THÔNG TIN TÀI LIỆU
NHÓM THỰC HIỆN Dương Minh Chí (Biên tập) Võ Hồi Bảo Huỳnh Nguyễn Minh Tú Phạm Anh Thư Hồ Ngọc Trâm Nguyễn Bích Vi Lê Hữu Trí (Kĩ thuật) Trần Chí Thiên Nguyễn Phước Hiện Nguyễn Thanh Vi Trần Thị Anh Thư Nguyễn Thị Quế Chi Giáo Viên: Huỳnh Chí Hào Λ⎮⎠ι νο⎤ι 〉α◊υ Mảng tốn hệ phương trình mảng tốn khơng khó lắm, lại có nhiều dạng nhiều cách giải khác nhau, thời gian gần (từ 2002 đến 2010) đề thi Cao đẳng Đại học thường cho mà đỉnh điểm năm 2010 đề thi khối A khối B đề có câu này, đa số học sinh bỡ ngỡ chưa luyện giải loại Nay nhóm soạn chun đề Hệ phương trình nhằm giúp bạn có tài liệu tham khảo ơn tập Trong chuyện đề nhóm chia loại để bạn thuận tiện việc tham khảo Trong chun đề bạn gặp số cách giải hay, ngắn gọn xác Mặc dù cố gắng biên soạn, khơng thể tránh khỏi vài thiếu sót, mong bạn góp ý thơng cảm để chun đề hồn thiện Nhóm http://www.ebook.edu.vn Phần MucLuc & & Trang CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƠNG THƯỜNG §1 Hệ phương trình bậc hai ẩn…………………… §2 Hệ phương trình bậc ba ẩn………………………9 §3 Hệ phương trình đối xứng loại I…………………….16 §4 Hệ phương trình đối xứng loại II……………………24 §5 Hệ phương trình đng cấp bậc hai……………………30 Phần CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC §1 Hệ phương trình bậc cao hai ẩn…………………… 36 §2 Hệ phương trình vơ tỉ …………………………… 40 §3 Hệ phương trình khơng mẫu mực.………………… 47 §4 Hệ phương trình dùng phương pháp hình học vectơ 56 §5 Hệ phương trình kì thi…………………….60 Πηα◊ν Các Hệ Phương Trình Thông Thường http://www.ebook.edu.vn §1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1/ Dạng: ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩a2 x + b2 y = c2 Cách giải: phép thế, phép cộng Phép thế: ⎧x + y = ⎨ ⎩2 x − y = Ví dụ 1: (1) Giải (1 ) ⇔ ⎧x = 1− 2y ⎧x = 1− 2y ⇔ ⎨ ⎨ ⎩2 x − y = ⎩ 2(1 − y ) − y = ⎧ ⎛ −1 ⎞ x = 1− 2⎜ ⎧x = 1− 2y ⎟= ⎪ ⎪ ⎪ ⎠ ⎝ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ −1 ⎪⎩ y = ⎪ y = −1 ⎪⎩ ⎛ ⎝ 1⎞ Vậy ( x; y ) = ⎜ x = ; y = − ⎟ 5 ⎠ Phép cộng: Ví dụ 2: ⎧ −2 x + y = ⎧−2 x + y = ⇔⎨ ⎨ ⎩x − 3y = ⎩2 x − y = 12 Cộng vế phương trình lại, ta có: − y = 17 ⇔y=− 17 −27 27 17 ⎞ ⎛ Vậy ( x; y ) = ⎜ x = − ; y = − ⎟ 4⎠ ⎝ Giải hệ phương trình (1) ta x = 2/ Giải biện luận phương trình: Bước 1: Tính định thức: D = a1 b1 a2 b2 = a1b2 − a2 b1 (gọi định thức hệ) Dx = c1 b1 c2 b2 = c1b2 − c2 b1 (gọi định thức x) Dy = a1 c1 a c2 = a1c2 − a2 c1 (gọi định thức y) http://www.ebook.edu.vn Bước 2: Biện luận: Nếu D ≠ hệ có nghiệm nhất: x= Dx D Dy ;y = D Nếu D = Dx ≠ v Dy ≠ hệ vơ nghiệm Nếu D = Dx = Dy = hệ có vơ số nghiệm vơ nghiệm Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ⎧5 x − y = −9 ⎨ ⎩4 x + y = D= Ta có: D x= x D = Dx = Dy = −23 23 −2 −9 − 2 −9 = −1; = 15 + = 23 = −27 + = −23 = 10 + 36 = 46 y= Dy D = 46 23 =2 Vậy nghiệm hệ phương trình (–1;2) Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phương trình: ⎧ mx + y = m + ⎨ ⎩ x + my = Giải D= Dx = Dy = m 1 m m +1 m m m +1 2 = m − = ( m + 1)( m − 1) = m + m − = ( m − 1)( m + 2) = 2m − m − = m − Biện luận: Nếu D ≠ ⇔ m ≠ ±1 hệ phương trình m+2 ⎧ ⎪⎪ x = m + có nghiệm ⎨ ⎪y = ⎪⎩ m +1 Nếu D = ⇔ m = ±1 thì: Khi m = ta hệ phương trình: ⎧x + y = ⎨ ⎩x + y = ⇔ x+ y =2 ⎧ x = x0 Hệ có vơ số nghiệm: ⎨ ⎩ y = − x0 http://www.ebook.edu.vn ( x0 ∈ ) Khi m = –1 ta hệ phương trình: ⎧− x + y = ⎨ ⎩x − y = ⎧x − y = (VN) x − y = ⎩ ⇔⎨ 3/ Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: ⎧ 3( x + y ) + = 2( x − y ) ⎨ ⎩2( x + y ) = 3( x − y ) − 11 ( 2) Giải ⎧3( x + y ) − 2( x − y ) = −9 ( ) ⇔ ⎨2( x + y) − 3( x − y) = −11 ⎩ Đặt u = x + y; v=x–y Ta có hệ phương trình: ⎧3u − 2v = −9 ⎧u = − ⇔⎨ ⎨ ⎩ 2u − 3v = −11 ⎩v = ⎧ x + y = −1 ⎧x = ⇒⎨ ⇔⎨ ⎩x − y = ⎩ y = −2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1; –2) §2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 1/ Các phương pháp chung: Ngun tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn biến đổi hệ phương trình cho thành hệ tương đương hệ phương trình hệ dễ giải hơn, (trong có phương trình với số ẩn ngày ít) Để đạt điều ta thường dùng: -Phương pháp cộng đại số -Phương pháp Nếu có dùng phép biến đổi khơng tương đương cần phải thử lại giá trị tìm ẩn Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : ⎧ x + y = 3z ⎪ (I ) ⎨ x2 + y = 5z ⎪ x3 + y = z ⎩ Giải ⎧ ⎪ x + y = 3z ⎧ x + y = 3z ⎪ ⎪ ( I ) ⇔ ⎨( x + y ) −2 xy = z ⇔ ⎨9 z − z = xy ⎪( x + y )3 − xy ( x + y ) = z ⎪ ⎩ ⎪27 z − z z − z = z ⎩ ⎧ x + y = 3z ⎪ ⇔ ⎨2 xy = z − z ⎪3 z − z + z = ⎩ http://www.ebook.edu.vn ⎧ ⎪ x + y = 3z ⎪ ⇔ ⎨2 xy = z − z ⎪ ⎪z = ∨ z = 1∨ z = ⎩ Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau: ⎧ 2x2 =y ⎪ + x ⎪ ⎪ y3 =z ⎨ ⎪ y + y +1 ⎪ 4z4 =x ⎪ ⎩ z + z4 + z2 +1 Giải Vì 2x = y ≥ nên xảy hai trường hợp sau: x2 + Với y = 0, x = y = z = Vậy ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) nghiệm hệ phương trình Với y > 0, x > 0, z > x2 Dễ thấy x + ≥ x nên ≤ x hay y ≤ x x +1 2 Theo BĐT Cauchy, ta có: y + y + ≥ 3 y y = y ⇒ 3y2 ≤ y hay z ≤ y y4 + y2 +1 Từ phương trình thứ hệ suy x ≤ z Vậy x ≤ y ≤ z ≤ x , điều xảy ⇔ x = y = z Thay vào phương trình đầu ta x = y = z = (thoả) Vậy nghiệm hệ ( x; y; z ) = ( 0;0;0 )(1;1;1) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Giải hệ phương trình sau: ⎧ 4x + + y + + 4z + = ⎪⎧( x − 1) y + ( y − 1) x = xy a) ⎨ b) ⎨ ⎩x + y + z = ⎩⎪ x y − + y x − = xy http://www.ebook.edu.vn 55 §4 SỬ DỤNG VÉCTƠ ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Một vài bất đẳng thức vectơ thơng dụng: ur ur Trong mặt phẳng khơng gian cho hai véc tơ a, b ; ta có: r r r r | a + b | ≤ | a | + | b | (1) r r r r * Dấu " = " xảy ⇔ a ↑↑ b ⇔ ∃k ∈ + : a = kb r hai véc tơ r r r r | a − b | ≥ | a | − | b | ( 2) r r r r Dấu " = " xảy ⇔ a ↑↓ b ⇔ ∃k ∈ *− : a = kb r hai véc tơ r r rr − | u | | v |≤ u.v ( 3) r r r r Dấu " = " xảy ⇔ a ↑↓ b ⇔ ∃k ∈ *− : a = kb r hai véc tơ rr r r u.v ≤| u | | v | ( 4) r r r r * Dấu " = " xảy ⇔ a ↑↑ b ⇔ ∃k ∈ + : a = kb r hai véc tơ 56 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: ⎧x + y + z = ⎪ 2 ⎨x + y + z = ⎪ 2011 + y 2011 + z 2011 = ⎩x ( I) Giải ur Xét ur u = ( x; y; z ), v = (1;1;1) Khi ta có: ur u = x2 + y + z = ur v = 12 + 12 + 12 = ur ur ur ur ur ur ur ur Mà u.v = x + y + z = ⇒ u.v = u v = Vậy u phương với v ⇔ x y z = = >0 1 ⇔ x= y= z>0 Kết hợp với (I) ta có x = y = z = nghiệm hệ http://www.ebook.edu.vn 57 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ⎧ x + y = − y( x + z) ⎪⎪ ⎨ x + x + y = −2 yz ⎪ 2 ⎪⎩3x + y + xy + yz = x + z + Giải ⎧ x( x + y ) + y ( y + z ) = ⎪ ⇔ ⎨ x( x + 1) + y (2 z + 1) = ⎪ 2 2 ⎩4( x + y ) + 4( y + z ) = ( x + 1) + (2 z + 1) ur Xét: ur ur a = ( x; y ); b = ( x + y; y + z ); c = ( x + 1;2 z + 1) ur ur ur ur ur2 ur2 ⇒ a.b = 0; a.c = 0; 4b = c ur ur ur r Nếu a = x = y = 0; z = − ur ur ur ur ur ⎛ 1⎞ ur ur ur ⇒ c = ±2b Nếu a ≠ b c phương Xét trường hợp c = 2b c = −2b Ta có x = 0; y = 1 ;z= − 2 ⎛ 1⎞ Vậy hệ có nghiệm ⎜ 0;0; − ⎟ ⎜ 0; ; − ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 58 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải hệ phương trình sau: ⎧( x + y ) + x + y + − x − y = ( x + y ) + ⎪⎪ ⎨x + y ≥ ⎪ ⎪⎩ x − y = − Bài 2: Chứng minh hệ phương trình sau vơ nghiệm: ⎧⎪ x + y + z = ⎨ 2 ⎪⎩ x + y + z = Bài 3: Giải hệ phương trình sau: ⎧x + y + z = ⎪ 2 ⎨x + y + z = ⎪ x 2009 + y 2009 + z 2009 = ⎩ Bài 4: Giải hệ phương trình sau: ⎧ 2009 ⎪ + x1 + + x2 + + + x2008 = 2008 2008 ⎪ ⎨ 2007 ⎪ − x + − x + + − x = 2008 2008 ⎪⎩ 2008 http://www.ebook.edu.vn 59 §5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC KÌ THI Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ⎧ xy + x + = y ( x, y ∈ ⎨ 2 + + = x y xy 13 y ⎩ ) (Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B 2009) Giải Dễ thấy y = khơng nghiệm nên hệ cho tương đương với x ⎧ x ⎧ x + + =7 x + + = ⎪ ⎪ y y y y ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎨ ⎪ x + x + = 13 ⎪⎛ x + ⎞ − x = 13 ⎪⎩ ⎪⎜⎝ y y2 y ⎟⎠ y ⎩ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ Suy ⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ − 20 = y⎠ ⎝ y⎠ ⎝ ⎧ ⎪ x + = −5 y x + = −5 ⇒ ⎨ y ⎪ x = 12 y ⎩ (hệ vơ nghiệm) ⎧ ⎪x + = y x+ =4 ⇒⎨ y ⎪x = 3y ⎩ Vậy trường hợp này, hệ có hai nghiệm ⎛ 1⎞ (x;y) = ⎜ 1; ⎟ ; (3;1) ⎝ 3⎠ 60 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ⎧ x y x y xy xy + + + + = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ x + y + xy (1 + x ) = − ⎪⎩ ( x, y ∈ ) (Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2008) Giải Hệ phương trình cho tương đương ⎧ 2 ⎪⎪ x + x + xy ( x + y ) + xy = − ⎨ ⎪( x + y )2 + xy = − ⎪⎩ Suy x + y + xy ( x + y ) = ( x + y ) ⇔ ( x + y )( x + y − − xy ) = Với Với ⎧ ⎧ x2 + y = ⎪ x = ⎪ ⎪ x2 + y = ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⎪⎩ xy = − ⎪y = ⎪⎩ 25 16 ⎧ x + y = − ⎧x = ⎪⎪ ⎪ 2 x + y − − xy = ⇒ ⎨ ⇒⎨ 3 ⎪ xy = − ⎪⎩ y = − ⎪⎩ ⎛ 25 ⎞ ⎛ ⎞ Vậy nghiệm hệ (x;y) = ⎜ ; ⎟ , ⎜ 1; − ⎟ 16 ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ http://www.ebook.edu.vn 61 Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực: 1 ⎧ x + + y + =5 ⎪ x y ⎪ ⎨ ⎪ x + + y + = 15m − 10 ⎪⎩ x3 y3 (Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D 2007) Giải Đặt x + x = a; y + y = b ( a ≥ 2, b ≥ ) Hệ phương trình cho trở thành ⎧a + b = ⎧a + b = ⇔⎨ ⎨ 3 ⎩a + b − 3(a + b) = 15m − 10 ⎩ab = − m Do a, b nghiệm phương trình X − X + − m = ( *) Hệ phương trình cho có nghiệm PT (*) có hai nghiệm X1, X2 thỏa x1 ≥ 2, x2 ≥ Vậy ≤ m ≤ ∨ m ≥ 22 62 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: ⎧ 1⎛ ⎞ ⎪ x1 = ⎜ x2 + ⎟ 2⎝ x2 ⎠ ⎪ ⎪ ⎪⎪ x = ⎛⎜ x + ⎞⎟ 2⎝ x3 ⎠ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎛ 1⎞ ⎪ x2002 = ⎜ x1 + ⎟ 2⎝ x1 ⎠ ⎪⎩ (Olympic 30/4/2002 THPT Chun Lê Hồng Phong) Giải Nhận xét: Nếu ( x1 , x2 , , x2002 ) nghiệm x1 , x2 , , x2002 phải dấu khác Đồng thời ( − x1 , − x2 , , − x2002 ) nghiệm, nên ta cần xét với x1 , x2 , , x2002 dương ≥ 2, ( i = 1,2, ,2002) (1) xi Từ phương trình hệ (1), ta được: Theo bất đẳng thức Cauchy: xi + 2xi ≥ hay xi ≥ ( 2) Mặt khác cộng phương trình hệ thì: x1 + x2 + + x2002 = x1 + x2 + + x2002 ( 3) Từ (2) (3) ta được: x1 = x2 = = x2002 = ⎡ x1 = x2 = = x2002 = Kết quả: Hệ có nghiệm ⎢ ⎣ x1 = x2 = = x2002 = −1 http://www.ebook.edu.vn 63 TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B 2002: ⎧⎪ x − y = x − y Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎩ x + y = x + y + ⎛3 1⎞ ⎝ ⎠ Kết quả: ( x; y ) = (1;1) , ⎜ ; ⎟ 2 Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2003: 1 ⎧ ⎪x − x = y − y Giải hệ phương trình ⎨ ⎪2 y = x3 + ⎩ Kết quả: ⎛ −1 + −1 + ⎞ ⎛ −1 − −1 − ⎞ ; ; ⎟,⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( x; y ) = (1;1) , ⎜ Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D 2004: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ⎧⎪ x + y = ( x, y ∈ ) ⎨ ⎪⎩ x x + y y = − 3m Kết quả: ≤ m ≤ 64 Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2006: ⎧⎪ x + y − xy = Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎩ x + + y + = Kết quả: ( x; y ) = (1;1) Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B 2008: ⎧ x + x3 y + x y = x + Giải hệ phương trình ⎨ ( x, y ∈ ) x xy x 6 + = + ⎩ ⎛ ⎝ Kết quả: ( x; y ) = ⎜ −4; 17 ⎞ ⎟ 4⎠ Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D 2009: ⎧ x ( x + y + 1) − = ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ ( x; y ∈ =0 ⎪( x + y ) − ⎩ x +1 ( x; y ) = (1;1) , ⎛⎜ 2; − ⎝ ) 3⎞ ⎟ 2⎠ Tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2010: Giải hệ phương ⎧⎪( x + 1) x + ( y − ) − y = trình ⎨ ( x; y ∈ ) 2 x y x + + − = ⎪⎩ ⎛1 ⎝ ⎞ ⎠ Kết quả: ( x; y ) = ⎜ ;2 ⎟ http://www.ebook.edu.vn 65 OLYMPIC 30/4 Olympic 30/4/1998 THPT Chun Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh: ⎧ax + bx + c = ⎪ Giải hệ phương trình ⎨bx + cx + a = 26 ⎪ ⎩cx + ax + b = −26 (1) ( 2) ( 3) Hướng dẫn: Cộng (1), (2) (3) vế theo vế ta có: ( a + b + c ) ( x + x + 1) = ⇒ a + b + c = (Vì (1) ⇒ x = x + x + > ∀x ) c ∨ x = (khơng thoả (2), (3) nên loại) a ⇒ ax = c thay vào (2) tìm a biện luận tìm b, c Kết quả: ( −1; 4; −3) , (13;0; −13) , ( 26; −26;0 ) số cần tìm Olympic 30/4/2000 THPT Chun Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh: ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ − ⎟ 2y = y + 42 x ⎠ ⎪⎝ Giải hệ phương trình ⎨ ⎞ ⎪⎛ + ⎜ ⎟ x =2 ⎪⎝ + y x 42 ⎠ ⎩ 66 Hướng dẫn: Tìm điều kiện, sau viết lại thành: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ − = x y y + 42 x (1) + =3 x y ( 2) ⇒ 15 − = x y y + 42 x Tìm y theo x sau vào (2) ta tìm dược nghiệm hệ ⎛5+2 5+2 ⎞ ; ⎟ 27 ⎝ ⎠ Kết quả: ( x; y ) = ⎜ Olympic 30/4/2005 THPT Chun Lê Q Đơn – TP Đà Nẵng: ⎧ x ( y + z )2 = ( x + x + 1) y z ⎪ ⎪ 2 2 ⎨ y ( z + x ) = ( y + y + 1) z x ⎪ 2 2 ⎪⎩ z ( x + y ) = ( z + z + 1) x y (1) ( 2) ( 3) Hướng dẫn: Chia làm trường hợp: Trường hợp 1: xyz = Trường hợp 2: xyz ≠ Kết quả: Hệ có nghiệm là: ( x; 0; ) , ( 0; y; 0) , ( 0; z; 0) ( ∀x, y, z ∈ ) ⎛⎜ 9⎞ ⎛ 5⎞ ; ; ⎟ , ⎜ − ; −1; − ⎟ 4⎠ ⎝ 13 11 ⎠ ⎝ http://www.ebook.edu.vn 67 Olympic 30/4/2007 Huế: xy ⎧ 2 ⎪ x + y + x + y = 16 Giải hệ phương trình ⎨ ⎪ x + y = x2 − y ⎩ Kết quả: ( x; y ) = ( 2; ) , ( −3;7 ) Olympic 30/4/2008 THPT Chun Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh: ⎧x + y − z = ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ x + y − z = 37 ⎪ x3 + y − z = ⎩ Kết quả: ( x; y ) = ( 9;10;12 ) , (10;9;12 ) Olympic 30/4/2009 THPT Chun Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh: ⎧2 x3 + x − 18 = y + y ⎪ Giải hệ phương trình ⎨2 y + y − 18 = z + z ⎪2 z + z − 18 = x3 + x ⎩ 68 Hướng dẫn: Đặt f (t ) = 2t + 3t − 18 g (t ) = t + t ⎧ f ( x) = g ( y ) ⎪ phương trình viết lại: ⎨ f ( y ) = g ( z ) ⎪ f ( z ) = g ( x) ⎩ ⎧x ≥ y ⎧ g ( x) ≥ g ( y ) ⇔⎨ ⎩x ≥ z ⎩ g ( x) ≥ g ( z ) Giả sử x = max ( x, y, z ) ⎨ ⎧ g ( x) ≥ f ( y ) ⎩ g ( x) ≥ f ( z ) Do hàm số đồng biến ⇒ ⎨ Kết quả: Hệ có nghiệm ( x; y; z ) = ( 2; 2; ) Olympic 30/4/2010 THPT Chun Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh: ⎧1 ⎪x + y = ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎛⎜ + ⎞⎟ ⎛1 + ⎞ ⎛1 + ⎞ = 18 ⎟ ⎪⎜ x y ⎟ ⎜⎝ x ⎟⎜ y⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎩⎝ Hướng dẫn: Đặt a = 1 = ; b 3 y x ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ Kết quả: ( x; y ) = ⎜ 1; ⎟ , ⎜ ;1⎟ ⎝ 8⎠ ⎝8 ⎠ http://www.ebook.edu.vn 69
Ngày đăng: 27/09/2016, 11:19
Xem thêm: