Chuyên đề hệ phương trình đại số

Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 1 Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN I. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng. Phương trình n ẩn x 1 , x 2 , , x n gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x i bởi x j ; x j bởi x i thì phương trình không thay đổi. Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng: x 1 + x 2 + + x n x 1 x 2 + x 1 x 3 + + x 1 x n + x 2 x 1 + x 2 x 3 + + x n-1 x n x 1 x 2 x n Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng. Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét. * Nếu đa thức F(x) = a 0 x n + a 1 x n 1 + a n , a 0 ≠ 0, a i P có nhgiệm trên P là c 1 , , c n thì: 1 12 0 2 1 2 1 3 1 2 1 2 3 -1 0 11 0 ( 1) . n n n n n n n a c c c a a c c c c c c c c c c c c a a c c c a (Định lý Viét tổng quát) Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn: A. LÝ THUUYẾT 1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2: Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì: 12 12 . b S x x a c P x x a Ngược lại, nếu 2 số x 1 , x 2 có 12 12 . x x S x x P thì x 1 , x 2 là nghệm của phương trình X 2 SX + P = 0. 2. Định nghĩa: ( , ) 0 ( , ) 0 f x y g x y , trong đó ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) f x y f y x g x y g y x 3.Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 4SP . Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y. Chú ý: + Cần nhớ: x 2 + y 2 = S 2 – 2P, x 3 + y 3 = S 3 – 3SP. + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. + Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ. 4. Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 22 33 30 35 x y xy xy . Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 2 GIẢI Đặt S , Px y xy , điều kiện 2 4SP . Hệ phương trình trở thành: 2 2 30 P SP 30 S 90 S(S 3P) 35 S S 35 S í ï ï = ï í = ï ï ïï Û ìì æö ïï -= ÷ ç ïï î -= ÷ ç ï ÷ ç ÷ ï èø ï î S 5 x y 5 x 2 x 3 P 6 xy 6 y 3 y 2 í í í í = + = = = ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û Ú ì ì ì ì ï ï ï ï = = = = ï ï ï ï î î î î . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 33 ( ) 2 2 xy x y xy . GIẢI Đặt , , t y S x t P xt , điều kiện 2 4SP Hệ phương trình trở thành: 3 3 3 xt(x t) 2 SP 2 x t 2 S 3SP 2 íí + = = ïï ïï Û ìì ïï + = - = ïï îî S 2 x 1 x 1 P 1 t 1 y 1 í í í = = = ï ï ï ï ï ï Û Û Û ì ì ì ï ï ï = = = - ï ï ï î î î . Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 22 22 11 4 11 4 xy xy xy xy . GIẢI Điều kiện 0, 0xy . Hệ phương trình tương đương với: 22 11 x y 4 xy 11 x y 8 xy í æ ö æ ö ï ÷÷ çç ï + + + = ÷÷ çç ï ÷÷ çç ÷÷ ï è ø è ø ï ì ï æ ö æ ö ï ÷÷ çç + + + = ÷÷ ï çç ÷÷ ï çç ÷÷ è ø è ø ï î Đặt 2 1 1 1 1 S x y , P x y , S 4P x y x y æ ö æ ö æ öæ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + = + + ³ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ è ø è ø è øè ø ta có: 2 11 x y 4 S4 S4 xy P 4 1 1 S 2P 8 x y 4 xy í æ ö æ ö ï ÷÷ çç ï + + + = ÷÷ çç ï í í ÷÷ = ï= ï çç ÷÷ ï è ø è ø ï ï ï ÛÛ ì ì ì æ öæ ö ï ï ï = -= ÷÷ çç ï ï ï î î + + = ÷÷ çç ï ÷÷ çç ÷÷ ï è øè ø ï î 1 x2 x1 x 1 y1 y2 y í ï ï += ï í = ï ï ïï ÛÛ ìì ïï = ïï î += ï ï ï î . Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 22 2 8 2 (1) 4 (2) x y xy xy . GIẢI Điều kiện ,0xy . Đặt 0t xy , ta có: 2 xy t= và (2) x y 16 2tÞ + = - . Thế vào (1), ta được: 2 t 32t 128 8 t t 4- + = - Û = Suy ra: xy 16 x 4 x y 8 y 4 íí == ïï ïï Û ìì ïï + = = ïï îî . Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm Phương pháp giải chung: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). + Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2 4SP (*). Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 3 + Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 1 13 xy x x y y m . GIẢI Điều kiện ,0xy ta có: 33 x y 1 x y 1 x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m íí ïï + = + = ïï ïï Û ìì ïï + = - + = - ïï ïï îî Đặt S x y 0, P xy 0= + ³ = ³ , 2 S 4P.³ Hệ phương trình trở thành: 3 S1 S1 Pm S 3SP 1 3m í í = ï= ï ïï Û ìì ïï = - = - ïï î î . Từ điều kiện 2 S 0, P 0,S 4P³ ³ ³ ta có 1 0m 4 ££ . Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 22 39 x y xy m x y xy m có nghiệm thực. GIẢI 22 x y xy m (x y) xy m xy(x y) 3m 9 x y xy 3m 9 í í + + = ï + + = ï ïï Û ìì ïï + = - + = - ïï î î . Đặt S = x + y, P = xy, 2 S 4P.³ Hệ phương trình trở thành: S P m SP 3m 9 í += ï ï ì ï =- ï î . Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2 t mt 3m 9 0- + - = S 3 S m 3 P m 3 P 3 íí = = - ïï ïï ÞÚ ìì ïï = - = ïï îî . Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm 2 2 3 4(m 3) 21 m m 3 2 3 (m 3) 12 4 é ³- ê Û Û £ Ú ³ + ê -³ ê ë . Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 4 1 4 3 xy x y m có nghiệm. GIẢI Đặt u x 4 0, v y 1 0= - ³ = - ³ hệ trở thành: 22 u v 4 u v 4 21 3m u v 3m 5 uv 2 í += ï í ï += ï ï ï Û ìì - ïï + = - = ïï î ï î . Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m t 4t 0 2 - - + = (*). Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm. / 3m 13 0 0 13 2 S 0 m 7 21 3m 3 0 P0 2 í í - ï ï D³ ï ï ³ ï ï ï ïï Û ³ Û Û £ £ ìì ïï - ïï ³ ³ ïï ïï î ï î . Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 4 Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 22 4 4 10 ( 4)( 4) x y x y xy x y m có nghiệm thực. GIẢI 22 22 22 (x 4x) (y 4y) 10 x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m í í ï ï + + + = + + + = ï ï Û ìì ïï + + = + + = ïï î î . Đặt 22 u (x 2) 0, v (y 2) 0= + ³ = + ³ . Hệ phương trình trở thành: u v 10 S 10 uv 4(u v) m 16 P m 24 íí + = = ïï ïï Û ìì ïï - + = - = + ïï îî (S = u + v, P = uv). Điều kiện 2 S 4P S 0 24 m 1 P0 í ï ³ ï ï ï ³ Û - £ £ ì ï ï ³ ï ï î . Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình. Ví dụ. Giải phương trình: 33 3 1 2 xx . GIẢI Đặt: 3 3 xu 1 x v . Vậy ta có hệ: 33 3 uv 2 u v 1 2 3 uv 2 (u v) (u v) 3uv 1 3 u+v = 2 19 u.v = 36 u, v là hai nghiệm của phương trình: 2 3 19 X - X + = 0 2 36 9+ 5 u = 12 9 - 5 u = 12 3 3 9 + 5 x = 12 9 - 5 x = 12 Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} = 33 9 5 9 5 ; 12 12 . B. BÀI TẬP I. Giải các hệ phương trình sau: 1) 44 66 1 1 xy xy 2) 22 4 2 2 4 5 13 xy x x y y 3) 30 35 x y y x x x y y 4) 22 4 2 8 2 xy x y xy 5) 22 18 ( 1)( 1) 72 x x y y xy x y 6) 22 22 1 15 1 1 49 xy xy xy xy 7) 22 22 11 4 11 4 xy xy xy xy 8) 7 1 78 y x yx xy x xy y xy 9) 2 2 3 3 4 280 xy x y x y Chuyờn : H phng trỡnh i s 5 10) 66 33 2 33 xy x x y y II. Gi h phng trỡnh cú tham s: 1. . Tỡm giỏ tr ca m: a) 5 4 4 1 x y xy x y xy m cú nghim. b) 22 2 1 x y xy m x y xy m cú nghim duy nht. c) 2 22 4 21 xy x y m cú ỳng hai nghim. 2. 22 x xy y m x y m (1II) a. Gii h phng trỡnh khi m = 5. b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim. 3. 22 38 x xy y m x y xy m (7I) a Gii h phng trỡnh khi m = 7/2. b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim. 4. 22 1x xy y m x y xy m (40II) a. Gii h phng trỡnh khi m=2. b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x;y) vi x >0, y >0. III. Gii phng trỡnh bng cỏch a v h phng trỡnh: 1. Gii phng trỡnh: 44 1 18 3xx . 2. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim: a. 11x x m b. m x m x m c. 33 11x x m Phn 3 H phng trỡnh i xng loi 1 ba n: (c thờm) a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các ph-ơng trình trong hệ là đối xứng. b. Định lý Vi-et cho ph-ơng trình bậc 3: Cho 3 số x, y, z có: x + y + z = xy + yz + zx = xyz = Thì x, y, z ;à nghiệm của ph-ơng trình X 3 - X 2 + X - = 0. (*) Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0 [ X 2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0 X 3 - X 2 z - X 2 (x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0 X 3 - X 2 + X - = 0. (*) có nghiệm là x, y, z ph-ơng trình X 3 - X 2 + X - = 0 có 3 nghiệm là x, y, z. c.Cách giải: + Do các ph-ơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đ-ợc d-ới dạng , , Chuyờn : H phng trỡnh i s 6 Khi đó ta đặt x + y + z = xy + yz + zx = xyz = Ta đ-ợc hệ của , , . + Giải ph-ơng trình X 3 - X 2 + X - = 0 (1) tìm đ-ợc nghiệm (x, y, z) của hệ. Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất hệ vô nghiệm. (1) có 1 nghiệm kép duy nhất hệ có nghiệm. (1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn hệ có 3 nghiệm. (1) có 3 ngiệm hệ có 6 nghiệm. d. Bài tập: VD1: Giải hệ: 2 2 2 3 3 3 x + y + z = 2 x + y + z = 6 x + y + z = 8 Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có: x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 - 2(xy + yz + zx). x 3 + y 3 + z 3 = (x + y + z) 3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz. Vậy 6 = 2 2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1. 8 = 2 3 - 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2. x, y, z là nghiệm của ph-ơng trình:t 3 - 2t 2 - t + 2 = 0 t = 1 t = - 1 t = 2 Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1). VD2: Giải hệ x + y + z = 9 (1) xy + yz + zx = 27 (2) 1 1 1 + + = 1 (3) x y z Giải: ĐK: x, y, z 0. Từ (3) xy + yz + zx = 1 xyz Do (2) xyz = 27 Vậy hệ x + y + z = 9 xy + yz + zx = 27 xyz = 27 Do đó (x; y; z) là nghiệm của ph-ơng trình: X 3 - 9X 2 + 27X - 27 = 0 (X - 3) 3 = 0 X = 3. Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3). VD3: Giải hệ 2 2 2 2 3 3 3 3 x + y + z = a x + y + z = a x + y + z = a Giải: x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 - 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 0. Chuyờn : H phng trỡnh i s 7 x 3 + y 3 + z 3 = (x + y + z) 3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz xyz = 0. Vậy có: x + y + z = 0 xy + yz + zx = 0 0xyz (x; y; z) là nghiệm của ph-ơng trình: X 3 - aX 2 = 0 X = 0 X = a Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)} e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần l-u ý khi giải hệ loại này + Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đ-a ra đ-ợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm đ-ợc nghiệm nên thử lại. + Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo ph-ơng trình cộng, thế. VD: x + y + z = 9 (1) xy + yz + zx = 27 (2) 1 1 1 + + = 1 (3) x y z Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ Với x 0, y 0, z 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4). Từ (2) và (4) xyz = 27 (5) Từ (2) x 2 (y + z) + xyz = 27x (6) Từ (1), (5), (6) ta có: x 2 (9 - x) + 27 - 27x = 0 x 3 - 9x 2 + 27x - 27 = 0 (x - 3) 3 = 0 x = 3 Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: y + z =6 yz = 9 y = z = 3. Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3. II. H phng trỡnh i xng loi 2: 1. H phng trỡnh i xng loi 2 hai n: A. nh gha: ( , ) 0 1 ( , ) 0 2 f x y f y x Cỏch gii: Ly (1) (2) hoc (2) (1) ta c: (x y)g(x,y)=0. Khi ú x y=0 hoc g(x,y)=0. + Trng hp 1: x y=0 kt hp vi phng trỡnh (1) hoc (2) suy ra c nghim. + Trng hp 2: g(x,y)=0 kt hp vi phng trỡnh (1) + (2) suy ra nghim (trong trng hp ny h phng trỡnh mi tr v h i xng loi 1) v thụng thng vụ nghim. B. Cỏc vớ d: Vớ d 1: Gii h phng trỡnh 3 3 3 8 1 3 8 2 x x y y y x (I) GII Ly (1) (2) ta c: 22 (x - y)(x + xy + y + 5) = 0 Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 8 Trường hợp 1: (I) 3 x = 3x + 8y x = y 3 x = 0 x - 11x = 0 x = ± 11 x = y x = y . Trường hợp 2: (I) 22 33 x +xy+y +5=0 x +y =11 x+y (hệ này vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm: (x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 4 4 11 11 xy yx GIẢI Đặt: 4 4 x - 1 = u 0; y - 1 = v 0 Hệ phương trình trở thành 44 44 u + 1 + v = 1 u + v = 0 v + 1 + u = 1 v + u = 0 u = 0 v = 0 (Do u, v ≥ 0) x = 1 y = 1 . Vậy hệ có nghiệm (1,1) Ví dụ 2: Cho hệ phương trình 2 2 x y y m y x x m (I) a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Giải (I) 22 2 2 22 22 x = ± y x - y = y - y - x + x x = y - y + m x = y - y + m x = y x = y x = y - y + m x - 2x + m = 0 x = - y x = - y x = y - y + m y + m = 0 a) Hệ phương trình có nghiệm ' x ' y Δ 0 1 - m 0 m 1 m0 - m 0 m 0 Δ 0 b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ' x ' y ' x ' y Δ = 0 Δ < 0 Δ < 0 Δ = 0 1 - m = 0 - m < 0 1 - m < 0 - m = 0 m = 1. Vậy m = 1. Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 3 1 2 2 1xx . GIẢI Đặt 3 2x - 1 = t 2x - 1 = t 3 . Ta có hệ 3 3 x + 1 = 2t t + 1 = 2x 3 22 x + 1 = 2t (x - t)(x + xt + t + 1) = 0 3 x - 2x + 1 = 0 x = t Chuyờn : H phng trỡnh i s 9 2 (x - 1)(x + x - 1) = 0 x = t x = 1 - 1 5 x = 2 Vy phng trỡnh cú 3 nghim: 1; - 1 5 2 . C. Bi tp: 1.Gii cỏc h phng trỡnh sau: a. 13 2 13 2 x yx y xy b. 2 2 3 2 3 2 xy x yx y c. 3 3 12 12 xy yx d. 99 99 xy yx e. 22 22 xy yx g. 5 2 7 5 2 7 xy yx 2. Cho h phng trỡnh 2 2 ( ) 2 ( ) 2 x x y m y x y m . a. Gii h vi m = 0. b. Tỡm m h cú nghim duy nht. 3. Tỡm m h: 3 2 2 3 2 2 7 7 x y x mx y x y my cú nghim duy nht. 4. Gii cỏc phng trỡnh: a. 2 55xx . b. 3 3 3 3 2 2xx . 2. Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: ( Đọc thêm ) A. Dùng chủ yếu là ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng bằng phép cộng và thế. Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải. B. Ví dụ: Giải hệ 2 2 2 x + 2yz = x (1) y + 2zx = y (2) z + 2xy = z (3) Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho t-ơng đ-ơng với hệ 2 2 x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0 Hệ này đ-ơng t-ơng với 4 hệ sau: 22 x + 2yz = x x + 2yz = x x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II) x =y x + y - 2z - 1 = 0 22 x + 2yz = x x + 2yz = x x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV) x =y x + y - 2z - 1 = 0 Chuyờn : H phng trỡnh i s 10 Giải (I): (I) 2 x + 2yz = x 2y + z = 0 x = y 2 x + 2yz = x z = - 2x x = y 22 x - 4x = x z = - 2x x = y -1 x = 0 x = 3 z = - 2x x = y Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); ( -1 -1 2 ;; 3 3 3 ) Làm t-ơng tự (II) có nghiệm ( 2 -1 -1 ;; 3 3 3 );( -1 2 -1 ;; 333 ) Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ( 111 ;; 333 ) Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0). Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên. VD2: Giải hệ ph-ơng trình: 22 22 22 x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 Giải: Hệ 22 x + y + z = 1 (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z = 1 x + y + z = 1 y=z (I) y = z (II) x=z x + z - 1 = 0 x + y + z = 1 x + y + z = 1 z + y - 1 = 0 (III) z + y - x = z 1 = 0 (IV) x + z - 1 = 0 Giải các hệ bằng ph-ơng pháp thế đ-ợc 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); 111 ;; 222 . VD4: Giải hệ: 2 2 2 1 1 1 xy yz zx Giải: Xét hai tr-ờng hợp sau: TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau: Giả sử x=y có hệ 2 2 2 1 1 1 xx yz zx Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là : 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 ; ; ; ; ; 2 2 2 2 2 2 [...]... Vậy hệ có nghiệm (0,0,0) Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0) TH2: 3 số đôi 1 khác nhau Từ 2x + x2 y = y thấy nếu x2 = 1 2 = 0 (vô lý) 2x Vậy x2 1 2x + x2 y = y y 1 x2 2x 1 x2 2y z 1 y2 2z x 1 z2 y Hai ph-ơng trình còn lại t-ơng tự ta có hệ ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với: Giả sử x > y > z (*) Xét hàm số: 2t f(t) = xác định trên D = R\ { 1} 1 t2 2(t 2 1) 0 với mọi t D f(t) = (1 t 2 ) 2 hàm số. .. TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2 trên D = 1; a) z 0 , x>y>z 0 f(x)>f(y)>f(z) y+1>z+1>x+1 y>x>z(vô lý) b) z . Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 1 Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN I. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Phần 1- Định nghĩa. những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ. 4. Bài tập: Loại 1: Giải hệ phương trình Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 22 33 30 35 x y xy xy . Chuyên đề: Hệ phương trình. trỡnh sau: Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số 13 1) 22 22 3 2 11 2 5 25 x xy y x xy y 2) 22 22 6 2 56 5 49 x xy y x xy y 3) 32 32 2 3 5 67 x x y y xy IV. Một số hệ phương trình khác: