Bài 1 M t chi đoàn có 10 nam và 10 n c n l p t công tác g m 5 ng i Tìm s cách ch n t công tác có
ít nh t m t n
Gi i:
B c 1: S cách ch n 5 ng i b t kì t 20 ng i là: 5
20
C (cách)
B c 2: S cách ch n 5 ng i t 10 nam (không ch n n ) là: 5
10
C cách
B c 3: V y s cách ch n trong 5 ng i có ít nh t 1 n là: 5 5
20 10 15252
Bài 2.Có 12 cây gi ng g m 3 lo i : Xoài, mít, i, trong đó có 6 gi ng xoài, 4 gi ng mít và 2 gi ng i
Mu n ch n ra 6 cây gi ng đ tr ng H i có bao nhiêu cách ch n ra s cây xoài b ng s cây mít
Gi i:
Tr ng h p 1: Ch n 2 xoài, 2 mít và 2 i, s cách ch n là: 2 2 2
6 4 2 90
C C C (cách)
Tr ng h p 2: Ch n 3 xoài, 3 mít, s cách ch n là: 3 3
6 4 80
C C (cách)
V y s cách ch n trong th a mãn yêu c u bài toán là: 90 80 170 cách
Bài 3 (B – 2005) M t đ i thanh niên tình nguy n có 15 ng i, g m 12 nam và 3 n H i có bao nhiêu
cách phân công đ i v giúp đ 3 t nh mi n núi sao cho m i t nh có 4 nam và 1 n
Gi i:
S cách ch n 4 nam và 1 n phân công v t nh th nh t là: 4 1
12 3
C C cách
S cách ch n 4 nam t 8 nam còn l i và 1 n t 2 n còn l i phân công v t nh th hai là: 4 1
8 2
C C cách
S cách ch n 4 nam còn l i và 1 n còn l i phân công v t nh th ba là: 4 1
4 1 1
C C cách
V y s cách phân công th a mãn yêu c u bài toán là: 4 1 4 1
12 3 8 2 207900
Bài 4.Có 8 phi công ( 5 nam, 3 n ) và 4 nam bác s đã hoàn thành khóa hu n luy n chu n b cho công
vi c bay vào v tr H i có bao nhiêu kh n ng l p thành 1 t du hành v tr g m 3 ng i có c nam l n
n , có c phi công l n bác s
Gi i:
Tr ng h p 1: Ch n 2 n phi công và 1 nam bác s , s cách ch n là: 2 1
3 4 12
C C (cách)
Tr ng h p 2: Ch n 1 n phi công, 1 nam phi công và 1 nam bác s , s cách ch n là: 1 1 1
3 5 4 60
C C C
(cách)
Tr ng h p 3: Ch n 1 n phi công và 2 nam bác s , s cách ch n là: 1 2
3 4 18
C C (cách)
V y s cách ch n trong th a mãn yêu c u bài toán là: 12 60 18 90 cách
Bài 5.Có 8 tem th khác nhau và 5 bì th khác nhau Ng i ta mu n ch n t đó ra 3 tem th và 3 bì th sau đó m i tem th dán vào 1 bì th H i có bao nhiêu cách nh v y
Gi i:
BÀI TOÁN “CH N – RÚT – PHÂN CHIA ”
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Bài toán “Ch n – rút – phân chia” thu c khóa h c Luy n thi
THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này
Trang 2S cách ch n 3 tem th t 8 tem th là: 3
8
C cách
S cách ch n 3 bì th t 5 bì th là: 3
5
C cách
S cách dán 3 tem th lên 3 bì th là: 3! cách
V y s cách th a mãn yêu c u bài toán là 3 3
8 5.3! 3 63 0
Bài 6.Có 6 lo i b u nh khác nhau, 7 cu n sách tham kh o khác nhau và 8 chi c bút khác nhau Ng i ta
c n ch n b ba t ng ph m, m i b g m 1 b u nh, 1 sách tham kh o và 1 chi c bút H i có bao nhiêu kh
n ng l a ch n (không phân bi t th t c a các t ng ph m)
Gi i:
S cách ch n 3 b u nh t 6 b u nh là: 3
6
C cách
S cách ch n 3 sách tham kh o t 7 sách tham kh o là: 3
7
C cách
S cách ch n 3 chi c bút t 8 chi c bút là: 3
8
C cách
S cách ghép 3 b u nh v i 3 chi c bút là: 3! cách
S cách ghép 3 sách tham kh o v i 3 chi c bút là: 3! cách
V y s cách th a mãn yêu c u bài toán là 3 3 3
6 7 8.3!.3! 1411200
Bài 7 Có 5 cu n sách giáo khoa gi ng nhau và 4 cu n sách tham kh o đôi m t khác nhau em làm gi i
th ng cho 8 h c sinh, m i h c sinh đ c 1 cu n sách (còn th a 1 cu n sách) Có bao nhiêu cách nh n
gi i th ng đ i v i 8 h c sinh trên
Gi i:
Cách 1: Ta xét hai tr ng h p sau
Tr ng h p 1: Ch n ra 4 cu n sách giáo khoa và 4 cu n sách tham kh o làm gi i th ng
S cách ch n 4 trong 8 h c sinh đ nh n sách giáo khoa là: 4
8
C cách
S cách ch n 4 trong 4 cu n sách tham kh o cho 4 h c sinh còn l i là: 4! cách
V y s cách nh n gi i th ng tr ng h p 1 là: 4
8.4! 1680
Tr ng h p 2: Ch n ra 5 cu n sách giáo khoa và 3 cu n sách tham kh o làm gi i th ng
S cách ch n 5 trong 8 h c sinh đ nh n sách giáo khoa là: 5
8
C cách
S cách ch n 3 trong 4 cu n sách tham kh o cho 3 h c sinh còn l i là: 3
4
A cách
V y s cách nh n gi i th ng tr ng h p 1 là: 5 3
8 4 1344
V y s cách th a mãn yêu c u bài toán là: 1680 134 430 42 cách
Cách 2: G i cu n sách còn th a chia cho h c sinh th 9
S cách ch n 5 trong 9 h c sinh đ nh n sách giáo khoa là: 5
9
C cách
S cách ch n 4 trong 4 cu n sách tham kh o cho 4 h c sinh còn l i là: 4! cách
V y s cách th a mãn yêu c u bài toán là: 5
9.4! 3024
Chú ý:
S cách ch n k trong n ng i đ nh n k đ v t gi ng nhau (m i ng i 1 đ v t) là: k
n
C
S cách ch n k trong n ng i đ nh n k đ v t khác nhau (m i ng i 1 đ v t) là: k
n
A
S hoán v n ng i nh n n đ v t khác nhau (m i ng i 1 đ v t) là: !n
Bài 8.Có bao nhiêu cách chia 30 đ v t gi ng nhau cho 3 ng i sao cho m i ng i đ c ít nh t 3 đ v t
Gi i:
B c 1: Ta đem chia tr c cho m i ng i 2 đ v t, s cách chia : 1 (cách) (vì các đ v tgi ng nhau)
Lúc này s đ v t còn l i là: 30 2.3 24 đ v t
Trang 3B c 2: Bây gi ta s đem chia 24 đ v t còn l i cho 3 ng i, đ m b o m i ng i có ít nh t m t đ v t
Khi đó cùng v i 2 đ v t nh n tr c đó, m i ng i s nh n đ c ít nh t 3 đ v t, th a mãn đi u ki n bài toán làm đ c đi u này, ta s th c hi n nh sau: t 24 đ v t thành m t hàng ngang, gi a chúng s
có 23 kho ng tr ng
N u đ t 2 v ch m t cách b t kì vào 2 trong s 23 kho ng tr ng này, ta thu đ c 1 phép chia 24 đ v t làm
3 ph n m i ph n có ít nh t 1 đ v t Ba ng i l n l t nh n s đ v t trong 3 ph n t ng ng ta đ c 1
cách chia th a mãn đi u ki n bài toán Do đó s cách chia là: 2
V y có 253 cách chia th a mãn bài toán
Bài 9.Có bao nhiêu cách t ng 5 món quà khác nhau cho 3 ng i mà ng i nào c ng có quà
Gi i:
Tr ng h p 1: M t ng i nh n đ c 3 món quà, 2 ng i còn l i m i ng i nh n 1 món quà
S cách ch n 1 ng i t 3 ng i đ nh n 3 món quà là: 1
3
C cách
S cách ch n 3 món quà t 5 món quà là: 3
5
C cách
S cách ch n 2 ng i còn l i nh n 2 món quà còn l i (m i ng i 1 món quà) là : 2! = 2 cách
V y s cách t ng tr ng h p 1 là: 1 3
3 5.2 60
Tr ng h p 2: M t ng i nh n đ c 1 món quà, 2 ng i còn l i m i ng i nh n 2 món quà
S cách ch n 1 ng i t 3 ng i đ nh n 1 món quà là: 1
3
C cách
S cách ch n 1 món quà t 5 món quà là: 1
5
C cách
S cách ch n 2 quà t 4 quà còn l i cho 1 ng i là 2
4
C cách
S cách ch n 2 quà còn l i cho ng i còn l i là 2
2
C cách
V y s cách t ng tr ng h p 1 là: 1 1 2 2
3 5 4 2 90
C C C C (cách)
V y s cách chia th a mãn yêu c u bài toán là 60 90 150 cách
Bài 10. T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ng i ta ch n ra 10 câu đ làm đ ki m tra sao cho ph i có đ c 3 lo i d , trung bình và khó H i có th l p đ c bao nhiêu đ ki m tra?
Gi i:
B c 1: Ch n 10 câu tùy ý trong 20 câu có C cách 2010
B c 2: Ch n 10 câu có không quá 2 trong 3 lo i d , trung bình và khó
Tr ng h p 1: Ch n 10 câu d và trung bình trong 16 câu có C cách 1610
Tr ng h p 2: Ch n 10 câu d và khó trong 13 câu có C cách 1310
Tr ng h p 3: Ch n 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C cách 1110
V y có C1020(C1610C1310C1110)176451đ ki m tra
Bài 11 T 20 câu h i tr c nghi m g m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ng i ta ch n ra 7 câu đ làm đ ki m tra sao cho ph i có đ c 3 lo i d , trung bình và khó H i có th l p đ c bao nhiêu đ ki m tra?
Gi i:
6 5 4 3 2 1
Trang 4 B c 1: Ch n 7 câu tùy ý trong 20 câu có C cách 207
B c 2: Ch n 7 câu không th a yêu c u
- Tr ng h p 1: Ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu cóC cách 167
- Tr ng h p 2: Ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có C137 C97cách
- Tr ng h p 3: Ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu cóC117 cách 1
Bài 12. H i đ ng qu n tr c a m t công ty g m 12 ng i, trong đó có 5 n T h i đ ng qu n tr đó ng i
ta b u ra 1 ch t ch h i đ ng qu n tr , 1 phó ch t ch h i đ ng qu n tr và 2 y viên H i có m y cách b u sao cho trong 4 ng i đ c b u ph i có n ?
Gi i:
Lo i 1: B u 4 ng i tùy ý (không phân bi t nam, n )
- B c 1: B u ch t ch và phó ch t ch cóA cách 122
- B c 2: B u 2 y viên cóC cách 102
Suy ra cóA C cách b u lo i 1 122 102
Lo i 2: B u 4 ng i toàn nam
- B c 1: B u ch t ch và phó ch t ch cóA cách 72
- B c 2: B u 2 y viên cóC cách 52
Suy ra cóA C cách b u lo i 2 72 52
12.C10 7 5 5520
Bài 13. Có 6 Nhà Toán h c nam, 3 Nhà Toán h c n , 4 Nhà V t lí nam L p 1 đoàn công tác 3 ng i c n
có c nam và n , c nhà toán h c và nhà v t lí h c H i có bao nhiêu các l p đoàn công tác?
Gi i:
Ch có 3 cách l p đoàn công tác nh sau:
G m 2 Nhà V t lí nam, 1 Nhà Toán h c n Theo quy t c nhân, s cách ch n là: C42.C13 6.3 18
G m 1 Nhà V t lí nam, 2 Nhà Toán h c n Theo quy t c nhân, s cách ch n là: C41.C32 4.3 12
G m 1 Nhà V t lí nam, 1 Nhà Toán h c n , 1 Nhà Toán h c nam
Theo quy t c nhân, s cách ch n là: 1 1 1
4.C C3 6 4.3.6 72
Theo quy t c c ng, s cách l p đoàn công tác là: 18 + 12 + 72 = 102 cách
Bài 14 (D- 2006) i thanh niên xung kích c a m t tr ng ph thông có 12 h c sinh, g m 5 h c sinh l p
T, 4 h c sinh l p L và 3 h c sinh l p H C n ch n 4 h c sinh tham gia tr c tu n, sao cho 4 h c sinh đó
thu c không quá 2 trong 3 l p nói trên H i có bao nhiêu cách ch n?
Gi i:
G i A là t p h p m i cách ch n 4 h c sinh trong 12 h c sinh
G i B là t p h p các cách ch n không th a mãn yêu c u đ u bài (t c là ch n đ h c sinh 3 l p)
G i C là t p h p cách ch n th a mãn yêu c u đ u bài
Ta có A C; C Theo quy t c c ng ta có: A C C A (1)
Trang 5Ta có ngay A C124 495.(2)
tính ta nh n th y s ch n 1 l p có 2 h c sinh và 2 l p còn l i m i l p 1 h c sinh
Theo quy t c c ng và nhân ta có: C C C52 14 13C C C15 24 13C C C15 14 23 120 90 60 270
Thay (2), (3) vào (1) và có: C 495 270 225
V y có 225 cách ch n
Bài 15. Trong m t t h c sinh c a l p 12A có 8 nam và 4 n Th y giáo mu n ch n 3 h c sinh đ làm
tr c nh t l p h c, trong đó ph i có ít nh t 1 h c sinh nam H i th y giáo có bao nhiêu cách ch n?
Gi i:
G i A là t p h p s cách ch n tùy ý 3 h c sinh trong 12 h c sinh
G i B là t p h p s cách ch n c 3 n sinh
G i C là t p h p s cách ch n theo yêu c u đ ra
Ta có C A (*) D th y 3
12
A C 220, C34 4
T đó theo (*) ta có: C 220 4 216 V y có 216 cách ch n
Bài 16. M t h p đ ng 4 viên bi đ , 5 viên bi tr ng và 6 viên bi vàng Ng i ta ch n ra 4 viên t trong h p
đó H i có bao nhiêu cách ch n đ s b l y ra không đ c 3 màu?
Gi i:
G i A là t p h p các cách ch n 4 viên bi tùy ý trong 15 viên
G i C là t p h p các cách ch n 4 viên bi đ c 3 màu
G i C là t p h p các cách ch n 4 viên bi theo yêu c u đ u bài
Ta có: C A (1) D th y: 4
15
A C 1365 (2)
G i B là t p h p các cách ch1 n 2 viên bi đ , 1 tr ng ,1 xanh
B là t p h p các cách ch2 n 1 bi đ , 2 tr ng ,1 xanh
B là t p h p các cách ch3 n 1 bi đ , 1 tr ng ,2 xanh
Theo quy t c c ng và nhân ta có: B1 B2 B3 C C C24 15 16C C C14 25 16C C C14 15 26 720
(3) Thay (2) (3) vào (1) và có: C 1365 720 645 V y có 645 cách ch n 4 viên bi theo yêu c u đ bài
Bài 17. m t tr ng ti u h c có 50 em là h c sinh gi i, trong đó có 4 c p em sinh đôi C n ch n ra 3 h c sinh trong s 50 em đ đi d tr i hè H i có bao nhiêu cách ch n mà trong nhóm 3 em đ c ch n không
có c p anh em sinh đôi nào?
Gi i:
G i A là t p h p các cách ch n tùy ý 3 em trong s 50 em
G i B là t p h p các cách ch n 3 em, trong đó có 1 c p sinh đôi
G i C là t p h p các cách ch n 3 em theo yêu c u c a đ bài
Ta có: C A (*) Ta có 3
50
A C 19600 Tìm theo quy t c nhân nh sau:
- Ch n c p sinh đôi: có n1 cách ch n 4
- Ch n 1 em còn l i trong 48 em, có n2 48 cách ch n
Theo quy t c nhân ta có: n n1 2 4.48 192
V y t (*) suy ra: C 19600 192 19408 V y s cách ch n th a mãn bài toán là 19408
Trang 6Bài 18 Bi n s xe là m t dãy g m 2 ch cái đ ng tr c và 4 ch s đ ng sau: Các ch cái đ c l y t 26
ch cái A, B, C,…, Z Các ch s đ c ch n t 10 ch s 0, 1, 2,…, 8, 9 Có bao nhiêu bi n s xe có hai
ch cái khác nhau, đ ng th i có đúng hai ch s l và hai ch s l đó gi ng nhau?
Gi i:
B c 1: Ch n hai ch cái khác nhau, s cách ch n là n1 226 650
B c 2: Ch n hai s l gi ng nhau, s cách ch n là n2 5
B c 3: Ch n 2 v trí trong 4 v trí đ đ t 2 ch s l gi ng nhau, vì th đây là cách ch n 2 v trí trong 4 v trí mà không quan tâm đ n th t s p x p Do v y s cách ch n là 2
n C 6
B c 4: S p x p 2 s ch n vào 2 v trí còn l i ây là cách ch n 2 ph n t có th l p l i trong 5 ph n t
M i v trí đ u có 5 cách ch n, nên s cách ch n là 2
4
n 5 25 Theo quy t c nhân, s bi n s xe th a mãn yêu c u đ bài là: nn n n n1 2 3 4 650.5.6.25487500
Bài 19. M t ng i có 7 chi c áo và 5 cà v t, trong đó có 3 áo tr ng và 2 cà v t màu vàng H i ng i đó có bao nhiêu cách ch n áo – cà v t n u:
1) Ch n áo nào c ng đ c và cà v t nào c ng đ c
2) ã ch n áo tr ng thì không ch n cà v t vàng
Gi i:
S cách ch n 1 áo t 7 áo là : 7 cách
S cách ch n 1 cà v t t 5 cà v t là : 5 cách
S cách ch n th a mãn bài toán là : 7.535 cách
Tr ng h p 1: Ch n 1 áo không tr ng t 4 áo không tr ng và 1 cà v t t 5 cà v t, s cách ch n: 4.5 20
cách
Tr ng h p 2: Ch n 1 áo tr ng t 3 áo tr ng và 1 cà v t t 3 cà v t không vàng, s cách ch n: 3.3 9
cách
V y s cách ch n th a mãn bài toán là: 20 9 29 cách
Bài 20 Có 6 qu c u xanh đánh s t 1 đ n 6 Có 5 qu c u đ đánh s t 1 đ n 5 và có 4 qu c u vàng
đánh s t 1 đ n 4 H i có bao nhiêu cách l y 3 qu c u v a khác s , v a khác màu
Gi i
S cách l y 1 qu c u vàng ‘là : 4 cách
Sau khi l y 1 qu c u vàng, thì s cách l y 1 qu c u đ có 4 cách ( do b qu trùng s v i qu c u vàng) Sau khi l y 1 qu c u vàng và 1 qu c u đ thì s cách l y 1 qu c u xanh có 4 cách
( do b 2 qu trùng s v i vàng và xanh)
V y có t ng c ng 4.4.4 = 64 cách th a mãn đi u ki n bài toán Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng
Trang 75 L I ÍCH C A H C TR C TUY N
Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c
H c m i lúc, m i n i
Ti t ki m th i gian đi l i
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm
Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c
Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12) T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia
Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n
Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th
Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng