b Để chứng minh An không chia hết cho m ta có thể phân tích An thành tổng rồi chứng minh một số hạng nào đó của tổng không chia hết cho m còn tất cả các số hạng khác đều chia hết cho m .[r]
(1)Một số bài toán chứng minh, khó bậc trung học I Phương pháp giải các bài chứng minh : Một số cách giải bài toán chia hết : Cách : Để chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên tố p có thể xét trường hợp số dư chia n cho p Vd : Chứng minh số tự nhiên liên tiếp có số và số chia hết cho Giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là a, a +1, a + ( a thuộc N ) Ta xét trường hợp : TH1: a chia cho dư Suy : a chia hết cho TH2: a chia cho dư Ta có : a = 3q + a + = 3q +1 + a + = 3q + a + = 3q + a + = 3.(q + ) Suy : a +2 chia hết cho TH3 : a chia cho dư Ta có : a = 3q + a + = 3q +2 + a + = 3q + a + = 3q + a + = 3.(q + 1) Suy : a + chia hết cho Vậy số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Cách : Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m ta phân tích m = p q a) Nếu ƯCLN ( p,q ) = thì ta chứng minh A(n) chia hết cho p , A(n) chia hết cho q suy A(n) chia hết cho p q hay A(n) chia hết cho m Vd : Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n +2 Tích chúng là : A(n) = n ( n + ) ( n +2 ) * Ta chứng minh A(n) chia hết cho (2) Trong số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Suy : A(n) chia hết cho *Ta chứng minh A(n) chia hết cho Trong số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Suy : A(n) chia hết cho *Mà : ƯCLN( 2;3 ) = Do đó : A(n) chia hết cho Hay : A(n) chia hết cho Vậy tích 3số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Nếu ƯCLN( p,q ) khác thì ta tìm cách phân tích A(n) thành tích các thừa số đó có thừa số chia hết cho p, thừa số khác chia hết cho q Vd : Chứng minh tích số chẵn liến tiếp chia hết cho Giải Gọi số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n thuộc N ) Ta có : Tích chúng là A(n) = 2n ( 2n + ) = n ( n + ) = 2 n ( n + ) = 4n ( n +1 ) Ta có : chia hết cho n ( n + ) chia hết cho ( vì n ; n + là số tự nhiên liên tiếp ) Suy : A(n) chia hết cho Vậy tích số chẵn liên tiếp chia hết cho Cách : a) Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta có thể phân tích A(n) thành tổng chứng minh tất các số hạng tổng chia hết cho m Vd : Chứng minh A(n) = n^2 + 3n chia hết cho Giải Ta có : A(n) = n^2+ 3n = n^2 + n + 2n = n n + n + n = n ( n + ) + 2n Ta có : n ( n + ) chia hết cho ( vì n và n + là số tự nhiên liên tiếp ) 2n chia hết cho Suy : A(n) chia hết cho Vậy A(n) = n^2 + 3n chia hết cho b) Để chứng minh A(n) không chia hết cho m ta có thể phân tích A(n) thành tổng chứng minh số hạng nào đó tổng không chia hết cho m còn tất các số hạng khác chia hết cho m (3) Cách : Ta có thể sử dụng tính chất sau để chứng minh chia hết : Nếu : a = 1bs(d) + r thì a^n = 1bs(d) + r ^n ( < r < d ) Vd : Chứng tỏ A(n) = n ( n^2 – 49 ) ( n^2 + 49 ) chia hết cho Giải Ta xét trường hợp : TH1 : n là số chẵn Suy : n chia hết cho Do đó : n ( n.n – 49 ) ( n.n + 49 ) chia hết cho Vậy A(n) chia hết cho TH2 : n là số lẻ Suy : n = 1bs(2) + n^2= 1bs(2) + 1^2 n^2= 1bs(2) + Do đó : n^2 – 49 = 1bs(2) + – 49 = 1bs(2) – 48 Vì 1bs(2) + 48 chia hết cho nên n^2 – 49 chia hết cho Hay n ( n^2 – 49 ) ( n^2 + 49 ) chia hết cho Vậy A(n) chia hết cho Cách : Có thể sử dụng các công thức sau đây để chứng minh chia hết : a^2 – b^2 = ( a – b ) ( a + b ) (1) a^2 – b^2 = ( a + b ) ( a^2 – ab + b^2 ) (2) a^3 + b^3 = ( a + b ) ( a^2 – ab + b^2 ) (3) Một cách tổng quát : (1) a^2 – b^n = ( a – b ) M với n là số bất kì Trong đó : M = a^ n – + a^ n – b + .+ a b^ n – + b^n – (2) a^n – b^n = ( a + b ) N với n là số chẵn Trong đó : N = a^n – + a^n – b + .+ ab^n – + b^n – (3) a^n + b^n = ( a + b ) P với n là số lẻ Trong đó : N = a^n – – a^n – b + .+ ab^n – + b^n – Do đó : Theo (1)và(2) : _ a^n – b^n chia hết cho a – b ( a khác b và n là số bất kì ) _ a^n – b^n chia hết cho a + b ( a khác b và n là số chẵn ) Theo (3) : _ a^n + b^n chia hết cho a + b ( a khác b và n là số lẻ ) Chứng minh phương pháp quy nạp : Ta xét A(n) là số nhỏ Rồi giả sử nó đúng với số k Tiếp theo, ta cân chứng minh nó đúng với k + (4) Vd : Chứng tỏ : n ( n + ) chia hết cho Giải *Xét n = 0, ta có : ( + ) = = Mà : chia hết cho Do đó : n ( n + ) chia hết cho với n = *Giả sử : n ( n + ) chia hết cho với n = k, có nghĩa là k ( k + ) chia hết cho *Ta cần chứng minh : n ( n + ) chia hết cho với n = k +1 Ta có : ( k + ) ( k + + 1) =(k+1).(k+2) = ( k + ) k + ( k + ) Ta có : k ( k + ) chia hết cho ( k + ) chia hết cho Suy : ( k + ) ( k + + ) chia hết cho Vây n ( n + ) chia hết cho II Các kiến thức tổng quát thường sử dụng chứng minh : Tính số đoạn thẳng hình : ( n – ) n : ( n là số điểm và từ điểm trở lên ) Công thức tính tổng nhiều số hạng : Số số hạng : ( số cuối – số đầu ) : khoảng cách + Tổng số hạng : ( số cuối + số đầu ) : số số hạng So sánh hai lũy thừa : 1/Cách so sánh : a) Nếu a > b thì a^n > b^n ( vd : > thì 9^2 > 8^2 ) b) Nếu m > n thì a^m > a^n ( vd : > thì 2^5 > 2^3 ) 2/Để so sánh luỹ thừa ta thường dùng các công thức sau : Lũy thừa lũy thừa; Lũy thừa tích; Lũy thừa thương 3/Chú ý : Nếu a^m = a^n thì m = n ( a khác 0, a khác +/– ) Tính chất ƯC( a,b ) Nếu : a chia hết cho d,b chia hết cho d Suy : a + b chia hết cho d ( a – b chia hết cho d ) ( a, b thuộc N ) III Một số kiến thức bổ sung : Thuật tính Euclide : Ta có : a=b.q+r b=q1.r+r1 r=r1.q2+r2 r1=r2.q3+r3 (5) r n = r ( n +1 ) q ( n +2 ) + r( n +2 ) r(n+1)=r(n+2).q(n+3)+0 ƯCLN ( a ; b ) = r ( n + ) Một cách khái quát : Muốn tìm ƯCLN hai số đã cho, hai số đã cho mà số lớn không chia hế cho số nhỏ thì ƯCLN hai số đó là số dư cuối cùng khác dãy phép chia liên tiếp Vd : Tìm ƯCLN ( 152; 60 ) Giải Ta có : 152 : 60 = dư 32 60 : 32 = dư 28 32 : 28 = dư 28 : = dư Vây ƯCLN ( 152; 60 ) = Kiến thức nhận biết chữ số tận cùng : 1/Tích các số lẻ là số lẻ 2/Tích số tận cùng với số lẻ bất kì là số có chữ số tận cùng 3/Tích số tận cùng với số tự nhiên là số có chữ số tận cùng 4/Tích số chẵn với số tự nhiên là số chẵn 5/Chữ số tận cùng lũy thừa : a) 1^n = 5^n = 6^n = b) 7^4n = 9^2n = 9^4n = c) 2^4n = 4^4n = 8^4n = 4^2n = IV Các bài toán chứng minh Trung học : Các bài toán chứng minh đại số : 1/Chứng minh n + / n + là phân số tối giản 2/Chứng minh : 12^2n +1 + 11^n +2 chia hết cho 133 3/Chứng minh 4^n + 15n – chia hết cho 4/Chứng tỏ : a) /a/ lớn (a thuộc Z ) b) /a/ lớn a (a thuộc Z ) 5/Cho a;b thuộc Z Chứng tỏ : a – b và b – a là hai số đối 6/Chứng minh phân số sau là phân số tối giản : a) m + / m + (6) b) m + / m + c) 2m + / 3m + 7/Cho a / b là PSTG Chứng tỏ các phân số sau tối giản : a) a / a + b b) a / a – b 8/Chứng minh : / a – / a + k = k / a ( a + k ) 9/Chứng tỏ : ( n + ) ( n + 10 ) chia hết cho 10/Chứng minh : / + / 13 + / 25 + / 41 + / 61 + / 85 + / 113 < / 11/Cho a / b > c / d Chứng tỏ : ad > bc 12/Cho ad > bc Chứng tỏ : a / b > c / d 13/Chứng minh : 2^10 + 5^12 là hợp số 14/Chứng minh : 2005 2007 2009 2011 + 16 là số chính phương 15/Chứng minh : a) Nếu ( 4a + 3b ) chia hết cho thì ( 3a + 4b ) chia hết cho b) Nếu ( 5a + 3b ) chia hết cho 13 thì ( 4a + 31b ) chia hết cho 13 c) Nếu ( 2a + 3b chia hết cho thì ( 9a + 11b ) chia hết cho 16/Cho S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + … + 2^100 Chứng minh : S chia hết cho 15 17/Chứng minh : 10^n chia cho 45 luôn dư 10 18/Chứng minh : ( 43^42 – 17^17 ) chia hết cho 10 19/Chứng minh : 2^5 + 3^5 chia hết cho 20/Cho a / b > c / d Chứng tỏ : a + b / b > c + d / d 21/Chứng minh : Nếu a không chia hết cho thì a = 1bs(3) +/– 22/Chứng minh : Nếu a không chia hết cho 3, b không chia hết cho thì a + b chia hết cho a – b chia hết cho ( a > b ) 23/Chứng tỏ : a) Số aaaaaa chia hết cho b) Số abcabc chia hết cho 11 24/Chứng tỏ : Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 25/Chứng tỏ : Tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 26/Chứng tỏ : ( n + ) ( n + ) chia hết cho ( n thuộc N ) 27/Chứng minh : Nếu 3a + 7b + 4c chia hết cho thì 6a + 2b + 5c chia hết cho 28/Cho A = 11^9 +11^8 + 11^7 + … + 11^1 + Chứng tỏ : A chia hết cho 29/Cho B = + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^59 + 2^60 Chứng minh : B chia hết cho 3, cho và cho 15 30/Chứng minh : a) 10^n + chia hết cho b) 10^n – chia hết cho c) 10^2k – chia hết cho 31/Chứng tỏ : a) n ( n + ) ( n + ) chia hết cho b) n ( n + ) ( n + ) chia hết cho c) n ( n + ) ( n + ) chia hết cho 32/Chứng minh : ( a + b ) ( a – b ) = a^2 – b^2 33/Cho A = + + + + ( 2n – ) với n thuộc N Chứng minh A là số chính phương (7) 34/Cho A = n ( 2n + ) ( 7n + ) Chứng tỏ : A chia hết cho 2, 3, 35/Chứng minh : Nếu 2x + y chia hết cho 17 thì 3x – 7y chia hết cho 17 và ngược lại 36/Chứng minh : Nếu a không chia hết cho thì a = 1bs(3) +/– 37/Chứng tỏ : Nếu a không chia hết cho 3, b không chia hết cho thì a + b/a – b chia hết cho 38/Chứng minh : Nếu 3x + 5y chia hết cho thì x + 4y chia hết cho và ngược lại 39/Chứng tỏ : a) n.( 2n + ) ( 7n + ) chia hết cho b) n.( 2n + ) ( 7n + ) chia hết cho c) n.( 2n + ) ( 7n + ) chia hết cho 40/Chứng minh : Nếu 2x + 3y chia hết cho 13 thì 3x + 11y chia hết cho 13 41/Giả sử x = a/m, y = b/m ( a,b,m thuộc Z, m > ) và x < y Hãy chứng tỏ cho z = a + b/2m thì ta có x < z < y 42/Chứng minh : Nếu a/b < c/d ( b,d > ) thì a/b < a + c/b + d < c/d 43/Hãy chứng tỏ số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng 44/Chứng minh : ƯCLN ( a,b ) = 1, biết : a) a = n + b = 3n + b) a = 14n + 17 b = 21n +25 45/Chứng tỏ: 3^n+2 – 2^n+2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10 46/Cho a/b = c/d Chứng minh rằng: (7a^2 + 3ab)/(11a^2 – 8b^2) = (7c^2 + 3cd)/(11c^2 – 8d^2) Các bài toán chứng minh hình học : 1/Cho góc xOy tù; At song song với Ox; Az song song với Oy cho zAt là góc nhọn Chứng minh : góc zAt + xOy = 180 độ 2/Cho a vuông góc với c; b vuông góc với c; đường thẳng c cắt đường thẳng b B; điểm A nằm trên đường thẳng a; điểm C nằm trên đường thẳng b cho AB vuông góc với AC Chứng minh : góc Abc = góc ACB ( không dùng tính chất tam giác ) 3/Cho tam giác ABC có tia phân giác góc B cắt AC D Qua A vẽ đường thẳng song song với BD cắt BC E Chứng tỏ : góc BAE = góc BEA 4/Cho tam giác ABC có góc B = góc C Vẽ AH vuông góc với BC Chứng minh : góc BAH = góc CAH 5/Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa AC vẽ AD vuông góc với AB và AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa AB vẽ AE vuông góc với AC và AC Cho M là trung điểm BC, đường thẳng AM cắt DE H Chứng minh AH vuông góc với DE 6/Cho tam giác ABC; tia phân giác góc B và đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài đỉnh C cắt M Tia phân giác góc C và đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài đỉnh B cắt N a) Chứng minh: Góc BNC = góc BMC b) Chứng minh rằng: Góc BMC = Góc  : 7/Cho tam giác ABC có góc A = 900 Vẽ AH vuông góc BC (H thuộc BC ) Tia phân giác góc C và góc BAH cắt I Chứng tỏ: Góc AIC = 900 (8) 8/Cho đường thẳng a song song đường thẳng b, đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b a)Chứng minh: Hai tia phân giác hai góc so le song song với b)Chứng minh rằng: Hai tia phân giác hai góc cùng phía bù nhau( không dùng tính cất tam giác) c)Chứng tỏ: Hai tia phân giác hai góc đồng vị song song với 9/Cho góc BAE = 1000; góc EAC = 1200; góc ACD = 1400 Chứng minh: AB song song CD V.Một số bài toán khó Trung học : 1/Từ công thức bài phần IV, hãy tính các tổng sau : a) S = / + / + / + + / 99 100 b) X = / + / 12 + / 20 + + / 19 20 c) R = / + / + / + + / 99 100 2/Tìm chữ số tận cùng : a) 3^4 b) 3^8 c) 3^20 d) 3^2003 e) 7^2005 3/So sánh : a) 27^11 và 81^8 b) 625^5 và 125^7 c) 3^2n và 2^3n ( n thuộc N*) d) 21^15 và 27^5 49^8 4/Từ công thức bài 32 phần III, hãy tính tổng sau : M = 100^2 – 99^2 + 98^2 – 97^2 + + 2^2 – 1^2 5/Rút gọn phân số sau : + + 16 + 16 32 / + + 12 16 + 24 32 6/Trên hòn đảo có hai loại người : nói thật và nói dối Có hành khách ghé thăm đảo và tới thăm gia đình có vài người sống Anh ta hỏi : “ Ở đây có bao nhiêu người nói dối ? ” Một người gia đình trả lời : “ Có ít số chúng tôi thuộc nhóm người nói dối ” Vậy người này thuộc nhóm nói dối hay nói thật ? 7/Đố vui : Bản di chúc khó thực Một người cha để lại gia tài gồm 23 ngựa và di chúc sau : “Chia cho hai đứa 2/3 số ngựa, góp 1/6 sốngựa cho quỹ làng, dành 1/8 số ngựa để giúp trẻ em nghèo, và không giết thịt ngựa nào ” Bản di chúc thật “ hóc búa ” vì 23 ngựa không chia hết cho 3,6,8 Tuy nhiên, hai người hoàn thành tâm nguyện cha mình Họ đã làm điều đó nào ? 8/So sánh các lũy thừa sau : a) 16^19 và 8^25 b) 1331^4 và 144^6 c) 2^13 và 2^16 d) 10^30 và 2^100 e) 333^444 và 444^333 9/Đố vui : Tranh chấp gia tài (9) Ngày xưa, có ông quan thưởng hòm vàng lập công lớn ( biết hòm vàng và chia hết cho ) Lúc trước mất, vợ ông có bầu, ông dặn : “Nếu sinh trai thì hòm, mẹ hòm Nếu sinh gái thì hòm, mẹ hòm ” Nhưng, sau ông quan mất, bà lại sinh đôi trai, gái Liệu có cách nào để thực đúng lời vị quan ? 10/Cho x : y : z = : : Cho M = (x – y + z) /(x + 2y – z ) Tính M 11/ Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 200 Tia phân giác góc A cắt BC D Tính góc ADB và góc ADC 12/So sánh: a)64^4 và 21^12 b)3^21 và ^31 c)99^20 và 9999^10 d)3^34 và 5^20 (10)