TÍCH PHÂN VÀ SƠ ĐỒ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) TÍCH PHÂN VÀ S Nguyên hàm – Tích phân GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng Tích phân s đ gi i thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng   sin  x   4  2) I   dx cos x   ln x dx x e 1) I1   Bài 1: Tính tích phân sau: Gi i:  ln x dx x e 1) I1   e e e e e   ln x ln x ln x  dx dx Cách trình bày 1: I1   dx  3   dx  3   ln xd ln x   3ln x    1 x x x x  1 e e (3  ln x) Cách trình bày 2: I1   (3  ln x)d (3  ln x)   2 1 e V y I1    sin  x   4  2) I   dx cos x     sin x  cos x sin x cos x Cách trình bày 1: I  dx    dx  0 cos3 x dx cos x cos x 4     Cách trình bày 2: I   dx d cos x 1 tan x           2 cos x cos x  2 cos x 0 2   sin x  cos x tan x  1 dx dx      (tan x  1)d (tan x  1) cos x cos x 20 4 (tan x  1)2  2   2 Bài 2: Tính tích phân sau: V y I2   1) I1    x.e x x dx e2 x 2 2) I   dx x  x 1 Gi i: 1) I1   x   x.e x 1 1  dx   x  x x  x dx    x  x  dx 2x e e e e  0  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  x2  1     x  e  dx    x      1    e 0 e  e 2) I   x dx  x  x  1  x x 2( x  1) x    x  x  dx     3  1   Bài 3: Tính tích phân sau: 2) I   x x  1.dx 1) I1   (4 x  1)(2 x  1) dx 0 Gi i: 1) I1   (4 x  1)(2 x  1)5 dx 1 0 I1   (4 x  1)(2 x  1)5 dx    2(2 x  1)  3 (2 x  1)5 dx  1 2(2 x  1)  3(2 x  1)5  d (2 x  1) 0  1  2(2 x  1)7 (2 x  1)6  912      2 7 0 2) I   x x  1.dx 3 0   x  1.dx   ( x  1)  ( x  1)  d ( x  1)  0 Cách 1: I   x x  1.dx    x   1  2( x  1) 2( x  1)         116  15  0  3x dx ( x  x  6)( x2  x  1) 1 Bài 4: Tính tích phân sau: 1) I1     2) I   x;  x dx  3x ( x2  x  6)  ( x2  x  1) 1   1) I1    dx   dx     dx 2 ( x  x  6)( x  x  1) ( x  x  6)( x  x  1) x  x  x  5x   1 1 1  0 dx ( x  2)  ( x  3) dx       dx   dx 2 ( x  1) 1  x  x   x  x  1 ( x  2)( x  3) 1 1 0  x3   ln x  1 x V y I1   1  ln  ln   2) I   x;  x dx +) Xét x   x  x3   x  x3  x    ( x  1)( x2  x  2)   x     x   0;1  x   x  x x   0;1  x;  x   V y x0;2    x  1;2   x   x   x x  1;2    Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   2 1 Nguyên hàm – Tích phân Khi I   x;  x dx   xdx    xdx   xdx   (2  x) d (2  x) x2   (2  x)  4 V y I2  ( x  1) 2013 dx ( x  1) 2015 2x  dx ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) 1 2) I   1) I1   Bài 5: Tính tích phân sau: Gi i: 2x  ( x2  x  6)  ( x2  x  4) 1) I1   (2 x  5)dx dx   ( x  x  4)( x2  x  6) ( x2  x  4)( x2  5x  6) 1 1 1  1  d ( x2  x  4) d ( x2  x  6)        d ( x  x)    2  x  x  x2  x    x  5x  x  5x   x2  x   ln 2 x  5x   x 1  2) I     x 1  0 2013 1  ln V y I1  ln dx  x 1     ( x  1)  x 1  1  x 1   x 1   d    x   2.2014  x   2013 2014  4028  1) I1  Bài 6: Tính tích phân sau: x sin x2 dx cos x2  2) I   (2 x2  x  9) x4  3x3 dx Gi i:  1) I1    x sin x dx  2 cos x 2   sin x dx2   2 cos x 1 0  d cos x2  2 cos x cos x2   1 2) I   (2 x2  x  9) x4  3x3 dx   (2 x  3)( x  3) x x2  3xdx 1 2 64   ( x  3x) x  3x.(2 x  3)dx   ( x  3x) d ( x  3x)  ( x  3x)  5 0 2 ln 1) I1  Bài 7: Tính tích phân sau: e dx 1 x x dx 2) I     2sin x  sin x  sin Gi i: ln 1) I1   dx  x e 1 ln  Hocmai.vn – Ngôi tr e xdx  e x (e x  1) ln  de x  e x (e x  1) ng chung c a h c trò Vi t ln  ln  x ex 1 de ln    ln  x  x x e 1  e e 1  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) x dx  2) I   x 2sin sin x    sin  Nguyên hàm – Tích phân x x x 0 d cos sin x  (1  sin2x)2 dx    x x 2 d  2  x  2     cos  sin cos     2 2 4 2  sin 0    x  d cos    1 2 4   x  x  cos    cos    2 4    V y I1  1 2 Bài Tính tích phân sau:  ln 1) I1  e ln(1  ln x) dx x.(1  ln x) e x  e2 x  1dx ln 2 2) I   3) I   sin x cos 2 xdx 4) 4x  dx ( x  1)( x2  x) I4   2 5) I   dx 6) I   x2  dx x2 x2  7)  (sin x  cos6 x)sin x dx sin x  cos x I7      x  sin  x   4  dx 8) I8    sin x x    9) I   x( x  1)2015 dx tan x dx sin x  cos x 10) I10   Gi i: ex de x  1  x ex 1   1) I1   x dx   x  de  ln x e 1 (e  1)(e x  1) ln2  e x  e x   e 1 ln ln ln ln ln ln ln  ln 2 e ln(1  ln x) d (1  ln x) ln (1  ln x) ln (1  e) 2) I   dx   ln(1  ln x)   ln(1  ln x).d ln(1  ln x)   x.(1  ln x)  ln x 2 1 1 e e e    2 0 3) I   sin x cos 2 xdx   sin x.(2cos x  1) dx    (4cos x  2cos x  1)d cos x    17    cos5 x  cos3 x  cos x     15 4x  (2 x  1)dx d ( x2  x) dx  2  2 4) I   ( x  1)( x2  x) ( x  1)( x  1) x( x  2) ( x  x  2)( x2  x) 2 3 1  d ( x2  x) x2  x   ( ) ln d x x  2       ( x  x  2)( x2  x) 2  x2  x  x2  x  x2  x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12  ln - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 5) I   dx x2   x  x2  dx  x2  x2    d x  x2  x  x2    ln x  x2   ln 3  d 1   dx dx 1 x  I6         1 2 x 61 3 x2  x x 3 1 x x x 6) x Nguyên hàm – Tích phân 2 2 4   (sin x  cos6 x)sin x dx sin x  cos x 7) I    cos x  cos x  4  sin x  cos x   sin x   4 +) Ta có  sin x  cos6 x   sin 2 x   3(1  cos x)   3cos x  8  +) Khi I    3cos x 3.(3  cos x)  sin   d cos x xdx 0  cos x 0  cos x      4 d (3  cos x)      cos cos d x d x   0   cos x  0 0  cos x 4   4    cos x  ln  cos x    ln 2  0 +) V y I   ln      x  sin  x   2  x  (sin x  cos x) x  sin x  (1  cos x) 4  dx   dx   dx 8) I8   x  sin x x  sin x x  sin x     4      d ( x  sin x)   cos x dx  x 2     ln x  sin x x x  sin  x  sin x  4   dx   V y I8        ln 2   2  ln 2   2 1 0 9) I   x( x  1)2015 dx   ( x   1)( x  1) 2015 dx   ( x  1) 2016  ( x  1) 2015  d ( x  1)  ( x  1)2017 ( x  1) 2016  1       2016  2017 2016 4066272  2017 V y I9   4066272 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   Nguyên hàm – Tích phân  tan x 14 tan x tan x dx 10) I10   dx dx   2   sin x  2cos x sin x cos x  cos x tan x  cos x    4 tan x 4 1    d tan x   1   d tan x   tan x  2ln tan x     ln tan x  2  tan x   2 V y I10   ln 2 Bài Tính tích phân sau v i k  1;5 (có 40 câu tích phân này) :    2 A   sin k xdx B   cos k xdx  D   cot k xdx C   tan k xdx   E  dx sin k x    dx cos k x G F   3 dx tan k x H   dx cot k x Gi i: *) V i k = Ta có:   +) A1   sin xdx   cos x 02    +) B1   cos xdx  sin x 02    4  d cos x sin x dx      ln cos x cos x cos x 0   2 +) C1   tan xdx   +) D1   cot xdx     4    ln  ln 2  cos x d sin x  ln sin x dx   sin x  sin x     ln  ln 2  +) E1    dx sin x   2 Cách 1: E1     sin x sin x dx   dx   dx sin x  sin x   cos x  3  d cos x 12 1 1  cos x  E1         d cos x   ln    cos x  cos x   cos x  (1  cos x)(1  cos x) Hocmai.vn – Ngôi tr   ln 3 ng chung c a h c trò Vi t  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   2 Cách 2: E1    dx   sin x  3 Nguyên hàm – Tích phân    x x x x x  x dx dx  cos 2 sin cos d cos d sin 1 2 dx   x   2x   x2   x2 x x 2sin cos cos sin cos sin 3 3 2 2 2 sin  x x2 x     ln cos  ln sin   ln tan 2      2    ln 3  x d tan 1 dx  ln tan x  dx   dx   Cách 3: E1   x x x x  x  sin x  2sin  tan cos cos tan 3 3 2 2   6  1  1  1  sin x d sin x     d sin x  ln  (1  sin x)(1  sin x)   sin x  sin x   sin x    6    3 +) H1       ln    ln ln 2  sin x d cos x dx   tan xdx   dx      ln cos x cot x cos cos x x    ln  4 cos x d sin x  ln sin x dx   cot xdx   dx   tan x   sin x  sin x +) G1     ng t nh E1 - ho c đ i bi n ho c vi phân)    cos x cos x +) F1   dx   dx   dx ( tính t cos x cos x  sin x 0       ln  ln 2 *) V i k = Ta có:   +) A2   sin xdx   1 2  (1  cos x)dx   x  sin x    20 2 0    12 1 2  +) B2   cos xdx   (1  cos x)dx   x  sin x   20 2 0       +) C2   tan xdx       dx tan x x   04   cos x  0       +) D2   cot xdx     1 dx    cot x  x 2      sin x 4  +) E2     dx cot x     sin x 3 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân    dx tan x  cos x +) F2       4    dx cot xdx dx cot x x       +) G2   1          12   tan x    sin x 6 6     3        dx tan xdx dx tan x x +) H     3    2     cot x    cos x 4 1   12 *) V i k = Ta có:      cos3 x  2 2 +) A3   sin xdx   sin x.sin xdx    (1  cos x)d cos x    cos x     0 0 2      sin x  2 2 +) B3   cos xdx   cos x.cos xdx   (1  sin x)d sin x   sin x    0  0 2      tan x  3 +) C3   tan xdx    tan x  tan x  tan x dx    tan x(1  tan x)  tan x dx     tan x dx cos x  0 0  4     4 tan x tan x 1       C1   ln tan tan tan dx xdx xd x C   cos x 2 0 ( b n có th xem l i cách tính C1  ln tính   tr c v i k = )    cot x  +) D3   cot xdx    cot x  cot x  cot x dx   cot x(1  cot x)  cot x dx     cot x dx       sin x 2 4   2 4   2 cot x cot x 1   dx   cot xdx    cot xd cot x  D1    D1   ln 2  2  sin x   4 4 (các b n có th xem l i cách tính D1  ln tính   2 +) E3    tr c v i k = )  sin x sin x dx dx dx   2   sin x  sin x  (1  cos x) 3 t t  cos x  dt   sin xdx t : 0 1  (1  t )  (1  t ) dt (1  t )  (1  t )  2(1  t ).(1  t ) dt dt    Khi E3   (1  t )2 0 (1  t ) (1  t ) 40 (1  t ) (1  t ) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  12 1 12 1 1  dt dt           2 2   (1  t ) (1  t ) (1  t ).(1  t )   (1  t ) (1  t )  t  t  1 1 1 1 t      ln  ln    1 t 1 t 1 t     6 cos x cos x F dx dx dx    +)  2   cos cos (1 sin ) x x x  0 t t  sin x  dt  cos xdx x :  2  t :  2  (1  t )  (1  t ) dt (1  t )  (1  t )  2(1  t ).(1  t ) dt dt    (1  t )2 0 (1  t )2 (1  t ) 40 (1  t ) (1  t ) Khi F3    2   1  1 1  dt    dt        2 2   (1  t ) (1  t ) (1  t ).(1  t )   (1  t ) (1  t )  t  t  1 1 1 t  1     ln  ln    1 t 1 t 1 t      4 3 cot x(1  cot x)  cot x dx dx cot xdx cot x cot x cot x dx      +) G3         tan x    6 6     3 +) H    3  tan x(1  tan x)  tan x dx      dx tan xdx tan x tan x tan x dx      cot x    4      tan x sin x d cos x  tan x sin x         dx dx dx tan xd tan x      cos x    cos x  cos x  cos x   cos x 3 4 4   tan x 3   ln cos x    ln 2   *) V i k = Ta có:     1   cos x    cos x  +) A4   sin xdx     dx   1  2cos x  cos x dx   1  2cos x   dx 40 0   0 2 2   23 13   3     2cos x  cos x  dx   x  sin x  sin x   02 42   16 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)    Nguyên hàm – Tích phân  12 2  cos x    cos x  +) B4   cos xdx        2cos cos dx x x dx    1  2cos x   dx   40 0   0 2   23 13   3     2cos x  cos x  dx   x  sin x  sin x   16 02 42  0      tan x 4 2 2  +) C4   tan xdx    tan x  tan x  tan x dx    tan x(1  tan x)  tan x dx     tan x dx cos x  0 0  4     4 tan x tan x 4   3  2 tan tan tan dx xdx xd x C       C2    2   cos x 3 12 0 (các em có th xem l i cách tính C2     tính tr c v i k = )    cot x  +) D4   cot xdx    cot x  cot x  cot x dx   cot x(1  cot x)  cot x dx     cot x dx      sin x  2 4   4   2 cot x cot x   3    dx   cot xdx    cot xd cot x  D2    D2    12   sin x   4 4 (các em có th xem l i cách tính D2     tính tr c v i k = )    1 cot x  10 +) E4   dx   dx    1  cot x d cot x    cot x     27  sin x  sin x sin x   2 3  3     1 tan x  10      tan tan tan dx dx x d x x +) F4        0 cos2 x cos2 x 0 cos x 0 27  6     4 dx   cot xdx    cot x  cot x  cot x dx   cot x(1  cot x)  cot x dx +) G4    tan x    4 6       cot x cot x    2     cot x dx   dx   cot xdx    cot xd cot x     1 dx    sin x  sin x     sin x  4 6 4 6   cot x  8    cot x  x   12   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)    Nguyên hàm – Tích phân  3 3 4  tan x(1  tan x)  tan x dx      dx tan xdx tan x tan x tan x dx +) H         cot x    4 4      3 3  tan x  tan x   2 dx tan xdx tan xd tan x     tan x dx       1 dx  2       cos x  cos x     cos x  4 4   tan x  8   tan x  x   12   *) V i k = Ta có:     2 2 0 0 2 +) A5   sin xdx   sin x.sin xdx   (1  cos x) sin xdx    (1  2cos x  cos x).d cos x   2    cos x  cos3 x  cos5 x     15 (có th đ t t  cos x )     2 2 0 0 2 +) B5   cos xdx   cos x.cos xdx   (1  sin x) cos xdx   (1  2sin x  sin x).d sin x   2   sin x  sin x  sin x   15  0 (có th đ t t  sin x )      tan x 5 3 3  +) C5   tan xdx    tan x  tan x  tan x dx    tan x(1  tan x)  tan x dx     tan x dx cos x  0 0  4     1 tan x tan x  3 tan tan tan dx xdx xd x C       C3     ln   ln    2 cos x 4  0 4 ( b n có th xem l i cách tính C3   1  ln tính 2  tr c v i k = 3)    cot x  +) D5   cot xdx    cot x  cot x  cot x dx   cot x(1  cot x)  cot x dx     cot x dx      sin x  2 4     4   2 1 1 cot x cot x  3 cot cot cot dx xdx xd x D        D3     ln   ln    4 2 sin x     4 ( b n có th xem l i cách tính D3  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 1  ln tính 2 tr c v i k = ) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   Nguyên hàm – Tích phân  2 sin x sin x dx +) E5   dx   dx    sin x  sin x  (1  cos x) 3 t t  cos x  dt   sin xdx x :    t : 0 dt (1  t )3 Khi E5   1  (1  t )  (1  t ) (1  t )3  (1  t )3  6(1  t ).(1  t )   Ta có: (1  t )3 (1  t )3 (1  t )3 (1  t )3.(1  t )3  1 1 1  (1  t )  (1  t )            (1  t )3 (1  t )3 (1  t ) (1  t )   (1  t )3 (1  t )3 (1  t ) (1  t )  1 1 (1  t )  (1  t )  2(1  t ).(1  t )        (1  t )3 (1  t )3 (1  t )2 (1  t )2   1 1 3 1         3 2  (1  t ) (1  t )  (1  t ) (1  t ) (1  t ).(1  t )   1 1 3 1 1           3 2  (1  t ) (1  t )  (1  t ) (1  t )  t  t   Suy E5   1 3 1 1          dt 3 2 0  (1  t ) (1  t )  (1  t ) (1  t )  t  t   1 1 3 1  t  17        ln  ln    2  2(1  t ) 2(1  t )   t  t  t   36 16   6  cos x cos x dx dx dx     cos x cos x (1  sin x)3 0 +) F5   t t  sin x  dt  cos xdx t :  dt  ln (các b n xem cách tính E5  12 16 (1  t ) Khi F5      3 +) H    ý trên)  5  tan x(1  tan x)  tan x dx      dx tan xdx tan x tan x tan x dx      cot x     4    3 3  tan x  tan x       tan xd tan x  H dx dx dx     cot x    cos x  cos x  cot x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 4 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  tan x     H   1  ln    ln    ( b n có th xem l i cách tính H   ln tính tr c v i k = ) Bài 10 Tính tích phân sau:   2 dx  cos x 1) I1    2) I    dx  cos x dx  sin x 3) I     5) I   (1  2sin x)  sin x  cos x dx 4 4) I   sin x cos 3x cos xdx 6 x x 6) I   sin cos dx 2  cos6 x dx 7) I    sin x Gi i:    2 x  dx dx x2    tan 1 1) I1   x x  cos x 2 0 cos cos 2 2dt   dx   dx x   1 t2 2) I   t t  tan   x :  t :  2  cos x  1 t cos x  1 t  2dt  1 du  3(1  tan u )du 2dt dt    t tan t u     I2   t t :  cos u  2  1 t t 3 0 t   3(1  tan u ) 2  1 t d    3(1  tan u )du 6  du  u  Khi I   3(1  tan u ) 0 0 3 2dt  dx   x  1 t2 CHÚ Ý: Khi đ t t  tan    2t 1 t2 sin x  ; cos x   1 t2 1 t2     dx dx dx x 2     cot 3) I      1 0  x    sin x  0  x x 2sin     sin  cos  2 4 2  1 ( ho c bi n đ i )      sin x  2 x  cos  x   2sin    2  2 4 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   Nguyên hàm – Tích phân  14 14 4) I   sin x cos 3x cos xdx   sin x  cos8 x  cos xdx    sin x cos8 x  sin x cos xdx 20 20   14 1 1 13 4    sin10 x  sin x  sin xdx    cos10 x  cos x  cos x   40  10  120  5) I   (1  2sin x)  sin x  cos x dx 1  2sin x  cos x  Ta có:  6 2 2 2 sin x  cos x  (sin x  cos x)  3sin x.cos x(sin x  cos x)   sin x     4 1    4 Khi I   cos x 1  sin x  dx   1  sin 2 x  d sin x   sin x  sin x   0 2    0    3 x x x x x3 6) I   sin cos dx   sin d sin  sin  2 2 20 0    cos x cos x.(1  sin x) cos x.(sin x  2sin x  1) dx   dx   dx 7) I   sin x sin x  sin x   2 2 4     cot x  dx 1  cos x      cos x  cot x   dx       1  dx   cot x sin x  sin x  sin x       2 4   2   cos x      dx   cot xd cot x sin x  2  4  5 cot x  5 23   x  sin x  cot x      12 2 Bài 11 Tính tích phân sau:   cos x  sin x 1) I1   dx  sin x 3) I  3   2) I   dx  sin x  cos x  sin x sin x  cos x  k dx v i k  1;3   3 5) I   cos x.(sin x sin 3x  cos x cos x)dx 4) I   cos x.cos 3xdx 0 Gi i:    4 cos x  sin x d (sin x  cos x) dx      1 1) I1    sin x (sin x  cos x) sin x  cos x 0 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 2 V y I1    2) I    sin x sin x  cos x  k dx v i k  1;3 Cách trình bày 1:   3 Ta có: I   sin x  sin x  cos x  k dx      sin  x    6     sin x  cos x     k k dx  2k      sin  x    cos  x   6 6   dx  k sin  x   6        dx  3 cos  x   3dx     k 1      0    k 1  sin k  x     sin  x   6        d sin  x   dx 6   k 1   k 1      sin k 1  x   sin k  x   6 6   +) V i k    3    3   sin d x     33 dx 6            cot I2  x       16   16 16 6 32     sin  x   sin  x    32sin  x    6        +) V i k      d sin  x   dx 3 6    I2   A B   80  8   sin  x   sin  x   6 6     3 (1)      sin  x   sin  x   dx 6 6    dx   dx *) Ta có: A     2    2 sin  x  sin  x    cos  x     6 6 6      3   d cos  x   6            1  cos  x    1  cos  x               1   d cos  x          0 6      cos  x    cos  x          Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân     cos  x   6    ln    cos  x   6   ln  32  (2)     d sin  x  6  *) Ta có: B    1    sin  x  sin  x     6 60    c: I  Thay (3); (2) vào (1) ta đ ln  (3)   1 +) V i k     d sin  x     3  3 6   ln sin     I2  dx x x  ln          4 40 6 12   sin  x   6    3  Cách trình bày 2: I2   sin x  sin x  cos x   3 Ta có: I    sin x   k dx v i k  1;3  sin x dx   k dx  k 2k sin x dx  sin k  x    6     2k  sin x  cos x        t t  x   dt  dx x :  t :  6      sin t  cos t  sin  t  1  sin t cos t    dt  2 dt   Khi I  k    dt  sin k t 2k  sin k t 2k 1   sin k t sin k t  sin x  cos x 6     d sin t  1 2 cos t  12 +) V i k   I      dt    3dt    4 sin t  4  sin t  6 6   +) V i k   I       3t  ln sin t     3  ln 12     2 d cos t d sin t  sin t cos t  1    dt      sin t sin t  8  (1  cos t )(1  cos t )  sin t  6      cos t 2 ln       16 cos t 8sin t    ln    1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 16 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân     2    dt d sin t   cos t 1 2 +) V i k   I      dt         cot t     16   sin t sin t  16   sin t  sin t  16  2sin t   32 6   3) I  3 dx   sin x  cos x   3 dx      cos  x   4   3    3   dx     cos  x   2 4  3   dx x  sin    2 8 x  3 d   x       cot     x  2  sin    2 8  4) I   cos x.cos 3xdx Ta có: cos3 x.cos3x  cos x.(cos x.cos3x)   cos x cos x  cos x 2 cos x  cos x  cos x.cos x  cos 2 x  1 cos x  cos x  cos x  cos x  3cos x  3cos x    cos x  cos x    4 2      1  sin x 3sin x 3sin x   I   (cos x  3cos x  3cos x  1)dx      x = 80 8 0 Chú ý: Bài toán ta có th có cách bi n đ i : Xu t phát t công th c nhân c a cos: cos3x  4cos3 x  3cos x ( sau nhân c v v i cos3x )  cos x 3(cos x  cos x)  cos2 3x  4cos3 x.cos3x  3cos x.cos3x   4cos3 x.cos3x  2 cos x  3cos x  3cos x   cos3 x.cos3x   5) I   cos x.(sin x sin 3x  cos3 x cos x)dx Ta có: sin3 x sin 3x  cos3 x cos3x = sin x(1  cos2 x)sin 3x  cos x(1  sin x) cos3x =  sin x sin 3x  cos x cos3x  sin x cos x  cos x sin 3x  sin x cos3x = cos x  sin x cos x.sin x  cos x  2sin x cos x.sin x cos x  cos x  sin 2 x cos x  cos x  sin 2 x cos x  cos x(1  sin 2 x)  cos3 x Khi đó:       cos x  I   cos x.cos xdx   cos xdx     dx   1  2cos x  cos x dx 40  0 0 4 Hocmai.vn – Ngôi tr 4 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 17 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t Nguyên hàm – Tích phân : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 18 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân  tan 4 x 3  1  1   H 3  2  1  ln 2   1  ln 2 4  2  2  4 1 ( các b n có th xem l i cách tính H 3  1  ln 2 đã tính 2 tr c đó v i k = 3 ) Bài 10 Tính các tích phân sau:   2 2 dx 1  cos x 0 1) I1    2) I 2   0  2 dx 2  cos x dx 1  sin... Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t Nguyên hàm – Tích phân : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 18 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam 5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l...   4 4 2 2 sin x 4   2   4 4 ( các b n có th xem l i cách tính D3  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t 4 1 1  ln 2 đã tính 2 2 tr c đó v i k = 3 ) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   Nguyên hàm – Tích phân  2 2 2 1 sin x sin x dx +) E5 ... 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là các khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n bài b n Là các khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho các h c sinh đã tr i qua quá trình ôn luy n t ng th Là nhóm các khóa h c t ng ôn... t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 2 2 V y I1  1   3 2) I 2   0  sin x 3 sin x  cos x  k dx v i k  1;3 Cách trình bày 1:   3 3 Ta có: I 2   0 sin x  3 sin x  cos x  k dx   0    sin  x    6 6   3  1 2  sin x  cos x... ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm 4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là các khoá h c trang b toàn b ki n th c... n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân    1  cos  x   1 6    ln  2  1  cos  x   6  3  ln  32  (2) 0  3    3 d sin  x  1 6  *) Ta có: B    1    0 sin 2  x  sin  x     6 60    c: I 2  Thay (3); (2) vào (1) ta đ 3 ln  (3)  3  2 1 8 +) V i k  1    d sin  x...Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)    Nguyên hàm – Tích phân  3 3 3 3 1 4 2 4 2  tan 2 x(1  tan 2 x)  tan 2 x dx      dx tan xdx tan x tan x tan x dx +) H 4     4     cot x    4 4 4 4      3 3 3 3  tan... Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   Nguyên hàm – Tích phân  4 14 14 4) I 4   sin 2 x cos 3x cos 5 xdx   sin 2 x  cos8 x  cos 2 xdx    sin 2 x cos8 x  sin 2 x cos 2 xdx 20 20 0   14 1 1 1 1 13 4    sin10 x ... Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 16 - Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân     2  2   dt d sin t  1  1 3 cos t 1 1 2 3 +) V i k  3  I 2    2  3  dt   3  2      3 cot t   3 2   16   sin t sin t  16   sin t 