Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài toán 1: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài d gấp hai lần chiều rộng r không nắp, có chiều cao h tích m Hãy tính kích thước hồ nước cho chi phí xây dựng thấp Bài giải : h 2x x Gọi x chiều rộng đáy x 0; Ta có chiều dài đáy 2x Lại có: V 2x x h 2x 2h h 3x Diện tích vật liệu làm khối hộp S Sđ Sxq 2x x 6x h S x 2x Xét hàm số S x 2x Ta có: S ' x 4x x2 Cho S ' x x với x 0; x x Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG Bảng biến thiên X S’(x) – S(x) + + + + Từ bảng biến thiên suy S x Vậy: Để chi phí thấp hồ nước cần làm có kích thước đáy có chiều rộng 1m , chiều dài 2m, chiều cao khối hộp m Bài toán 2: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy loại Hiện nay, doanh nghiệp tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào 27 (triệu đồng) bán với giá 31 (triệu đồng) Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua năm 600 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán ước tính giảm (triệu đồng) số lượng xe bán năm tăng thêm 200 Vậy doanh nghiệp phải định giá bán để sau thực giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? Bài giải: Gọi x ( x > 0, đơn vị: triệu đồng) giá bán Khi đó: - Số tiền giảm 31 x - Số lượng xe tăng lên 200(31 x) Vậy tổng số sản phẩm bán 600 + 200(31 x) = 6800 – 200x Doanh thu mà doanh nghiệp đạt (6800 – 200x)x Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ (6800 – 200x).27 Lợi nhuận mà công ty đạt là: L(x) = Doanh thu – Tiền vốn = (6800 – 200x).x – (6800 – 200x).27 = –200x2 + 12200x – 183600 L’(x) = 400 x 12200 L’(x) = x 30,5 BBT: X 30,5 + L’(x) + – L(x) 2450 Dựa vào BBT ta thấy lợi nhuật lớn x = 30,5 Vậy giá bán 30,5 (triệu đồng) Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG Bài toán 3: Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy : Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá ? Hướng dẫn giải: Gọi n số cá đơn vị diện tích hồ ( n > 0) Khi : - Cân nặng cá : P(n) = 480 – 20n - Cân nặng n cá : n.P(n) = 480n – 20n2 Xét hàm số : f(n) = 480n – 20n2 (0 ;+ ) Ta có : f’(n) = 480 – 40n f’(n) = n 12 BBT : n 12 + f’(n) + f(n) 2880 Dựa vào BBT ta thấy số cá phải thả đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều 12 Bài toán 4: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm cho công thức : f (v) 290, 4v (xe/giây) 0,36v 13, 2v 264 Trong đó, v (km/h) vận tốc trung bình xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn tính giá trị lớn Hướng dẫn giải: Xét hàm f (v) 290, 4v với v > 0,36v 13, 2v 264 Ta có: f '(v) 290, 0,36v 264 (0,36v 13, 2v 264)2 f’(v) = v 264 0, BBT: v f’(v) f(v) 264 0, + 8,9 + - Dựa vào BBT, ta thấy vận tốc để lưu lượng xe vào đường hầm lớn v lưu lượng xe 8,9 (xe/giây) 264 (km/h) 0, Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG Bài toán 5: Một đại lý xăng dầu cần làm bồn chứa dầu hình trụ tôn tích 16 (m3) Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nguyên vật liệu Hướng dẫn giải : Gọi x (m) bán kính đáy hình trụ ( x > 0) Ta có: V = x h h 16 r2 Diện tích toàn phần hình trụ là: S(x) = 2 x 2 x.h 2 x Khi đó: S’(x) = 4 x 32 (x > 0) x 32 x2 S’(x) = x BBT: x S’(x) + - + S(x) 24 Dựa vào BBT, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ x = (m) nghĩa bán kính 2(m) Bài toán 6: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 ti vi năm Chi phí gởi kho 10$ năm Để đặt hàng chi phí cố định 20$ cộng thêm 9$ Cửa hàng nên đặt hàng lần năm lần để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất? Gợi ý: - Phân tích Gọi x số ti vi mà cửa hàng đặt lần ( x 1; 2500 , đơn vị: ) Số lượng ti vi trung bình gởi kho Số lần đặt hàng năm x x phí lưu kho tương ứng 10 = 5x 2 2500 2500 chi phí đặt hàng : (20 + 9.x) x x Khi đó: chi phí mà cửa hàng phải trả là: Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) C(x) = Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG 2500 50000 (20 + 9.x) + 5x = 5x + + 22500 x x C’(x) = - 50000 ; C’(x) = x 100 x2 - Lập bảng biến thiên kết luận: đặt hàng 25 lần, lần 100 ti vi Bài toán 7: Một xí nghiệp có thề dùng ba loại nguyên liệu A; B; C để sản xuất loại sản phẩm theo hai công nghệ khác CN1 CN2 Cho biết tổng khối lượng nguyên liệu mỗi loại xí nghiệp có, định mức tiêu thụ loại nguyên liệu sản xuất theo công nghệ bảng Tổng khối lượng Nguyên liệu Định mức tiêu thụ có CN1 CN2 A 200 B 280 C 350 30 36 Sản lượng Tìm kế hoạch sản xuất cho tổng số sản phẩm thu nhiều Hướng dẫn giải Gọi x, y thời gian ( giờ) sản xuất theo công nghệ CN1; CN2 x 0; y Tổng khối lượng nguyên liệu loại sử dụng để sản xuất A: 4x + 3y (đơn vị nguyên liệu) B: 3x + 5y (đơn vị nguyên liệu) C: 9x + 5y (đơn vị nguyên liệu) Để không bị động sản xuất tổng khối lượng nguyên liệu loại sử dụng để sản xuất vượt tổng khối lượng nguyên liệu loại xí nghiệp có nên ta có điều 4 x y 200 3x y 280 kiện: 9 x y 350 x 0; y Yêu cầu toán: Tìm giá trị lớn hàm F = 30x + 35y Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG Xác định miền nghiệm Ta có miền nghiệm tứ giác OABC kể cạnh Với O(0;0) suy F = Với A ;0 suy F Với B ; 49 suy F 2065 280 Với C 0; suy F = 1960 Vậy sản xuất theo phương án : 350 3500 35 35 theo công nghệ CN1 49 theo công nghệ CN2 tổng số sản phẩm thu nhiều F = 2065 Bài toán Một nhà máy dùng hai loại nguyên liệu khoai mì ngô để chế biến 140 kg thức ăn cho gà 90 kg thức ăn cho cá Từ khoai mì giá triệu đồng, chế biến 20 kg thức ăn cho gà kg thức ăn cho cá Từ ngô giá triệu đồng, chế biến 10 kg thức ăn cho gà 15 kg thức ăn cho cá Hỏi phải dùng nguyên liệu loại để chi phí nguyên liệu biết kho nguyên liệu nhà máy lại 10 khoai mì ngô Hướng dẫn giải Gọi x , y (tấn) khối lượng khoai mì ngô sử dụng Ta có chi phí nguyên liệu T x, y 4x 3y Theo giả thiết ta có hệ bất phương trình x 10 x 10 0y 9 0y 9 20x 10y 140 2x y 14 6x 15y 90 2x 5y 30 Vẽ đồ thị biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình Khi ta T x, y 32 T 5, 4 Vậy để chi phí thấp nhà máy nên sử dụng khoai mì ngô Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG Bài toán 9: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2 (v1 < v2) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? Hướng dẫn giải Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: AC CD AE CE CD t v1 v2 v1 v2 l h h tan sin v1 v2 D l h.cot h v1 v2 sin Xét hàm số t ( ) A h B E l h.cot h Ứng v1 v2 sin dụng Đạo hàm ta t ( ) nhỏ cos cho cos C v2 Vậy để t nhỏ ta chọn C v1 v2 v1 Bài toán 10 Một nhà sản xuất sơn tường cần thiết kế thùng đựng sơn dạng hình trụ có nắp đậy có dung tích 10000 cm3 Hãy xác định kích thước hình trụ để nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu Hướng dẫn giải Gọi x cm bán kính hình trụ ĐK: x Thể tích hình trụ là: V x h h V 10000 x x2 Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 xh 2 x 2 x 10000 20000 2 x 2 x 2 x x Nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu Diện tích toàn phần hình trụ nhỏ Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG Xét hàm số f x f ' x 20000 2 x 0; x 20000 20000 5000 4 x, f ' x 4 x x3 x 10 2 x x BBT: x f(x) - f’(x) 10 2000 + 5 200 Dựa vào BBT, Stp nhỏ x 10 100 (cm) h 5 3 100 (cm) 25 Nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu thùng sơn hình trụ có bán kính đáy x 10 chiều cao h 100 25 (cm) Bài toán 11 Một công ty TNHH đợt quảng cáo bán khuyến hàng hoá (1 sản phẩm công ty) cần thuê xe để chở 140 người hàng Nơi thuê có hai loại xe A B Trong xe loại A có 10chiếc, xe loại B có Một xe loại A cho thuê với giá triệu, loại B giá triệu Hỏi phải thuê xe loại để chi phí vận chuyển thấp Biết xe A chở tối đa 20 người 0,6 hàng; xe B chở tối đa 10 người 1,5 hàng Hướng dẫn giải Gọi x, y số xe loại A loại B cần phải thuê x, y * Số tiền thuê xe T x y (triệu đồng) Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG 0 x 10 0 y Khi ta hệ phương trình: 20 x 10 y 140 0,6 x 1,5 y Giải hệ phương trình trên, ta tìm miền nghiệm tứ giác ABCD (như hình 5 vẽ), với A ;9 , B 10;9 , C 10;2 , D 5;4 2 T đạt giá trị thấp đỉnh ABCD Vậy cần thuê xe loại A xe loại B Bài 12:Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t là: f(t) = 45t2 – t3 (t = 0, 1, 2, , 25) Nếu coi f hàm số xác định đoạn [0; 25] f’(t) xem tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn tính tốc độ Hướng dẫn giải Bài 13: / Một ảnh hình chữ nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đến mép ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí Bài 14: Trong xưởng khí có sắt kích cỡ dài 7,4 mét Người chủ muốn thợ cắt sắt thành đoạn 0,7 mét 0,5 mét để tiện cho việc sử dụng Công việc cần 1000 đoạn 0,7 mét 2000 đoạn 0,5 mét Hãy trình bày phương án cắt sắt cho tiết kiệm vật liệu Bài 15: Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB = 5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đò từ A đến điểm M bờ biển với vận tốc 4km/h đến C với vận tốc 6km/h Xác định vị trí M để người canh hải đăng đến kho nhanh Sưu tầm biên soạn Trang Tiền (01679629666) Tài Liệu nâng cao ôn thi THPTQG