Hình Oxy: Các bài toán hay về hình vuông (cực chất)_Nguyễn Bá Tuấn

Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn 2015 - 2016 (fb: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan) TUYỂN TẬP HÌNH OXY VÀ CÁCH GIẢI 2: Các toán hình vuông) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn ĐỀ BÀI Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình cạnh hình vuông ABCD, biết đường thẳng AB, CD, BC AD qua điểm M  2;4 , N  2; 4  , P  2;2  , Q 3; 7  (THPT Phù Cừ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm N (1; 2) thỏa mãn NB  NC  điểm M (3;6) thuộc đường thẳng chứa cạnh AD Gọi H hình chiếu vuông góc đỉnh A xuống đường DN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết khoảng cách từ điểm H đến cạnh CD 12 đỉnh A có hoành độ số nguyên lớn 2 13 (THPT Nghèn) Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N trung điểm  22 11  AB BC, biết CM cắt DN điểm I  ,  Gọi H trung điểm DI, biết đường thẳng AH cắt CD  5 7  P  ,1 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết hoành độ điểm A nhỏ 2  (THPT Thuận Thành số Bắc Ninh) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm M(5;7) nằm cạnh BC Đường tròn đường kính AM cắt BC B cắt BD N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD , biết hoành độ đỉnh C nguyên hoành độ đỉnh A bé (THPT Lạng Giang số 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M, N trung điểm CD BI Tìm tọa độ điểm B, C, D biết A(1;2), đường thẳng MN có phương trình x  2y   điểm M có tung độ âm rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co tam ( ; ), đương thang chưa 2 canh AB, CD lan lươt qua cac m M(-4;-1), N(-2;-4) m toa đo đ nh B, bi t B co hoanh đo am rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co toa đo đ nh A(1;1) va m M( ; ) la trung m canh BC m toa đo đ nh D bi t no co tung đo am rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co m M( ,- ) tr n canh CD ao cho DM 2CM, m N tr n canh AD ao cho tam giac BMN vuong tai M, phương tr nh đương thang BN 2x-y m toa đo đ nh B rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co A(1;1) oi M la trung m canh BC, K( ; ) la h nh chi u vuong goc cua D l n AM m toa đo cac đ nh lai cua h nh vuong, bi t B 5 co hoanh đo xB 0) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn Ta có NB  NC   CN  CB nên N nằm B C cho 2a a 13 CN  CB   DN  CD  CN  3 Có ADH 2a  DH  13  NC  DNC ( g.g )  DHE AD DH a    DN NC a 13 13 2a HE DH DNC ( g.g )    13  NC DN a 13 13 A B P N M H 13 2a HE  2   2  a  Giả sử VTPT AD n  (a; b) với (a  b2  0) D C E PT AD: ax  by  3a  6b  a  d ( N , AD)   2a  8b a b 2   7a  16ab  23b  a  b   (a  b)(7a  23b)    7a  23b  rường hợp 1: a + b = => pt AD : x  y   Kẻ NP  AD  pt NP : x  y    P  AD  NP  P(2;1)  AP  BN  BC   m  1(TM )   A(1; 2)   AP    m   3( L )  A  AD  A(m; m  3)( M  2)   Từ ta tìm B(2; 1), C(1; 4) Do A(1;2), B(2; 1), C(1; 4), D(4; 1) Trường hợp 2: 7a  23b  => pt AD : 23x  y 111   86 13  NP  AD  pt NP : x  23 y  53   P  AD  NP  P  ;    17 17  93   AP  BN  BC  m  ( L)    17   AP    111  23m  m  79 ( L) A  AD  A(m; )(m  2)   17  rường hợp không thỏa mãn (THPT Nghèn) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N trung điểm  22 11  AB BC, biết CM cắt DN điểm I  ,  Gọi H trung điểm DI, biết đường thẳng AH cắt CD  5 7  P  ,1 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết hoành độ điểm A nhỏ 2  Lời giải: Ta có MBC  NCD  CM  DN Vì AH  DN nên AMCP hình bình hành P trung điểm CD, AIP  900 Đường thẳng AI vuông góc với PI qua I có dạng 3x  y  22  12 9  Gọi A(2  4t ,  3t )  IA   4t  ,3t   5  2 12   9  AI  PI   4t     3t     t  0, t   5  5   43  Nếu t    A  ,  (l )  5 Nếu t   A(2, 4) Đường thẳng AP :2 x  y   0, DN  AP qua có ạng x  y  Ta có  16  DN  AP  H  ,   D(2,1)  C (5,1)  B(5, 4)  5 Vậy A(2, 4), B(5, 4), C(5,1), D(2,1) (THPT Thuận Thành số Bắc Ninh) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm M(5;7) nằm cạnh BC Đường tròn đường kính AM cắt BC B cắt BD N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD , biết hoành độ đỉnh C nguyên hoành độ đỉnh A bé Lời giải: Gọi tâm đường tròn đường ính AM trung điểm AM Dễ thấy MIN  sdMN  2MBN  90 Điểm C  d : 2x  y    C(c; 2c  7) M A B  11  ;   2 Gọi H trung điểm MN  H  Phương trình đường thẳng trung trực MN qua H N vuông góc với MN d : x  5y  17  I Điểm I   I(5a  17;a) H https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan D P Trang C Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn MN  (1; 5)  MN  26 IM  (22  5a;  a)  IM  (22  5a)2  (7  a)2 Vì MIN vuông cân I MN  26  IM  13  (22  5a)2  (7  a)2  13 a   26a  234a  520    a  Với a   I(8; 5)  A(11; 9) (loại) Với a   I(3; 4)  A(1;1) (t / m)  c1   11  c  Gọi E tâm hình vuông nên E  : c    EN   ;5  c     Suy C(7;7) =>E(4;4) Pt BD: x  y   0,pt BC : x    B(7,1)  D(1,7) AC  BD  AC.EN   11  c    (2c  8)(5  c)    Vì  (c  1)   c  7(t / m)  5c  48c  91    c  13 (loai)  (THPT Lạng Giang số 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Gọi M, N trung điểm CD BI Tìm tọa độ điểm B, C, D biết A(1;2), đường thẳng MN có phương trình x  2y   điểm M có tung độ âm Lời giải: A B J N I K C M + Gọi J trung điểm AI  DMNJ hình bình hành Xét tam giác AND có J giao điểm hai D đường cao AJ NJ nên J trực tâm, o AN  DJ  AN  MN  N hình chiếu A MN ìm N(2; 0) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn + ADMN tứ giác nội tiếp  AMN  ADN  450  AMN vuông cân N Từ M  MN MN  AN  tìm M có tọa độ (4;1) (0; 1) Do M có tung độ âm nên M(0; 1) + Gọi K  AM  BD  K trọng tâm ADC AM  AK  1  ìm K  ;  3  3 + NI  BI KI  DI  NI  NK Từ tìm I(1; 0) trung điểm AC nên tìm C(1;-2) M trung điểm CD nên tìm D(-1;0) trung điểm BD nên tìm B(3;0) rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co tam ( ; ), đương thang chưa 2 canh AB, CD lan lươt qua cac m M(-4;-1), N(-2;-4) m toa đo đ nh B, bi t B co hoanh đo am HD Xác định điểm M’, N’ điểm đối xứng M, N qua I  M’ thuộc CD=> viết pt đường CD qua M’ N  N’ thuộc AB=> viết pt đường AB qua N’ M + Tính khoảng cách từ đến AB > độ dài cạnh hình vuông A B M N N' I M' > tính IA=> toạ độ điểm A, C, B, D Lời giải: D C + Gọi M’, N’ điểm đối xứng M, N qua (th o định lí Ta –lét)  M’ thuộc CD=> tọa độ M’( ,2) => viết pt đường CD qua M’ N x  y   N’ thuộc AB=> tọa độ N’( ; ) => viết pt đường AB qua N’ M : x  y  5 + Tính d(I,AB) => Gọi B(x, 13 => IA=IB=IC=ID = 13  IB2 = 13/2  x  1 2x  ) mà IB  6,5   x  1,5  (0,5)2  6,   x  mà hoành độ đỉnh B âm nên ta có B(-1,1) A(2,3) Từ ta tính thêm C(1,-2) D(4,0) Vậy tọa độ B (-1,1) rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co toa đo đ nh A(1;1) va m M( ; ) la trung m canh BC m toa đo đ nh D bi t no co tung đo am https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn HD ính độ ài AM > độ dài cạnh hình vuông + Gọi toạ độ điểm C(a, b) => toạ độ điểm B (theo a, b) nhờ trung điểm M  AB + Dựa vào kiện sau ta tìm a, b:   AB.BM  Lời giải Gọi H trung điểm AD  HM=AB HM vuông góc với AD Đặt AH=HD=a AD=2a, AM=a mà AM= nên a=2=AH=HD  x 1   y 1 Đặt tọa độ H(x,y) ta có AH   2  x2  y  x  y  (1) MH   2a   16   x  5   y  3  x2  y  10 x  y  34 (2) 2 Lấy (1)- (2) ta : 2x+y=5 Thế y= 5-2x vào phương trình (1) ta có x=1 x= 13/5 Nếu x=1 ta có H(1,3)  D(1,7) loại  21 9  Nếu x=13/5 ta có H(13/5, -1/5) nên D  ;   thỏa mãn đề  5  rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co m M( ,- ) tr n canh CD ao cho DM 2CM, m N tr n canh AD ao cho tam giac BMN vuong tai M, phương tr nh đương thang BN 2x-y m toa đo đ nh B HD A N B + Sử phương pháp hình vuông   Xác định toạ độ điểm A, B, C, D, M, Viết phương trình MN vuông góc với BM Xác định toạ độ điểm N giao MN AD Viết P đường BN Xác định khoảng cách từ M đến BN M + Quay trở hình vuông ban đầu - ính khoảng cách từ M đến BN D C => Tỷ số đồng dạng hình vuông > ính độ ài đoạn BM + Tham số hoá điểm B th o BN > tính toạ độ B Lời giả : (C ch hô g hường) Đặt cạnh hình vuông 3a, DM=2a, MC=a Gọi ND x hi ta có AN  3a  x  NB2  18a2  6ax  x2 NM  x2  a , MB2  4a  9a  13a https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 10 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn Do tam giác BMN vuông  BN  BM  NM  18a  6ax  x  13a  x  a  4a  6ax   2a  x 2a  2a  130a NB  18a  6a       2 13  2a  NM     a  a , MB  13a   Kẻ chân đường cao hạn từ M xuống BN Mà IM=d(M, d)=  IN  IN NM IM   , CMTT :  IM MB IB , IB  Tọa độ I(1;-1), gọi B  m; 2m  3 ta có IB2  180   m  1   2m     m  1  36  m  5, m  2 Vậy B(-5,-13) B(7, 12) rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co A(1;1) oi M la trung m canh BC, K( ; ) la h nh chi u vuong goc cua D l n AM m toa đo cac đ nh lai cua h nh vuong, bi t B 5 co hoanh đo xB KD= AD AM a 2a 5 Phương trình đường thẳng KA x+2y=3 > phương trình D qua ( , ) vuông góc với KA : 2x-y= 5 Đặt D(a,2a-3) với KD2  3,   a  1,8   2a   0,   a  a  2 13 ì trường hợp a=1 số dễ tính toán nên ta thử trước để x m hay *TH1: Nếu D(1,-1) B(-1,1) thỏa mãn đề hi C(-1,-1) *TH2: Nếu D(2,6 ; ,2,2) … xét tương tự để loại trường hợp https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 11 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn 10 rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co N (1;2) la trung m canh BC, bi t đương trung n cua tam giac AND co phương tr nh la x-y m toa đo đ nh cua h nh vuong đa cho HD Do N không thuộc đường 5x-y > đường trung tuyến qua điểm A điểm D TH1: A thuộc 5x-y+1=0 + Sử phương pháp hình vuông - Xác định toạ độ điểm A, B, C, D, N=> toạ độ trung điểm I ND - Viết phương trình A A  Xác định khoảng cách từ N đến AI B + Quay trở hình vuông ban đầu - ính khoảng cách từ N đến AI N => toạ độ điểm I (I thuộc 5x-y+1=0) I => Tỷ số đồng dạng hình vuông > ính độ ài đoạn NA A thuộc 5x-y+1=0 => toạ độ điểm A ìm I => toạ độ điểm D C D Dựa vào BN vuông góc với AB 2BN=AB => toạ độ điểm B > tìm C TH2: D thuộc 5x-y+1=0 bạn làm tươ g ự 11 rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co m (1;2) la trung m cua canh CD oi la mot m tr n đoan AC ao cho C A Bi t phương tr nh đương thang B la x- y i t phương tr nh canh AB HD B A Ta chứng minh tam giác BFE vuông cân F cách tính độ dài cạnh theo cạnh hình vuông F  F(2, -1) , hi B( , ) B(-1,-2) Xét trường hợp với B( , ) trường hợp ia xét tương tự Gọi gđ BF DC => IF=3 BF => F( -7, -4) Phương trình AB : 3x-4y=15 C E D 12 rong mat phang toa đo Oxy, cho ba đương thang d1 : x  y  0, d2 : x  y   va d3 : x  y  m toa đo cac m A  d1 , B  d va C, D  d3 ao cho ABCD la h nh vuong HD https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 12 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn A P Q B M C N D E Gợi ý : Cách dựng hình vuông MNPQ nội tiếp tam giác ABC Với M, N thuộc BC, P thuộc AC, Q thuộc AB Dựng hình vuông BCED nửa mặt phẳng bờ BC không A Chứng minh M thuộc AD, N thuộc AE 13 rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A, D thuoc truc hoanh va hai đ nh B,C thuoc đương tron (C): (x  )2  ( y  1)2  m toa đo cac đ nh h nh vuong ABCD bi t xA  xD HD 5  Đường tròn (C)có tâm I  ;1 bán kính R  nằm đường trung trực cuả BC > 4  A B thuộc trung trực AD Gọi M trung điểm AD => IM  d  I ,Ox   Gọi trung điểm BC, a độ dài cạnh hình vuông hi ta có IK  IM  a   a , BK  a , IB  R  2 I M K C D IB  IK  KB a2 5a   1  a      2a   a  4  IA  IB  IM  AM    =>ABCD nội tiếp đường tròn (C) nhận tâm làm tâm đối xứng 5  A thuộc Ox=> A(a, 0) Từ IA    a    12   a  , a  4 4  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn =>Toạ độ D, B, C Dựa vào xA  xD để loại trường hợp 14 rong mat phang toa đo Oxy, cho đương tron (C): ( x  4)2  ( y  3)2  va đương thang x y-1 Xac đinh toa đo đ nh A cua h nh vuong ABCD ngoai ti p đương tron (C), bi t rang m A nam tr n HD Đường tròn (C)có tâm I  4; 3 bán kính R  Dễ nhận thấy tâm I thuộc D > để ABCD ngoại tiếp đường Tròn AEIF phải hình vuông (E, F tiếp điểm AB, AD với đường tròn) AI  2R  2 Có A thuộc d=> A(a, 1- a)  AI    a    4  a  2 2   a   a  2, a   A  2, 1 , A  6, 5  15 Trong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co C( ;- ) oi la mot m tr n 1 canh BC, đương thang A cat CD tai ; đương thang D cat B tai Bi t G( ; 1), E ( ; ) va đ nh 2 A nam tr n đương thang 2x- y 12 m toa đo đ nh B HD + Viết P đường CD qua C có VTPT: EC + Viết P đường DE qua E, G >tìm đc toạ độ D giao điểm CD DE + A thuộc d => dựa vào AD vuông góc với DC => toạ độ điểm A + B thuộc EC=> dựa vào AB vuông góc với BC=> toạ độ B 16 rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co m A(1; ) oi la giao m   10   cua hai đương ch o AC va BD i t phương tr nh canh AD bi t J  ;  la tam m 2   đương tron noi ti p tam giac ICD HD B A Cách + Gọi cạnh hình vuông a, bán ính đường tròn nội tiếp tam giác DC R hi có J I https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 14 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn IJ  R  a2  a  2 + Ta có  R   R  R   aR  R  a   IJ   R  2    4R2  4aR  a  1 + Mặt khác  10   69  30 AJ       2  AJ   AI  R   R 2  69  30  a  2aR  R   Từ (1) (2) ta được: a  23  10 , R    1 23  10 Cách + Sử phương pháp hình vuông ở, gắn hệ toạ độ Oxy Xác định toạ độ điểm A, B, C, D, I, J >độ dài cạnh hình vuông bán kính R hi ta xác định cosin góc JAD => viết phương trình đường AD qua A hợp với AJ góc JAD 17 rong mat phang toa đo Oxy, cho hai m A(-11; ), B( ,- ) ap phương tr nh đương thang ong ong vơi AB va cat đương tron đương nh AB tai hai m phan bi t C, D cung vơi h nh chi u cua C va D tr n AB tao mot h nh vuông HD CÁCH 1: Gọi E, F hình chiếu C, D xuống A, B hi Để CDFE hình vuông CE=2EI=2x D C (do CD//AB C, D thuộc đường tròn nên C, D đối xứng qua đường trung trực AB > Ta có  vậy) AB  CI  CE  CI  x  x  5x A E I F B 5.102  x  x   IE  >tìm toạ độ điểm E qua E thuộc AB, IE=5 => toạ độ C, D CÁCH 2: ìm I(-1,-2) phương trình đường thẳng AB x+2y=-5 Kẻ IH vuông góc với CD ta có IH=CE=2.IE=10 Phương trình qua vuông góc với CD 2x=y https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 15 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn Gọi H(a,2a) IH2=100=(a+1)2+(2a+2)2  (a+1)2=20  a=  a= 2  *TH1: Nếu H (2 1,  2) phương trình CD x 2y 10  *TH2: Nếu H( 2  1, 4  ) phương trình CD x 2y 10  18 rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co M, N lan lươt la cac m tr n canh AB, BC cho BN  BC oi (C ) : x2  y  x  y   la đương tron ngoai ti p tam giac DMN, đương thang DN co phương tr nh la x 4y m toa đo cac đ nh h nh vuong ABCD HD + Ta có toạ độ điểm D, N giao điểm AN với đường tròn (C) > tìm toạ độ D, N A 130 7  + Ta có DN  DC  CN  a   a   a 9   cos NDC  D M DC  DN 130 B C N “ Viết phương trình đường thẳng qua A hợp với DN góc NDC cho cos NDC  130 Đó PT đường DC=> C hình chiếu N xuống DC=> tìm C=>B=> A” Gọi n(a,b) VTPT DN, n2 ( 3,4) VTPT đt DC cos NDC = 3a  4b = => 55b2 + 130.24ab= 855a2 2 130 a  b Chọn a=1 b=-57 b 57) /11 hay có đt DC tương ứng với chúng VTPT (11,3) (1, -  tương ứng với điểm D ta tìm phương trình đt DC 19 rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A thuoc đương thang xy-4 Đương thang BC qua m M(4; ), đương thang CD qua m N( ; 2) thoa man tam giac AMN can tai A m toa đo cac đ nh h nh vuông ABCD HD a tìm trung điểm I đoạn MN A D => viết pt đường thẳng ’ qua vuông góc với MN Vì AM=AN=> A thuộc ’ > ìm điểm A giao điểm ’ N + Viết phương trình đường thẳng qua A hợp với AI góc 450 I B https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan M C Trang 16 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn => có phương trình pt đường AB, lại đường AD > ìm toạ độ B, D qua tính chất AB  BM , AD  DN (hoặc tìm B lấy đối xứng qua AI ta tìm D) Lời giải: Với trung điểm MN, dùng tam giác chứng A, I, C thẳng hàng + Ta có I(2,1) => viết pt đường thẳng ’ qua vuông góc với MN Vì AM=AN=> A thuộc ’ 2xy=3 > ìm điểm A giao điểm ’ A(-1, -5) Ta có tam giác INC vuông cân I nên IC=IN= a  2 Vì C thuộc đường thẳng ’ nên đặt C(a,2a- ) hi IC    a     2a     a  Nếu a=3 C(3,3) thỏa mãn C A khác phía so với , hi D(-3,1) B(5,-3) Nếu a=1 C(1, -1) loại hi C nằm I A 20 rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A(-1;1) oi M la m tr n canh BC thoa man MC 2MB va N la m tr n canh CD ao cho goc MAN= 450 C bi t phương tr nh đương thang MN la: 7x+y-24=0 m toa đo cac đ nh B, HD A Cách 1: D + Gọi cạnh hình vuông a ta có: cos BAM  AB   sin BAM  AM 10 10 N MAN  450  NAD  450  BAM      AD 2  cos NAD  cos 450  BAM  cos BAM  sin BAM  AN  AN  5a a a  DN  a  B C M >N trung điểm DC + Các em tự làm tiếp phương pháp dụng hình vuông Cách : Gọi chân đường cao hạ từ A xuống MN Đặt cạnh hình vuông AB=6a tỉnh AM  2a 10, MN  5a, AN  3a 1 cos MAN AM AN  AI MN  AI  6a  BM=MI=2a IN=DN=3a 2 AI=AB=AD=6a S AMN  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 17 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn Mà d(A,MN)=3 =AI => IM= IN=1,5 Đặt M(m, 24-7m) Mặt khác tọa độ I  3, ; 1, 6  IM    m  3, 2   22,  7m  50  m  3, 2 2  m=3 m=17/5 *TH1: m=3 => M(3,3) Đặt B(x,y) ta có (1): AB2  18   x  1   y  1  2 : BM    x  3   y  3 2 Từ (2) rút y theo x vào (1) : y=2(4-x) ta giải phương trình bậc ẩn x Được x=3,2 ( loại trùng với I) Hoặc x=2 (thỏa mãn) => B( 2,4) àm tương tự suy tọa độ C *TH2 m / xét tương tự 21 rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD va tam ( ;-1), đ nh B(4; ) oi la m nam tr n CD ao cho goc giưa đương thang B va CD bang  xac đinh bơi cos   m toa đo cac đ nh A, C, D bi t co tung đo ương HD K ìm tạo độ điểm D điểm đối xứng với B qua I + Gọi cạnh hình vuông có độ dài a KC  cos BKC   BK   KC  a 2   5KC KC KC  a A D  KC  4a  KC  2a I IB   a  iết phương trình đường thẳng qua vuông góc với BD B C Phương trình BD x-y=4 Phương trình AC x y Đặt C(a,2-a) có IC2=2=(a-3)2+(3-a)2  a a Nếu C(2, ) (2,-4), A(4,-2) Nếu C(4,-2) K(0,-2) , A(2,0) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 18 A B Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn H M 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm cạnh BC Đường tròn ường kính AM cắt BC B cắt BD N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng Tìm toạ độ đỉnh hình vuồn ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên hoành độ đỉnh A bé A B K D N C Lời giải: I M Gọi tâm đường tròn đường ính AM trung điểm AM Dễ thấy E H = sd =2 E = 90o Điểm C ∊ d: 2x-y-7=0 => C(c;2c-7) N Gọi H trung điểm MN => H(11/2;9/2) C D Phương trình đường thẳng ∆ trung trực MN qua H vuông góc với MN d:x-5y+17=0 Điểm I ∊ ∆=> I(5a-17;a) =(1; -5) => MN= =(22-5a; 7-a) => IM = 22  5a   a i ∆M N vuông cân I MN = => IM = 13  =  26a2 – 234a + 520 =  Với a = => I(8;5) => A (11;9) (loại) Với a=4 => I(3;4) => A(1;1) (t/m) 11  c  c 1  Gọi E tâm hình vuông nên E  ; 5-c) ; c   => EN =(   Vì AC ⏊ BD   (c-1) =0 11  c + (2c-8).(5-c)=0  13 c   loai   5c  48c  91      c   tm  Suy C(7;7) => E (4;4) PT BD: x+y-8=0, pt BC: x-7=0 => B(7;1) => D(1;7) 23 (THPT Hù g Vươ g) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;-2) Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC; giao điểm BN CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x y -8 điểm B có hoành độ lớn https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 19 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn Lời giải: Gọi E =BN ⋂ AD > D trung điểm AE Dựng AH⏊ BN H => AH=d(A;BN)= Trong tam giác vuông ABE AB  1    2 AH AB AE AB AH  B  BN  B  b;  2b   b   AB   B  3;  Phương trình A x E = AD ⋂ BN => E(-1; 10) => D(-1; 6) =>M(-1;4) Gọi I tâm (BKM) => trung điểm BM => I(1;3); R= BM  Vậy phương trình đường tròn:  x  1   y  3 5 24 ( Trường THPT Thành Nhân) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C  3; 3 đỉnh A thuộc đường thẳng  d  : x  y   Gọi điểm thuộc cạnh BC, điểm giao điểm đường thẳng AE 7  87 CD, I  ;   giao điểm đường thẳng ED BF Tìm tọa độ điểm B,D biết điểm  19 19  4  M  ;0  thuộc đường thẳng AF 3  Lời giải Chứng minh CI  AF Đường thẳng (A ) qua M vuông góc C   AF  : 3x  y –  B A M Điểm A = (d)  (AF)  A(-2;2) Gọi O tâm hình vuông  O trung điểm AC 1 1  O ;  2 2 Đường thẳng (BD): x – y –   B  b; b 1 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan I O E F D C Trang 20 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn  AB   b  2; b  3  b3 ; AB  CB  AB.CB     b  2 CB   b  3; b   Vậy tọa độ B  3;  D  2; 3 25 Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AD (d) 3x  y   Gọi điểm nằm bên hình vuông ABCD cho tam giác EBC cân có góc BEC = 150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E  2; 4  Lời giải: Tam giác BEC có góc BEC  1500 Suy tam giác BEC cân E Gọi H hình chiếu E lên AD Suy H trung điểm AD HE  d  E; AD   Đặt cạnh hình vuông AB  x x Gọi trung điểm BC , suy BI  ; EI  x  B A Tam giác BIE vuông I có EBI = 15 Suy tan15  EI x   BI x Suy ra:   2x  x  x E Phương trình đường thẳng H qua điểm E vuông góc với AD, suy EH: 4x+3y+4=0 D C Đường thẳng AB  EH nên AB có dạng x  y  m  Ta có: d  E , AB   m4  BI   m   Vậy phương trình đường thẳng AB là: x  y    26 ( Trường THPT Thanh Chương I) 2   10 11  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm Các điểm G  ;  , E  3;   3   3 trọng tâm tam giác AB tam giác ACD Xác định tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết tung độ đỉnh A số nguyên Lời giải: Gọi M trung điểm BI N hình chiếu vuông góc G lên BI Ta có GN // AI IN AG 2   IN  IM  BI (1) IM AM 3 E trọng tâm https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 21 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn 1  IE = DI  BI  EN  IN  IE  BI  BN 3  BN  BE  ∆BGE cân G  GA  GB  GE  A, E, B thuộc đường tròn tâm G → AGE  ABE  2.45  90 → ∆A vuông cân G quaG Phương trình (A );    AG  : x  13 y  51  A  51  13a; a   GE vuông cân G  AG  GE hi 2 11  170  143    AG    13a    a     3    Ta có AG   a4 11  11   10 A  1;  a      a    2  11  AM  AG  AM  M  ;  3  2 Phương trình (BD) qua M  (BD):5x  y  17  2  10   11  170  tan G  Phương trình đường tròn (G):    G  : x     y    3  3    R  GA B giao điểm thứ hai (BD) ( ) → B  7;6  qua A Phương trình (AD)    AD  : x  y   D 1; 4   AB ABCD hình vuông AB  DC;  C  9; 2  Bài toán có nghiệm A  1;4  , B  7;6  C 9; 2  D 1; 4  27 Trường THPT Trầ Đạ Nghĩa – Lần Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có đường chéo AC phương trình x y-10= Tìm tọa độ điểm B biết đường thẳng CD qua điểm M (6; 2) đường thẳng AB qua điểm N( 5; 8) + Gọi n  (a; b) vecto pháp tuyến đường thẳng AB với a  b2  => góc đường thẳng AB AC 450 => cos 450  ab a  b2 12  12  a  b2  a  b a   a.b    b  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 22 Các Toán hình vuông – hình oxy a nên b ≠ => chọn b= => pt đt AB  x – 5  1 y – 8   y  b nên a ≠ =>chọn a=1 => pt đt AB 1 x – 5   y – 8   x  Nguyễn Bá Tuấn Gọi M’ điểm đối xứng với M qua AC, AC phân giác góc tạo hai đường thẳng BC DC nên M’ thuộc đường thẳng BC => pt đt MM’ 1 x    1 y –    x – y –  + Gọi H giao điểm đt MM’ AC => H( 7;3) H trung điểm MM’ => M’(8; ) * Với M’(8;4) AB y =>pt BC x= =>B= AB  BC =>B(8;8) * Với M’(8,4) AB x => pt BC y=4 =>B= AB  BC =>B(5;4) 28 TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG – Lần Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I  3; 1 , điểm M cạnh CD cho MC  2MD Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đường thẳng AM có phương trình x  y   đỉnh A có tung độ ương Gọi H hình chiếu I AM  IH  d ( I ; AM )  Giả sử AM  BD  N P trung điểm MC  IP / / AM  NM / / IP Từ M trung điểm DP suy N trung điểm DI Gọi cạnh hình vuông a AI  Từ a a , IN  ID  2 1      a3 2 IH IA IN a a A thuộc AM nên A(t; 2t  4)  IA  (t  3)2  (2 t  3)   5t 18t   t   A(3;2) Do A có tung độ ương nên A(3;2)  t   A  ;  14   5  Suy C (3; 4) Đường thẳng BD qua điểm I có vtpt AI  (0; 3) có pt y   3  N  AM  BD  N  ; 1 N trung điểm DI  D  0; 1  B(6; 1) 2  29 TRƯỜNG THPT H ỀN Đ – Lần https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 23 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD có điểm C(2; -2) Gọi điểm I, K trung điểm DA DC; M(-1; -1) giao BI AK Tìm tọa độ đỉnh lại hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ ương Gọi J trung điểm AB hi AJC hình bình hành  AK // CJ Gọi CJ  BM = N  N trung điểm BM Chứng minh AK  BI từ uy tam giác BMC tam giác cân C Ta có MC  3; 1  MC  10  CM = BM = AB = 10 Trong tam giác vuông ABM có AB  BM BI  BM AB  AI  BM AB  BM  2 2 A J B N  B giao hai đường tròn (C; 10 ) (M; 2 ) 2   x     y    10 Tọa độ điểm B thỏa mãn:   B(1; 1) 2 x   y         M I Phương trình đường thẳng AB có dạng: x - 3y + = Phương trình đường thẳng AM có dạng: x + y + = D K C  A (-2; 0) Ta có BA  CD  D  1; 3 MỘT SỐ BÀI LUYỆN TẬP THÊM 30 TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ – Lần 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB, AD lấy hai 2 5 điểm E, F cho AE = AF Gọi H hình chiếu vuông góc A DE Biết H  ;  14  , 5 8  F  ; 2  , C thuộc đường thẳng d: x + y – = 0, D thuộc đường thẳng ’ x – 3y + = Tìm tọa độ 3  đỉnh hình vuông 31 TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ – Lần 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB, AD lấy hai 2 5 điểm E, F cho AE = AF Gọi H hình chiếu vuông góc A DE Biết H  ;  https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan 14  , 5 Trang 24 Các Toán hình vuông – hình oxy Nguyễn Bá Tuấn 8  F  ; 2  , C thuộc đường thẳng d: x + y – = 0, D thuộc đường thẳng ’ x – 3y + = Tìm tọa độ 3  đỉnh hình vuông 32 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN – Lần Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I, gọi G trọng tâm tam giác ADC,  10 11   11  ;  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AGB, M  ;  trung điểm đoạn BI  3  2 điểm J  Tìm tọa độ đỉnh hình vuông, biết G có hoành độ số nguyên 33 TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ Trên mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M điểm thuộc cạnh BC Đường tròn đường kính AM cắt BC B, cắt BD N(6; 2) Tìm tọa độ điểm A C, biết M( ; ); đỉnh C thuộc đường d: x +y-4 , hoành điểm C nguyên điểm A có hoành độ bé Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 25