Hình Oxy các bài toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT ĐỀ BÀI Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A3;1,C  : x  2 y  5  0. Trên tia đối CD lấy điểm E sao cho CE=CD. Biết N 6; 2 là hình chiếu cuả B xuống BE. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD có B  d1 : 2x  y  2  0,C  d2 : x  y  5  0 . Hình chiếu của B lên AC là H. Biết M   ; 2 , K 9; 2   lần lượt là trung điểm của AH và CD. Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết  xC  4 . Bài toán 3: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c điể là n c iếu u ng g c của lên iể ( 9 ;3) là trung điể c n ư ng tr n đư ng trung tuyến t của ta 2 giác là y iết ư ng tr n c n . Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân t i A1;3 iểm D thuộc AB sao cho AB

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 1

2015 - 2016

(fb: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan )

TUYỂN TẬP HÌNH OXY VÀ CÁCH GIẢI

2: Các bài toán về hình chữ nhật)

ệ

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT - ĐỀ BÀI

Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A3;1 , C:x2y 5 0.Trên tia đối CD lấy điểm E sao cho CE=CD Biết N6; 2 là hình chiếu cuả B xuống BE Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D

Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD có Bd1: 2x  y 2 0,Cd2:x  y 5 0 Hình chiếu của B lên

Bài toán 3: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c điể là n c iếu u ng

g c của lên iể ( ;3)9

2 là trung điể c n ư ng tr n đư ng trung tuyến t của ta giác là y- iết ư ng tr n c n

Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân t iA1;3 iểm D thuộc AB sao cho AB=3AD Hình chiếu của B

lên CD là H Biết 1; 3

M  

  là trung điểm của HC Tìm tọa độ điểm C biếtB:x  y 7 0

5 Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c điể t uộc đư ng t ng :

y à điể ọi là điể n trên tia đối của tia a c là n

c iếu u ng g c của trên đư ng t ng T tọa độ các điể à iết ( 5 1; )

2 2



Bài toán 6: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c điể t uộc đư ng t ng

y à - ọi là điể đối ng của ua là n c iếu u ng g c của trên

đư ng t ng T tọa độ điể à iết r ng (5;-4)

Bài toán 7: Trong m t ph ng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , M là điểm sao cho

3

 

MB MA iểm C thuộc đư ng th ng d x:   y 4 0 ư ng th ng đi ua DM c ư ng tr n

7x6y570 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết điểm B c àn độ âm

Bài toán 8: Trong m t ph ng tọa độ , cho hình chữ nhật có Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

Trên tia đối của lấy điểm sao cho Biết ư ng tr n đư ng th ng và diện tích ABCD =6 Tìm tọa độ đỉnh của hình chữ nhật, biết c tung độ ư ng à ng trùng ới gốc tọa độ

Bài toán 9: (THPT Lý Thái Tổ)

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật c đư ng phân giác trong góc ABC đi ua

trung điểm M của c n đư ng th ng c ư ng tr n x  y 2 0 điểm D n trên đư ng

th ng    :x y 9 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉn c àn độ âm và

đư ng th ng đi ua E( 1, 2)

Bài toán 10: (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 3

Trong m t ph ng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có Tam giác SAD là tam giác vuông cân t i đỉnh S và n m trên m t ph ng vuông góc với m t đáy Tín t ể tích khối chóp S.ABCD và

khoảng cách giữa ai đư ng th ng SA và BD

Bài toán 11: (Nguyễn Công Trứ - 2015) Trong m t ph ng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C

thuộc trục tung ư ng tr n đư ng chéo AC: 3x 4y 16 0    Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết r ng

án ín đư ng tròn nội tiếp tam giác ABC b ng 1

Bài toán 12: (THPT Võ Nguyên Giáp)

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên

AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên đ n CD lấy K sao cho MNCK là hình bình hành Biết 9 2;

x  y àn độ đỉnh C lớn n T tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Bài toán 13: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c iện tíc ng 2 2 ọi lần lượt là trung điể của à iết điể ư ng t ng c ư ng tr n là: 2 2 y-

T tọa độ điể

Bài toán 14: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c : 2x+y - điểm I(-3;2)

thuộc đ n BD sao cho IB=2ID Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết x D 0 và AD=2AB

Bài toán 15: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật iết c n à tiế c ới

Bài toán 16: Tr ng t ng ới ệ tọa độ y, cho n c ữ n ật c ọi à lần

lượt là trung điể các c n à là điể đối ng của ua T tọa độ các đỉn n c ữ

n ật iết - à t y- c tung độ ư ng

Bài toán 17: Xuân Trư ng Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi là điểm

đối x ng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD Tam giác BDM nột tiế đư ng tròn

T c ư ng tr n 2 4

(x4) (y1) 25 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết

ư ng tr n đư ng th ng CN là 3x4y170 đư ng th ng đi ua điểm E(7, 0) à điểm M có tung độ âm

Bài toán 18: RƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I – Lần 3

Trong m t ph ng với hệ to độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD2AB Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các c nh AD BC, Trên đư ng th ng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đ n th ng

MK Tìm tọa độ các đỉnh A B C D, , , biết K5; 1  ư ng tr n đư ng th ng ch a c nh AC là

2x  y 3 0 à điểm A c tung độ ư ng

Bài toán 19: (VTED)

Trong m t ph ng to độ Oxyz cho hình chữ nhật ABCD Gọi là c n đư ng cao h t đỉnh A lên

BD và E, F lần lượt là trung điểm của à ư ng th ng đi ua F à uông góc với AE có

ư ng tr n -4y+5=0 Tìm to độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A thuộc đư ng th ng

∆:x + y – 1 = 0

Bài toán 20: (tạp chí toán học tuổi trẻ)

Trong m t ph ng với hệ to độ y c n t i c t I à iểm M(0;1/3)

thuộc đư ng th ng AB, N(0;7) thuộc đư ng th ng CD Tìm to độ điểm P biết (BP) =5(BI) với điểm B

c tung độ ư ng

Bài toán 21: Trong m t ph ng tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật c ư ng tr n đư ng th ng:

AB: x – y ư ng tr n đư ng th ng BD: x - 7y + 14 = 0 Viết ư ng tr n tổng quát của

đư ng th ng AC, biết đư ng th ng đi ua điểm M (2;1)

Bài toán 22: rường THPT Bố Hạ-Lần 2

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;3) Gọi là điểm thuộc c nh

AB sao cho 2

3

AN AB Biết đư ng th ng c ư ng tr n y-2=0 và AB=3AD Tìm tọa độ

điểm B

Bài toán 23: RƯỜNG THCS – Đ D – Lần 1

Tr ng t ng y, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích b ng 15 ư ng th ng c ư ng tr n

Bài toán 24: RƯỜ SĨ Ê - Lần 2

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD c điểm C thuộc đư ng th ng

: 2    5 0

d x y và A(4; 8) Gọi E là điể đối x ng với B qua C, F(5; 4) là hình chiếu vuông góc của

B trên đư ng th ng ED Tìm tọa độ điểm C và tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Bài toán 25: RƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ - Lần 2

Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của lên đư ng

th ng BD là 6 7

5 5

H ; ,

  điểm M( ; )1 0 là trung điểm c n à ư ng tr n đư ng trung tuyến k t

A của ta giác c ư ng tr n là 7x y  3 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

AN NC

C y

Mặt khác AB//CE=> ANCE là hình bình hành => AC//BE

 BN có phương trình y+2=0 vậy tọa độ B là nghiệm của hệ:

 

   

6; 20

2; 22; 2

B B

Ta đi chứng minh MN MC 2 Xét tam giác AHB có MN là đường trung bình lên MN//BH

Mặt khác BH AC => MNAC=> M thuộc đường tròn đường kính NC

Do KNBC là hình chữ nhật nên=> M thuộc đường tròn đường kính KB=>MBMK

N

C

D

Vậy tọa độ B là nghiệm của hệ:  

=> tìm được tọa độ H là hình chiếu của B xuống MC

=> tìm được tọa độ A qua M là trung điểm của AH

=> tìm được tọa độ D (do AB DC )

Bài toán 3: Trong ma t pha ng to a đo y cho h nh chư nha t ABCD co đi m H ( 2 la h nh chi u

vuo ng go c cu a A l n BD i m M ( ;3)9

2 la trung đi m ca nh BC phương tr nh đươ ng trung tuy n tư

A cu a tam gia c ADH la +y- =0 i t phương tr nh ca nh BC

A

D

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 7

=> pt đường BM là (chính là pt đường BC): 2x+y-12 = 0

Cách 3: + Ta có 2 Tam tam giác : ABC và AHD đồng dạng

Lại có M và N lần lượt là trung điểm của 2 cạnh tương ứng BC và HD

Do đó ta cũng sẽ có tam giác ABM và AHN đồng dạng

Nên ANB AMB => tứ giác ABMN nội tiếp => AN vuông góc NM

Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tạiA1;3 iểm D thuộc AB sao cho AB=3AD Hình chiếu của B

Tạo ra hình chữ nhật AEBF bằng cách: Kẻ đường thẳng d qua A

và //BC, CD giao với d tại F, E là trung điểm BC

Như vậy M thuộc đường tròn đường kính EF=>M thuộc đường

tròn đường kính AB (Do AEBF là hình chữ nhật)

5 Trong ma t pha ng to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co đi m C thuo c đươ ng tha ng d:

+ y+ =0 va đi m A( o i M la đi m na m tr n tia đo i cu a tia CB sao cho MC=2BC, N la h nh

chi u vuo ng go c cu a B tr n đươ ng tha ng MD T m to a đo ca c đi m B va C i t N ( 5 1; )

D

M

=>tìm được toạ độ điểm C(2;-3)

+ Gọi B(a,b )=> toạ độ điểm (6 ; 9 )

 Tìm được toạ độ điểm B

Bài toán 6: Trong ma t pha ng to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co đi m C thuo c đươ ng tha ng

d:2 +y+ =0 va A(- o i M la đi m đo i ư ng cu a B qua C, N la h nh chi u vuo ng go c cu a B tr n đươ ng tha ng MD T m to a đo đi m B va C Bi t ra ng N(5;-4)

HD

Các bạn làm tương tự như bài tập 3

Điểm mấu chốt là ta đi chứng minh AN vuông góc với NC

Giải : Gọi tọa độ C(c;-5-2c)

Ta có BN vuông với ND

do đó N thuộc đường tròn đường kính BD

nên N thuộc đường tròn đường kính AC

=> AN vuông NC => 9.(c  5) 12.( 5 2   c 4)  0=>C(1;-7)

AC song song với NM, C là trung điểm của BM

Do đó AC đi qua trung điểm của BN

Lại có AC vuông với BN => N và B đối xứng nhau qua AC => B(-4;-7)

Yếu tố khoảng cách, vecto

Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , M là điểm sao cho

3

 

MB MA iểm C thuộc đường thẳng d x:   y 4 0 ường thẳng đi qua DM có phương trình

7x6y570 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết điểm B có hoành độ âm

Giải :

+) Gọi I là giao điểm của AC và DM

Do AM // DC nên áp dụng Ta – let ta được:

B

D

I A

B M

17 1717

B t

t t

B t

Hướng dẫn:

Kẻ EFAD tại F và EF cắt BC tại K

Khi đó ta có: 1 4

1 1 0

E

Khi đó tọa độ điểm D là nghiệm của hệ 2 0 2 (2; 2)

S ABCD AD AB  6 2.b  2 b 5 hoặc b 1 (loại), suy ra B(0;5)

Trung điểm của BD có tọa độ 1;7

2

I 

 

 , cũng là trung điểm của ACC(2;5)

+) Với b0, chọn a1 ta được phương trình AD x: 0

Khi đó tọa độ điểm D là nghiệm của hệ 0 0 (0; 0)

Bài toán 9: (THPT Lý Thái Tổ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác trong góc ABC đi

qua trung điểm M của cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình x  y 2 0, điểm D nằm trên đường thẳng    :x y 9 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ

âm và đường thẳng AB đi qua E( 1, 2)

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A( 1, 4), ( 1,1), (5,1), B  C D(5, 4)

Bài toán 10: (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD 2AB 2a   Tam giác SAD là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

5

3 sin HCD sin(ACD ACH)

Bài toán 11: (Nguyễn Công Trứ - 2015) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C

thuộc trục tung, phương trình đường chéo AC: 3x 4y 16 0    Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết rằng án ính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1

Hướng dẫn:

*C là giao điểm của AC và Oy  C(0; 4)

*Gọi B(0, b)

* Phương trình AB: y b  ( do Ab vuông góc BC Oy) 

*A là giao điểm của AB và AC A 16 4b, b

Bài toán 12: (THPT Võ Nguyên Giáp)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên

AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH, trên đoạn CD lấy K sao cho MNCK là hình bình hành Biết 9 2;

Vì K(9; 2) là trung điểm của CD và C(9; 4) suy ra D(9;0)

Gọi I là trung điểm của BD thì I(5; 2) và I là trung điểm của AC nên A(1;0)

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 13

Bài toán 13: Trong ma t pha ng to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co di n t ch a ng 2 2 o i M, N

la n lươ t la trung đi m cu a BC va CD i t đi m M(0 ươ ng tha ng AN co phương tr nh la : 2 2 =0 T m to a đo đi m A

Bài toán 14: Trong ma t pha ng to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co AD: 2x+y - =0, điểm I(-3;2)

thuộc đoạn BD sao cho IB=2ID Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật biết x D0 và AD=2AB

HD

2cos

5

AD ADB

N na m tr n tru c tung Xa c đi nh to a đo ca c đ nh cu a h nh chư nha t ABCD, i t đ nh A co hoa nh đo a m

va đi m D co hoa nh đo dương va tam gia c AND co di n t ch a ng 10

Phương trình AD, qua A4,5và tiếp xúc với (I) là y 5 ặt D x ,5

Bài toán 16: Trong ma t pha ng vơ i h to a đo y, cho h nh chư nha t ABCD co AB=2AD o i M va N

la n lươ t la trung đi m ca c ca nh AD va BC K la đi m đo i ư ng cu a M qua N T m to a đo ca c đ nh h nh chư nha t ABCD i t K( - va pt AC: 2 +y- =0, A co tung đo dương

B

D

C

=>Viết được phương trình đường thẳng MN qua K

hợp với đường AC 1 góc cócos 2

5



(chú ý đoạn này ta sẽ có 2 pt đường MN, ta sẽ loại 1 trường hợp sau)

=> phương trình KI là x+4y=11 Toạ độ điểm ( ,1 13)

Bài toán 17: Xuân Trường Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là

điểm đối xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD Tam giác BDM nột tiếp

đường tròn (T có phương trình 2 4

(x4) (y1) 25 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là 3x4y170 đường thẳng BC đi qua điểm E(7, 0) và

điểm M có tung độ âm

+ Do BACDA( 1,5)

Bài toán 18: TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I – Lần 3

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD2AB Gọi M N, lần lượt là

trung điểm của các cạnh AD BC, Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của

đoạn thẳng MK Tìm tọa độ các đỉnh A B C D, , , biết K5; 1 , phương trình đường thẳng chứa cạnh

AClà 2x  y 3 0 và điểm A có tung độ dương

Từ đó AD: = hoặc 3x+4y+9=0

Với AD: x=1 Suy ra A(1;1) (thỏa mãn) Với AD: 3x+4y+9=0

Suy ra 27

5

A

y   (loại)

DC: y=-3 Suy ra C(3;-3); CB: x=3 Suy ra B(3;1)

Bài toán 19: (VTED)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz cho hình chữ nhật ABCD Gọi H( 2 là chân đường cao hạ từ đỉnh A

lên BD và E, F lần lượt là trung điểm của DH và BH ường thẳng d đi qua F và vuông góc với AE có

phương trình -4y+5=0 Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm A thuộc đường thẳng

∆:x + y – 1 = 0

Lời giải:

Gọi M là chân đường vuông góc hạ AE

à K là trung điểm AH N=AH ⋂ FM và P = BK ⋂ AE

M A

D

K

https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 17

Trong ∆ADH có

=> KE ⫽ AD => KE ⏊ AB Trong ∆ABE có => K là trực tâm ∆ABE

=> BK ⏊ AE mà FM ⏊ AE suy ra FM ⫽ BK hay FN ⫽ BK

Trong ∆HKB có => NK=NH hay N là trung điểm của HK

+) Gọi N(4a-5;a) d => K(8a-11;2a-2) =>A(16a-23;4a-6)

Mà A∊ d suy ra 16a – 23 + 4a – 6 – 1 = 0  a= => A(1;0)

ường thẳng AE đi qua A và vuông góc d có phương trình + y -4 = 0

ường thẳng BD đi qua H(1;2) và vuông góc với AH có phương trình là y – 2 = 0

Toạ độ điểm E là nghiệm cảu hệ –



=> E( ;2) => D(0;2) ường thẳng AB đi qua A và vuông góc với AD có phương trình -2y-1=0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ  => B(5;2)

Ta có = => C(4;4)

Bài toán 20: (tạp chí toán học tuổi trẻ)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ y, cho hình thoi ABCD có tâm I(2 và AC=2BD iểm M(0; ) thuộc đường thẳng AB, N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm toạ độ điểm P biết =5 với điểm B

 

22

Chọn a = và = ta được pt AB: 4x-3y-1=0

Do ABCD là hình thoi nên AC ⏊ BD, do đó tan = AI AC