Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân 10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 05) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 05) thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng DẠNG 9: I sin m x.cos n xdx (9*) (m, n ) I9.1 f (sin x).cos xdx (9*1) ; I9.2 f (cos x).sin xdx (9*2) CÁCH GIẢI CHUNG CHÚ THÍCH: 1) Khi gặp tích phân mà hàm dấu tích phân có cấu trúc tích sin x cos x hay tích phân có dạng I sin m x.cos n xdx Thì ta quan tâm tới tính chẵn, lẻ số mũ sin x cos x Cụ thể: ++) Nếu m, n khác tính chẵn, lẻ ( m chẵn, n lẻ m lẻ, n chẵn) ta đổi biến theo hàm mang mũ chẵn Nghĩa m 2k (mũ hàm sin x mang mũ chẵn có hình thức sin k x ) ta đặt t sin x , n 2k (mũ hàm cos x mang mũ chẵn có hình thức cos2 k x ) ta đặt t cos x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân ++) Nếu m, n tính chẵn, lẻ ( m , n chẵn m , n lẻ) ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: m, n lẻ, ta nên đổi biến theo hàm có số mũ lớn Nếu m n (bậc sin x lớn bậc cos x ) ta đặt t sin x Nếu m n (bậc sin x nhỏ bậc cos x ) ta đặt t cos x Nếu m n biến đổi sin m x.cos m x m sin m x sau đặt t cos x Trường hợp 2: m, n chẵn, ta “linh hoạt” sử dụng cách sau: Cách 1: Dùng công thức lượng giác để biến đổi biểu thức dấu tích phân dạng có bảng nguyên hàm thường hay sử dụng công thức hạ bậc Cách 2: Chuyền dạng để đặt t tan x cot x (các bạn xem lại dạng ) 2) Khi gặp tích phân có dạng tích cos x hàm chứa sin x hay biểu diễn theo hình thức I 9.1 f (sin x).cos xdx tích sin x hàm chứa cos x có dạng I 9.2 f (cos x).sin xdx ta giải tích phân theo phương pháp đổi biến t sin x (ứng với I 9.1 ) t cos x (ứng với I 9.2 ) CHÚ Ý: +) Dạng I 9.1 I 9.2 phần mở rộng dạng I +) Ở dạng I 9.1 ta “linh hoạt” đặt t a b sin x ; t a b sin k x …nếu I 9.1 viết dạng đơn giản I 9.1 f (a b sin x).cos xdx ; I 9.1 f (a b sin k x).sin k 1 x.cos xdx …và với I 9.2 áp dụng tương tự +) Khi sin x cos x không xuất ta hiểu số mũ mang số chẵn (số ) +) Các bạn xem thêm DẠNG cho đầy đủ trường hợp +) Nếu biểu thức dấu tích phân đơn giản, bạn bỏ qua bước đổi biến kĩ thuật vi phân VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính tích phân sau: (2sin x 3) cos x dx 2sin x 1) I1 sin x cos xdx 2) I 3) I sin x cos xdx Giải 2 0 1) I1 sin x cos xdx 8 sin x cos xdx ( m 3; n ) +) Đặt t cos x dt sin xdx ; Đổi cận x : Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt t : Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) +) Vậy I1 Nguyên hàm – Tích phân (2sin x 3) cos x dx 2sin x 2) I +) Đặt t sin x dt cos xdx ; Đổi cận x t ; x t 1 +) Vậy I 2ln 3) I sin x cos xdx +) Đặt t cos x dt sin xdx sin xdx dt ; Đổi cận x t x +) Vậy I t 0 315 Ví dụ Tính tích phân sau: 2sin x 1) I1 dx (B – 2003) sin x 2 sin x cos x 2) I dx (B – 2005) cos x 0 3) I sin x (2 sin x) dx Giải 2sin x 1) I1 dx sin x (B – 2003) 2sin x cos x Biến đổi ta : I1 dx dx sin x sin x 0 2 Cách trình bày : Đặt t sin x dt 2cos xdx cos xdx dt x : t : Cách trình bày : (Theo góc nhìn DẠNG 8) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân sin x cos x dx cos x 2) I (B – 2005) sin x cos x cos x Biến đổi ta : I dx sin xdx cos x cos x 0 Cách trình bày : Đặt t cos x dt sin xdx x : t :1 Cách trình bày : (Theo góc nhìn DẠNG 8) Đặt t cos x dt sin xdx x : 3) I sin x dx (2 sin x) 2 2sin x (2 sin x) t : cos xdx Đặt t sin x dt cos xdx x : t :1 Vậy I3 2ln DẠNG 10 : I 10 f (sin x cos x,sin x cos x)(cos x sin x)dx (10*) CÁCH GIẢI CHUNG CHÚ THÍCH: Khi gặp tích phân có dạng tích hai biểu thức Trong có biểu thức tổng (hoặc hiệu ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân sin x cos x biểu thức chứa hiệu (hoặc tổng) tích sin x cos x hay tích phân có dạng I10 f (sin x cos x,sin x cos x)(cos x sin x)dx Khi ta giải toán toán cách đổi biến t sin x cos x tích phân dạng tích phân CHÚ Ý : Dưới dấu tích phân thường chưa nhìn thấy cấu trúc dạng 10 Vì bạn cần nắm rõ công thức lượng giác để biến đổi chúng dạng VÍ DỤ MINH HỌA sin x 4 Ví dụ Tính tích phân sau: I dx (B – 2008) sin x 2(1 sin x cos x) Giải dt (cos x sin x)dx sin x dx x : t :1 Đặt t sin x cos x sin x t 3cos x sin x dx sin x cos x 0 1) I1 Ví dụ Tính tích phân sau: 2) I sin x (1 sin x)(1 cos x) dx Giải 4 3cos x sin x (3 2sin x) cos x (3 2sin x)(cos x sin x)(cos x sin x) dx dx dx 1) I1 sin x cos x sin x cos x (sin x cos x) 0 dt (cos x sin x)dx +) Đặt t sin x cos x x : t :1 2 sin x t [3 2(t 1)].t I1 dt 2t 2 2t 5t dt t 2 2 t 2t 3t 6ln t 3 +) Vậy I1 13 6ln 2) Ta có: I 2t 4t dt t 2 13 6ln(2 2) 2sin x.(cos x sin x) dx (1 sin x)(1 cos x) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 4sin x cos x.(cos x sin x)(cos x sin x) dx sin x cos x sin x cos x Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Nguyên hàm – Tích phân dt (cos x sin x)dx +) Đặt t sin x cos x ; Đổi cận x t x t t 1 sin x cos x t 1 1 t.dt t3 t 2t 4 dt 4 t +) Khi I dt t 1 t 2t t 2t 0 0 1 t 1 d (t 2t 1) 4 t dt 4 2t 8t 4ln t 2t 6 8ln t 2t 0 +) Vậy I 6 8ln Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng -