Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết rằng các đường thẳng AB, CD, BC và AD lần lượt đi qua các điểm 13 và đỉnh A có hoành độ là một số nguyên lớn hơn 2 3 THPT Nghèn..
Trang 1https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 1
2015 - 2016
(fb: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan )
TUYỂN TẬP HÌNH OXY VÀ CÁCH GIẢI
2: Các bài toán về hình vuông)
Trang 2
ĐỀ BÀI
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD,
biết rằng các đường thẳng AB, CD, BC và AD lần lượt đi qua các điểm
13 và đỉnh A có hoành độ là một số nguyên lớn hơn 2
3 (THPT Nghèn)
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của
AB và BC, biết CM cắt DN tại điểm 22 11,
5 (THPT Lạng Giang số 1)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
CD và BI Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết A(1;2), đường thẳng MN có phương trình x 2y 2 0 và điểm M có tung độ âm
6 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co ta m (3 1;
2 2), đươ ng tha ng chư a
ca nh AB, CD la n lươ t đi qua ca c đi m M(-4;-1), N(-2;-4) m to a đo đ nh B, bi t B co hoa nh đo a m
7 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co to a đo đ nh A(1;1) va đi m M( ; )
la trung đi m ca nh BC m to a đo đ nh D bi t no co tung đo a m
8 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đi m M( ,- ) tr n ca nh CD ao
cho DM 2CM, đi m N tr n ca nh AD ao cho tam gia c BMN vuo ng ta i M, phương tr nh đươ ng tha ng
Trang 3https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 3
10 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co N (1;2) la trung đi m ca nh BC,
bi t đươ ng trung tuy n cu a tam gia c AND co phương tr nh la x-y 1 m to a đo 4 đ nh cu a h nh vuo ng đa cho
11 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đi m (1;2) la trung đi m cu a
ca nh CD o i la mo t đi m tr n đoa n AC ao cho C A Bi t phương tr nh đươ ng tha ng B la x- i t phương tr nh ca nh AB
12 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho ba đươ ng tha ng d1:x3y0,d2: 2x y 5 0 va
3: 0
d x y m to a đo ca c đi m Ad1, Bd2 va C D, d3 ao cho ABCD la h nh vuo ng
13 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đ nh A, D thuo c tru c hoa nh va
hai đ nh B,C thuo c đươ ng tro n (C): 5 2 2
15 Trong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co C( ;- ) o i la mo t đi m tr n
ca nh BC, đươ ng tha ng A ca t CD ta i ; đươ ng tha ng D ca t B ta i Bi t G( ; 1), (1 1 1; )
2 E 2 2 va đ nh
A na m tr n đươ ng tha ng 2x- y 12 m to a đo đ nh B
16 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đi m A(1; ) o i la giao đi m
cu a hai đươ ng ch o AC va BD i t phương tr nh ca nh AD bi t 2 2 10 3 2;
đươ ng tro n no i ti p tam gia c ICD
17 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho hai đi m A(-11; ), B( ,- ) a p phương tr nh đươ ng
tha ng ong ong vơ i AB va ca t đươ ng tro n đươ ng nh AB ta i hai đi m pha n bi t C, D cu ng vơ i h nh chi u cu a C va D tr n AB ta o tha nh mo t h nh vuông
18 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co M, N la n lươ t la ca c đi m tr n
ca nh AB, BC sao cho 2
9
BN BC o i 2 2
( ) :C x y 2x y 5 0 la đươ ng tro n ngoa i ti p tam gia c DMN, đươ ng tha ng DN co phương tr nh la x 4y- m to a đo ca c đ nh h nh vuo ng ABCD
19 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đ nh A thuo c đươ ng tha ng
x-y-4 Đươ ng tha ng BC đi qua đi m M(4; ), đươ ng tha ng CD đi qua đi m N( ; 2) tho a ma n tam gia c AMN ca n ta i A m to a đo ca c đ nh h nh vuông ABCD
20 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đ nh A(-1;1) o i M la đi m tr n
ca nh BC tho a ma n MC 2MB va N la đi m tr n ca nh CD ao cho go c MAN= 0
45 m to a đo ca c đ nh B,
C bi t phương tr nh đươ ng tha ng MN la : 7x+y-24=0
Trang 421 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD va ta m ( ;-1), đ nh B(4; ) o i
la đi m na m tr n CD ao cho go c giư a đươ ng tha ng B va CD ba ng xa c đi nh bơ i cos 2
5
m
to a đo ca c đ nh A, C, D bi t co tung đo ương
22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC
Đường tròn ường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuồn ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2
23 (THPT Hù g Vươ g)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;-2) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và DC; là giao điểm của BN và CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x y -8 và điểm B có hoành độ lớn hơn 2
thuộc đường thẳng AF
25 Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AD là (d)
3x4y 7 0 Gọi là điểm nằm bên trong hình vuông ABCD sao cho tam giác EBC cân có góc BEC =
150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E2; 4
26 ( Trường THPT Thanh Chương I)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm Các điểm 10 11; ,
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có đường chéo AC phương trình là x y-10= 0 Tìm tọa
độ điểm B biết rằng đường thẳng CD qua điểm M (6; 2) và đường thẳng AB qua điểm N( 5; 8)
28 TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG – Lần 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I3; 1 , điểm M trên cạnh CD sao
cho MC2MD Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đường thẳng AM có phương trình
2x y 4 0 và đỉnh A có tung độ ương
29 TRƯỜNG THPT H ỀN Đ – Lần 2
Trang 5https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 5
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD có điểm C(2; -2) Gọi điểm I, K lần lượt là trung điểm của DA và DC; M(-1; -1) là giao của BI và AK Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ ương
HƯỚNG DẪN GIẢI
B 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD,
biết rằng các đường thẳng AB, CD, BC và AD lần lượt đi qua các điểm
ABCD là hình vuông nên d N AB , d Q BC , hay
Đường CD đi qua N2; 4 và song song với AB nên phương trình CD x y 6 0
Đường AD đi qua Q3; 7 và song song với BC AD có phương trình x y 4 0
13 và đỉnh A có hoành độ là một số nguyên lớn hơn 2
Trang 6a
HE DH DHE DNC g g
N A
D
B
C M
Trang 7https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 7
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của
AB và BC, biết CM cắt DN tại điểm 22 11,
I
M
N A
D
B
C
Trang 8MN 26 IM 13 (22 5a) (7 a) 13
a 5 26a 234a 520 0
Với a 5 I(8; 5) A(11; 9) (loại)
Với a 4 I(3; 4) A(1;1) (t / m)
Gọi E là tâm hình vuông nên E c 1: c 3 EN 11 c; 5 c
c (loai) 5
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
CD và BI Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết A(1;2), đường thẳng MN có phương trình x 2y 2 0 và điểm M có tung độ âm
Trang 9https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 9
+ ADMN là tứ giác nội tiếp AMN ADN 45 0 AMN vuông cân tại N TừM MN và
MN AN 5 tìm được M có tọa độ là (4;1) hoặc (0; 1) Do M có tung độ âm nên M(0; 1)
+ Gọi K AM BD K là trọng tâm ADC
2
và KI 1DI NI 3NK.
3 5
Từ đó tìm được I(1; 0).
là trung điểm của AC nên tìm được C(1;-2)
M là trung điểm của CD nên tìm được D(-1;0)
là trung điểm của BD nên tìm được B(3;0)
6 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co ta m (3 1;
2 2), đươ ng tha ng chư a
ca nh AB, CD la n lươ t đi qua ca c đi m M(-4;-1), N(-2;-4) m to a đo đ nh B, bi t B co hoa nh đo a m
HD
Xác định điểm M’, N’ lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua I
M’ thuộc CD=> viết được pt đường CD qua M’ và N
N’ thuộc AB=> viết được pt đường AB qua N’ và M
+ Tính khoảng cách từ đến AB > độ dài cạnh hình vuông
> tính được IA=> toạ độ điểm A, C, B, D
Lời giải:
+ Gọi M’, N’ lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua (th o định lí Ta –lét)
M’ thuộc CD=> tọa độ của M’( ,2)
=> viết được pt đường CD qua M’ và N là 2x3y8
N’ thuộc AB=> tọa độ của N’( ; )
=> viết được pt đường AB qua N’ và M là : 2x3y 5
mà hoành độ của đỉnh B âm nên ta có B(-1,1) và A(2,3)
Từ đó ta tính thêm được C(1,-2) và D(4,0) Vậy tọa độ B là (-1,1)
7 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co to a đo đ nh A(1;1) va đi m M( ; )
la trung đi m ca nh BC m to a đo đ nh D bi t no co tung đo a m
N'
M' I
A
D
B
C M
N
Trang 10HD
ính độ ài AM > độ dài cạnh hình vuông
+ Gọi toạ độ điểm C(a, b) => toạ độ điểm B (theo a, b) nhờ trung điểm M
+ Dựa vào 2 dữ kiện sau ta sẽ tìm được a, b:
Gọi H là trung điểm AD HM=AB và HM vuông góc với AD
Đặt AH=HD=a thì AD=2a, AM=a 5 mà AM= 2 5 nên a=2=AH=HD
Thế y= 5-2x vào phương trình (1) ta có x=1 hoặc x= 13/5
8 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đi m M( ,- ) tr n ca nh CD ao
cho DM 2CM, đi m N tr n ca nh AD ao cho tam gia c BMN vuo ng ta i M, phương tr nh đươ ng tha ng
BN 2x-y- m to a đo đ nh B
HD
+ Sử phương pháp hình vuông cơ ở
- Xác định toạ độ các điểm A, B, C, D, M,
- Viết phương trình MN vuông góc với BM
Xác định được toạ độ điểm N là giao MN và AD
- Viết P đường BN
Xác định được khoảng cách từ M đến BN
+ Quay trở về hình vuông ban đầu
- ính được khoảng cách từ M đến BN
=> Tỷ số đồng dạng giữa 2 hình vuông > ính được độ ài đoạn BM
+ Tham số hoá điểm B th o BN > tính được toạ độ B
Lời giả : (C ch hô g hường)
Đặt cạnh hình vuông là 3a, DM=2a, MC=a
D
B
C
Trang 11ì trường hợp a=1 số dễ tính toán hơn nên ta thử trước để x m đúng hay ai
*TH1: Nếu D(1,-1) thì B(-1,1) thỏa mãn đề bài hi đó C(-1,-1)
*TH2: Nếu D(2,6 ; ,2,2) … xét tương tự để loại trường hợp này
Trang 1210 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co N (1;2) la trung đi m ca nh BC,
bi t đươ ng trung tuy n cu a tam gia c AND co phương tr nh la x-y 1 m to a đo 4 đ nh cu a h nh
vuo ng đa cho
HD
Do N không thuộc đường 5x-y 1 > đường trung tuyến sẽ qua điểm A hoặc điểm D
TH1: A thuộc 5x-y+1=0
+ Sử phương pháp hình vuông cơ ở
- Xác định toạ độ các điểm A, B, C, D, N=> toạ độ trung điểm I của ND
- Viết phương trình A
Xác định được khoảng cách từ N đến AI
+ Quay trở về hình vuông ban đầu
- ính được khoảng cách từ N đến AI
=> toạ độ điểm I (I thuộc 5x-y+1=0)
=> Tỷ số đồng dạng giữa 2 hình vuông > ính được độ ài đoạn NA
A thuộc 5x-y+1=0 => toạ độ điểm A
ìm được I => toạ độ điểm D
Dựa vào BN vuông góc với AB và 2BN=AB => toạ độ điểm B > tìm được C
TH2: D thuộc 5x-y+1=0 các bạn làm tươ g ự
11 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đi m (1;2) la trung đi m cu a
ca nh CD o i la mo t đi m tr n đoa n AC ao cho C A Bi t phương tr nh đươ ng tha ng B la x-
i t phương tr nh ca nh AB
HD
Ta chứng minh tam giác BFE vuông cân tại F
bằng cách tính độ dài 3 cạnh theo cạnh hình vuông
F(2, -1) , hi đó B( , ) hoặc B(-1,-2)
Xét 1 trường hợp với B( , ) trường hợp ia xét tương tự
Gọi là gđ của BF và DC => IF=3 BF => F( -7, -4)
Trang 13https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13
Gợi ý : Cách dựng hình vuông MNPQ nội tiếp tam giác ABC
Với M, N thuộc BC, P thuộc AC, Q thuộc AB
Dựng hình vuông BCED trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứ A
Chứng minh M thuộc AD, N thuộc AE
13 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đ nh A, D thuo c tru c hoa nh va
hai đ nh B,C thuo c đươ ng tro n (C): 5 2 2
Gọi M là trung điểm của AD =>IM d I , Ox1
Gọi là trung điểm của BC, a là độ dài cạnh hình vuông hi đó ta có
=>ABCD nội tiếp đường tròn (C) nhận tâm làm tâm đối xứng
A thuộc Ox=> A(a, 0) Từ
2 2
N M
Trang 14https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 14
=>Toạ độ D, B, C Dựa vàox Ax để loại 1 trường hợp D
14 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho đươ ng tro n (C): 2 2
Dễ nhận thấy tâm I thuộc D > để ABCD ngoại tiếp đường
Tròn thì AEIF phải là hình vuông (E, F là 2 tiếp điểm của
AB, AD với đường tròn)
15 Trong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co C( ;- ) o i la mo t đi m tr n
ca nh BC, đươ ng tha ng A ca t CD ta i ; đươ ng tha ng D ca t B ta i Bi t G( ; 1), (1 1 1; )
2 E 2 2 va đ nh
A na m tr n đươ ng tha ng 2x- y 12 m to a đo đ nh B
HD
+ Viết P đường CD qua C có VTPT: EC
+ Viết P đường DE qua E, G
>tìm đc toạ độ D là giao điểm CD và DE
+ A thuộc d => dựa vào AD vuông góc với DC => toạ độ điểm A
+ B thuộc EC=> dựa vào AB vuông góc với BC=> toạ độ B
16 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đi m A(1; ) o i la giao đi m
cu a hai đươ ng ch o AC va BD i t phương tr nh ca nh AD bi t 2 2 10 3 2;
+ Gọi cạnh hình vuông là a, bán ính đường tròn
I
Trang 15+ Sử phương pháp hình vuông cơ ở, gắn hệ toạ độ Oxy
Xác định toạ độ các điểm A, B, C, D, I, J >độ dài cạnh hình vuông và bán kính R
hi đó ta xác định được cosin của góc JAD=> viết được phương trình đường AD qua A hợp với
AJ 1 góc JAD
17 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho hai đi m A(-11; ), B( ,- ) a p phương tr nh đươ ng
tha ng ong ong vơ i AB va ca t đươ ng tro n đươ ng nh AB ta i hai đi m pha n bi t C, D cu ng vơ i h nh chi u cu a C va D tr n AB ta o tha nh mo t h nh vuông
HD
CÁCH 1: Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C, D xuống A, B hi đó
Để CDFE là hình vuông thì CE=2EI=2x
(do CD//AB và C, D thuộc đường tròn nên C, D
đối xứng nhau qua đường trung trực AB > cũng vậy)
>tìm được toạ độ điểm E qua E thuộc AB, IE=5 => toạ độ C, D
CÁCH 2: ìm đượcI(-1,-2) phương trình đường thẳng AB là x+2y=-5
Kẻ IH vuông góc với CD ta có IH=CE=2.IE=10
Phương trình đi qua và vuông góc với CD là 2x=y
Trang 16Gọi H(a,2a) thì IH2=100=(a+1)2+(2a+2)2 (a+1)2=20 a= 2 5 1 hoặc a= 2 5 1
*TH1: Nếu H(2 5 1, 4 5 2) thì phương trình CD là x 2y 10 5 5
*TH2: Nếu H(2 5 1, 4 5 2 ) thì phương trình CD là x 2y 10 5 5
18 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co M, N la n lươ t la ca c đi m tr n
ca nh AB, BC sao cho 2
Đó là PT của đường DC=> C là hình chiếu của N xuống DC=> tìm được C=>B=> A”
Gọi n(a,b) là VTPT của DN, n2 ( 3,4) là VTPT của đt DC
cos NDC = 9
130 =
2 2
3 45
- tương ứng với 2 điểm D thì ta tìm được 4 phương trình đt DC
19 rong ma t pha ng to a đo Oxy, cho h nh vuo ng ABCD co đ nh A thuo c đươ ng tha ng
x-y-4 Đươ ng tha ng BC đi qua đi m M(4; ), đươ ng tha ng CD đi qua đi m N( ; 2) tho a ma n tam gia c AMN ca n ta i A m to a đo ca c đ nh h nh vuông ABCD
HD
a tìm trung điểm I của đoạn MN
=> viết pt đường thẳng ’ qua và vuông góc với MN
Vì AM=AN=> A thuộc ’
> ìm được điểm A là giao điểm của và ’
+ Viết phương trình đường thẳng qua A hợp với AI một góc 450
C B
D A
M
N I
C B
D A
N M