Thông tin tài liệu
ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http : / / w w w t a i l i e u p r o c o 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI http://ww –tCAO a iĐẲNG lieupro.co ĐẠIw HỌC http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e uC p r o c http://www.tailieupro.c I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân ln mặc định xuất đề thi mơn Tốn Tích phân khơng phải câu hỏi khó, tốn “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm” Vì việc điểm trở nên “vô duyên” với bỏ chút thời gian đọc tài liệu Ở viết nhỏ cung cấp tới em dạng tích phân thường xuyên xuất kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( đề thi khơng nằm ngồi dạng này) Với cách giải tổng quát cho dạng, ví dụ minh họa kèm, với lượng tập đa dạng, phong phú Mong sau đọc tài liệu, việc đứng trước toán tích phân khơng rào cản em Chúc em thành công ! Trong viết giới thiệu tới em phần: Trang I SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN …………………………… II CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… III LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN… –12– 26 IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 27 – 81 V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………… 82 – 93 VI CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI…… 94 – 102 - 106 VII DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA k n …… 107 - 110 VIII KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114 Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t tII.pCÁC: CÔNG / / wTHỨC w NGUYÊN w t HÀM a iCẦN l i NHỚ eupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Điều kiện tiên để làm tốt phần tích phân phải nhớ hiểu cách vận dụng công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu cơng thức biết cách suy luận cơng thức lại) 1 x 1 ax b x dx C ; ax b dx a C u 1 1) u du C ( 1) 1 du du du u C ; C; 1 C u u u u dx ln x C du 2) ln u C x u dx ln ax b C ax b a x ax a dx C; eu du eu C u a ln a 3) au du C ln a e x dx e x C; eax b dx eaxb C a sin xdx cos x C 4) sin udu cos u C sin(ax b)dx cos(ax b) C a cos xdx sin x C 5) cos udu sin u C cos( ax b)dx sin( ax b) C a dx sin x cot x C du 6) cot u C dx sin u cot(ax b) C sin (ax b) a dx cos x tan x C du 7) tan u C dx cos2 u tan(ax b) C cos (ax b) a du ua a u 2a ln u a C du 1 ua 8) 2 du ln C u a 2a u a u a 2a u a dx xa ln C x a 2a xa Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t tIII.pLỚP : /TÍCH / wPHÂN wHỮU w TỈ VÀt aTÍCHi lPHÂN i eLƯỢNG u p GIÁC ro.co h t t pCÁCH : / TÍNH / wTÍCH wPHÂN w HÀM t aHỮUi lTỈi Ie fu(x) dxp r o c o g ( x) http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ (*) Chú thích: Sơ đồ hiểu sau : Khi đứng trước tốn tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc tử số mẫu số *) Nếu bậc tử số nhỏ bậc mẫu số, ta ý tới bậc mẫu số Cụ thể: ++) Nếu bậc mẫu số ta có công thức bảng nguyên hàm đưa đáp số ++) Nếu bậc mẫu số ta quan tâm tới hay “tính có nghiệm” phương trình mẫu +) Nếu tức ta phân tích mẫu thành tích dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành hai biểu thức có mẫu bậc (quay trường hợp mẫu số có bậc ) +) Nếu tức ta phân tích mẫu thành đẳng thức dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân dạng biết +) Nếu tức ta khơng thể phân tích mẫu số thành tích đẳng thức -) Nếu tử số khác ta dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển dạng ( theo cách đổi biến sơ đồ trên) -) Nếu tử có dạng bậc ta chuyển bậc ( số hay số tự do) kĩ thuật vi phân cách trình bày sơ đồ quay trường hợp trước (tử số khác ) ++) Nếu bậc mẫu số lớn ta tìm cách giảm bậc phương pháp đổi biến kĩ thuật: Nhân, chia, tách ghép (đồng hệ số), vi phân… *) Nếu bậc tử số lớn bậc mẫu số ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2) Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w t w a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 CHÚ Ý : Việc đồng hệ số dựa theo cách phân tích sau: f ( x) m ( ax b) (cx dx e) n A1 ( ax b ) A2 (ax b) Am m ( ax b ) B1 x C1 (cx dx e) B2 x C2 2 (cx dx e) Bn x Cn (cx2 dx e)n Sau quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng chúng nhau” từ tìm Ai , B j , C j (i 1, m; j 1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j Các ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân I Giải: 1) Với k dx với : x 2x k 1) k 2) k 3) k : 2 2 4dx (2 x 3) (2 x 1) 2x 15 I 2 dx dx ln ln x 8x (2 x 1)(2 x 3) x 2x 2x x2 2x 0 dx 2) Với k : I 3) Với k : I 2 dx dx 2 x x ( x 1) x 1 dx dx x x ( x 1)2 3dt Đặt x tan t với t ; dx 3.(1 tan t )dt x : t : cos t 2 Khi I 3.(1 tan t )dt 3 3 dt t 3.(tan t 1) 18 Ví dụ Tính tích phân sau: dx 1) I1 2) dx I2 4x 2x x 1 5) I 4x dx x2 x 2 6) I 3) I 3x dx 4x x dx x 6x 4) I 7) I x 3 dx x 2x 1 Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) dx x 2x 2 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw t a i l i e u p r o c o m : /w/ w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 2 3 Giải: 1) I1 dx ln x ln 4x 1 4 1 2) I 0 (2 x 3) 2( x 1) dx ( x 1)(2 x 3) 1 dx dx 2 x x 1 ( x 1)(2 x 3) 1 1 x 1 dx ln 1 x x 2x 1 ln ln 1 1 dx dx 1 2 x x ( x 3) x 12 3) I3 4) I dx dx x x ( x 1) dt Đặt x tan t với t ; dx (1 tan t )dt x : t : cos t 2 Khi I 5) I (1 tan t )dt tan t dt t 4 4x ( x 1) 3( x 2) dx dx dx ln x 3ln x x x2 ( x 1)( x 2) x x 1 0 ln Chú ý: Việc phân tích x x 3( x 2) có ta tìm hệ số a , b thỏa mãn: a b a x a ( x 1) b( x 2) x ( a b) x a 2b a 2b 5 b 3 2 x 1 3x 2 dx 6) I dx dx 2 4x 4x (2 x 1) 2(2 x 1) 2(2x 1) 1 1 3 7 ln x ln 4(2 x 1) 4 2 x 2 x 3 (2 x 2) dx 7) I dx dx dx A B (*) 2 2 x 2x x 2x 1 x x x 2x 1 1 1 2 +) Tính A +) Tính B (2 x 2) d ( x x 4) dx ln x x 2 x x x x 1 1 1 ln (1) dx dx x x 1 ( x 1) 1 3dt Đặt x tan t với t ; dx 3.(1 tan t )dt x : 1 t : cos t 2 B 3.(1 tan t )dt 3 dt t (2) Thay (1) (2) vào (*) ta được: I ln tan t 3 Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Ví dụ Tính tích phân sau: 2 x3 x x 1) I1 dx 2x 1 1 2 ( x 1) dx ( D – 2013) x2 4) I 2) I 5) I x x3 x x dx x2 2x 3) I3 x3 x x dx 4x2 x 2x x dx x2 2x Giải: 2 x3 x3 x x 10 1) I1 dx x ln dx x ln x 2x 1 2x 1 1 1 2) I 1 x x3 x x x5 2( x 1) ( x 3) dx x dx x 1 dx 2 x 2x x 2x ( x 1)( x 3) 0 1 x3 x2 1 dx x ln x ln x ln ln x x 0 3) I3 2 x3 x x 6x 3(2 x 1) 1 dx x dx x dx x dx 2 2 4x x 4x x (2 x 1) x (2 x 1) 1 x2 11 ln x ln 2(2 x 1) 2 4) I ( x 1)2 dx ( D – 2013) x2 1 1 1 x2 1 2x 2x 2x d ( x 1) dx dx dx dx dx x ln( x 1) 2 x2 x x x 0 0 I4 ln 2 (2 x 2) 2x2 x 1 x 5) I5 dx dx dx x x x x x 2x 0 0 2 2 3 d ( x x 4) dx x ln( x x 4) 6I ln 6I (*) dx 6 2 x 2x x 2x 2 0 0 Tính I dx dx x x ( x 1)2 dt 3(1 tan t )dt dx Đặt x tan t (với t ; ) x : t : cos t 2 ( x 1)2 3(1 tan t ) I 6 3(1 tan t )dt 3 3 dt t 3(1 tan t ) 18 3 (2*) Thay (2*) vào (*) ta được: I5 ln Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p ro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://ww w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Ví dụ Tính tích phân sau: 4) I 1 7) I Giải: x7 2) I dx (3 x )2 (B – 2012) 1 2x dx ( x x)( x x 3) 5) I5 1) I1 8) I8 x3 dx x4 3x2 3) I3 dx x x 2014 x : t : I1 6) I dx x x5 9) I9 (B – 2012) Đặt t x dt xdx hay xdx x2 dx x( x 3x 2) 2 x 1 dx x x x2 4x 2 x dx (1 x )3 x3 1) I1 dx x 3x2 x dx (1 x)8 1 dt 1 x xdx t.dt 2(t 1) (t 2) dt dt 2 x x 2 t 3t 2 (t 1)(t 2) t t 1 1 ln t ln t ln ln 2 0 dt 8 x dx x3 dx dt Đặt t x x : t : t x4 3t 1 x x 3 t Khi I dx x dx dt dt (3 x )2 (3 x )2 t2 16 t 0 x7 2) I dx (3 x ) 3 1 1 ln dt ln t 16 t t 16 t 16 1 3) I3 x2 dx x( x x 2) Khi I3 dt x :1 t :1 2 ( x 1) t 1 xdx dt 2 x ( x x 2) t (t 3t 2) Lúc ta phân tích hệ số Cụ thể: Đặt t x dt xdx xdx t 1 thành tổng phân thức có mẫu bậc phương pháp đồng t (t 3t 2) t 1 t 1 A B C t (t 3t 2) t (t 1)(t 2) t t t t A(t 1)(t 2) Bt (t 2) Ct (t 1) (*) Việc tìm A, B, C làm theo cách : A A B C Cách 1: (*) t ( A B C )t (3 A B C )t A 3 A B C B A 1 C Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http ://www.tailieupro.c : / / ww w t a i l i e u p r o c http http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w t w a i. lt iaei ul iperuop cr oo mc / w w http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 +) Chọn t 1 (*) có dạng: 2 B B Cách 2: +) Chọn t (*) có dạng: 1 A A +) Chọn t 2 (*) có dạng: 3 2C C Vậy I3 dt 2t t 2(t 2) 4) I 2 ln 11.ln ln t ln(t 1) ln(t 2) 4 1 2 2x 2x 2x dx dx dx 2 ( x x)( x x 3) x( x 2)( x 1)( x 3) ( x 3x)( x2 3x 2) 1 Cách 1: (đổi biến) Đặt t x x dt (2 x 3) dx x :1 t : 10 10 10 dt 1 t Khi I dt ln t (t 2) t t t2 10 15 ln 12 Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân) 2 2 ( x x 2) ( x x) (2 x 3) (2 x 3)dx (2 x 3)dx I4 dx 2 21 ( x 3x )( x 3x 2) x 3x x 3x 2 d ( x 3x) d ( x 3x 2) x 3x ln x 3x x x x 3x 1 5) I5 1 15 ln 12 x 1 dx x x x2 4x 2 Chia tử mẫu biểu thức tích phân cho x ta được: 1 dx x I5 dx 1 1 2 x x 2 x 4 x x x x x 1 1 x2 1 dt 1 dx x Cách 1: (đổi biến) Đặt t x x : 2 1 t : 2 x t x 2 x 2 2 2 2 dt dt dt 1 Khi I5 2 t 36 (t 2) 4t t 4t (t 2) 2 2 Cách 2: (tách ghép sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho có kĩ phân tích tốt) 1 1 2 1 1 d x 1 dx 1 x x I5 2 36 1 1 2 2 x 2 x 4 x x 2 x x x x Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w t w a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 6) I 0947141139 – 0925509968 dx dx 3 x x x (1 x ) Cách 1: (đổi biến) dt x :1 t :1 2 4 4 xdx dt (t 1) t 1 (t 1) t Khi I dt dt dt x (1 x ) t (t 1) t (t 1) t t (t 1) t t (t 1) Đặt t x dt xdx xdx 4 1 1 1 t 1 dt ln ln t t t 1 2 t t 1 8 Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép) 2 (1 x ) x 1 x (1 x ) x 1 dx dx dx 3 dx 3 x (1 x ) x x(1 x ) x x(1 x ) x x x2 1 1 I6 2 5 d (1 x ) 1 dx ln x ln(1 x ) ln ln ln x x 1 x 2 8 2x 1 1 1 1 x 1 2x 1 1 1 1 7) I dx dx dx 3 3 2 (1 x) (1 x ) (1 x ) (1 x ) 2(1 2x ) 4(1 2x ) 18 8) I8 dx x x 2014 Đặt t x 2014 dt 2014 x 2013 dx x2013 dx x 2013dx Khi I8 2014 2014 2014 1 x x 1 22014 dt x :1 t : 2014 2014 dt (t 1)t 2014 1 2014 1 dt t 1 t t 1 ln 2014 t 9) I9 1 22014 2015ln ln(1 22014 ) 2014 x dx (1 x)8 1 Đặt t x dt dx x : 1 t :1 2 Khi I9 2 (1 t )2 dt 2t t 1 33 1 1 dt dt 8 t t t t t 7t 3t 5t 4480 1 1 Ví dụ Tính tích phân sau: 1) I1 x2 dx x3 ln Giải: 1) I1 x2 1 dx x3 tdt xdx Đặt t x t x 2 cận t : x t 1 2 I1 x2 dx x3 x 1.xdx x4 t.tdt (t 1)2 3 2) I t2 dt (1 t )2 Trang Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) e x 1dx ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Đặt t tan u dt du (1 tan u )du cận u : cos u tan u.(1 tan u )du tan u sin u du cos udu sin udu 2 2 (1 tan u ) tan u cos u 0 I1 cos 2u 4 3 1 3 du u sin 2u 24 2 0 3t dt e x dx Đặt t e x t e x x cận t : e t ln 2) I e x 1dx e x 1dx ln I2 ln 0 1 e x 1.e x dx t.3t dt t dt dt x 3 e t 1 t 1 t 1 0 0 Ta dùng phương pháp đồng hệ số: 1 A Bt C A.(t t 1) ( Bt C )(t 1) t (t 1)(t t 1) t t t A B 1 ( A B ) t ( A B C )t A C A B C A ; B ; C 3 A C 1 ( Có thể chọn t t ba pt ẩn A, B, C giải tìm A, B, C (máy tính giúp ) ) Vậy ta có: 1 t 1 t2 t 3(t 1) 3(t t 1) t t t (2t 1) 1 1 d (t t 1) dt t2 I2 dt dt dt 2 t 1 t t 1 t 1 t t 1 t 1 t t 1 t t 1 0 0 0 1 3t ln(t 1) ln(t t 1) J ln J 0 (*) với J 3(1 tan u ) dt du du cos t Đặt t tan u 2 2 t (1 tan u ) J 3(1 tan u ) du 2 3(1 tan u ) Thay (2*) vào (*) ta : I ln dt dt 2 t t 2 t 2 t : cận u : 3 du u (2*) 6 3 Trang 10 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 6 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Khi I1 t tan t cot t dt t cot t tan t dt 6 cos t sin t dt dt I1 cot t tan t dt t. tan t cot t dt 2 sin t cos t 6 6 d sin t d cos t sin t I1 ln I1 ln I1 sin t cos t cos t 6 6 Vậy I1 ln I1 I1 ln I1 ln (*) 2 x sin x x cos x.(1 cos2 x) x sin x x(sin x cos x cos x) 2) I dx dx x cos xdx A B (*) dx cos x cos x cos x 0 0 +) Tính A x sin x dx cos x Đặt x t dx dt x : t : Khi A Vậy A t sin t dt t sin t dt sin t dt t.sin t dt sin t dt A cos t cos t cos t cos2 t cos2 t 0 0 sin t dt cos t Đặt cos t tan u sin tdt Suy A du (1 cot u )du sin tdt (1 cot u )du t : u : cos u 4 (1 cos2 u )du cos2 u 2 (1) du u 4 u x du dx Đặt dv cos xdx v sin x +) Tính B x cos xdx Khi B x sin x sin xdx cos x 2 (2) Thay (1) , (2) vào (*) ta được: I 2 3) I x sin x dx cos x 2 Khi I 2 2 Đặt x 2 t dx dt x : 2 t : 2 2 t sin 2 t dt 2 2 t sin t dt 2 2 sin t dt 2 t.sin t dt cos 2 t cos t cos t cos t 0 0 2 d cos t 2 2 I 2 ln cos t I I I x sin x dx cos x 2 cos t 3 Vậy I I I Trang 101 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i l i e u p r o c o m t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 a T Bài toán 4: Hàm số T f ( x) liên tục tuần hồn với chu kì T, : f ( x) dx a nT Từ ta suy f ( x) dx (*) T f ( x) dx n f ( x) dx (2*) Chứng minh: (Trong thi muốn sử dụng tính chất em cần chứng minh sau) a T Ta có: a T T f ( x) dx (1) f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a a T a T Xét tích phân: Đặt x t T dx dt x : T a T t : a f ( x) dx T a T Khi a f ( x) dx T a T f ( x )dx (2) f (t T ) dt f (t )dt f ( x )dx f ( x )dx a a a T Thay (2) vào (1) ta được: a T T f ( x) dx a f ( x) dx (*) Chú ý: f ( x ) có chu kì T f ( x T ) f ( x) VÍ DỤ MINH HỌA 2014 2014 Tính tích phân sau: 1) I1 cos x dx cos x 2) I cos xdx 0 Giải: 2014 1) I1 Xét hàm f ( x) cos x với x cos xdx Ta có: f ( x ) cos 2( x ) cos 2x f ( x ) aT Do áp dụng tính chất a 2014 I1 T f ( x) dx (*) (trong em phải Chứng minh ) ta được: f ( x) dx 2 cos xdx cos 2xdx 2 cos xdx cos xdx 2014 cos 2xdx 2014 3 cos xdx cos xdx 0 Hướng dẫn: T f ( x) dx n f ( x) dx 2) I 0 nT cos x dx cos x sin x dx 2014 sin xdx 2014 cos x 4028 cos xdx 2014 Chú ý: Cách trình bày vừa cách ta chứng minh 2014 cos 2xdx 1 cos 2xdx 2013 (2*) x 2sin cos x tan x f ( x) x cos x 2 cos 2 f ( x 2 ) f ( x) Trang 102 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://w ww.tailieupro.c http://w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 TÍCH PHÂN TRUY HỒI Ở phần em tìm hiểu dạng tích phân truy hồi I n f ( x, n) dx với câu hỏi hay gặp là: Thiết lập công thức truy hồi I n g ( I n k ) với k 1; n Chứng minh công thức truy hồi cho trước Sau thiết lập công thức truy hồi yêu cầu tính I n ứng với vài giá trị n tính giới hạn hàm số dãy số có liên quan với I n CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Xét tích phân I n sin n xdx với n * Tìm mối liên hệ I n I n Tính I n Tính I I Xét dãy số (un ) cho un (n 1) I n I n1 Tìm lim un n Giải: Tìm mối liên hệ I n I n +) Ta có: I n sin n xdx sin n x.(1 cos x )dx sinn xdx sin n x.cos2 xdx I n sin n x.cos xdx (1) 0 0 +) Tính sin n x.cos xdx sin n x.cos x.cos xdx 0 du sin xdx u cos x Đặt sin n 1 x n n n dv sin x cos x v sin x.cos xdx sin x.d sin x n 1 I I cos x.sin n 1 x 2 n Suy sin n x.cos xdx sin xdx n n (2) n 1 n 1 n 1 n 1 0 I n I n2 I n I n n I n I n n 1 n 1 n 1 n2 n 1 Ta có I n I n I n I n Khi : n 1 n2 Thay (2) vào (1) ta được: I n I n Tính I5 I 4 8 I I I1 15 sin xdx 15 cos x 15 0 2 5 15 15 cos x 15 15 I6 I I2 sin xdx dx x sin x 6 24 24 48 96 0 Trang 103 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG Tính I n 0947141139 – 0925509968 1 I sin xdx cos x 2 cos x 1 I sin xdx dx x sin x 2 0 0 Ta có: +) Với n chẵn hay n 2k (k * ) Áp dụng (*) ta được: Với I n n2 I n (*) n 1 I2 I4 I I 2k I I 2k k 2k Nhân theo vế đẳng thức ta được: 4.6 2k 4.6 2k 3.5 (2k 1) I2 I2k I 2k I 2k 3.5 (2k 1) 3.5 (2k 1) 4.6 k +) Với n lẻ hay n 2k (k * ) Áp dụng (*) ta được: I1 I I I 2k I I k 3 2k 2 k 1 Nhân theo vế đẳng thức ta được: 3.5 (2k 1) 3.5 (2k 1) 2.4 (2k 2) I1 I k 1 I k 1 I k 1 2.4 (2k 2) 2.4 (2k 2) 3.5 (2k 1) Xét dãy số (un ) cho un ( n 1) I n I n 1 Tìm lim un n n2 I n I n 1 ( n 2).In 1 I n un 1 n 1 Vậy un 1 un nên un un 1 u1 I1 I 2.1 lim un lim n n 2 Ta có: un ( n 1) I n I n 1 ( n 1) Chú ý: I n sin n xdx cosn xdx (xem lại Bài tốn lớp tích phân đặc biệt) 0 1 x2 Ví dụ Xét tích phân I n n dx với n * Tính I n Giải: 1 x2 Tính I n n dx I n 1 n I n Tìm lim u (1 x )n du n.(1 x2 )n 1 (2 x) dx Đặt dv dx v x Trang 104 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t a u p r o c w w i l i e h t t p : / / w h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 1 Suy I n x (1 x )n 2n x x2 n 1 dx 2n 1 (1 x ) x2 n 1 1 dx n x2 0 n 1 dx x2 n dx n In1 In n 1 n dx n x2 dx x2 dx n In1 In 0 2n Vậy I n 2n I n 1 I n I n I n 1 (*) 2n 2n 2n n 2n 2n 4.6.8 2n Từ (*) ta có: I n I n 1 I n I1 I1 (1) 2n 2n 2n 2n n 5.7.9.(2n 1) 2n 1 (1 x ) x2 n 1 x3 (2) x dx x 0 Mặt khác: I1 Thay (2) vào (1) ta được: I n Ta có: I n 2.4.6.8 2n 3.5.7.9.(2n 1) 2n 2( n 1) I 2n I 2n , suy lim n 1 lim I n 1 I n 1 I n n 1 1 n n 2n 2( n 1) In 2n In 2n Ví dụ Xét tích phân I n tan n xdx với n * Chứng minh rằng: I n In n 1 Tính I5 I Giải: Chứng minh rằng: I n In n 1 Ta có: I n tan n xdx tan n x tan n x tan n x dx tan n x tan x tan n x dx 0 tan n x tan n 1 x n n dx tan xdx tan xd tan x I In In n cos x n 1 n 1 0 I n (đpcm) n 1 Tính I I Vậy I n 4 sin x d cos x I tan xdx dx ln cos x ln 0 cos x cos x Ta có: 4 I tan xdx 1 dx tan x x cos x 0 Trang 105 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://w ww.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 In n 1 1 1 1 I I3 I1 ln ln Ta có: I I I 13 5 15 Áp dụng cơng thức truy hồi I n Ví dụ en 1 e nx dx * , với Chứng minh rằng: I I n 1 n n 1 ex n 1 Xét tích phân I n Xét tích phân I n (3 x)n e x dx , với n * Chứng minh rằng: I n 3n nI n 1 Giải: 1 Xét tích phân I n en 1 enx dx * , với n Chứng minh rằng: I I n1 n 1 ex n 1 1 e enx dx e( n 1) x dx Ta có I n I n1 x x 1 e 1 e 0 hay I n e ( n 1) x e x dx ex e ( n 1) x e( n 1) x dx n 1 en 1 n 1 n 1 1 I n1 (đpcm) n 1 Xét tích phân I n (3 x)n e x dx , với n * Chứng minh rằng: I n 3n nI n 1 n n 1 u (3 x) du n(3 x) dx Đặt x x v e dv e dx 3 Khi I n (3 x) n e x n (3 x )n 1 e x dx 3n nIn 1 0 n Vậy I n 3 nI n 1 (đpcm) 1 x x n dx với n * Biết (un ) dãy số cho un Ví dụ Cho I n du nx n 1dx u x n Giải: Đặt dv xdx v xdx (1 x) x In tính lim un I n 1 Khi : 1 2 2 n n 1 I n (1 x ) x x n (1 x ) x x dx n x xn1 dx x xn dx n I n 1 I n 3 0 2n n I n 1 I n (2n 3) I n 2nI n1 I n I n 1 2n 2n 2n I 2n Suy I n 1 lim un lim I n 1 lim 1 In n 2n 2n I n 1 n Vậy I n Trang 106 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC C h t tVII.pDÙNG : / /TÍCH w PHÂN ww tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i. lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 k n PHƯƠNG PHÁP GIẢI: n Bước : Khai triển (1 x )n Cnk x k Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn xn k 0 Bước : Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp : (1 x )n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx b ( Nếu hệ số đẳng thức cần chứng minh có chứa bk a k ta chọn cận tích phân ) a DẤU HIỆU NHẬN BIẾT : Các hệ số đẳng thức cần chứng minh có dạng phân số, đồng thời mẫu số thường tăng giảm đơn vị CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Với n Chứng minh rằng: 20 12 203 123 20n 1 12n 1 n 21n 1 13n 1 1) 8Cn0 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 1 n 1 4 1 2) 4Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 2n1 3) Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 62 1 63 6n1 n 7n 1 2n1 4) 5Cn0 Cn Cn Cn n 1 n 1 Giải: 202 122 203 123 20n1 12n1 n 21n1 13n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x 1) 8Cn0 20 20 n 12 12 n 1 20 (1 x) n 1 n 1 Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx (1 x) dx +) Suy ra: 21 12 n 1 13 n 1 Hay 8Cn0 20 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 12 8Cn0 202 122 203 123 20n 1 12n 1 n Cn Cn Cn n 1 20 12 203 123 20n 1 12n 1 n 21n 1 13n 1 Cn Cn Cn (đpcm) n 1 n 1 Trang 107 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 42 43 4n 1 n 5n1 Cn Cn Cn n 1 n 1 +) Ta có: (1 x ) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 2) 4Cn0 4 n +) Suy ra: Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx (1 x) dx 0 n 1 (1 x) n 1 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 42 43 4n 1 n 4Cn0 Cn1 Cn2 Cn n 1 n 1 Hay 4Cn0 42 43 4n1 n 5n1 (đpcm) Cn Cn Cn n 1 n 1 1 2n 1 3) Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 +) Ta có: (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 1 (1 x)n dx +) Suy ra: Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx 1 (1 x)n 1 x2 x3 x n 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 2n 1 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 n 1 1 2n 1 Hay Cn0 Cn1 Cn2 Cnn (đpcm) n 1 n 1 1 63 6n 1 n 7n 1 2n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n 2 n n +) Ta có: (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x 4) 5Cn0 6 (1 x)n dx +) Suy ra: 1 n 1 (1 x) n 1 Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx n 1 2 n 1 Hay 5Cn0 n 1 x2 x3 xn 1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 62 1 63 6n 1 n 5C Cn Cn Cn n 1 n 1 63 6n 1 n 7n 1 2n 1 Cn Cn Cn (đpcm) n 1 n 1 Trang 108 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Ví dụ ( B – 2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng: Cn0 22 1 23 2n1 n Cn Cn Cn n 1 Giải: +) Ta có: (1 x ) n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n 2 +) Suy ra: (1 x)n dx 1 n 1 (1 x) n 1 Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnn xn dx x2 x3 x n1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cnn n 1 3n1 2n1 22 1 23 2n1 n Cn0 Cn Cn Cn n 1 n 1 Vậy Cn0 2 1 23 2n 1 n 3n 1 2n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 Ví dụ :Với n Chứng minh rằng: 1 (1)n n 1) Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 2n 1 1 1 2) C21n C23n C25n C22nn1 (A – 2007) 2n 2n 1 1 4n 3) C20n C22n C24n C22nn 2n 2n Giải: 1 (1)n n 1) Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 n 2 3 +) Ta có: (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x ( 1) n Cnn x n 1 +) Suy ra: (1 x)n dx 0 n 1 (1 x) n 1 Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cn3 x3 ( 1)n Cnn xn dx x2 x3 x4 x n1 Cn0 x Cn1 Cn2 Cn3 ( 1)n Cnn n 1 1 1 (1)n n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 1 (1)n n Hay Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn (đpcm) n 1 n 1 Trang 109 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w ta i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 1 22 n C2 n C2n C2n C22nn1 (A – 2007) 2n 2n (1 x )2 n C20n C21n x C22n x C23n x3 C22nn 1 x2 n 1 C22nn x n (1) +) Ta có: 2n 2 3 n 1 n 1 C22nn x n (2) (1 x) C2 n C2 n x C2 n x C2 n x C2 n x 2) +) Lấy (1) – (2) ta được: (1 x)2 n (1 x)2 n C21n x C23n x3 C25n x C22nn 1 x2 n 1 (1 x)2 n (1 x )2n C21n x C23n x3 C25n x5 C22nn1 x2 n1 1 (1 x ) n (1 x )2 n +) Suy ra: dx C21n x C23n x3 C25n x5 C22nn 1 x2 n 1 dx 0 1 (1 x )2 n 1 (1 x )2 n 1 x2 x4 x6 x 2n C21n C23n C25n C22nn 1 2n 2n Hay 22 n 1 1 C2 n C2 n C2 n C22nn 1 2n 2n 1 22 n (đpcm) C2 n C2n C2n C22nn1 2n 2n 1 1 4n 3) C20n C22n C24n C22nn 2n 2n 2n 2 +) Ta có: (1 x ) C2 n C2 n x C2 n x C22nn x2 n 1 (1 x) n dx +) Suy ra: 1 C20n C21n x C22n x2 C22nn x2 n dx 1 n 1 (1 x) 2n x2 x3 x2 n 1 C20n x C21n C22n C22nn 2n 1 1 2 n 1 2 2C20n C22n C24n C22nn 2n 2n 1 1 4n Hay C20n C22n C24n (đpcm) C22nn 2n 2n Trang 110 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t tVIII p KINH : / /NGHIỆM w wGIẢI w BÀI tTỐN a iTÍCH l i ePHÂNuĐẠI p HỌC ro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iper uop. cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Qua phần tìm hiểu trên, em nhận thấy tích phân ta có tay hai cơng cụ để giải ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN vài kĩ thuật để làm cho hai công cụ phát huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp đồng hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dấu tích phân, kĩ thuật vi phân, dùng công thức để biến đổi (công thức lượng giác, đẳng thức…), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát để tìm tích phân liên kết, sử dụng cận để đổi biến, sử dụng đẳng thức tính chẵn lẻ hàm số…) Vì tổng kết lại sau : Khi đứng trước toán tích phân em có hướng : TH1: Nếu dấu tích phân có : +) Hướng tư 1: Đặt t ( cho tất đề thi Đại Học – Cao Đẳng từ 2002 – 2013) Nếu không ổn chuyển sang: f ( ax bx c ) dx mà +) Hướng tư thứ 2: Với tích phân I ax bx c ta biến đổi dạng: m cos t *) m2 u đặt u m sin t ( u m cos t ) *) u m2 đặt u *) u m2 đặt u m tan t ( u m cot t ) *) u u đặt u sin t Với tích phân I CHÚ Ý: Với tích phân có dạng dx x k x2 k (x x k ) x k m ) sin t ( u cos t ) m x f dx đặt x m cos 2t m x dx ( x x k ) dx (u ta khơng dùng tới phương pháp Cụ thể ta biến đổi: d ( x x2 k ) (x x k ) ln( x x k ) Nếu chưa ổn chuyển sang : +) Hướng tư thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng quay hướng tư đầu TH2 : Nếu dấu tích phân có hàm lượng giác hàm mũ có dạng sin u eu mà u ax b ( nghĩa u không hàm bậc bậc khơng ) điều đặt t u Sau quay TH1 TH3 TH3: Nếu dấu tích phân xuất hai bốn hàm: log, đa thức ( kể phân thức), lượng giác mũ liên hệ với phép nhân theo : +) Hướng tư 1:Sử dụng tích phân phần theo thứ tự ưu tiên “u→dv” : “log → đa thức → lượng giác → mũ” b b b (nghĩa anh đứng trước thứ tự thầy nêu đặt u anh đứng sau dv: udv uv a vdu ) a a ( Các em có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự “u→dv” là: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” ) Nếu vấn chưa ổn chuyển sang: +) Hướng tư 2: Sử dụng kĩ thuật vi phân ( du u ' dx (**) ) đổi biến Nếu sử dụng (**) : +) theo chiều thuận (từ Trái Phải): em phải tính đạo ĐẠO HÀM +) theo chiều nghịch (từ Phải Trái): em phải tính NGUN HÀM Các em nhớ theo cách sau : “đưa vào vi phân tính NGUN HÀM, đưa tính ĐẠO HÀM” Trang 111 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://w ww.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 TH4: Nếu dấu tích phân có dạng hữu tỉ: I f ( x) dx g ( x) +) Hướng tư 1: Nếu bậc f ( x) lớn bậc g ( x ) Thì thực phép chia chuyển I dạng: r ( x) r ( x) I h ( x) dx I1 I2 Với I1 tính đơn giản tính I chuyển sang: dx h( x) dx g ( x ) g ( x) +) Hướng tư 2: Nếu bậc f ( x) nhỏ bậc g ( x) theo thứ tự: f ( x) A dx A I A ln ax b g ( x) ax b a ax b *) Hướng tư 2.1: Nếu ? k ax bx c ' l Ax B f ( x) Ax B I dx *) Hướng tư 2.2: Nếu biến đổi 2 g ( x) ax bx c ax bx c ax bx c k d (ax bx c) dx l k ln ax bx c 2 ax bx c ax bx c tính I3 l I dx cách chuyển sang Hướng tư 2.3: ax bx c f ( x) A dx thì: IA g ( x) ax bx c ax bx c *) Hướng tư 2.3: Nếu dx A A x x2 ln ? **) Khả 1: I A dx a( x2 x1 ) x x2 x x1 a( x2 x1 ) x x1 a ( x x1 )( x x2 ) **) Khả 2: I A dx A a( x x0 ) a( x x0 ) ? kdt k (1 tan t ) dt A dx dx **) Khả 3: I đặt x x0 k tan t cos t a ( x x0 )2 k ( x x )2 k k (1 tan t ) I A k (1 tan t ) A A( 1 1 ) dt dt 2 a 1 k (1 tan t ) ka 1 ka ? *) Hướng tư 2.4: Nếu g ( x ) có bậc lớn tìm cách đưa hướng tư 2.1, 2.2, 2.3 kĩ thuật: +) Đổi biến tách ghép, nhân, chia để giảm bậc +) Đồng hệ số theo thuật toán: f ( x) m ( ax b ) (cx dx e) n A1 (ax b) A2 ( ax b ) Am m ( ax b) B1 x C1 (cx dx e) B2 x C2 2 (cx dx e) Bn x Cn (cx2 dx e)n Sau quy đồng bỏ mẫu số dùng tính chất “hai đa thức hệ số tương ứng nhau” từ ta tìm Ai , B j , C j (i 1, m; j 1, n) dùng cách chọn x để tìm Ai , B j , C j Trang 112 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 TH5: Nếu dấu tích phân có dạng lượng giác: I f (sin x, cos x) dx thì: +) Hướng tư 1: Nếu I sin m x.cos n xdx ( m, n Z ) dựa vào tính chẵn, lẻ để đổi biến.Cụ thể: *) Nếu m, n khác tính chẵn lẻ em đặt t theo anh mang mũ chẵn Cụ thể : **) m chẵn, n lẻ đặt t sin x ** ) m lẻ, n chẵn đặt t cos x *) Nếu m, n tính chẵn lẻ Cụ thể : **) m, n lẻ đặt t sin x t cos x (kinh nghiệm nên đặt theo anh mang mũ lớn hơn) **) m, n chẵn đặt t tan x (hoặc t cot x ) dùng công thức hạ bậc, biến đổi lượng giác +) Hướng tư : Nếu I f (sin x).cos xdx đặt t sin x I f (cos x).sin xdx đặt t cos x h( x ) h( x), g ( x) chứa hàm lượng giác thì: g ( x) +) Hướng tư 3: Nếu f (sin x, cos x) *) Hướng tư 3.1 : Ý nghĩ tính g '( x) phân tích h( x) u.g ( x) l ( g ( x)) g '( x ) I udx r ( g ( x )) g '( x) dx I1 I tính I r ( g ( x)).g '( x)dx đổi biến: t g ( x) ( Hướng tư áp dụng với h( x), g ( x) chứa hàm khác loga, đa thức, mũ…) Nếu việc phân tích h( x) gặp khó khăn ta chuyển tới việc làm “thủ công” qua Hướng tư 3.2 *) Hướng tư 3.2: Nếu h( x), g ( x) hàm bậc theo sin x cos x dùng phương pháp đồng hệ số Cụ thể : h ( x) a sin x b cos x c sin x d cos x c cos x d sin x A B **) Khi đó: g ( x) c sin x d cos x c sin x d cos x c sin x d cos x c cos x d sin x d (c sin x d cos x) I A dx B dx A dx B A.x B ln c sin x d cos x c sin x d cos x c sin x d cos x **) ? h( x) a sin x b cos x e c sin x d cos x h c cos x d sin x A B C g ( x) c sin x d cos x h c sin x d cos x h c sin x d cos x h c sin x d cos x h Khi đó: I Ax B ln c sin x d cos x h C I3 ta tính I3 dx hai cách: c sin x d cos x h C1: Dùng công thức biến đổi lượng giác để chuyển công thức lượng giác bảng nguyên hàm Nếu không ổn chuyển sang : x 2dt 2t 1 t2 C2: Đặt t tan dx Sau quay TH4 sinx ; cos x 1 t2 1 t2 1 t2 Trang 113 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 *) Hướng tư 3.3: Nếu I Với trường hợp hay gặp : I f (tan x) f (cot x ) dx (hoặc I dx ) đặt t tan x (hoặc t cot x ) 2 cos x sin x f (tan x).dx f (cot x).dx (hoặc I ) 2 2 a sin x b sin x cos x c cos x a sin x b sin x cos x c cos x dx f (tan x) f (t ) biến đổi: I sau đặt t tan x dt I dt dx 2 2 cos x 1 at bt c cos x ( a tan x b tan x c ) Sau quay TH4 *) Hướng tư 3.4: Nếu I dt (cos x sin x) dx f (sin x cos x;sin x cos x)dx đặt t sin x cos x t2 1 sin x cos x Sau quay TH4 TH6: Khi gặp tích phân chứa hàm log chứa hàm mũ ta có hướng sau : b f (ln u ) dx đặt t ln u u *) Hướng tư 1: Nếu có dạng I a ( đặt t g (ln u ) nghĩa đặt t hàm theo ln u ) Nếu dấu tích phân có mặt log a u em nên chuyển ln u công thức : log a u ln u ln a b f (e x ) dx đặt t e x ( t hàm theo e x ) *) Hướng tư 2: Nếu có dạng I a TH7: Nếu dấu tích phân có dấu trị tuyệt đối I f ( x) dx tìm cách phá trị tuyệt đối cách xét dấu f ( x ) đoạn ; Cụ thể: B1: Giải phương trình f ( x) xi ? chọn xi [ ; ] chuyển sang: B2: Lập bảng xét dấu: (Giả sử ta bảng xét dấu: f ( x)dx B3: Ta dựa vào công thức xi I f ( x) dx f ( x)dx f ( x)dx ( ) để tách : xi f ( x) dx f ( x) dx xi ) f ( x)dx f ( x)dx Sau chuyển sáu TH đầu xi TH8: Khi toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tạo quay hình phẳng qua trục Ox, Oy em cần nhớ kiến thức sau: Hình phẳng giới hạn đường : b b y f ( x) S f ( x) g ( x) dx (2*) S f ( x) dx a a (nếu y g ( x) ) y g ( x) b b x a ; x b a V f ( x) g ( x) dx (3*) V f ( x) dx 0x 0x a a Nếu khơng dựa vào hình vẽ cần phá trị tuyệt đối chuyển TH6 Trang 114 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t pCẢM : / ƠN / wCÁC w BẠN w ĐÃ t aĐỌC i l TÀI i eLIỆU u p! r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 Trang 115 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ... 0947141139 – 0925509968 TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trước vào 10 dạng tích phân hay gặp kì thi Đại Học – Cao Đẳng em cần nắm cách tính tích phân lượng giác qua ví dụ sau: Ví dụ Tính tích phân sau với k... dấu tích phân khơng xác định với cận x có khác biệt Ví tính C1 tan xdx H1 +) Để đưa công thức tổng quát cho tích phân em tìm hiểu rõ mục VI phần tích phân truy hồi Ví dụ Tính tích phân. .. rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t tIV.p10:DẠNG //w ww.tailieupro.co TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI h t t p : / / w ĐẠI w HỌC w –.CAO t aĐẲNG ilieupro.co f g (
Ngày đăng: 17/04/2019, 00:38
Xem thêm: 10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG gặp TRONG kì THI
