Hình học phẳng Oxy là 1 trong những phần kiến thức khó của kỳ thi THPT quốc gia và được coi là phần lấy điểm 8 trong đề thi. Với xu hướng ra đề của Bộ hiện nay có l sự kết hợp các tính chất hình học đã được học ở cấp 2 và các công cụ trong hệ tọa độ Oxy vào một toán. Khi đó bài toán hình học phẳng sẽ trở lên phức tạp (hay) hơn và để giải quyết được bài toán thì nút thắt đó chính là nhận và chứng minh tính chất đặc trưng. Trong chương trình THCS ta đã được học các tính nhìn chất của rất nhiều loại hình quen thuộc như: tam giác, tứ giác... và trong kỳ thi các năm trước các dạng toán xoay quanh các tính chất về tam giác ã xuất hiện không ít. Bởi vậy các bài toán dưới đây sẽ giúp các bạn nắm rõ các tính chất cũng như các dạng toán liên quan tới tam giác.
Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác 2015 - 2016 H ề ệ Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Hình học phẳng Oxy phần kiến thức khó kỳ thi THPT quốc gia v ƣợc coi phần lấy iểm iểm ề thi Với xu hƣớng ề Bộ ó l kết hợp tính chất hình học ặc trƣng cấp công cụ hệ tọa ộ Oxy v o b i toán Khi ó b i toán hình học phẳng trở lên phức tạp (hay) v ể giải ƣợc toán nút thắt ó l nhìn nhận chứng minh tính chất ặc trƣng Trong chƣơng trình THCS ta ã ƣợc học tính chất nhiều loại hình quen thuộc nhƣ: tam giác, tứ giác kỳ thi năm trƣớc dạng toán xoay quanh tính chất tam giác ã xuất không Bởi b i toán dƣới ây giúp bạn nắm rõ tính chất nhƣ dạng toán liên quan tới tam giác ƯỜNG A Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích 12, ỉnh A thuộc trục ho nh Đƣờng cao kẻ từ ỉnh B v C có phƣơng trình lần lƣợt d1 : x y ; d2 : x y Tìm tọa ộ ba ỉnh tam giác ABC HD A + Gọi A(a; 0) => viết ƣợc phƣơng trình AB (chứa tham số a) qua A E vuông góc với d2 x y a D Tìm ƣợc B(theo tham số a) giao d1 AB H B a 2; a 1 => viết ƣợc phƣơng trình AC (chứa tham số a) qua A B C vuông góc với d1 x y a Tìm ƣợc C(theo tham số a) giao d2 AC C a;2a + Ta có toạ ộ trực tâm H giao d1 d2: H(1; 2) + Có S ABC d(C , AB ) AB 12 Tính ƣợc ộ d i oạn AB d C , AB theo biến a AB | a 1| trình ẩn a⇒a=2(loại ó A trùng C) a= 24 Khi ó ta ƣợc phƣơng | 6a | 7 7 19 26 Tìm ƣợc toạ ộ iểm A, B, C: A ;0 ; B ; ; C ; 3 3 3 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(1;0), N(4;-3) lần lƣợt l trung iểm cạnh AB, AC v D(2;6) l chân ƣờng cao hạ từ ỉnh A xuống cạnh BC Tìm tọa ộ ỉnh A, B, C HD + Ta viết ƣợc pt ƣờng BC qua D // với MN: x y =0 A + Tham số hoá toạ ộ iểm B (theo biến b) qua phƣơng trình ƣờng BC: B(b;8 - b) M N Toạ ộ iểm A (theo biến b) AM MB A b; b 8 + Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng thẳng AD qua D vuông góc với BC B x y40 C D Thế toạ ộ iểm A(theo biến b) v o phƣơng trình AD, ta tìm ƣợc b=7 Tìm ƣợc toạ ộ iểm: B(7;1);A(-5;-1);C(13;-5) Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;-1), N(2;2), P(-2;2) tƣơng ứng chân ƣờng cao hạ từ ỉnh A, B, C tam giác ABC Xác ịnh tọa ộ ỉnh tam giác ABC HD Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh H l tâm tr nội tiếp tam giác MNP Pt MN x = A N Pt NP y = P Pt MP 3x + 4y - = Viết pt t NB l phân giác góc MNP l x – y =0 Viết pt t AM l phân giác góc PMN x + 2y = Pt t BC vuông góc AM v i qua M l : 2x – y – =0 B C M Pt t AC i qua N v vuông góc BN l x + y – = Tọa ộ B l giao iểm NB BC B(5;5) Tọa ộ iểm C giao AC BC C(3;1) Tọa ộ iểm A l giao iểm AC AM A(8;-4) Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội ƣờng tròn (C): x y 25 , ƣờng thẳng AC i qua K(2;1) Hai ƣờng cao BM CN Tìm tọa ộ A, B, C biết A có ho nh ộ âm MN có phƣơng trình 4x-3y+10=0 HD A + Xác ịnh ƣợc tâm I(0;0) bán kính R=5 (C) + Ta có tính chất IA vuông góc với MN => viết ƣờng pt ƣờng AI: M 3x y + Dựa v o IA =R=> tìm ƣợc toạ ộ iểm A(-4;3) N K Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng AC qua A C x y Tham số hoá toạ ộ iểm C theo t C 3t; t C B 5 Dựa vào IC=R => toạ ộ C 0; 3 M l giao iểm MN AC⇒M(-1;2) Pt MB i qua M v vuông góc với AC là: B l giao iểm BM v tr (I)⇒B(-3;-4) (B;C phía so với MN) Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC biết A(2;-1) v phƣơng trình ƣờng phân giác góc B C lần lƣợt x-2y+1=0, x+y+3=0 Viết phƣơng trình cạnh BC HD A Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc B ta ƣợc iểm D thuộc BC Pt AD x y cắt phân giác góc B M M l giao iểm AD v t ó M(1;1)⇒D(0;3) Lấy ối xứng iểm A qua phân giác góc C ta ƣợc iểm E thuộc BC Pt AE x y N l giao iểm AE phân giác góc C B E D ⇒N(0;-3) => Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng BC qua E D: x = Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC ƣờng cao AH, trung tuyến CM v ƣờng phân giác BD Biết iểm H(-4;1), M(4;-2) v phƣơng trình ƣờng thẳng BD x+y-5=0 Tìm tọa ộ ỉnh A HD Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | - C Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác A Lấy H’ ối xứng với H qua BD =>H’(4;9) thuộc AB Viết ƣợc pt ƣờng ƣờng AB qua H’ v M: x = D Lấy M’ ối xứng với M qua BD => M’(7;1) thuộc BC (4;2) Viết ƣợc pt ƣờng ƣờng BC qua M’ v H: y=1 B giao AB BC B(4;1) Toạ ộ A giao AB AH A(4;3) M B H C (-4;1) Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có phƣơng trình ƣờng thẳng phân giác góc A x-y=0, phƣơng trình ƣờng cao hạ từ ỉnh C 2x+y+1=0, cạnh AC i qua iểm M(0;-1) AB=2AM Tìm tọa ộ ỉnh tam giác ABC HD + Lấy M’ l A iểm ối xứng M qua phân giác góc A H M’(-1;0) thuộc AB Viết ƣợc pt ƣờng AB qua M’ có VTPT l (1; -2): x y M M' Toạ ộ iểm A l giao iểm AB phân giác góc A ⇒A(1;1) B C + Dựa vào kiện AB=2AM =2AM’=> M’ l trung iểm AB⇒ toạ ộ iểm B(-1;-3) Pt AM x y + Toạ ộ C giao AM CH: C(0;-1) Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC có chân ƣờng phân giác hạ từ ỉnh A l iểm D(1;-1) Phƣơng trình tiếp tuyến A ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC x+2y-7=0 Giả sử 13 M( ; ) l trung iểm BD Tìm tọa ộ iểm A C biết A có tung ộ dƣơng 5 HD A H I B M D C Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác + Ta tính ƣợc toạ ộ B qua BM MD + Ta viết ƣợc pt BD qua B, D =>Toạ ộ H l giao iểm tiếp tuyến A BD + Ta có góc HAB= góc ACB, góc BAD=góc CAD =>góc HAD=góc HDA => tam giác HAD cân H AH=AD => tọa ộ iểm A (loại tọa ộ A có tung ộ dƣơng) =>Tọa ộ C Bài toán 9: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có phƣơng trình ƣờng trung tuyến kẻ từ A v ƣờng thẳng chứa cạnh BC lần lƣợt 3x+5y-2=0 x-y-2=0 Đƣờng thẳng qua A vuông góc với BC cắt ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC iểm thứ hai D(2;-2) Tìm tọa ộ ỉnh tam giác ABC, biết ỉnh B có tung ộ âm HD A 1 + Ta có toạ ộ trung iểm M ; BC giao AM BC 2 + Viết pt ƣờng thẳng AD qua A vuông góc với BC x y I Toạ ộ A(-1;1) giao AM AD B C M + Viết pt ƣờng IM qua M vuông góc với BC x y I l giao iểm IM v ƣờng trung trực AD I(1;0) Viết ƣợc pt ƣờng tròn ngoại tiếp tâm I bán kính IA x 1 D y x 1 y Toạ ộ BC giao pt ƣờng BC với (I; IA) B(3;1), C(0;-2) ngƣợc lại Bài toán 10: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(1;-1), phƣơng trình ƣờng thẳng chứa cạnh BC y+4=0 Biết ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC i qua hai iểm M(6;2), N(3;-7) Tìm tọa ộ iểm A M A HD - Gọi I tâm ngoại tiếp ABC D l iểm ối xứng H Qua BC Dễ thấy D thuộc ƣờng tròn tiếp (do có góc BDA= góc BHK=góc BCA) => xác ịnh ƣợc toạ ộ iểm D => xác ịnh ƣợc tâm I ƣờng tròn ngoại tiếp ABC Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan N H I B K C D - Trang | - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác l ƣờng tròn ngoại tiếp DMN Toạ ộ iểm A l iểm thuộc ƣờng thẳng AH IA=ID A(1;1) Bài toán 11: Trong mặt phẳng hệ trục tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp ƣờng tròn (C1 ) : ( x 4)2 ( y 4)2 32 Biết A(0;5) v ƣờng tròn (C2 ) i qua trung iểm ba cạnh tam giác có phƣơng trình l : (x 2)2 ( y 2)2 Tìm tọa ộ hai iểm B C HD Tạm thời em làm cách trâu bò sau: Gọi B(a, b), C(c, d) Có B, C thuộc ƣờng tròn (C1) => ta ƣợc phƣơng trình 2 a b 32 2 c d 32 A Gọi M, N, P lần lƣợt l trung iểm AC, BC, AB P Tìm ƣợc toạ ộ iểm M, N, P theo a, b, c, d: c d 5 a b5 ac bd M ; ; ; P ; ; N 2 2 M J B I C N Mặt khác ta có M, N, P thuộc (C2) 2 c d 5 8 2 2 a b5 2 2 ac bd 2 2 Giải hệ ta tìm ƣợc ẩn a, b, c, d 103 103 b d ;c ;d 4 Bài toán 12 (KD-2011):Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC có ỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) v ƣờng thẳng chứa ƣờng phân giác góc A có phƣơng trình x-y-1=0 Tìm tọa ộ ỉnh A C Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Hướng dẫn giải Gọi M l trung iểm AC v E l iểm ối xứng A với B qua phân giác (AD) Với G trọng tâm BG 2GM (1) M +/ Ta có : M(x;y) GM x 1; y 1 BG 5;0 suy G E I (1) B C D 5 x 1 x 7 ta có hệ : M ;1 2 0 y 1 y 1 x y 1 +/ Gọi E(x;y) I ; ; BE x 4; y 1 ( I l trung iểm BE ) Với u 1;1 Nếu E ối xứng với B qua (AD): x-y-1=0 : x 1 1 y 1 x y x BE.u x y 1 E 2; 5 x y y I d 2 x t +/ (AC) qua E(2;-5) có véc tơ phƣơng ME ; 6 // u ' 1; AC : t R y 5 4t x t x t +/ (AC) cắt d A : y 5 4t y 5 4t A 4;3 x y 1 t xC +/ C ối xứng với A qua M C : C 3; 1 yC 2.1 1 Bài toán 13 (KD-2010) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ỉnh A(3;-7) ; trực tâm H(3;-1) tâm ƣờng tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác ịnh tạo ộ ỉnh C, biết C có ho nh ộ dƣơng Hướng dẫn giải Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác * Cách A Từ tọa ộ A(3;-7) H(3;-1) suy A,H nằm ƣờng thẳng x : x=3 AH : Đƣờng thẳng (BC) vuông góc với y 1 t H I B (AH) nên (BC): y=3 , ó gọi M l trung iểm BC thì IM//AH suy M nằm ƣờng thẳng x=-2 Vậy M(2;3) Gọi C=( m;3 ) C có ho nh ộ dƣơng : m>0 C M B ối xứng với C qua M B=( -4-m;3) Ta có : BH m; 4 , AC m 3;10 ƣờng cao BH AC BH AC m m 3 40 (BH) l C 2 65;3 m 2 65 m 4m 61 m 65 B 2 65;3 m 2 65 * Cách +/ Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA : Với IA 2 7 0 2 A 74 C : x 2 y 74 H +/ Phƣơng trình (AH) : x=3 v BC AH suy (BC) có dạng y=a ( a 7 ) ví (BC) không qua A Do ó B,C thỏa mãn phƣơng trình I : x a 74 x x a 74 (1) B C M Do vậu (1) có hai nghiệm a 70 Do C có ho nh ộ dƣơng (1) : B 2 74 a ; C 74 a +/ Do AC AH AC AH 74 a 74 a a 1 a a 7 70 a 4a 21 Do ó a=3 Vậy C 2 65;3 a 70 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Cách 3: - Đƣờng tr n (C) ngoại tiếp ABC có tâm I(-2; 0), bán kính R IA 74 (C) có phƣơng trình: ( x 2)2 y 74 - BC có VTPT: n AH (0;6) - Gọi D l giao iểm AH với (C)=> D (3; 7) - Gọi K l giao iểm AD với BC - Có DBC DAC HBC DKB HKB => H ối xứng với D qua BC=> K=(3; 3) => Phƣơng trình ƣờng thẳng BC: y=3 - Có B, C BC (C ) => tọa ộ B, C l nghiệm hệ: y y x 65 C 2 ( x 2) y 74 x 65 65 2;3 xC Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ ộ Oxy, cho tam giác ABC có trung iểm cạnh BC M(3,2), 2 trọng tâm v tâm ƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lƣợt G( , ) I(1,-2) Xác ịnh tọa ộ 3 ỉnh C Hướng dẫn giải 7 4 IM (2;4), GM ; 3 3 Gọi A(xA; yA) Có AG GM A(-4; -2) Đƣờng thẳng BC i qua M nhận vec tơ IM l m vec tơ pháp tuyến nên có PT: 2(x - 3) + 4(y - 2) = x + 2y - = Gọi C(x; y) Có C BC x + 2y - = Mặt khác IC = IA ( x 1)2 ( y 2)2 25 ( x 1)2 ( y 2)2 25 x 2y Tọa ộ C nghiệm hệ phƣơng trình: 2 ( x 1) ( y 2) 25 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 10 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Bài toán Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân A , cạnh BC nằm ƣờng thẳng có phƣơng trình x y Đƣờng cao kẻ từ B có phƣơng trình x y , iểm M (1;0) thuộc ƣờng cao kẻ từ ỉnh C Xác ịnh tọa ộ ỉnh tam giác ABC Giải: A M C B x y x 2 B(2; 2) + Tọa ộ iểm B nghiệm hệ x y y + Ta có VTPT BC , ƣờng cao kẻ từ B lần lƣợt là: n1 (1; 2) n2 (1; 1) Gọi VTPT CM n3 (a; b) với a b2 Khi ó tam giác ABC cân A nên: cos(n1 , n2 ) cos(n1 , n3 ) n1.n2 n1 n2 n1.n3 n1 n3 1 a 2b a b 2 a b 2(a 2b) a b a 8ab 7b2 (a b)(a 7b) a 7b + Với a b , chọn a 1; b 1 n3 (1; 1) phƣơng với n2 (1; 1) (loại) + Với a 7b , chọn a 7; b 1 n3 (7; 1) , ó CM có phƣơng trình: x y x 7 x y 7 C ; Vậy tọa ộ iểm C nghiệm hệ 5 x y y => phƣơng trình AB, AC lần lƣợt là: x y 12 5x y Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 30 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác 13 x x y 12 13 19 10 Suy tọa ộ iểm A nghiệm hệ A ; 10 10 5 x y y 19 10 13 19 7 Vậy A ; , B( 2;2), C ; 10 10 5 Bài toán Trong mặt phẳng tọa BC : x y , ộ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A , phƣơng trình ƣờng thẳng AC i qua iểm M (1;1) , iểm A nằm ƣờng thẳng : x y Tìm tọa ộ ỉnh tam giác ABC , biết ỉnh A có ho nh ộ dƣơng Giải: Gọi A(4t 6; t ) với t , suy MA (4t 5; t 1) C Vì tam giác ABC vuông cân A nên : C 450 cos MA, uBC cos 450 4t 2(t 1) (4t 5) (t 1) 2 2(6t 7)2 5(17t 42t 26) 13t 42t 32 t 16 (loại) A(2; 2) 13 AC : x y Với A(2; 2) Từ ó => B(3; 1) C (5;3) AB : 3x y Vậy A(2;2), B(3; 1), C (5;3) M t B A Bài toán 10 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân A Đƣờng thẳng AB BC lần lƣợt có phƣơng trình x y 24 x y Viết phƣơng trình ƣờng cao kẻ từ B tam giác ABC Giải: x 7 x y 24 1 +) Tọa ộ iểm B nghiệm hệ B 3; 2 x y y +) Đƣờng thẳng AB, BC lần lƣợt có VTPT: n1 (7;6) , n2 (1; 2) Gọi VTPT AC n3 (a; b) với a b2 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 31 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Do tam giác ABC cân A nên: cos B cos C cos n1 , n2 cos n3 , n2 12 72 62 12 22 a 2b a b2 12 22 2a 9b 25(a b2 ) 85(a 2b)2 12a 68ab 63b2 (2a 9b)(6a 7b) 6a 7b a +) Với 2a 9b , chọn n3 (9; 2) VTCP ƣờng cao kẻ từ ỉnh B b y x 3 x 18 y Suy phƣơng trình ƣờng cao kẻ từ B là: a +) Với 6a 7b , chọn n3 (7;6) AC // AB (loại) b Vậy ƣờng cao kẻ từ B có phƣơng trình : x 18 y Bài toán 11 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân A , có trực tâm H (3; 2) Gọi D, E l chân ƣờng cao kẻ từ B C Biết iểm A thuộc ƣờng thẳng : x y , iểm F (2;3) thuộc ƣờng thẳng DE HD Tìm tọa ộ iểm A Giải: A I E D F H B C + Do ABC cân A nên HE HD , suy E , D thuộc ƣờng tròn tâm H (3; 2) bán kính có phƣơng trình: ( x 3)2 ( y 2)2 x2 y x y + Gọi I l trung iểm AH 5m2 16m 20 3m m IH Gọi A(3m 3; m) I ; 2 3m m Ta có ADHE nội tiếp ƣờng tròn tâm I ; bán kính IH Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 32 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác 3m m 5m2 16m 20 => x y x y 3mx (m 2) y 7m + Khi ó tọa ộ iểm E , D nghiệm hệ: 2 x2 y 6x y (6 3m) x (m 2) y 7m 18 2 x y 3mx (m 2) y 7m => phƣơng trình ED : (6 3m) x (m 2) y 7m 18 + Do F (2;3) ED 2(6 3m) 3(m 2) 7m 18 m A(3;0) Vậy A(3;0) Bài toán 12: Cho tam giác ABC cân A(-1;3) Gọi D iểm AB cho AB=3AD H hình 3 chiếu B CD Điểm M ( ; ) l trung iểm HC Xác ịnh C biết B nằm d: x+y+7=0 2 HD 11 1 + B thuộc d: => B(t , 7 t ) BM t , t 2 A E H t 1 t ; + Có AB AD D D M + Ta có AM vuông góc với BM thật vậy: Kéo dài CD cắt ƣờng thẳng qua A //BC E B F C Khi ó dễ có BEAF hình chữ nhật (AB=3AD) F l trung iểm BC MF vuông góc CD l ƣờng trung bình BCH =>M nằm ƣờng tr n ƣờng kính EF =>M nằm ƣờng tr n ƣờng kính AB suy góc AMB vuông 11 3 9 1 AM BM ; t; t 2 2 2 11 t t t 4 2 B 4, 3 D 2,1 DM : x y H h, h 1 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 33 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác 5 5 DM BH DM BH ; h 4; h 2 2 h 1 H 1;0 C 2; 3 Bài toán 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ộ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung iểm cạnh AC, ƣờng thẳng i qua A vuông góc với BM cắt BC iểm E(2;1) Biết trọng tâm tam giác ABC l iểm G(2;2) Tìm tọa ộ ba ỉnh tam giác ABC biết A có ho nh ộ lớn HD B + Gọi M, N lần lƣợt l trung iểm AC, BC => AN vuông góc với BC =>G trực tâm tam giác ABE => EG vuông góc với AB H =>EG//=2/3MC, GH//=2/3AM, M trung iểm AC=> EG=GH N => EG GH H 2;3 => Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng AB qua H vuông góc với HE H G E + Dễ thấy HG=HA=1 => toạ ộ iểm A nghiệm hệ pt: y A x y ⇒A(3;3)( A có ho nh ộ lớn 1) 2 x y 3 x 1; y + Có BH 2HA => toạ ộ iểm B(0;3) => toạ ộ C: HG M AC C 3;0 Bài toán 14 Cho ∆ABC cân A D l trung iểm BC E hình chiếu D AC Biết tọa ộ D(1;1),E(-5;7) v phƣơng trình ƣờng thẳng BE: 5x + 4y – = Tìm tọa ộ ỉnh tam giác ABC Hướng dẫn giải A G l trung iểm EC ⇒FG//DC ⇒ FG AD DE AC ⇒ F trực tâm ∆ADG ⇒ AF DG; DG // BE ⇒AF BE F(-2;4) Phƣơng trình ƣờng thẳng AF x – 5y + 28 =0 Phƣơng trình ƣờng thẳng AC x – y+ 12 = 0⇒A(-8;4) Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan B D F E G C - Trang | 34 - C Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Phƣơng trình BC: 3x – y – =0 ⇒ C(7;19), B(-5;-17), A 0, 2 Bài toán 15 Cho ∆ABC cân A I,J lần lƣợt l tâm ƣờng tròn nội tiếp tam giác bang tiếp góc A tam giác Trung trực IJ l t d có PT x – y = Đƣờng tròn (I) x 3 y tiếp xúc với 2 BC M(-2;1) Tìm tâm ƣờng tròn ngoại tiếp ∆ABC Hướng dẫn giải: Gọi K l trung iểm IJ Vì ∆ABC cân A nên ta có iểm A,I,J,K,M thẳng hàng Tac có IBJ ICJ 90 suy IBJC nội tiếp ƣờng tròn (K,KI) ICB IJB IJC JCK ICB ICA ICA JCK ACK ICJ 90 A M tâm ƣờng tròn ngọại tiếp ABC thuộc AK nênAK l k tr ngoại tiếp tam giác ABC Pt t IM l x+y+1=0 PT t BC l x – y + = I 1 1 K l giao iểm IM d K ; 2 B C K 1 1 25 PT tr (K,KI) l x y 2 2 B,C l giao iểm t BC v (K,KI) ,Giả sử B(0,3) PT t BA vuông góc với BK v i qua B l x + 7y – 21 = J 14 11 A l giao iểm IM BA A ; 3 Vậy tọa ộ tâm tron ngoại tiếp tam giác ABC hay l 31 19 ƣờng tr n k AK l ; 12 12 Mà tọa ộ B số nguyên B 4;3 C 3;1 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 35 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Bài toán 16 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho ABC cân A có ỉnh A 6;6 Đƣờng thẳng i qua trung iểm cạnh AB, AC có phƣơng trình x y Tìm tọa ộ ỉnh lại tam giác biết iểm E 1; 3 nằm ƣờng cao i qua C tam giác ã cho? Hướng dẫn giải: Gọi M , N lần lƣợt l trung iểm AB, AC I l trung iểm MN Có ABC cân A AB AC AM AN AMN cân A Mà I l trung iểm MN AI MN A Theo ề b i, phƣơng trình ƣờng thẳng MN : x y MN có VTPT nMN 1;1 MN có VTCP uMN 1; 1 MI N Có I MN I i;4 i AI i 6; i AI MN AI uMN i i i I 2;2 E Có N MN N n; n B C N l trung iểm AC xC xN xA 2n C 2n 6; 2n EC 2n 7;5 2n yC yN y A 2n xM xI xN n I 2; l trung iểm MN M n; n AM 2 n; n yM y I y N n x xM xA 2n Có M l trung iểm AB B B 2n; 2n y B yM y A 2n E ƣờng cao i qua C nên EC AB EC AM 2n n 2n n 14 3n 2n 30 2n 17n B 6; , C 2; 6 n 4n2 20n 16 n B 0; 4 , C 4;0 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 36 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác ĐỀU Bài toán Cho ∆ABC ều M∈cạnh BC, I(0,-2) l trung iểm AM P, Q hình chiếu M AB,AC PT t PQ l x Tìm tọa ộ iểm A biết diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải: A Gọi D l trung iểm BC A, P, D, M, Q thuộc (I) ƣờng kính AM ∠PAD=∠QAD=30°⇒DP=DQ=AM/2=IP=IQ I Q ⇒IPDQ hình thoi⇒I v D ối xứng qua PQ D 3, 2 P PT (I,ID) x y 12 P, Q l giao iểm (I) v P 3,1 , Q 3, 5 S ABC B C t PQ AD.BC AD AD Giả sử A(a,b) Ta có phƣơng trình ẩn a,b ( theo D M A 0, , A 0, 2 ộ dài AD A thuộc (I)) Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa ộ Oxy , cho tam giác ều ABC có A 4; 1 , iểm M ;3 BC không chứa A ƣờng tròn ngoại tiếp B số nguyên Tìm tọa ộ B, C tam giác ABC ? ABC , biết MC tọa ộ iểm Hướng dẫn giải: Có AMC ABC 600 AC AM MC AM MC cos 600 AC MC MA2 AMC vu ông C AM l Mà ƣờng kính ABC ABC ều AB AC 4, BM MC , AM BC Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 37 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Gọi H AM BC BH MH AH MH MH MA H 3; 4 BC 1; ; 4 BC có VTPT nBC Có MA A phƣơng trình BC : x y 3 Tọa ộ B, C nghiệm hệ: x y 3 2 x y 1 16 x y 3 2 y 3 y 1 16 B C x y 3 y 3; x y 1; x 4 y 16 y 12 M Mà tọa ộ B số nguyên B 4;3 C 3;1 D.TAM GIÁC VUÔNG Bài toán (A – 2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC vuông A, phƣơng trình ƣờng thẳng BC 3x y , ỉnh A B thuộc trục ho nh v bán kính ƣờng tròn nội tiếp Tìm tọa ộ trọng tâm G tam giác ABC Giải : C + Tọa ộ iểm B nghiệm hệ x 3x y B(1;0) y y + Gọi A(a;0) =>phƣơng trình AC : x a => tọa ộ iểm C nghiệm hệ 3x y x a C a; 3a x a y 3a Ta có AB a , AC a , BC a Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan A B - Trang | 38 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn => SABC Các toán tam giác 3(a 1) AB AC 2 + Ta có r a a 1 2SABC S 2 p AB BC CA 1 a 2 A 3;0 74 62 Với a => G ; 3 C 3;6 A 2 1;0 4 6 Với a 2 => G ; 3 C 2 1; 6 Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam ABC vuông A có hai ỉnh A, B nằm trục hoành, cạnh BC có phƣơng trình l 4x+3y-16=0 Xác ịnh tọa ộ trọng tâm G tam giác ABC biết bán kính ƣờng tròn nội tiếp C HD + Toạ ộ B l giao iểm Ox BC=> B(4; 0) + A thuộc Ox => A(a; 0), C thuộc BC=> C(4-3c, 4c) + Có AB AC a;0 3c a; 4c B A a 3c a 3c a a 3c + Mặt khác ta có SABC AB AC p.r AB AC AB AC BC 4 a 4 a 3c a 4c 2 4c 4 a 4 a 4c 2 3c a 4c 3c 4c 2 3c 4c 2 a 4c a 4c 5c a c a 9c 3c 4c 3c 4c 5c Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 39 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác c Loai 4 12c 12 c c C 1; A 1;0 G 2; 3 4 c 1 C 7; 4 A 7;0 G 6; 3 Bài toán 3: Cho A(2;1) lấy B thuộc trục hoành có ho nh ộ không âm, lấy iểm C thuộc Oy có tung ộ không âm cho tam giác ABC vuông A Tìm tọa ộ B, C ể tam giác ABC có diện tích lớn HD B thuộc Ox=> B(x, 0) (x>=0) C thuộc Oy => C (0, y) (y>=0) AC 2, y 1 ; AB x 2; 1 Có AB AC AC AB 2, y 1 x 2; 1 y x Ta có diện tích tam giác vuông ABC max khi: AC AB max AC AB y 1 x 2 2x x 2 1 2 x x 2 2 1 2 x 2 x 2 2 1 1 1 x 5 Do x, y y x x x x x x x x AB.BC 2.5 10 Vậy Max AB AC 10 x=0 x=4 (loại) Với x=0=> y=5 Vậy với B(0; 0) C(5; 0) thoả mãn ycbt Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 40 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông A, ƣờng cao AH M;N l trung iểm HC P l iểm ối 2 xứng A qua BN Biết tọa ộ M(0;3),N(0;4),P( ; ) tính tọa ộ iểm tam giác ABC Hướng dẫn giải Dự oán MP vuông góc AM P B ANPB hình chữ nhật AP l H ƣờng kính ƣờng tr n k BN M M thuộc ƣờng tr n ƣờng kính BN⇒AM vuông góc MP Phƣơng trình AM: 2x + 3y – = Phƣơng trình AC: x + 3y – 12 = A C N ⇒A(-3;5) ⇒C(3;3) 11 Phƣơng trình BC l y=3; phƣơng trình AB: 3x – y +14 = 0⇒B ;3 Bài toán 5: Cho ∆ABC vuông A, ƣờng cao AH I, J lần lƣợt l tâm ƣờng tròn nội tiếp ∆AHB, AHC K(4,-2) trực tâm AIJ Biết phƣơng trình ƣờng thẳng AI x +2y – 10 = 0, AJ i qua iểm M(1;2) Xác ịnh tọa ộ A, B, C biết A có ho nh ộ lớn Hướng dẫn giải Gọi D,E lần lƣợt l giao iểm AI,AJ với BC ∠AEB=∠EAC+∠ECA=∠EAH+∠BAH=∠BAE ⇒∆ABE cân B⇒Phân giác BI l B D H ƣờng cao⇒BI⊥AJ I Tƣơng tự: CJ⊥AI⇒K l giao iểm BI CJ ∠IAJ=45° nên góc AI AJ 45° J n a, b VTPT AJ | a 2b | a b2 Giải ƣợc cos 45 E K C A a a 1 b b Pt AJ 3x + y – = x – 3y + = suy A(0;5) (loại) A(4;3) Pt BK vuông góc AJ:3x + y – 10 = Điểm E ối xứng với A qua BK E(1,2) Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 41 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Pt CK vuông góc AI 2x – y – 10 = Điểm D ối xứng với A qua AI D(8,1) Pt BC x + 7y – 15 = 11 B l giao iểm BC BK suy B ; 4 17 C l giao iểm CJ BC suy C ; 3 Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho iểm cạnh AC Gọi N l ABC vuông B có BC 2BA Điểm M 2; 2 trung 4 8 BC Điểm H ; l giao iểm 5 5 ABC biết N d : x y iểm cạnh BC cho BN AN BM Xác ịnh tọa ộ ỉnh Hướng dẫn giải ABC vuông B , mà M l trung iểm AC AM MC BM BC Có BC BA; BN C BC BA BN Lại có BM MC BMC cân M MBC BCM Mà M BA BC BAN ∽ BCA BAN BCA 1 BN BA N H ABN vuông B BAN BNA 900 3 Từ (1), (2),(3) ANB CBM 900 AN BM H B A 8 26 Có N d : x y N 2n; n HN 2n; n 5 4 8 18 Mà M 2; 2 H ; HM ; 5 5 5 26 8 18 Vì AN BM H HM HN 2n n n N 2; 5 5 Đặt BA a a BC 2a Có BN a a BC BN AC AB BC a BM Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 42 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Xét Nên Các toán tam giác ABN vuông B có BH AN : BH BA2 BN a 2 BA BN BH MH BM HM BM 2; 6 B 0; BM BM Có BN 1 BC BN BC Mà BN 2; 2 BC 8; 8 C 8; 4 4 x xM xC 4 Lại có M 2; 2 l trung iểm cạnh AC A A 4;0 y A yM yC Bài toán 7:Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tâm ABC vuông cân A Gọi M l trung iểm BC , G trọng ABM , D 7; 2 oạn MC cho GA GD Viết phƣơng trình ƣờng thẳng AB ABC biết xA v phƣơng trình ƣờng thẳng AG : 3x y 13 Hướng dẫn giải B ABC vuông cân A , M l trung iểm BC E ABM vuông cân M G trọng tâm MG l M ABM MG trung tuyến ABM G ƣờng trung trực AB GA GB D Mà GA GD gt nên GA GB GD G l tâm ƣờng tròn ngoại tiếp ABD AGD ABC Có A C ABC vuông cân A ACB ABC 450 AGD 900 GA GD G AG : 3x y 13 G g;3g 13 DG g 7;3g 11 AG có VTPT nAG 3; 1 AG có VTCP u AG 1;3 G 4; 1 GA GD DG.u AG g 3g 11 g DG 3;1 Có DG DG 10 GA 10 A GA A a;3a 13 với a GA2 a 3a 12 10 a 10 a A 3; 4 2 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 43 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Gọi E AG BC E l trung iểm BM AG Các toán tam giác AE 3 9 9 1 Mà AG 1;3 AE ; E ; 2 2 2 2 x AM x 10 Đặt AB AC x x BC x AE AM ME ME x AG x 10 x x AE AD MD AD AM 6 DE MD ME 5x 5 DE DM Mà DE ; DM 1;1 M 6; 1 12 2 Có M 6; 1 G 4; 1 phƣơng trình MG : y 1 Lại có MG trung trực ƣờng thẳng AB MG AB ; A 3; 4 phƣơng trình AB : x Đ Giáo viên giảng dạy khóa PEN-C, PEN-I v luyện thi v o ĐHQGHN Hocmai.vn Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Hãy follow ể luyện tập v tải t i liệu Toán Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 44 - [...]... quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác x 5 x 1 Giải hệ phƣơng trình ta tìm ƣợc và y 3 y 1 Vậy có 2 iểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3) Bài toán 15: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam giác nằm trên ƣờng thẳng x y 2 0 Tìm tọa ộ ỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 Hướng dẫn giải 3 1 - Ta có :... https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 27 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Bài toán 6 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết phƣơng trình cạnh BC là d : x 7 y 31 0 , iểm N (7;7) thuộc ƣờng thẳng AC , iểm M (2; 3) thuộc ƣờng thẳng AB Tìm tọa ộ các ỉnh của tam giác ABC Giải: C N A B M +) Gọi VTPT AB là nAB (a; b) với a 2 b2 0 ,... - Trang | 29 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Bài toán 8 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , cạnh BC nằm trên ƣờng thẳng có phƣơng trình x 2 y 2 0 Đƣờng cao kẻ từ B có phƣơng trình x y 4 0 , iểm M (1;0) thuộc ƣờng cao kẻ từ ỉnh C Xác ịnh tọa ộ các ỉnh của tam giác ABC Giải: A M C B x 2 y 2 0 x 2 B(2;... 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác 5 5 DM BH DM BH ; h 4; 2 h 0 2 2 h 1 H 1;0 C 2; 3 Bài toán 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ộ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung iểm của cạnh AC, ƣờng thẳng i qua A vuông góc với BM cắt BC tại iểm E(2;1) Biết trọng tâm tam giác ABC l iểm G(2;2) Tìm tọa ộ ba ỉnh tam giác ABC biết... 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Bài toán 7 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có phƣơng trình hai cạnh AB và AC lần lƣợt là x 2 y 2 0 và 2 x y 1 0 , iểm M (1; 2) thuộc oạn BC Tìm tọa ộ iểm D sao cho DB.DC có giá trị nhỏ nhất Giải: +Ta có VTPT AB, AC lần lƣợt là: n1 (1; 2) và n2 (2;1) Gọi VTPT BC là n3 (a; b) với a 2 b2 0 Khi ó tam giác ABC... https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 22 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Sử dụng công thức tính khoảng cách từ iểm C ến ƣờng thẳng AB Tìm ƣợc t=1 hoặc t=2=> tìm ƣợc toạ ộ iểm C(-2;-10) hoặc C(1;-1) Bài toán 28: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có ỉnh C(-1;-1) v phƣơng trình cạnh AB là x+2y-3=0, trọng tâm của tam giác ABC thuộc ƣờng thẳng d: x+y-2=0 Tìm tọa ộ hai ỉnh... https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 19 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Bài toán 22: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC có ƣờng phân giác trong góc A v ƣờng 5 cao kẻ từ B có phƣơng trình lần lƣợt là 12x+4y-5=0; x-y-2=0 Điểm M(1;- ) l trung iểm cạnh BC 2 Tìm tọa ộ ba ỉnh tam giác A HD + Gọi toạ ộ B(b, b-2) => C(2-b, -3-b) =>PT ƣờng thẳng AC qua C và... Điểm I (4; 2) l trung iểm của AB , iểm M 4; thuộc cạnh BC , diện tích tam giác 2 ABC bằng 10 Tìm tọa ộ các ỉnh của tam giác biết tung ộ của iểm B không nhỏ hơn 3 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 25 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Giải: C +Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên 5 AB N 5; MN 5 2 + Phƣơng... – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Bài toán 20:Trong mặt phẳng với hệ tọa ộ Oxy ,cho của BC , N cạnh AC sao cho AN ABC có AC 2 AB Điểm M 1;1 l trung iểm 1 AC , D BC sao cho AD ối xứng AM qua phân giác 3 trong BAC Đƣờng thẳng DN có phƣơng trình 3x 2 y 8 0 Xác ịnh tọa ộ các ỉnh ABC , biết C d : x y 7 0 Hướng dẫn giải A N B C D M Ta có: AD ối xứng AM qua phân giác AE... 22 3a 18 a 6 Bài toán 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ ộ Oxy, hãy viết phƣơng trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân ƣờng cao hạ từ ỉnh B là K (0; 2) , trung iểm cạnh AB là M (3;1) Hướng dẫn giải Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 11 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác - Theo tính chất ƣờng cao ... cho tam giỏc ABC cú M(2;-1), N(2;2), P(-2;2) tng ng l chõn ng cao h t nh A, B, C ca tam giỏc ABC Xỏc nh ta cỏc nh tam giỏc ABC HD Gi H l trc tõm tam giỏc ABC Chng minh H l tõm tr ni tip tam. .. Oxy , cho tam giỏc ABC cõn ti A v M l trung im ca AB ng thng CM cú phng trỡnh y v K ; l trng tõm ca tam giỏc ACM Tỡm ta 3 cỏc nh ca tam giỏc ABC , bit ng cao t nh A ca tam giỏc ABC... bi toỏn v tam giỏc x x Gii h phng trỡnh ta tỡm c v y y Vy cú im C tha l C(5; 1) v C(1; 3) Bi toỏn 15: Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC, vi A(2;1) , B(1; 2) , trng tõm G ca tam giỏc