Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
1,07 MB
Nội dung
Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 10 D NG TÍCH PHÂN TH Nguyên hàm – Tích phân NG G P ( Ph n 02) ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng 10 d ng tích phân th ng g p (Ph n 02) thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Tính tích phân sau: 1) I1 ( x 1)sin xdx (D – 2014) 0 e 4) I x3 ln xdx (D – 2007) 3) I ( x 2)e2 xdx (D – 2006) 5) I 2) I (e2 x x)e xdx (C – 2009) ln x 1 x3 dx (D – 2008) 6) I x2 ln xdx (A, A1 – 2013 ) x2 8) I8 x ln x2 x 1 dx 7) I ln( x2 x)dx (D – 2004) Gi i : 1) I1 ( x 1)sin xdx du dx u x t dv sin xdx v cos x 4 14 1 1 x 1 Khi I1 V y I1 cos x cos xdx sin x 20 4 4 0 2) I (e2 x x)e xdx 1 0 Ta có: I (e2 x x)e xdx e xdx xe xdx A B (*) 1 0 +) Tính A e xdx e xd ( x) e x e 1 e (1) +) Tính B xe xdx u x du dx x1 t B xe e xdx e e x x x 0 dv e dx v e Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t (2) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Thay (1), (2) vào (*) ta đ c: I Nguyên hàm – Tích phân 2e e du dx u x t 2x 2x dv e dx v e 3) I ( x 2)e dx 2x 1 ( x 2)e2 x e2 e2 x 3e I3 e2 xdx 20 4 e 4) I x3 ln xdx (Vì hàm lnx có d ng b c nên ph i t ng ph n l n) ln x du dx e e x4 ln x e4 u ln x x t I x ln xdx I 4 1 dv x v x +) (1) e V i I x3 ln xdx +) dx e e du e u ln x 3e4 x4 ln x e4 x4 x I x dx t 4 1 16 16 dv x v x c: I Thay (2) vào (1) ta đ (2) 5e 32 5) I ln x dx x3 dx du u ln x 2 ln ln x dx ln x I5 t dx 16 2x x 4x dv x3 v 2x ln V y I5 16 6) I x2 ln xdx x2 dx u ln x du x t x2 dv x2 dx 1 x2 dx v x x 2 1 dx 1 I x ln x x ln 1 dx ln x ln x x x x x1 2 1 1 2 7) I ln( x2 x)dx Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 2x 1 u ln( x2 x) du t x x dv dx v x 2x 1 du u ln( x x 1) x x 1 t dv xdx v x 2 8) I8 x ln x2 x 1 dx 1 x3 x2 1 x2 Khi I8 ln x2 x 1 dx ln J 2 x x 1 2 1 3 x 1 x 1 2x x 2 dx dx x +) Tính J dx x x x x x x x 1 0 0 1 dx d ( x2 x 1) 3 x 1 dx x2 x ln x2 x A ln A x x 1 x x 1 2 0 1 1 dx dx +) Tính A 2 x x 1 1 x 2 3 (1 cot t )dt dt dx 2 cos t t x tan t 2 x (1 cot t ) 2 4 i c n x t ; x 1 t Suy A (1 cot t )dt 3 3 3 dt t 3 (1 cot t ) 6 1 3 3 V y I8 ln ln ln 2 2 12 Bài Tính tích phân sau: ln x dx (B – 2009) 1) I1 ( x 1) 3) I 2) I (2 x ) ln xdx (D – 2010) x x sin x 0 cos2 x dx (B – 2011) Hocmai.vn – Ngôi tr e ng chung c a h c trò Vi t 4) I x(1 sin x)dx (D – 2012) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân ln( x 1) dx (A, A1 – 2012) 5) I x2 e x ( x2 x) ln x.ee 8) I8 ( x 1) x 7) I e2 x sin xdx 6) I x5e xdx 0 dx ln 9) I e x xdx 4e x 10) 2 I10 tan 16 x tan x dx Gi i : 1) I1 ln x ( x 1) dx ln x ln x dx dx 3 dx A B 2 ( 1) ( 1) ( 1) x x x 1 3 Ta có: I1 3 dx d ( x 1) 1 +) Tính A 2 ( x 1) ( x 1) x 1 1 3 ln x dx +) Tính B ( 1) x (*) (1) dx u ln x du x t dx dv v ( x 1) x 1 e ln x ln 1 ln 3 dx e2 x2 x B ln ln ln dx x x 1 x 1 x( x 1) x 1 Thay (1), (2) vào (*) ta đ c: I1 (2) 3 ln ln 4 e 2) I (2 x ) ln xdx x e e e ln x dx A 3B (*) Ta có: I (2 x ) ln xdx 2 x ln xdx 3 x x 1 e +) Tính A x ln xdx e dx du u ln x x t dv xdx v x e x2 ln x e2 x2 e2 e2 e2 A xdx 21 4 e (1) e ln x dx x +) Tính B e e e ln x ln x ln (ln ) B dx B xd x C1: (S d ng k thu t vi phân) (2) 1 x 1 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 1 dx t2 t t ln x dt c n t : B tdt 20 x C2 : Nguyên hàm – Tích phân (2) (th c ch t C2 cách trình bày khác c a C1) dx u ln x e e ln x du dx B B B t (2) x B ln x dx x dv x v ln x C3: Thay (1), (2) vào (*) ta đ 3) I c: I e2 e 2 x sin x 0 cos2 x dx (B – 2011) x sin x dx x sin x dx dx A B (*) 2 cos x cos x cos x 0 3 Ta có: I 3 dx +) A tan x (1) cos x +) B x sin x dx cos x u x du dx x 3 dx 2 t I sin x sin x d (cos x) B cos x cos x dv dx v dx 2 cos x cos x cos x cos x v i I dx cos x t t sin x dt cos xdx c n t : I dx cos x 3 cos xdx 0 sin x Thay (1), (2) vào (*) ta đ dt t 1 ln t 1 t 1 c: I 3 2 ln(2 3) B 2 ln(2 3) (2) 2 ln(2 3) 4) I x(1 sin x)dx x2 I x(1 sin x)dx xdx x sin xdx 0 4 Tính I x sin xdx I 2 32 I du dx u x t cos x dv sin xdx v x cos x I 4 2 2 8 cos x sin x I dx 4 4 32 32 ln( x 1) dx x2 5) I ln( x 1) dx ln( x 1) I5 dx dx I I 2 x x x x1 1 Hocmai.vn – Ngôi tr 3 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) dx u ln( x 1) du x 1 t dx dv x2 v x ln( x 1) dx x2 Tính I I Nguyên hàm – Tích phân 3 ln( x 1) ln ( x 1) x ln ln dx x 1 dx dx ln 1 x( x 1) x( x 1) x x 1 x x 1 ln ln 2 I ln ln 3 x dx dx u ln( x 1) du 1 x 1 x 1 Chú ý: Các b n có th đ t luôn: …) dx dv v x x 6) I x5e xdx Nh n xét 1: V m t lí thuy t toán ta hoàn toàn có th gi i theo ph ng pháp tích phân t ng ph n Song ta ph i s d ng t i l n tích phân t ng ph n (vì b c c a đa th c x5 – dài ) Lúc ta s có cách “kh c ph c nh sau”: Ta có f ( x) f '( x)e dx f ( x)e x x C (*) f ( x)e x C ' f '( x)e x f ( x)e x f ( x) f '( x) e x (đpcm) ( Vì v y đ áp d ng (*) s ph i tách ghép x5 v d ng ) Áp d ng (*) ta đ c: Th t v y: 1 0 I x5e xdx ( x5 x4 ) 5(x4 x3 ) 20( x3 3x2 ) 60( x2 x) 120( x 1) 120 e xdx 1 0 1 1 0 0 ( x5 x4 )e xdx 5 ( x4 x3 )e xdx 20 ( x3 3x2 )e xdx 60 ( x2 x)e xdx 120 ( x 1)e xdx 120 e xdx ( x5 x4 20 x3 60 x2 120 x 120)e x1 120 44e Nh n xét 2: *) Nh v y qua toán ta th y vi c s d ng công th c (*) s giúp gi m b t thao tác l p l p l i ph ng pháp tích phân t ng ph n (n u b c c a đa th c l n) *) T toán có th đ a đáp s t ng quát cho nh sau: I xn e xdx xn nxn1 n(n 1) xn2 (1) n1 n ! x (1) n n ! e x ? 2 7) I e2 x sin xdx e2 x 0 cos x 12 dx e2 xdx e2 x cos xdx A B (*) 20 20 2 e +) Tính A e dx e2 x (a) 2 0 2x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân du 2sin x u cos x t 2x 2x dv e dx v e 2 +) Tính B e cos xdx 2x 2x e 2x Khi B e cos x e sin xdx D (1) 2 0 du cos x u sin x t 2x 2x dv e dx v e +) Tính D e sin xdx 2x 2 Khi D e2 x sin x e2 x cos xdx B B (2) 0 c : B Thay (2) vào (1) ta đ 3e c: I Thay (a), (b) vào (*) ta đ e x ( x2 x) ln x.ee 8) I8 x ( x 1)2 e e e B 2B B (b) 2 dx e x ( x2 x) e x ln x e x ( x 1) ln x dx 1 1 ( x 1)2 dx ( x 1) 2 2 ln x dx A B ( x 1)2 e dx x +) Tính A e xdx e x e2 e 1 dx u ln x du x t dx dv v ( x 1) x 1 ln x dx +) Tính B ( 1) x 2 dx x ln x ln 1 ln ln ln ln ln ln Khi B dx x 1 x( x 1) x 1 x x 1 3 3 2 V y I8 e2 e ln ln 3 ln 9) I +) xdx x e 4e x ln xdx x e x 4 e ln xe xdx e2 x 4e x ln xe xdx (e x 2) u x du dx x t e dx e xdx d (e x 2) dv v x 2 x x x e 2 (e 2) (e 2) (e 2) ln x +) Khi I x e 2 Hocmai.vn – Ngôi tr ln dx ln x e 2 ng chung c a h c trò Vi t ln e xdx ln x x e (e 2) ln 1 e x T ng đài t v n: 1900 58-58-12 x de e 2 x - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) ln ex ln x e 2 ln Nguyên hàm – Tích phân ln 3 ln ln ln 2 V y I ln ln 2 2 tan 16 10) I10 x tan x dx +) i c n x t x t t x t x 2tdt dx ; 16 t +) Khi I10 tan t tan t 2tdt tan x 1 tan t 2tdt 2t +) 2 4 0 tan x dt cos t du 2dt u 2t t tan t tan t tan t dv dt v dt td t tan tan cos t cos t Suy I10 t.tan t tan tdt V y I10 1 dt tan t t cos t 1 Bài Tính tích phân sau: 2 dx 1) I1 x sin 2) I x1 (cos e 4) I x x 5) I dx 1 cos xdx 8) I8 2 cos3 x e sin x x3 3x2 x dx x2 x e x x 6) I sin x cos3 xdx sin x cos (sin x)dx 9) I ).sin xdx e x1 dx 3) I x 2x 1 tan x x e sin x cos x e sin x dx 7) I 10) I10 xe x1 dx Gi i : 1) I1 dx sin x +) t t x t x 2tdt dx +) i c n x0t 0 ; x Hocmai.vn – Ngôi tr 2 t ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân tdt sin t Suy I1 u t du dt dt dt dt t dv t sin t t t 2sin t v cot 2 4 sin cos 2 4 2 +) t t cos d sin 2 4 t 2 ln sin t dt Suy I1 2t cot t t 2 0 2 4 sin sin 2 4 2 4 2) I (cos 2 ln x esin x ).sin xdx 2 cos x sin xdx e Ta có : I 2 sin xdx cos x sin xdx esin x sin xdx A B t t cos x dt sin xdx c n t :1 A t dt 0 (*) cos x sin xdx +) Tính A sin x t5 1 5 (1) ( Ta có th s d ng k thu t vi phân đ tính A : cos5 x A cos x sin xdx A cos xd (cos x) +) Tính B 5 0 2 e sin x sin xdx t t sin x dt 2sin x cos xdx sin xdx c n t : B et dt et e (2) Thay (1), (2) vào (*) ta đ c: I 5e x1 e x1 dx 3) I x x t t x 1 2dx dx dt c n t : 1 ( x 1) x 1 x 2x I3 4) I e e 1 et 1 e 1 t e dt V y I3 1 1 2e 2e 2e x x dx 2 et t t x t x dx 2tdt c n t : I 2tdt 2 et dt et t 0 2 2e2 V y I 2e2 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) cos x e sin x dx tan x 5) I cos3 x Nguyên hàm – Tích phân tan x sin x e sin x dx 0 cos2 x 0 cos3 x dx A B 4 d cos x sin x +) Tính A 1 dx 2 cos x cos x cos x 0 e tan x sin x dx cos3 x +) Tính B t t tan x dt dx ; cos x i c n x t x t 1 Khi B e tan x tan x dx et tdt cos x u t du dt t t t t , B te e dt e e e (e 1) t t 0 dv e dt v e V y I5 2 x3 3x2 x ( x2 x 1)(2 x 1) 6) I dx dx 2 x x ex x x2 x e x x 0 1 i c n x t x t +) t t x2 x dt (2 x 1)dx ; +) Khi t 1 t et (1 et ) et d (t et ) t ln t et dt dt dt dt dt t t t t t e t e t e t e 0 0 0 2 I6 2 ln(2 e2 ) +) V y I ln(2 e2 ) 7) I 1 cos xdx 2 t t x t x 2tdt dx c n: t : 2 I cos t.(2tdt ) t cos tdt u t du dt t du cos tdt u sin t I t sin t sin tdt cos t 2 V y I6 8) I8 e sin x sin x cos3 xdx t t sin x dt 2sin x cos xdx c n t : Khi I8 cos x.e Hocmai.vn – Ngôi tr sin x sin x cos xdx 2 sin x (1 sin t ).e 2sin x cos xdx ng chung c a h c trò Vi t 1 (1 t )et dt 20 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân u t du dt e2 1 et t t t I (1 t ) e e dt t t 2 20 dv e dt v e e2 V y I8 sin x cos (sin x)dx 9) I t t sin x dt cos xdx c n t : 2 4 sin x cos (sin x)dx sin x.cos (sin x).cos xdx 2 t.cos tdt I8 0 du dt u t cos 4t t cos 2t t cos sin 2t sin 4t dv cos tdt v cos tdt dt t dt 32 3t t 1 sin 2t sin 4t t I9 sin 2t sin 4t t dt 32 16 12 8sin sin 3t cos 2t cos 4t 12 8sin sin 41 16cos cos 12 64 12 64 69 128sin 16sin 48cos 3cos 192 10) I10 xe x1 dx Phân tích h ng gi i: x1 Trong toán eu e ngh a u x không ph i b c nh t v i bi n x (ngh a thu c D ng Do ta ngh t i vi c đ t t x đ chuy n b c c a e v b c nh t Khi ta s đ c m t tích phân m i I10 (t t )et dt Lúc thu c tích phân 20 D ng 3, nên v m t lí thuy t toán hoàn toàn có th gi i theo ph ng pháp tích phân t ng ph n, song ta c n dùng ph ng pháp t ng ph n t i l n đ làm ph n đa th c chuy n xu ng b c (s t do) (vì b c c a đa th c t 3) kh c ph c tình hu ng ta có th s d ng tính ch t đ c bi t : f ( x) f '( x)e dx f ( x)e x x C Khi ta có l i gi i c a toán nh sau: Gi i: +) t t x t x 2tdt 2dx dx tdt i c n x t ; x 1 t 1 2 t 1 t e tdt (t t )et dt Suy I10 20 +) Ta có f ( x) f '( x)e dx f ( x)e Hocmai.vn – Ngôi tr x x C ng chung c a h c trò Vi t (*) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân f ( x)e x C ' f '( x)e x f ( x)e x f ( x) f '( x) e x (đpcm) ( Vì v y đ áp d ng (*) s ph i tách ghép t t v d ng ) 1 Áp d ng (*) ta đ c: I10 (t t ) (3t 1) et (3t 1) 6t et (6t 6)et 6et dt 20 Th t v y: 2e (t 3t 7t 7)et 2 V y I10 2e Bài Tính tích phân sau: 1) I1 cos x cos x esin x cos x1dx 2) I x3 e x2 1 x2 dx Gi i : 1) I1 cos x esin x cos x1dx cos x sin xcos x1 dx (cos x sin x cos x sin x)esin xcos x1dx cos x cos x e +) Ta có: I1 2 (sin x cos x 1)(cos x sin x)e +) sin x cos x1 dx t t sin x cos x dt (cos x sin x)dx ; i c n x t x t 2 +) Khi I1 tet dt u t du dt t t , I te et dt 2e2 et 2e2 (e2 1) e2 t t 0 dv e dt v e +) V y I1 e2 2) I +) x3 e x2 1 x2 dx tdt xdx t t x2 t x2 2 x t 1 i c n x t x t +) Khi I +) x2 e x2 1 x2 (t 1)et tdt (t 1)et dt t 1 xdx u t du 2tdt t t t dv e dt v e Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) 2 1 Khi I (t 1)et 2 tet dt 3e 2 tet dt Nguyên hàm – Tích phân (1) 2 u t du dt t t t , suy ra: te dt te et dt 2e2 e et 2e2 e (e2 e) e2 (2) t t 1 dv e dt v e 1 2 +) Thay (2) vào (1) ta đ c: I 3e 2e e Bài Tính tích phân sau: 1) I1 ln(sin x) cos x x dx cos x 2) I sin x.ln(1 cos x)dx 3) I 4) I e2 5) I cos (ln x)dx 2 x dx 1 ( x2 1)3 6) I xe2 x cos xdx x2e x dx ( x 2)2 x7 dx ( x4 1)2 8) I8 x tan xdx 7) I 9) I Gi i : 1) I1 cos x u ln(sin x) dx cot xdx du t sin x dx dv cos x v tan x ln(sin x) cos x 3 3 ln ln x 3 ln Khi I1 tan x ln(sin x) dx ln 6 3 sin x dx u ln(1 cos x) du t cos x dv sin xdx v cos x 2) I sin x.ln(1 cos x)dx sin x cos x dx ln I cos x Khi I cos x ln 1 cos x 02 (*) cos x sin xdx cos x Tính I t t cos x dt sin xdx x : t 1 1 dt 1 dt t ln t ln t t 1 2 t : Suy I (2*) c: I 2ln 1 Thay (2*) vào (*) ta đ x 14 x dx dx cos x cos x 3) I u x du dx t dx dv v tan x cos x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 4 d cos x 1 sin x I x tan x tan xdx ln cos x dx 2 cos x cos x V y I ln 4) I e2 e2 cos (ln x)dx 1 cos(2ln x) 1 dx x 2 +) Tính I e2 e2 ln e 1 I (*) cos(2ln x)dx 2 2sin(2 ln x) dx u cos(2 ln x) du t x dv dx v x e2 cos(2 ln x)dx e2 I x cos(2ln x) sin(2ln x)dx e J e2 (1) +) Tính J cos(2 ln x) dx u sin(2 ln x) du t x dv dx v x e2 sin(2 ln x)dx e2 J x sin(2ln x) cos(2ln x) dx 2 I e2 (2) e 1 c: I e I I (2*) T (1) (2) ta đ 2 e e 2e 10 c: I Thay (2*) vào (*) ta đ x2 dx 5) I ( x 1)3 1 du dx u x t xdx d ( x2 1) xdx dv v 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 4( x 1) x I5 4( x 1)2 Tính I 0 1 dx 1)2 (x 1 Khi I dx 1 I 2 1 ( x 1) 16 t x tan t dt (1 tan t )dt (1 tan t ) Thay (2*) vào (*) ta đ Hocmai.vn – Ngôi tr dt (1 tan t )dt x : 1 t : cos t dt tan t c: I (*) cos tdt 2 sin 2t (1 cos 2t )dt t (2*) 4 1 1 16 32 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 6) I xe2 x cos xdx Nh n xét: Vì d i d u tích phân xu t hi n đ ng th i ba hàm ( đa th c , l ng giác, m ) nên s tính tích phân t ng ph n theo c m (quan ni m l ng giác m m t hàm) Tr c tính I xe2 x cos xdx ta s tính nguyên hàm A xe2 x cos xdx Nên ta có l i gi i nh sau: du dx u x t 2x 2x dv e cos xdx v e cos xdx I (*) +) Tính I e2 x cos xdx du 2sin xdx u cos x e2 x cos x e2 x cos x 2x I e sin xdx J t 2x 2x 2 v e dv e dx (1) +)Tính J e2 x sin xdx du cos xdx u sin x e2 x sin x e2 x cos x 2x J e cos xdx I (2) t 2x 2x 2 dv e dx v e e2 x cos x e2 x sin x e2 x (sin x cos x) I I 2 Thay (2) vào (1) I (2*) xe2 x (sin x cos x) x e (sin x cos x)dx (3*) T (*) (2*) A 4 Mà theo (2) : e2 x sin xdx J Thay (4*) vào (3*) ta đ A xe2 x cos xdx e2 x sin x e2 x sin x e2 x cos xdx e2 x (sin x cos x)dx (4*) 2 c: xe (sin x cos x) e2 x cos x e2 x (2 x sin x x cos x cos x) 4 2x e2 x (2 x sin x x cos x cos x) e (1 ) Suy I xe2 x cos xdx 8 0 2 u x2e x du xe x (2 x)dx t dx dv ( x 2)2 v x x xe dx x ( 2) 7) I 2 x2 e x xe xdx e2 I Khi I ( x 2) 0 u x du dx t x x dv e dx v e Tính I xe xdx Suy I xe x 2 e xdx 2e2 e x e2 0 V y I7 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 4 x 8) I8 x tan xdx x dx dx 0 cos2 x 0 xdx A B cos x 0 4 u x du dx t dx sin x dv v tan x cos x cos x x +) Tính A dx cos x Khi A x sin x sin x d cos x dx ln cos x cos x 0 cos x cos x 4 x2 +) Tính B xdx 4 ln 2 32 2 V y I8 ln 32 x7 dx ( x4 1)2 9) I Cách 1: u x4 du x3dx t x3 x3 d ( x4 1) dv ( x4 1)2 dx v ( x4 1) dx ( x4 1) dx 4( x4 1) 1 d ( x4 1) 1 1 x4 x3 Khi I dx ln( x4 1) ln 4 4( x 1) 0 x x 1 8 1 Cách 2: t t x4 dt x3dx x3dx dt i c n x t 1 ; x 1 t 2 x4 t dt 1 1 1 1 x3dx dt ln t ln Khi I t t 1 ( x 1) 41t t 4 1 2 Bài Tính tích phân sau: x ln x x e dx x (1 sin x)e x dx cos x 2 2) I 1) I1 x 3) I 1 x e x dx x 1 4) ( x 1)e dx (1 x) 2 I4 x Gi i : 2 ex e x sin x (1 sin x)e x dx dx dx cos x cos x cos x 0 1) I1 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t (*) T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 16 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân cos x(1 cos x) sin x cos x dx sin x du dx dx u 2 (1 cos x) (1 cos x) cos x t cos x dv e xdx v e x Suy x x e sin x e sin x e ex dx dx e 0 cos x cos x 0 cos x 0 cos x dx 2 x x e ex dx e dx cos x cos x 0 c: I1 Thay (2*) vào (*) ta đ (2*) e ex x ln x x e dx dx e x ln xdx (*) 2) I x x 1 2 dx 2 x x u ln x e e du x x t ln ln ln e xdx e x dx e dx x x x x dv e dx v e x 1 (2*) ex ex c: I dx e ln dx e2 ln x x 1 Thay (2*) vào (*) ta đ x x 1 x 3) I 1 x e x dx e x dx x e x dx (*) x x 1 1 2 2 x 1x x du e dx x t u e x dv dx v x e x x dx xe x 1 x 2 e2 (2 e ) x 1 x x e x dx x e x dx (2*) x x 1 1 2 e2 (2 e ) e2 (2 e ) x 1 x x e x dx x e x dx 2 x x 1 1 Thay (2*) vào (*) ta đ c: I (1 x) x e ( x2 1)e x xe x x dx dx e dx 0 (1 x)2 0 0 (1 x) dx (1 x) 1 4) I x 1 ex ex (1 x 1)e x e 2 dx e dx dx 2 (1 x) (1 x) 0 1 x x1 (*) dx 1 1 ex ex ex e ex u du (1 x) dx dx t 1 x 0 (1 x)2 dx x x x 1 (1 ) x x 0 dv e dx v e Thay (2*) vào (*) ta đ (2*) 1 e ex ex dx dx c: I e 2 (1 ) (1 ) x x 0 Nh n xét: B n câu tích phân 6, ta nh n th y có m t đ c m đ c bi t N u tính tr c ti p tích phân theo ph ng pháp tích phân t ng ph n g n nh đ u g p khó kh n Lúc ta ngh t i vi c Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 17 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân tách thành hai tích phân s d ng tích phân đ t o l ng tri t tiêu cho tích phân (m t ý t ng hay) V m t ý t ng gi ng nh vi c b n gi i ph ng trình mà sau tìm đ c m t vài nghi m l i t o m t ph ng trình ph c t p h n ph ng trình ban đ u Song lúc ta s ngh t i vi c ch ng minh vô nghi m Và v i tích phân thay không tính đ c theo ki n th c toán s c p ta t o l ng gi ng đ tri t tiêu Chúng ta s ti p t c tìm hi u thêm d ng tích ph n ti p theo Bài Tính tích phân sau: 1x e x tan x dx 2) I x cos x 3 x x 1) I1 cos x cos x esin xdx 0 sin x dx (1 cos x)e x 3) I 4) I ( x2 x 1)e x x2 dx Gi i : x 1) I1 cos x cos x esin xdx 0 x +) Ta có I1 2cos x cos x esin xdx 1 cos x x cos xesin xdx esin xdx (1 x)esin x cos xdx (1) 0 0 2 du dx u x t sin x sin x sin x sin x dv cos xe dx v cos xe dx e d sin x e +) +) Khi sin x sin x (1 x)e cos xdx ( x 1)e 0 esin xdx 1 e esin xdx (2) 2 0 +) Thay (2) vào (1) ta đ 2 e c: I1 esin xdx 1 e esin xdx e 2 0 2 1x e x tan x dx 2) I x cos x 3 x 1x x e x e x2 tan x dx dx dx x tan xdx (*) +) Ta có I x 2 cos x 3 x 3 x 3 cos x 3 4 +) 3 x 1 e x dx e d e x x2 x 3 3 e 3 e u x du xdx t , dx tan v x dv cos x +) (1) 3 4 x2 9 2 x tan xdx dx x x x xdx tan tan 3 cos x 3 3 (2) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 18 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) +) Thay (1) (2) vào (*) ta đ V y I2 e 3 e c: I e 3 e Nguyên hàm – Tích phân 4 9 9 x tan xdx x tan xdx e 3 e 4 3 3 9 sin x dx (1 cos x)e x 3) I dx sin x sin x dx dx (1) x x (1 cos x)e (1 cos x)e (1 cos x)e x 0 2 +) Ta có: I dx cos x(1 cos x) sin x sin x du dx u (1 cos x) cos x cos x t dv dx v x e ex +) 2 sin x sin x Khi dx x (1 cos x)e (1 cos x)e x 0 dx dx x (1 cos x)e (1 cos x)e x e 0 (2) +) Thay (2) vào (1) ta đ +) V y I 4) I e ( x2 x 1)e x x2 1 +) Ta có: I dx ( x2 x 1)e x x2 +) dx dx c: I x x (1 cos x)e e (1 cos x)e e 1 dx x 1e dx x 0 xe x x2 dx (1) x dx u x2 du t x x dv e dx v e x Khi x 1e dx x 1e 2 x x 0 x2 1 +) Thay (2) vào (1) ta đ xe x c: I 2e xe x dx 2e xe x x2 x2 1 dx xe x x2 dx (2) dx 2e +) V y I 2e Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Nguy n Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | 19 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... xe2 x cos xdx e2 x sin 2 x e2 x sin 2 x e2 x cos 2 xdx e2 x (sin 2 x cos 2 x)dx (4*) 2 2 c: xe (sin 2 x cos 2 x) 1 e2 x cos 2 x e2 x (2 x sin 2 x 2 x cos 2 x cos 2 x) 4 4 2 8 2x e2 x (2 x sin 2 x 2 x cos 2 x cos 2 x) 2 e (1 ) 1 Suy ra I 6 xe2 x cos xdx 8 8 0 0 2 2 u x2e x du xe x (2 x)dx t dx 1 dv ( x 2) 2 v x 2 2 x xe... e dx 2 (1) +)Tính J e2 x sin 2 xdx du 2 cos 2 xdx u sin 2 x e2 x sin 2 x e2 x cos 2 x 2x J e cos 2 xdx I (2) t 1 2x 2x 2 2 dv e dx v e 2 e2 x cos 2 x e2 x sin 2 x e2 x (sin 2 x cos 2 x) I I 2 2 4 Thay (2) vào (1) I (2* ) xe2 x (sin 2 x cos 2 x) 1 2 x e (sin 2 x cos 2 x)dx (3*) T (*) và (2* ) A 4 4 Mà theo (2) : e2 x sin 2 xdx J ... 3 ln 2 8 4 4) I 4 e2 e2 cos (ln x)dx 2 1 1 1 cos(2ln x) 1 1 dx x 2 2 1 2 +) Tính I e2 e2 1 4 0 1 ln 2 8 4 e 2 1 1 I (*) cos(2ln x)dx 2 2 2sin (2 ln x) dx u cos (2 ln x) du t x dv dx v x e2 cos (2 ln x)dx 1 e2 I x cos(2ln x) 1 2 sin(2ln x)dx e 2 1 2 J e2 (1) 1 +) Tính J 2 cos (2 ln x) dx u sin (2 ln x) du... 2 t 0 và x 0 t 2 2 +) Khi đó I1 tet dt 0 2 u t du dt 2 t 2 t , khi đó I te et dt 2e2 et 2e2 (e2 1) e2 1 t t 0 0 dv e dt v e 0 +) V y I1 e2 1 3 2) I 2 0 +) x3 e x2 1 x2 1 dx tdt xdx t t x2 1 t 2 x2 1 2 2 x t 1 i c n x 0 t 1 và x 3 t 2 3 +) Khi đó I 2 0 +) x2 e x2 1 x2 1 (t 2 1)et tdt (t 2. .. v x e2 sin (2 ln x)dx 1 e2 J x sin(2ln x) 1 2 cos(2ln x) dx 2 I e2 (2) 1 e 2 1 c: I e 2 1 4 I I (2* ) 5 T (1) và (2) ta đ 2 2 2 e 1 e 1 2e 3 2 10 5 c: I 4 Thay (2* ) vào (*) ta đ 0 x2 dx 5) I 5 2 ( x 1)3 1 du dx u x t xdx 1 d ( x2 1) 1 xdx dv v 2 3 2 3 2 3 2 ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 4( x 1) 2 x... dt 2 t t 2 t , suy ra: te dt te et dt 2e2 e et 2e2 e (e2 e) e2 (2) t t 1 1 dv e dt v e 1 1 2 2 2 +) Thay (2) vào (1) ta đ c: I 2 3e 2e e Bài 5 Tính các tích phân sau: 3 2 1) I1 ln(sin x) cos 2 x 4 x dx 1 cos 2 x 0 2) I 2 sin x.ln(1 cos x)dx 3) I 3 0 6 4) I 4 e2 0 5) I 5 cos 2 (ln x)dx 1 2 2 x dx 1 ( x2 1)3 6) I 6 xe2... cos 2 3 sin 2t sin 4t 2 dv cos tdt v cos 4 tdt dt t dt 2 4 8 4 32 3t 2 t 1 1 3 sin 2t sin 4t t I9 2 sin 2t sin 4t t dt 0 8 4 32 4 2 16 0 12 8sin 2 sin 4 3t 2 cos 2t cos 4t 1 12 8sin 2 sin 4 41 16cos 2 cos 4 12 4 64 0 12 64 8 69 128 sin 2 16sin 4 48cos 2 3cos 4 1 92 1 10) I10 xe 2. .. tính tích phân t ng ph n theo c m (quan ni m l ng giác và m là m t hàm) Tr c khi đi tính 2 I 6 xe2 x cos xdx ta s đi tính nguyên hàm A xe2 x cos xdx Nên ta có l i gi i nh sau: 0 du dx u x t 2x 2x dv e cos 2 xdx v e cos 2 xdx I (*) +) Tính I e2 x cos 2 xdx du 2sin 2 xdx u cos 2 x e2 x cos 2 x e2 x cos 2 x 2x I e sin 2 xdx J t 1 2x 2x 2 2... dx x e x dx (2* ) x x 2 1 1 2 2 e2 (2 e ) e2 (2 e ) 1 x 1 1 x 1 x e x dx x e x dx 2 2 x x 1 1 2 Thay (2* ) vào (*) ta đ c: I 3 1 2 (1 x) 2 x e ( x2 1)e x xe x x dx dx e dx 2 0 (1 x )2 0 0 (1 x) 2 dx (1 x) 2 0 1 1 4) I 4 2 x 1 1 1 1 ex ex (1 x 1)e x e 2 dx e dx dx 1 2 2 2 0 (1 x) (1 x)... x 2 2) I 2 sin x.ln(1 cos x)dx 0 2 sin x cos x dx ln 2 I 1 cos x 0 Khi đó I 2 cos x ln 1 cos x 02 (*) 2 cos x sin xdx 1 cos x 0 Tính I t t cos x dt sin xdx và x : 0 2 t 1 1 dt 1 dt t ln t 1 ln 2 1 t t 1 1 2 2 thì t : 2 1 2 Suy ra I (2* ) c: I 2 2ln 2 1 Thay (2* ) vào (*) ta đ 4 x 14 x dx dx 1 cos 2 x 2 0 cos 2