Một số bài toán hay về đồ thị hàm số – Nguyễn Minh Tuấn

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị x2   hàm số y  bao  x  1  f  x   1 nhiêu? A C Nguyễn Minh Tuấn y O B D x y Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ đồng thời f  x    f  x   x  x   x   *  11 Biết hàm 2 số f  x   ax  bx  c ; g  x   mx  nx  p f  x   g  x   Tìm giá trị nhỏ hàm số g  x  x O C 2 D 4 A  1 B  Câu Biết đồ thị hàm số bậc : y  f  x  y cho hình vẽ bên Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox A C B D 4 x O y Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số f ' x  y  f   x  hình vẽ bên Xét hàm số g  x   f  x   x  4x  3m  với m số thực Để g  x   x    ;  điều kiện m A m  f C m  f          f D m  f   B m  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học  B O 13 x A Chinh phục olympic tốn | MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY y Câu Cho hàm số f  x  liên tục xác có đồ thị f '  x  định hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x2  x  ? A 10 B 11 C 12 D 13 x O  y Câu Cho hình vẽ đồ thị hàm số xc y  x a ; y  x b ; y  x c có đồ thị hình bên Khi tìm tổng giá trị nhỏ 2m xb giá trị lớn biểu thức T 3a2   2b  a  c  a2  5c  ac A 31 B 32 C 33 D 34 Câu Hình vẽ bên đồ thị hai hàm số y  log a x y  f  x  Đồ thị chúng đối xứng với qua thẳng y  x  Tính f  log a 2018  a 2018 B f  log a 2018   1  2018a a C f  log a 2018   1  2018 D f  log a 2018   1  2018a Câu Cho hàm số bậc ba m 0, xa  O x y đường y  log a x x O A f  log a 2018   1  g  x   f  mx  nx  p   m , n , p   y  x  y  f x y f  x  g x có đồ thị hình dưới, đường nét liền đồ thị hàm f  x  , đồ thị hàm nét đứt đồ trục đối xứng hàm g  x  Giá trị biểu thức f x thị hàm g  x  , đường x   P   n  m   m  p  p  2n  bao nhiêu? A C 12 | Chinh phục olympic toán B 24 D 16 O 2  x Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu Cho  a   b   a hàm số f x y  g x  có đạo hàm f  x  1 y  0;   n   Biết đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Khẳng định sau với x   a  1; b  1 A g  x   C g  x   f f   y  f x b 1 m b 1   B g  x   f  a 1 m  a O n x b D 10  g  x   m Câu 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm \b hàm số g  x  có đạo hàm y y  f x Biết đồ thị hai hàm số y  f '  x  , y  g '  x  hình vẽ Đặt h  x   f  x   g  x  S    h  x  b    h  b  x 2    2h c    h c  y  g  x  O a b c x với a,b,c số thực biết Khẳng định với x  là? A S   h  c  ; h  a  c   B S  h  c  C S   h  c  ; h  a  b   D S   h  a  ; h  c   Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm x  2 y xác định tập số thực có đồ thị hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m   20; 20  để hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị? A 210 B 212 C 211 D 209 Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học O x 2 Chinh phục olympic tốn | MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY Câu 12 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  Đồ thị hàm số y  f   x  , , y  g  x  , y  h  x  có đồ thị hình vẽ y  g ' x  y 10 y  f ' x  dưới, đường đậm đồ thị hàm số y  f   x  Hàm số 3  k  x   f  x    g  5x    h  x   2  O 34 x Đồng biến khoảng đây? y  h ' x   15  A   ;    1  B   ;  4  3  C  ;  8  3  D  ;   8  Câu 13 Cho hàm số f  x  , g  x  có đồ thị hình vẽ bên Biết x  1, x  điểm cực trị hàm số f  x  , g  x  đồng thời f    g   , f 6   g 1   f  5x  16   g  5x     *  Gọi M,m giá trị nhỏ biểu thức S  f  x   f  x   g  x     g  x   g  x  Tính tổng P  M  m ? y g x f x O 27 23 B C 4 Câu 14 Cho hàm số y  f  x  liên tục A đoạn  2;  có đồ thị đoạn  2;  hình vẽ Hỏi phương trình f x  f x   f x  2  có nghiệm thực đoạn  2; 3 ? A C x D 11 y  f x y 1 2 O x 1 B D 4 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN LỜI GIẢI y Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm x2   số y  bao nhiêu?  x  1  f  x   1 A C B D 4 O x Lời giải Hàm số có dạng f  x    k.x p  x  x1  y q 1 ; x1  6; p  1; q  x2   x2   q  q 1 f x  k.x p  x  x1  x   k.x p   x  x1  x   Trường hợp TCĐ p    p  đó: y x2   x2   q 1 q 1 p  2 f x  k.x  x  x1  x   k  x  x1  x2   Suy có TCĐ x  x1 Câu Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ y đồng thời f  x    f  x   x  x   x   *  Biết hàm số f  x   ax  bx  c ; g  x   mx  nx  p 11 f  x   g  x   Tìm giá trị nhỏ hàm số g  x  C 2 A  D 4 Từ  *  ta thay x   f    f   x O B  1 Lời giải a  b  Ta có x   y  1  c  1   x  2, y  11  f  x   x  x  c  1 Mặt khác x  x   g  x    m  x    n  x  1  p  mx  2mx  m  nx  n  p m  m  1    2  n  1  n   g  x   x  x ; g '  x   x  1; g '  x    x   p  1  n  p   Vậy giá trị nhỏ g  x    Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY Câu Biết đồ thị hàm số bậc : y  f  x  y cho hình vẽ bên Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox A C B D 4 O x Lời giải Số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox số nghiệm phương trình:  f   x    f  x  f   x     f   x    f  x  f   x  2 Giả sử đồ thị hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  e ,  a , b , c , d , e  ; a  0, b   cắt trục hoành Ox điểm phân biệt x , x , x , x Đặt A  x  x1 , B  x  x2 , C  x  x3 , D  x  x ta có: f  x   a  x  x1  x  x2  x  x3  x  x   a.ABCD  TH1: Nếu x  xi với i  1, 2, 3, g  xi    f   xi    Do x  xi , i  1, 2, 3, nghiệm phương trình g  x    TH2: Nếu x  xi với i  1, 2, 3, ta viết lại 1 1 1 f   x   a  BCD  ACD  ABD  ABC   f  x        A B C D 1  1 1 1  f   x   f   x        f  x       D   A B C D A B C 1  1 1 1   f  x        f  x       D   A B C D A B C 1  1 1 1  Suy ra, f   x  f  x   f  x        f  x       D   A B C D A B C 1   Khi g  x    f   x    f   x  f  x   f  x        x  xi  i  1, 2, 3,  D  A B C Từ suy phương trình g  x   vô nghiệm Vậy đồ thị hàm số y  g  x  khơng cắt trục hồnh | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN y Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f x hình vẽ bên Xét hàm f ' x  số g  x   f  x   x  4x  3m  với m số thực Để g  x   x    ;  điều kiện m 2 A m  f B m  f 3 2 C m  f    D m  f   3        13 B x O A Lời giải Ta có g  x    g  x   f  x   x  4x  3m    3m  f  x   x  4x  Đặt h  x   f  x   x  x  Ta có h  x   f   x   6x        h   f    6.5    h  f   6.5     Suy h    f          h    f    6.1   h  1   f   1   6.1       Từ ta có bảng biến thiên x h   h     h 0 h h Từ bảng biến thiên ta có 3m  h  5 m Câu Cho hàm số f  x  liên tục xác định f  5  5 y có đồ thị f '  x  hình vẽ Tìm số điểm y  f  x2  x  ? cực trị hàm số A 10 B 11 C 12 D 13 O  x Lời giải Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY Ta có y '   x   f '  x  x  , x  x  m có nghiệm m   Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f '  x  cắt trục hồnh điểm điểm có hồnh độ nhỏ 1  có tiệm cận Khi ứng với giao điểm có hồnh độ lớn  điểm 4 khơng xác định y '  có nghiệm Từ dễ dàng suy hàm y  f  x  x  có 11 cực trị! Câu Cho hình vẽ đồ thị hàm số y xc y  x a ; y  x b ; y  x c có đồ thị hình bên Khi tìm tổng giá trị nhỏ 2m xb giá trị lớn biểu thức T 3a2   2b  a  c  A 31 C 33 m 0, a2  5c  ac B 32 D 34 O xa  x Hướng dẫn Nhận thấy x   , ta có  c  2 b  c log    b log    c  b  log    a  0.5  a log   1  ac  b Đến thay vào biểu thức ta hàm biến đặt ẩn đưa khảo sát hàm biến! y Câu Hình vẽ bên đồ thị hai hàm y  log a x số y  log a x y  f  x  Đồ thị chúng đối xứng với qua thẳng y  x  Tính f  log a 2018  đường a 2018 B f  log a 2018   1  2018a a C f  log a 2018   1  2018 D f  log a 2018   1  2018a O x A f  log a 2018   1  y  x  y  f x Lời giải Gọi  b ; c   C  : y  log a x ;  e ; f   C  : y  f  x  Ta có hệ điều kiện c  f    b  e    b  c   f  e  b   f     b  c  e  f c   e  1  b  e    c  f     e   log a   f     f   a  e 1  f  1  a  e 1  f  x   1  a  e 1 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Vậy f  log a 2018  1  a log a 2018  1  Câu Cho hàm số bậc g  x   f  mx  nx  p   m , n , p  ba  2018a f  x  y g x có đồ thị hình dưới, đường nét liền đồ thị hàm f  x  , đồ thị hàm nét đứt đồ thị hàm g  x  , trục đối xứng hàm g  x  Giá trị biểu thức P   n  m   m  p  p  2n  bao f x đường x   nhiêu? A C 12 O 2  B 24 D 16 2 Lời giải Ta có f  x   ax  bx  cx  d  f '  x   3ax  2bx  c Hàm số đạt cực trị x  0; x  đồ thị qua điểm  1;  ,  0;  nên ta có  f '    a     f '    b  3   f  x   x  3x     f  1  c   f 0  d   Ta có g  x    mx  nx  p    mx  nx  p   Hệ số tự p  p  Đồ thị hàm số g  x  qua điểm  0;  nên p  p    p  Đồ thị hàm số g  x   f  mx  nx  p  có trục đối xứng x   nên đồ thị hàm số y  mx  nx  p có n     m  n 2m Đồ thị hàm số g  x  qua điểm  2;  nên trục đối xứng x   m  n  g  2    g  x    m     m       m  n    Do đồ thị có hướng quay lên nên ta suy m   m  n  p  Câu Cho  a   b   a hàm số y  g  x    0;   Biết đồ thị hàm số f x f   x  1  có đạo hàm y  f  x  hình vẽ Khẳng định sau với x   a  1; b   Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | x MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY y y  f x n m a O A g  x   f  b 1  m B g  x   f  a 1 n  x b C g  x   f  b 1  m D 10  g  x   Lời giải Ta có x   a  1; b  1   x     a ; b  , dựa vào đồ thị ta có 1 m  f  x  1  n    n f  x  1 m     Mặt khác  a   b   a dựa vào đồ thị ta thấy f  x  đồng biến  a  1; b  1 nên ta có f   a   f x  f   b   g x  f  Câu 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm \b hàm số g  x  có đạo hàm b 1 m  y Biết y  f x đồ thị hai hàm số y  f '  x  , y  g '  x  hình vẽ Đặt h  x   f  x   g  x  S    h  x  b    h  b  x    h  c     h  c   2 với a,b,c số thực biết Khẳng định với x  là? y  g  x  O a b c x A S   h  c  ; h  a  c   B S  h  c  C S   h  c  ; h  a  b   D S   h  a  ; h  c   Lời giải x  a Từ đồ thị cho ta suy h '  x   f '  x   g '  x  ; h '  x    f '  x   g '  x    x  c Lập bảng biến thiên ta có 10 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN x h ' x   a   c b + +  h c  h x h  a   Lại có S   h  b  x   h  c   h  b  x   h  x  b   h  c  Câu 11 Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định tập số thực có đồ thị hình vẽ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m   20; 20  để hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị? x  2 y 3 O x 2 A 210 B 212 C 211 D 209 Lời giải Chúng ta tính nhanh theo cơng thức hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị hàm số y  f  x  m  có điểm cực trị dương hàm số phải liên tục x0  Dựa vào đồ thị hàm số ta suy 1  m  m    m  20, 19, 18, , 3, 1, 0  2  m  m  2 Câu 12 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  Đồ thị hàm số y  f   x  , y  g  x  , y  h  x  có đồ thị hình vẽ dưới, đường đậm đồ 3  thị hàm số y  f   x  Hàm số k  x   f  x    g  5x    h  4x   đồng biến 2  khoảng ? Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 11 MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY y  g ' x  y 10 y  f ' x  O 34 x y  h ' x   15  A   ;    1  B   ;  4  3  3  C  ;  D  ;   8  8  Lời giải 15  3   Ta cần giải bất phương trình k '  x   f '  x    g '  x    4h '  4x     2   Không thể giải trực tiếp bất phương trình Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  , y  g '  x  , y  h '  x  ta nhận thấy f '  x   10, x   3;  ; g '  x   5, x , h '  x   5, x   3;  Do f '  a   g '  b   4h '  c   10  2.5  4.5  0, a , c   3;  , b  3  x      x  Đối chiếu với đáp án ta chọn ý C Vì ta cần chọn    x   Câu 13 Cho hàm số f  x  , g  x  có đồ thị hình vẽ bên Biết x  1, x  điểm cực trị hàm số f  x  , g  x  đồng thời f    g   , f 6   g 1   f  5x  16   g  5x     *  Gọi M,m giá trị nhỏ biểu thức S  f  x   f  x   g  x     g  x   g  x  Tính tổng P  M  m ? y g x f x O A 27 B 23 12 | Chinh phục olympic toán x C D 11 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Lần lượt thay x  2, x  vào  *  đồng thời kết hợp điều kiện ban đầu ta có hệ phương 2 f  2 f trình  2 f 2 f   1  g       g  1   f  1  g        g  1   f    , g  1    1  g    Từ giả thiết kết hợp đồ thị ta nhận thấy g  x  nghịch biến  1;  f  x  đồng biến  5  1; 6  g  x   1;  , f  x   1;  để đơn giản ta đặt u  f  x  , y  g  x   2 Ta có S  u2  2uy  y  u  y  f  u ; y  Coi hàm số theo ẩn u ta có 2y  35 5  Ta có f  1; y    y  y  y   y  y  2; f  ; y   y  y  2  f u '  u ; y   2u  y    u  5   f  ; y   f  1; y   0, y  1;  2  2y    2y     3 3  Xét y  1;   u   1;   1;  y   ;   u  2 2   2  2  2  3  5 Với y  1;    khảo sát hàm số f  u ; y  theo biến u  1;   2  2 35 23 5   f u  u ; y   f  1; y   y  y   ,và f u  u; y   f  ; y   y  y   4 2   5 3  Với y   ;    Lập bảng biến thiên cho hàm số f  u ; y  theo biến u  1;  ta có  2 2  2y  8y   2y    2y    f u  u; y   f  ;y    y  y  1  y  y    2     35 23 5  Và f u  u; y   f  ; y   y  y   4 2  23 23 27 Từ      max S  M  , S  m   P  M  m  1 4 y Câu 14 Cho hàm số y  f  x  liên tục y  f x đoạn  2;  có đồ thị đoạn  2;  hình vẽ Hỏi phương trình f x  f x   f  x    có nghiệm thực đoạn  2; 3 ? A C 1 2 B D O x 1 Lời giải Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 13 MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY Ta có đồ thị hàm y  f  x   hình vẽ ( phần trục Ox) y O Xét hàm số y  f  x    đoạn  0;  ta có y  Xét hàm số y  f  x  đoạn  2;  ta có x f x  2   , f x  f x    f  x   1 8  x   f  x     Suy VT  VP dấu “=” xảy  x   f  x   14 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học ... Chinh phục olympic toán | MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY Câu 12 Cho hàm số y  f  x  , y  g  x  , y  h  x  Đồ thị hàm số y  f   x  , , y  g  x  , y  h  x  có đồ thị hình vẽ y ...MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY y Câu Cho hàm số f  x  liên tục xác có đồ thị f '  x  định hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x2  x  ? A 10 B 11 C 12 D 13 x O  y Câu Cho hình vẽ đồ. .. tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | MỘT SỐ BÀI TỐN ĐỒ THỊ HAY Câu Biết đồ thị hàm số bậc : y  f  x  y cho hình vẽ bên Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f 