— Bài giảng số 19
PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BAT PHUONG TRINH DAI SO Bai giảng này đề cập đến một trong những nội dung chủ yếu được đề cập đến trong đề cương ôn luyện mơn Tốn vào các trường Đại học, Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành: Phương trình và bất phương trình Đại số, Các đề toán về loại, này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyên sinh những năm 2002- 2009
Trong bài giảng này, chúng tôi trình bày các phương pháp cơ bản để giải phương trình và bất phương trình đại số
§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA CĂN THỨC
A HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỐI XỨNG
Hệ phương, trình đối xứng là hệ phương trình có tính chất: Nếu ta tráo đổi vai trò giữa các ân x, y, z của hệ thì hệ không thay đôi
Dé giải các hệ này người ta hay sử dụng định lí Viet đảo hoặc thực hiện các phép biến đổi tương đương để đưa vẻ các hệ đơn giản hơn
Loại 1: Sử dụng định lí Viet đảo giải các hệ đối xứng
Để sử dụng được phương pháp này, người ta phải tính wy va xy, sau đó sẽ sử dung dinh li Viet dao Xét các thí dụ sau:
Trang 2334 Từ đó suy ra hệ (1) và (2) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình: f)=—5t+8—m=0 © có hai nghiệm thỏa mãn |t| > 2 Ta có f{t) = 2t— 5 và có bảng sau: t —œ —2 2 P| = ⁄⁄ậ® 7 Vậy các giá trị cần tìm của m là m > 22 hoặc T5 <m <2 +œ œ&|®|œ - Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Tài chính KẾ toán — 200%) x+y+xy=3 (1) x?y+xy?=2ˆ (2) Giải xy+(x+y)=3 (3) xy(x+y)=2 (4) Theo định lí Viet đảo thì x + y và xy là hai nghiệm của phương trình: Giải hệ phương vn Ta có (1)(2) © t=1 —~3t+2 © t=2 x+y=l (9) xy=2 (6) Từ đó suy ra (3) (4) © : x+y=2 (7) xy =1 (8) Lại theo định li Viet dao tir (5) (6) suy ra x, y là các nghiệm của phương trình: -t†+2=0(9).-
Do (9) vô nghiệm nên hệ (5) (6) vô nghiệm
Từ (8) (9) suy ra x, y là các nghiệm của phương trình t — 2t+ I =0 œ t=l Vậy hệ (7) (8) (tức là hệ (1) (2)) có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1)
Trang 3a (x-2Ÿ(x+4}Ÿ =m(x-2) by y=-6 (5) : =11 6 Vì thể suy ra: (1) (2) <2 | & 6) ll y=3 (7) xy =2 (8) Lập luận như thi dy 2 suy ra hé (5) (6) v6 nghiém, con hệ (7) (8) có nghiệm (x; y) = (1; 2) và (x; y) = (2; 1) Đó cũng là nghiệm của hé (1) (2) Thí dụ 4 (x? +y "ay =78 (1) x4 +y4 =97 (2) Giai 78 SƯ _ 6) Tacó:()@) | + X ?tY (x? +y zỶ -2x?y?=97 (4) Thay (3) vào (4) và có (x2+y?} -2— =9? (x2 +y?} ~97(x? + y2} ~12168=0 Giải hệ phương trình: (x?+y?)’ © (x2+y?Ÿ =l69 ©x? + y? =13 nor xy=y xy =6 x+y=-5 xy =6
Trang 43yx?=y?+2 3yx?=y?+2 ()@) © 43xy? =x?+2© 3xy(x-y)=x? -y? x>0,y>0 x>0,y>0 3yx?=y?+2 3yx?=y?+2 ©4(x-y)(3xy+x+y)=0©4x-y=0 x>0,y>0 x>0,y>0 x=y>0
| {ie nfo? e2eea}a0 oo xeyel
Trang 5pene pare x=y#0 2x? +4x =0 c© x? ~3xy =4y © y=-4-x © x=y=-2 ơ x+y+4z0 x?+4x+4=0 x#0,y 40 x#0,y +0
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) =(-2;-2)
B HE PHUONG TRINH DANG CAP
Hé phuong trinh dang cấp (hay chính xác hơn là hệ phương trình mà các phương trình về trái là đẳng cấp) là các hệ phương trình trong đó về phải của các phương trình là các biểu thức không chứa biến, còn về trái của phương trình là các đa thức chứa biến mà mọi số hạng của nó đều cùng một bậc
Bằng phương pháp cộng đại số từ hệ phương trình đã cho ta luôn thu được một phương trình hệ quả có dang f(x, y) = 0, trong đó f{x, y) là biểu thức gồm các số hạng cùng một bậc (giả sử có bậc k) Thực hiện phép chia cho y (hoặc x"), sau đó khảo sát xem y = 0 (hoặc x = 0) có thỏa mãn hệ hay không, ta đặt ấn phụ t=~ (hoặc + ) và sẽ thu được một phương trình đối với t Giải phương trình này y x và với mỗi nghiệm t tìm được, ta tìm được một phép thé x = ty (hoặc y = tx) Từ đó
sẽ dễ dàng giải được hệ ban đầu
Thứ dụ 1: (Dé thi tuyén sinh Cao đẳng khối 4-2005)
2x7y + xy? =15 (1)
8x>+y?=35 (2)
Giải
Xét hệ đẳng cấp bac ba (1) (2) Từ (1) (2) bằng phép cộng đại số ta có:
| 24x°+3 y*— 14xy?- 7xy?=0 (3)
Trang 6+ Nếu t= of 8x? + 27x? =35 y =3 Lập luận tương tự ta có: Vậy (1) 2) © +Nếu =: thì hệ (1) (2) vô nghiệm / 3 " 3
+Neut=7 thi hệ (1) (2) có nghigm x =>, y= 2 Tom lai hé (1) (2) cé hai nghiém (1 3) và 2) Thi du 2: 3x? -Sxy-4y?=-3 (1) Oy? +1 Ixy-8x?=6 (2) Giải Xét hệ đẳng cấp bậc 2 (1) (2) Ta có sau khi thực hiện phép cộng đại số -2x” +xy +y’=0(3) Lập luận như thi du 1, dé thay y # 0, nén sau khi chia ca hai vé cho y’ Giải hệ phương trình: t=1 va datt = > — ta có phương trình: -2+t+ =0 2 t 1- / —2 2 x= Yy=—— +Néut=1 > =1 x= y Thay lại vào hệ (1) (2) và có 2 (4) y ¬ - y 2 ⁄ =£ =-2 + Tương tự nều t = 1 y = -2x Thay lại vào hệ (1) (2) và có: x=ky (5) 2 x=-h y=2 Tóm lại (4) (5) là bốn nghiệm của hệ (1) (2) `
-E CÁC PHUONG PHAP CO BAN GIAI HE PHUONG TRINH
KHÔNG CÚ CẤU TRUC DAC BIET
Dưới đây chúng ta sẽ xét các phương pháp cơ bản giải các hệ phương trình không có cấu trúc đặc biệt như tính đôi xứng, tính đăng cấp đã trình bày trong mục A và mục B
Loại 1: Sử dụng định lí Viet để giải các hệ phương trình: Xét các thí dụ sau đây:
Trang 7Thi dul: ` x (2x +3y)(x-1)=14 (1) x7 4+x43y=9 (2) Giai x(x-1).(2x+3y)=14 (3) x(x-!)+(2x+3y)=9 (4) Từ (3) (4) và theo định lí Viet đảo suy ra x(x — l) và 2x + 3y là các nghiệm Giải hệ phương trình: | Ta có hệ: (1) (2) © +=2 cia phuong winh =9 lá =0 e | TẢ | x=-ly=3 le x=2;y=l 2x+3y=7 Từ đó ta có: (1), (2) © x(x-l)=7 TT x=1+V29 ,_1~v29 2” 3 [[2x+3y=2 "- - 2.13 ˆ Vậy hệ (1) (2) có 4 nghiệm kể trên Thí dụ 2 Giải hệ phương trình sau: (3x+ y)’ ~3(9x? - y’)-10(3x-y)' =0 (1) =6 KH Giải Điều kiện để (1) (2) có nghĩa là 3x—y # 0 Khi đó: 3x+ yt 3x-y 2
(2+) _33X4+Y _igug x+y _Â 3x+yƠ_ 2
Trang 8Từ hệ (3) (4) và theo định lí Viet đảo suy ra 3x + y và là các nghiệm 3x-y ` 2 t=2 của phương trình t - 5t + 6 =0 © | =3” 3x+y=2 ] 3 =3 x=l;y=2 ˆ x—y ' Vậy 3) 4) © 3x+y=3 o x=—;:Yy=~- 1 2_ Œ) 5 5 =2 3x-y Tương tự suy ra hệ (5) (6) có các nghiệm (bạn đọc tự nghiệm lấy) _34/11, 3(3+ Vil) 12 4 (8) .3-n 3-1) 2 1” ca Vậy hệ (1) (2) có bốn nghiệm biểu diễn bởi {7) và (8) nói trên Thi du 3: x+y+z=6 _ `) Giải hệ phương trình: 4 xy + yz—Zx =7 (2) x°+y2+z?=14 (3) GIÁ — Ta có 3) © (x+y+z}-2(xy + yz+ zx) = l4 (4)
Tir (1), (4) suy ra: xy +yz + zx = 1] (5) Tir (2),(5) suy ra: xy + yz=9 (6) y+(x+z)=6 Vậy từ (1), (6) suy ra y(x+z)=9 Vì thế theo định lí Viet đảo suy ra y và x + z là nghiệm của phương trình toằ6t+9=0 @œt=3 Do đó y = 3 vàx +z=3 (7) Từ (2), (Š) ta có xz = 2 (8) Bây giờ từ (7) (8) và theo định lí Viet đảo suy ra x, y là hai nghiệm của t=1 =2
Tóm lại hệ (1) (2) (3) có hai nghiệm (x; y3 Z) = (1; 3; 2) va (x; y3 z) = (2; 3; 1) Loai 2: Phuong phap thế và đặt ân số phụ
Như đã biết đây là một trong những phương pháp thông dụng, nhất để giải hệ ¿~3+20 c> |
Trang 9Để giảm ấn số của hệ phương trình có lẽ không có phương pháp nào đơn giản và tốt hơn phương pháp thế, còn việc đặt ấn phụ thích hợp sẽ làm cho hệ phương trình trở nên gọn gàng hơn Thí dụ I: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2009) x(x+y=l)-3=0 () Giải hệ phương trình: (x ' yy + <0 (2) xX Giải Điều kiện để hệ (1) (2) có nghĩa là x # 0 Sau khi chia cả hai về của (1) cho x, ta có 3 3 (1) @ x+ ytl-~=0e x+ y=ề] (3) Thé (3) vào (2) và có: - 1 2 —=l x=l (2-1) "¬ -.- 1 2 1 x > * X X x x? x x
+ Khi x = 1, thay lai vao (3) va co y = 1
+ Khi x =2, thay lại vào (3) và có y = 5
Vay (1;1) va (2; >) là hai nghiệm của (1) (2) ˆ
Trang 10342 Thể (6) vào (5) ta được: x+i=-§ 4 x y x=l2y ` yo 12y2+5y+1=0 +5y+Ì= =Ï;yY=~ “ ty=! ` œ| 12 t$ o|XEhY=3 x+L=5 JJx=3 x=3;y=l i Y 3y?—4y+I=0 Xa LLY
Vậy hệ (1) (2) có hai nghiệm (5) va (331)
Trang 11Từ phép đặt ân phụ, ta có:
xi#y=~ y=—1—x2 x=l
; SỈ 2 =) 3 (8)
Ky=-5 (x-U(2x?+2x+3)=0 |}*”7
Vậy hệ (1) (2) có hai nghiệm (7) và (8) ;
Thí dụ 4: (Dé thi tuyén sinh Dai học, Cao đẳng khối B — 2008) x4 +2x3y+x7y?=-2x+9 (I) Giải hệ phương trình: x? + Ixy =6x +6 (2) 2 : 2 = (x+y)? =2x+9 (x +xy) =2x+9 (3) Ta có (1) (2) © 6—x2 X° + 2xy =6x+6 xy= X16 (4) 2 Thay (4) vào (3) rồi rút gọn ta có phương trình ' x=0 x" +12x? + 48x° +64x=0] , x” +12x* + 48x +64=0 x=0 x=0 <> 3 > ( x+ 4) =0 x=-4
Rõ ràng x=0 loại vì không thỏa mãn (4), còn khi x = —4 thay vào (2) ta có
y= = Vay (- 4; : ) la nghiém duy nhat cua hé (1) (2) Thí dụ 5: (Đề thí tuyển sinh Đại học khối A — 2003) 1L 1 ee ua ¬ (I) Giai hé phuong trinh: x y 2y=x +1 (2) Giải Điêu kiện để (1) (2) có nghĩa là x # 0; y # 0 Từ (1) có: x~y~2 +2 =0 ©(x=V | rt}-0 (3)
Tir (3) xét hai phép thé sau:
1/ Néu x = y, thay vao (2) va cd
xÌ~2x+I=0 ©(x~1)(# + x~1)=0 œ@ -1+J5 2/ Néu I+-L=0= y=-Ì Thay vào (2) ta có:
Trang 12IÝ I3 x'+x+2=0= (xẻ s3] 1+2] +—=0 (4) 2 2 2 Do (4) vô nghiệm, nên trường hợp này vô nghiệm Vậy hệ (1) (2) có nghiém (151); -14 V5 -1+5 }, -1-V5,,-1- V5 Thi du 6: 2 24x -x2=0 1 Giải hệ phương trình: , y (1) ._ |x°-xy-y?+3x+7y+3=0 (2) Giải Ta có (1) ©y°—x?ty?+xy=0 ©(y+x\(2y—x)=0 @)
Từ (3) suy ra hai phép thé sau:
I/Néux+y=0 y =-x Thé vao (2) ta co: =-l=x=l y?+4y+3=0<© y * y=-3>x53 2/Nếu 2y—x=0 x=2y Thế vào (2) ta có: —=_ ` 2 y==2=V T —x=~13— V157 2 yŸ+l13y+3=0©
Vậy hệ (1) (2) có 4 nghiệm kê trên
§2 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
A PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Trong mục này, chúng tôi trình bảy các phương pháp cơ bản để giải phương trình chứa căn thức
Loại 1: Phương trình chứa căn thức quy về hệ phương trình không chứa căn
thức -
Quy một phương trình chứa căn thức về việc giải một hệ phương trình không chứa căn thức là việc thường xuyên khi giải các phương trình chứa căn thức Sau khi quy về một hệ phương trình hữu tỉ ta sẽ sử dụng các phương pháp đã trình bày trong §1 để giải chúng Xét các thí dụ sau đây: -
Thi du 1: (Dé thi tuyễn sinh Đại học khỗi A — 2009) Giải phương trình: 2ÄŸ3x -2 +3./6— 5x —8=0 (1)
Giải
Điều kiện để (1) có nghĩa là 6 5x>0 © x sẽ (2)
Trang 132u+3v=8 (3) Su’ +3v? =8 (4) Khi đó đặt u = 4 3x—2,v=6 —5x và ta đi đến hệ ww 8—2u
Tu (3) suy ra v= Thay vào (4) rồi rút gọn ta có:
15u°+ 4u?— 32u + 40 =0 © (u +2)(15u?— 26u +20)=0 œu+2=0 (do 15?— 26u +20 >0 Vu) ©u=-2 v=4 W3x-2=-2_ [3x-2=-8§ J§—§x =4 oe le? Vay x =—2 la nghiệm duy nhất của (1) Thí dụ 2: Giải phương trình: x + V13~ x2 +xV13~x2 =11 (1) varias | x=-2 Giải Dat y = V13—x2 20 Khi đó từ (1) tà có hệ: x+y+xy=ll |x+y+xy=ll (2) 22 _ = 2
xˆ+y“ˆ =l3 (x+y} —2xy =13 (3)
Tur (2) suy ra xy = 11—- (x + y) Thay vao (3) va sau khi rút gọn ta có: 2 x+y=5 ộ +Yy)} +2(x+y)_-35=0<© (x+y} +2(x+ y) linh x+y=5 xy =6 20 ‹=2;y=3 y =|" y Vay ta di den : (2)(3)< xe3y=2, x+y=-7 xy =18 y 20
Vay x =2 va x =3 la nghiém cua (1)
Trang 14u+v=§ u+v=5 uv =6 , u20,v20 =2:v=3 =2 > 4(uv)’ —50(u.v) +264 =0< el | u+v=§ u=3;v=2 x=-63 u20,v20 ° uv = 44 u>0,v>0 Vậy nghiệm của (I1) là x = 2 và x = - 63 Thí dụ 4:
Giải phương trinh: x? +1=243x-1 _ (1)
Dat y = ¥2x —1 khi do tir(1) ta c6 hé:
eela2y [x 41=2y x +1=2y (2) 3 -) 33 ° 2 “2 , y +1=2x |x-y =2y-2x (x-y)(x +xyt+y +2)=0(3) 2 2 2 _| y 3y? ^ Do x“ˆ+xy +y “+2 = xt? tr +2>0 (Vx, y), nén y=x x=y=l 2)3)<= > — ( \\ ) xo x=y= es ~l+ Vay phuong trinh cé ba nghiém x = 1; x = NS
Loại 2: Sử dụng phương trình hệ quả hoặc phương trình tương đương đề giải phương trình chứa căn thức:
Điều quan trọng nhất khi sử dụng phương pháp này là cần phân biệt cho rõ
đâu là phép biến đổi tương đương, đâu là phép biến đổi kéo theo (hay còn gọi là
phép biến đôi hệ quả)
— Nếu dùng phép biến đổi tương đương thì sau khi tìm được nghiệm ta không
can thử lại vào phương trình ban đầu
— Nếu dùng phép biến đổi kéo theo, ta chỉ thu được phương trình là hệ quả
của phương trình ban đầu và vì thế lúc này việc thử lại nghiệm là cần thiết
Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối D — 2006)
Giải phương trinh: 2x -1 +x? -3x+1=0 (1)
-x?—~3x—1>0
Ta có (1) © V2x—1=—x?—3x+l<© 3
2x—-1 =(-x? -3x +1)
Trang 153-5 _ 3+5 <x 3-5 Sx 34 V5 x=]
©$ 2 2 oy 2 2 os 2_ J3
x4 —6x3 +1 1x? -8x+2=0 (x-1)'(x?-4x+2}=0 RE eT NS
Thí dụ 2: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2005)
Giai phyong trinh: 2¥x+2+2Vx+1-—Vx+1=4 (1) Gidi - Ta có (1) © 2(Jx+1+1} ca Blfnneiisd IA x>-l x>-l x2-l | | NT an Thí dụ 3: Giải phương trình: Ÿ2xT—5 + Ÿ3x+7 =Ÿ5x+2 (1) 1 3 Ta có (1) © (Ÿ2x—5+Ÿ3x+7] =5x+2 ©(2x+5)+(3x+7)+3(Ÿ2x— 5 + 3x + 7)ÄJ2x + 53x +7 = 5x +2 5 x=— 2x-5=0 2 > (¥2x-5 + ¥3x+7) 92x -593x+7 =0 2 3x+7=0 © K=-5 2x —5=-3x-7 x=—- 5 2 Nhận xét: ¬
— Thi dụ trên ta đã sử dụng phép biên đổi tương đương
Trang 16+) Thay x = 0 vào (1), ta có VT (1) =-~2, VP(I)= 1 x=0 bị loại 5 30 +) Thay x = = vao (1) ta thay thoa man vi VT(1) = VP (1) = Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = sơ
Nhận xét:
Vì đây là phép biến đổi hệ quả, nên việc thử lại nghiệm là cần thiết Nếu không thử lại ta sẽ chấp nhận nghiệm x = 0 mặc dầu đó là nghiệm ngoại lai Thi du 5: Giải phương trình: V2x+34+Vx 41 =3x +2V2x? 45x 43 =16 (1) Giải Dat u=V2x+3 +Vx+120 khi do taco: > =3x +44 2V2x? 45x +3 =3x + 2V2x? +5x +3 -16+20 (2)
Thay (1) vao (2) taco w=u+20 © w—u—20=0
= u=5 (do u2>0) Vậy từ (1) dẫn đến phương trình hệ quả sau:
V2x+3+vx+l=5 © x3 (bạn đọc tự kiểm tra lại)
Thay lại x = 3 vào (1) thấy thỏa mãn nên là nghiệm duy nhất của (1)
B HE PHUONG TRINH CHUA CAN THUC
Phương pháp cơ bản để giải các hệ phương trình chứa căn thức là quy nó về hệ phương trình không chứa căn thức và giải chúng bằng các phương pháp đã trình bay trong §1
Thi du 1: (Dé thi tayén sinh Đại học khối D — 2008) Xy+x+y=x°-2y? (1) Giai hé phuong trinh:
x /2y -yVx—1 =2x-2y (2)
Giai
Điều kiện để (1) (2) có nghĩa là x >1, y > 0 (3)
y(x+ y)+(x+ y)+(x- y)(x+ y)=0 x/2y - yVx—1 =2x-2y
(x+y)(2y+1-x)=0 x=2y+] (4)
ee ole weien-y (5)
(vix> 1 „y>0 = xty> 0) Thay (4) vào (5) và có:
(2y+1)J2y- yliy =2(y+ Nes (y+1)J2y =2(y+1) \2y=2 (doy+1>0)© y=2 =>x=5
Vậy hệ (1) (2) có nghiệm (5;2) Khi đó (1) (2) = |
Trang 18© x=2;y=1 Thi du 3: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006) x+y-yxy=3 ( Mx+l+y+l=4 (2) Từ (2) © x+ y+2+2.|xy+(x+ y)+1=16 (3)
Dat t=,/xy >0 x + y =3 +t Thay vào (3), ta có
Giai hé phuong trinh: 5 0<t<ll 2 2vt+t+4=ll-tc© > ot=3 3tˆ +26t—105=0 +y= Từ 46 sy (140) «2 {* ©Sx=y=3 Vậy (3; 3) là nghiệm duy nhất của hệ (1) (2)
§3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Để giải bất phương trình chứa căn thức người đều quy về việc giải bất phương trình không chứa căn thức (đặc biệt là quy về bắt phương trình bậc hai) `
Trang 19Q soe Dé thay: 5x-120 x-l>0 2x-4>0 (1) <9 ¥5x-1>Vx—-1+V2x-40 5x ~1>2x—54+2V2x? -6x +4 x22 o <©2<x<Ì0 V|2x?-6x+4<x+2
Chú ý: Bài tập tương tự (Để thi Cao đẳng khối A, B — 2009)
Giải bất phương trình: /x+1+2Ax—2 <\5x+1
Giải hoàn toàn tương tự: Đáp số: 2 < x < 3
Trang 20x=2 2x? -3x—2= 0 x= i Ta có: (1) | (2x? ~3x-2>00 2 Ì hoặc x># x? ~3x>0 x<=s oac X > Ï Vậy x X5 hoặc x> 3
§4 PHUONG TRINH VA BAT PHUONG TRINH CHUA THAM SO
Mục này dành đề trình bày các phương pháp giải phương trình và bất phương trình không có căn thức và có chứa căn thức trong đó có mặt tham số Đó là các bài toán đòi hỏi biện luận theo tham số những tính chất nào đó đặt lên nghiệm của bài toán Hai phương pháp hay dùng z nhất là:
— Phương pháp chiều biến thiên hàm số ~ Phương pháp tam thức bậc hai
A PHƯƠNG PHAP SU DUNG CHIEU BIEN THIEN HAM SO
Đây là phương pháp hay dùng nhất và có hiệu quả để giải các bài toán trong các đẻ thi vào các trường Đại học, Cao đẳng trong những năm 2002-2009
Thi dul:
Cho phương trinh: 4/2x + V2x + 24/6 —x2J6—x =m (1) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
Trang 21Tương tự cũng có bảng biến thiên (bảng 2) đối với g(x) Từ đó suy ra bảng biến thiên đối với h(x), 0 <x < 6 là: X 0 : 6 h’(x) 4 + E h(x) 3 « = 5 Ta tính được h(0)=2v/6+2Ÿ6;h(2)=6+3Ÿ4;h(6)=2V3+Ÿ12 (có thể ray h(0)> h(6)) Từ đó suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt khi: h(0)<m <h (2) © 2(V6 + Ÿ6]<m<6+34 Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B —2006) Cho phương trình: Ý{x?+mx+2=2x+l (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải Ta có: ()©@4 2 © ; Do x = 0 không phải là nghiệm của (3) với mọi m, nên ta có: I X2-— (2)(3) © 2 f(x)=^* +4x-—]Ì _ X 3x7 41 2 Tacé f'(x)= nên có bảng biến thiên sau: x I f *(x) Y + + f(x) +00 +0 2 _ | — —œ ` 3 ok tA 9 ` £ a ẦÀ ` A
Từ bảng biến thiên suy ra m > 2 là các giá trị cân tìm của tham so m
Thi dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2007)
Cho phương trình: 3/x— 1 +mv/x+1 =2Äx?T—1 (1)
Tìm m đề phương trình có nghiệm
Điều kiện để (1) có nghĩa là x > 1 Khi đó
Trang 22je 3) em =24e— (2) x+l x+Í Đặtt= 4|Š—Í (khi đó 0 <t< 1) x+Ï Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ: jon +2t=m (3) có nghiệm 0<t<l (4) Ta có f{Ð = —6t + 2, và có bảng biến thiên sau: ' 0 1 | | 3 7 f(t) 0 — Y f(t) 1 ï 3 Y ⁄ XS | 7 ae : — A £
Từ đó suy ra—Ï <m < 3 là các giá trị cân tìm của tham so m
Thi du 4: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2007) Cho phương trinh x? + 2x -8 = /m(x-2) (1)
Chứng minh rằng với mọi m> 0, phương trình luôn có hai nghiệm thực Giải Ta có (1) © (x—2)(x+4)= Jm(x-2) ol 2)° (x +4)? =m(x-2) , ney x=2 ole ôâ||x>2 (2)
(x-2)(x + 6x -32-m)=0 | hex vex? -a0m (3)
Ta có f(x) = 3x?+12x °° Vx > 2, nén ta có bảng biến thiên sau:
X —ằœ
f *(x) |
f(x) ———-
Do f(2) = 0 nên từ bảng biến thiên suy ra với mọi m>0, hệ (2) (3) luôn có một nghiệm, tức là (I) có hai nghiệm thực với mọi m>0 đpcm
Trang 23Đặtt= JI+x? ~vI—x? (khi đó t> 0) =t?=2-2 1—x4 <2, vậy 0< t< V2 Taciing cé: 2V!1—x* =2-t? Khi đó (1) có dang 42 m(t+2)=-P+t+2 o fet tt em t+2 | {fem Bai toan tro thanh: Tim m dé hé có nghiệm 0<t<42 ` (t+2) Ta có PŒ) = và có bảng biến thiên sau: t fo 0 N t ` a f(t) <i Vay v2-I <m<l
H SO LUDC VE PHUONG PHAP TAM THUC BAC HAI Thi du 1: (Dé thi dai hoc, cao dang khối D ~ 2004) Vx+Jy =I (1) xvx+yVJy =!-3m (2) Tìm m để hệ có nghiệm Cho hệ phương trình: ị Giải
pat u=Vx,v= fy (u>0, v> 0) Khi đó hệ (1) (2) có đạng
u+v=] u+v=l u+v=l (3)
w+ev=l-3me (u+v) -3uv(u+v)=1-3m uy=m (4)
u,v>0 u,v>0 u,v>0 (5)
Từ đó suy ra hệ (3) (4) (5) có nghiệm (tức là hệ (1) (2) có nghiệm) khi và chỉ hi phương trình:
—t+m =0 (6) có hai nghiệm không âm
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (do S =1 >0)
tp >0 { -4m >0 c© œ0<m<}
P20 m>0 4
Trang 24Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối D — 2006) Cho phương trình: Ýx?+mx+2=2x+Ï (1) Tìm m để (1) có hai nghiệm thực phân biệt Giải 3x? +x(4-m)-1=0 (2) Dễ thấy: (I)<© Wey st 2 0) Bài toán trở thành tìm m để hệ (2) (3) có hai nghiệm xị, x; sao cho 1 Xy> X22 -— ! 2 2 ( ) 4) A>0 XỊX; + 2Á xy) #520 (4) xay ra khi va chi khi: [x2 + fs + ;| >0<> X,) +X >-1 X, +X >-1 3 (do Š=~2<0=>A>0) a -t,m=4 1,9 9 mn >-—]
Chủ ý: Các bạn hãy so sánh với lời giải cũng của thí dụ này bằng phương