(x)=x với mỗi xeG\G Nghĩa là A không là cái co rút của đoạn [a,b]

Trang 20

Khóa luận tốt nghiệp r ~ ánh xạ trong không gian mÊtric |7

Chương 2

r — Ánh xạ đều địa phương 1 Ánh xạ liên tục đều địa phương

1.1, Định nghĩa Cho X, Y lả các không gian mêtric Ảnh xạ f :X => Y được gọi là

liên tục đều địa phương nếu với mọi xeX đều tổn tại lân cận VỊ sao cho f|V, liên tục

déu

Néu X la khéng gian métric compac dia phuong thi moi anh xa lién tuc là liên tục đều

dia phương

1.2 Ví dụ Tôn tại ảnh xạ liên tục không liên tục đều địa phương

Vi du sau day được xây dựng trong [7]

Kỹ hiệu x=[o\{*-nen| va f:- XR, f(x)=Š2°sn———~

co

Ta sẻ chứng mình f liên tục không liên tục đêu địa phương (tại O)

Chứng mình Ta có ere) liên tục trẻn X với mọi neN, Do

2n| x=

n

f(x <1 Vx e X me N nên chuỗi hôi tụ đêu vá f liên tục

Ta sẽ chứng minh f không liên tục đều địa phương bảng cách chỉ ra rang mot lan can

Trang 21

Khỏa luận tốt nghiệp r ~ ánh xa trong khơng gian mêtrc ¡g§ l I ee 1 ; ’ 2(n, +1)(2(m, +k) +4 ny +1" : 2(n, +1)2(m, +k) n, +1 xX, = | | ] Xét tap E= - + cU_ Rõ ràng x, xị e€E x,—-x¿, >0 khi (— ny +1 mẽ ` viền ào ` ñ

k>o vaf, (x, )-f.,(x)=l1-O=l VkeN,

Đặt f'= 5` 2ˆ*f, Ta thấy £' có thác triển liên tục từ E lên tập compắc E = Í' liên tục đều trên E

Ma If(x,)-f(x/)|=|f(x)-f(x4)+2''°|<|f(x)-f@)J+2z*”>z mem khi k —> z (do f liên tục đều trên E)

Suy ra f|U,„ không liên tục đều với mọi nạ eN

Vậy f không liên tục déu địa phương tại 0 e X =[eI]\|=n € NỈ (đpcm)

Khải quát hóa ví dụ 1.2 chúng tôi có định lý sau đây, chỉ ra sự tôn tại của ảnh xạ liên

tục không liên tục đều địa phương trên mọi không gian không compäc địa phương không có điểm cô lập

1.3 Dinh ly Cho X la khong gian không có điểm có lập Khi đó mọi ảnh xạ liên tục f.X—>R liên tục đều địa phương c© X compäc địa phương

Chimg minh (<=) Hién nhién

(=>) Gia sư X không compắc địa phương => 3x„ 6X sao cho mọi lan can cua x,

đều không la tap compac Dat B_ = 5| Xụ, ¬ thi B_ không compác vơi mọi n

n

Do B, không compäc nên tôn tại tập con vô hạn đếm được X, c H, {x} khang co

điểm gin han Vi \, không là điểm giới han cua X, nên tốn tài nu sào cho B, -¡ không chưa điểm nạo cai X, (vì nêu mọi B— X, #2 thị tạ có thẻ vhém ra dược mối đầy trong

N hội tú về x 10

Trang 22

Khỏa luận tốt nghiệp r ~ ảnh xa trong không gan mệtíc — Ịo

Do B, không compắc nên tổn tại tập con vô hạn đếm được X; cB, \{x;} không có điểm giới hạn Tiếp tục ta lại có n, sao cho B, _, không chứa phần tử nào của X,,

Tiếp tục qua trình trên ta có đây n,=l<n;<n,< và X, lả các tập vô hạn đếm

được không có điểm giới hạn trong B, \B, 41

Đặt X= fx; x, od Voi moi x, , dat comin (n, =i) a(x, „X \Í Ye

Ta có e >0, do X không có điểm cỏ lập nên tồn tại x, € s2) Theo cách

xây dựng của chúng ta rõ ràng X? =Íx/ ke NỶ là tấp gồm các điểm cơ lấp

Đặt A =U(X,‹+X;©fx,}) Ta sé chimg minh A dong trong X jt

That vay, vor moi x ¢ A, ton tar) sao cho xeB, \B, (B,, =X)

Nếu xeB, thì chon e¢=d(x,X,UXj), nếu xeB, với j >l, chọn

comin] Th yr dle X X1,)} Tacd B(x.e) OA =O Do 6 A dong trong X

n I)’

Ta xét h A —>[-I,1] với h(x,)= h(x’ )= h(x,)=0

Rõ rảng h liên tục tại mọi xe A\ƒx,} Tại xụ, với mọi e>0, chọn jeN sao cho

<£ Chọn es ~, VxeA d(x.x,)< ö thi xe B, do đó hx) ex, = [nix <> <e

Trang 23

Khỏa luận tốt nghiệp r — ánh xa trong không gian mêtric 24) Ta chứng minh h không liên tục đều địa phương Thật vậy với mọi lân cận U, của x, ton tại i X, UX, cB, cU, Tôn tai eee V5 >0, 3x,,x, :d(x, x, ) <8

nhung d(h’(x, ).h{x, )) = - = §,

Vay voi X khéng compac dia phuong ta đã chứng minh được tổn tại ảnh xạ h“:X—>R liên tục không liên tục đêu địa phương Định lý được chứng mình

Tai các điểm có lập thì X compäc địa phương vả hiển nhiên mọi ánh xa liên tục đêu

liên tục đều địa phương tại đỏ Một câu hỏi đặt ra là có tổn tại hay không một ảnh xạ liên tục không liên tục đều địa phương trên không gian chỉ có duy nhất một điểm giới han? Đình lý sau trả lời cho câu hỏi đó

1.4 Định lý Tỏn tại không gian X chỉ có một điểm giới hạn đụy nhất và trên X có một ảnh xạ liên tục không liên tục đều địa phương

Chứng mình Xét X= 15 -(4.) m.neN,n >mÌ.|(09)} với mêtric max min

trong R* RG rang X có một điểm giới hạn duy nhất là O=(0,0) Với mọi £ >0,

3m,eN sao cho l2) B(O.e)c<X với moi n>m, (*) Dây fy} ={X w, vÌ khơng có dây con hội tu Do đó B(O.,£) không compäc Từ đó X không compäc địa phương tại O = (0,0)

-I |

Ta xét £ X ->[-I.I| với f(x.)=Ÿ ) f(0)=0 Rõ rảng fla ham hén tuc trên X

m

[a chưng mình f không hiến tục đều địa phương tại © Thật vảy, trong mọt lân cận cua C) tạ

Trang 24

Khóa luận tốt nghiệp r ~ ánh xa trong không gian mêtríc 2|

Vậy trong không gian X ta đã chỉ ra được ảnh xạ f liên tục không liên tục đều địa phương Định lý được chứng minh

2 r— Ánh xạ đều địa phương

2.1 Định nghĩa Cho r - ảnh xa f X->Y với X, Y là các không gian mêtric r — ảnh xa f được gọi lả r - ánh xa đều địa phương (đều) nếu f là ảnh xạ liên tục đều địa

phương (liên tục đều) trên không gian X

Từ định nghĩa trên thi r — ảnh xạ đều địa phương (đều) có tat ca các tính chất của r —

ảnh xạ

2.2 Ví dụ Tỏn tại r — ánh xạ đều địa phương không là r - ánh xa đều Đặt X =(0,+z2)CR với mêtric thông thường, f :X —> X với f(x)=—

x

Ta thay f là phép đồng phôi đều địa phương do đó là r — anh xa déu dia phuong Tuy nhiên f không liên tục đêu trên X do đó không phải là r - ánh xạ đều địa phương

2.3 Ví dụ Tỏn tại r - ánh xạ không là r - ánh xạ đều địa phương Chimg minh, Ta xét x=[0\{* ne N} va f XR, n f(x)=-3 2" sin- — ay 2n(x-*) n Ta có fxs 24 =l VxeX vả f(0)=~Š'z*sn( =5 ]= Š*2 "=] i! el

Suv ra max f(x) =I Dat a =inf f(x) > aXf(x)<l WxeX

Ta xét N: fa - I.0]—»[a -1.0] VỚI g(X)= l me ‘is L0] f(x)-l khixeX Suv ra v liên tục vụ la anh xa co nut

Vũv g là mốt r - anh xu và ø không liên tuc đếu địa phương tài Ô do PF Khong hen tuc đéu địa ptươu: tại (chưng tình ơ vi lu | 2)

Ván pÌả not£ an xụ không lạt ánh xé đếu địa phường HET

‘tpg heres PL +, Te "Ị! Nest Se Ni ea oe ehh bier

Trang 25

Khóa luận tốt nghiệp r - ánh xa trong không gian mêtric ^^

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] K Borsuk, Theory of Retracfs, Mir Moscow, 1975

[2] Dau Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo Duc, 2003

[3] Đậu Thế Cáp, Tôpô đại cương, NXB Giáo Dục, 2005

(4] Tạ Khắc Cư, Lý thuyết co rút, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005

[5] J Dieudonné, Cơ sở giải tích hiện đại NXB Đại học va Trung hoc

Chuyên nghiệp, Hà Nội (Tập 1, 1973)

[6] S T Hu, Cơ sở giải tích toán học, NXB Đại học và Trung học Chuyên

nghiệp, Hà Nội, 1978

[7] Nguyễn Nhụy, Đậu Thế Cáp, Về định lý dán cho các co rút tuyệt đối đều địa phương Tạp chỉ toán học Số 4, 1981

(8] Nguyễn Tố Như, /nvestigating the ANR - property of metric spaces, Fund Math 124/1984

(9] Trần Tráng, Tôpô đại cương, Đại Học Sư Phạm TP.HCM, 2005

[10] Hoang Tuy, âm thực và giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội,

2003