không gian compact không gian compact bài 1 số lebesgue cho không gian metric xd và là một họ phủ mở của nó ta nói số là số lebesgue của họ phủ mở nếu chứng minh rằng trong một khong gian metri

Chứng minh hợp của một số hữu hạn các tập compact khác rỗng cũng là một tập compact.[r]

Không gian compact

-Bài ( Số Lebesgue ) :

Cho không gian metric (X,d) Gi i I họ phủ mở Ta nói số  0 số Lebesgue họ phủ mở Gi i I :

i

A X, diamA iG I : A G

       

Chứng minh khong gian metric compact , bao phủ mở có số Lebesgue

Chú ý :

Từ đề ta suy :

Họ phủ mở Gi i I (X,d) có số Lebesgue :

i

0 : A X,diamA i I : A G

         

Giải

Cho (X,d) không gian metric compact Gi i I họ phủ mở

Giả sử họ Gi i I khơng có số Lesgue :

n n

n i d iamA

n , A X : n

A G , i I





 

    

   



 (1)

Với n , ta chọn anAn dãy an không gian compact X nên tồn dãy con ankkhội tụ phần tử a X

Vì i

i I

X G



  nên tồn

0

i Isao cho : a G i0

Do Gi0mở X nên :  ra : B a, 2r a Gi0

Vì klim a  nk a nên tồn số tự nhiên k0đủ lớn cho :

a

r

k  ank0 B a, r a

Vì :

 

k 0

k0 k0

k0

n a

k

n n

n a

1 1

diamA r

n k

a A

a B a, r



  

  

  

   

nên : k   0

0

n a i

A B a, 2r G

Điều mâu thuẫn với (2)

Vậy , họ phủ mở Gi i I có số Lebesgue

Bài :

(i) Chứng minh không gian compact tiền compact

(ii) Từ (i) tập , suy : Để không gian metric (X,d) compact , ĐKCVĐ bao phủ mở X có bao phủ hữu hạn

Giải

(i) Giả sử (X,d) không gian compact

Nếu (X,d) khơng tiền compact tồn  0sao cho phủ X số hữu hạn hình cầu bán kính 

Lấy x1Xthì XB x , 1 

nên có x2B x ,   d x , x 1  Vì : XB x , B x , 

Nên có x3B x , B x ,   d x , x ,d x , x 1  2

Tiếp tục trình theo hướng quy nạp , ta tìm dãy xn n X cho d x , x m n  , m n

Như , dãy dãy xn n dãy Cauchy nên hội tụ (X,d) khơng compact ( mâu thuẫn )

(ii) a/ Phần thuận :

Giả sử (X,d) compact

Cho Gi i I phủ mở (X,d) tồn số Lebesgue 3 0sao cho :

  i

A X,diam A 3 i I : A G

Do (i) nên : 1 2 n n  i  i

x , x , , x X : X B x ,



     (1)

Vì : diamB x , k        2 3 , k 1, 2, , n

Nên :  k 1, 2, , n, i k I : B x , k   Gik (2)

    n ik k

1 2 X G



  

Như : từ phủ mở Gi i I X , ta trích phủ hữu hạn Gi k nk

 

b) Phần đảo :

Gỉả sử từ phủ mở (X,d) ta trích phủ hữu hạn

Cho xn n X tùy ý

Nếu Ax / n 1n  hữu hạn có dãy hội tụ dãy Nếu A vô hạn A khơng có điểm tụ :

   

x x

x X, r 0 : B x, r \ x A

      

Suy :  x X, rx 0 : B x, r xA x

Không gian compact nhận họ B x, r xx X làm phủ mở nên tồn phủ hữu hạn

 

B x, rxi 1 i n

Vậy :

 i  i

n n

i x i x

i i

A A X A B x , r A B x , r

 

 

 

       

 

 

   

n

i n

i 1 x x , x , , x

  

 A hữu hạn ( vô lý )

Vậy , A phải có điểm tụ x X tồn dãy

xnkk Ahội tụ x X

Vậy : X không gian compact

-Bài :

Chứng minh hợp số hữu hạn tập compact khác rỗng tập compact Giải

Giả sử : K , K , , K1 2 n là tập com pact

Ta chứng minh tập n i i

K K



 compact

Giả sử K có phủ mở  Gj j J Với i = , , … , n ,  Gj j J

 phủ mở tập compact Ki nên tồn phủ hữu hạn

 

 p

i

i j

1 p n G

 

Do : i  

p

n

n n i

i j

i i 1p

K K G

  

   

K có phủ hữu hạn   p

i

i j i n

1 p n G

  

trich từ phủ mở  Gj j J



Vậy , n i i

K K



 compact

-Bài :

Cho Kn n  dãy giảm tập compact khác rỗng không gian metric X Chứng minh tập n

n

K K



 

 tập compact không rỗng X

Giải

Với n, Kn , ta chọn xnKn

Ta dãy xn n tập compact K0nên tồn dãy

xnkk hội tụ x K

xnmm k Kmhội tụ x

Vậy ,x K , m m   

n n

n n

x K K K

 

    

 

  .

Ta chứng minh K compact

Cho dãy xm m K tùy ý cố định n tùy ý

Vì xmmKncompact nên tồn dãy hội tụ :

 

 k

k n

n m

k

x  x K

Vì : x K , n n    nên : n n

x K K



 



 .

Vậy : K compact

Bài :

Trong không gian metric E , cho dãy   n n n

x   a

Chứng minh tập K a x / nn   compact

Giải Cách :

Mọi dãy K dãy dãy xn n 

Vì   n n n

x  a nên dãy K hội tụ a K

Vậy : dãy K chứa dãy hội tụ a Vậy : K compact

Cách :

Gỉa sử Gi i I phủ mở K

Ta có : i

i I

a K G



   nên :

0

0 i

i I : a G

   .

Vì n

nlim x  a

 nên :

0

0 n i

n : x G , n n

Với n 1, 2, , n 0, ta có :xnGin Gi i I Vậy :

   n n

K a x



 

   

  



    0  0 i n

n

n n n

n n i i

n

n n n n

a x x G G G



  

      

      

      

 

  

Vậy , từ phủ mở Gi i I K ta trích đươc phủ hữu hạn  n

0

i 0 n n G

 

Vậy : K compact

-Bài :

Cho X,Y không gian metric ánh xạ f : X Ysao cho với tập compact KX, ta có f|K liên tục

Chứng minh f liên tục X Giải

Trong X , cho dãy xn n tùy ý hội tụ phần tử x X

Theo tập K x x / nn   compact Vì f|Kliên tục tập compact K nên :

   |K    |K  n  

n n

f x f x lim f x lim f x

   

   .

Suy : f liên tục x tùy ý thuộc X Vậy : f liên tục X

-Bài :

Cho X không gian metric compact , Y khơng gian metric tập A đóng XxY Chứng minh  

2

pr A đóng Y , pr : XxY2  Y, pr x, y2 ylà phép chiếu Y Giải

Cho dãy ynn pr A2  hội tụ y Y

Ta phải chứng minh : y pr A 2  y pr x, y , x, y 2   A

Vì ynn pr A2  nên :

 

 

n n n n

n n n x , y A n, x X :

y pr x , y

 



   

  

Vì xn n Xcompact nên có dãy hội tụ : 

k

k n k

x   x X

Vì  nk nk k

x , y dãy tập đóng A hội tụ (x,y) nên x, yA y pr x, y 2 pr A2  pr A2  đóng Y

Cách : ( Cách hướng dẫn tài liệu )

Điều phải chứng minh  Y \ pr A2 mở Y

Lấy tùy ý y Y \ pr A 2 thì y pr A 2 nên : x, yA, x X  Vậy : Với x X (x,y) thuộc tập (XxY) \ A mở trong XxY

Do , tồn tập Vxmở X Wxmở Y cho

x, yV xWx x XxY \ A (*)

Ghi : Đây tính chất không gian metric tich :

Nếu W mở khơng gian metric tích XxY tồn tập U mở X V mở Y cho : UxVW

( Xem phần chứng minh tính chất cuối giải )

Vì Vx x X  phủ mở tập X compact nên tồn phủ hữu hạn :

i

n x i

X V



 

Đặt :

i

n x i

W W



  mở Y (*) , ta có : W pr A 2   y W

  mở Y \ pr A , y Y \ pr A2    2 

Vậy : Y \ pr A2  mở Y , tức : pr A2  đóng Y (đpcm)

Ta chứng minh tính chất khơng gian metric tích giới thiệu phần ghi : Cho XxY không gian metric tích khơng gian metric X,Y :

Với W mở XxY , tồn U mở X V mở Y cho : UxVW

Chứng minh

Có thể giả sử : X,dX , Y, dY , XxY,dXxY với metric

   

     

XxY 1 2 X Y d x , y , x , y d x , x d y , y

Lấy phần tử x , y0 0Wthì x , y0 0là điểm W nên :

 

 

XxY 0

r : B x , y , 2r W

  

Đặt : U B Xx , r , W B0   Yy , r0  mở X , Y

Với x, yUxV, ta có :

   

     

XxY 0 X Y

d x , y , x, y d x , x d y , y   r r 2r

x, y BXxYx , y , 2r0 0 

 

Vậy : UxVBXxYx , y , 2r0 0 W ( đpcm )

-Bài :

Cho ánh xạ f từ không gian metric X vào không gian metric Y Ta gọi :  x,f x XxY / x X  đồ thị f

a) Chứng minh f liên tục X  đóng XxY

b) Cho Y không gian compact Chứng minh  đóng XxY f liên tục X

Giải

a) Giả sử f liên tục X

Giả sử x , f xn  nn dãy tùy ý  hội tụ (x,y) thuộc XxY

Vì : n n

x  x f liên tục x nên ta có :     n

n

f x  f x

Vậy :  n  n n    n

x ,f x   x, f x  

Vậy :  đóng XxY

b) Giả sử Y compact  đóng XxY

Ta phải chứng minh f liên tục X

Cách : ( Cách giải tự nhiên ) Ta phải chứng minh : Với B đóng Y f1 B đóng X Thật , cho B đóng Y

Giả sử xn n dãy f1 B hội tụ x X



Vì : xn n f1 B

 nên : f x nn B Vì B đóng tập compact Y nên B compact

Do f x nn B nên có dãy   k k

n n

f x hội tụ y B

Vậy , ta có dãy  nk  nk k

x ,f x tập đóng  hội tụ (x,y) nên phải có :

x, y f x  y B x f1 B

      

Vậy : f1 B đóng X Tóm lại , f liên tục X

Cách : Nếu f không liên tục một x0X nào đó :

   

 k 

*

k n

0 : k , n k : d f x ,f x

       (1)

Vì   nk k

f x dãy không gian Y compact nên tồn dãy hội tụ :  

k j

j

n

j

f x  y Y

 

 

 

  (2)

Trong tập đóng , dãy    k k  

j j

j

n n 0

j

x ,f x   x , y XxY

   

 

 

Vì  đóng nên : x , y0 0   y0f x 0 (3)

     nk j  0

j

2 3 lim f x f x

 

 1  d f x  nk j ,f x 0  , j *

  

Điều mâu thuẫn với (4) Vậy , f liên tuc X

Cách : ( Cách hướng dẫn tài liệu )

Cho B đóng Y , ta phải chứng minh f1 B đóng X

Đặt :   B XxB x,f x XxY / x X,f x  B Vì và XxB đóng XxY nên B đóng XxY

Xét phép chiếu X : pr : XxY1  X, x, y   pr x, y1  x Vì pr1B f1 B nên đpcm trở thành chứng minh  

1 B

pr  đóng X ( Đây kết câu b) ta thực lại cách tương tự )

Thật :

Xét dãy tùy ý xnn pr1Bhội tụ x X (i)

Ta phải chứng minh : x pr 1B, tức :

   

1 B x pr x, y

x, y

   

  



Với n , xnpr1B nên :

 

 

n n n n

n n B x pr x , y y :

x , y

  

 

  



Vì yn n Ycompact nên có dãy ynkk hội tụ y Y Vậy , ta có dãy x , ynk nkk  Bhội tụ (x,y)

Vì B đóng nên x, y  B x pr 1B

Vậy : pr1Bđóng X , mà pr1B f1 B nên f1 B đóng X