Chuyên đề hệ phương trình

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - LỜI NÓI ðẦU Trong những kỳ thi tuyển sinh ñại học hàng năm. Hệ phương trình luôn là một ñề tài và cũng là một bài toán hấp dẫn ñối với tuyệt ñại ña số các em luyện thi tuyển sinh ñại học. Bởi nó chứa nhiều kỹ năng, tư duy và kiến thức toán học. ði kèm với nó là hàng loạt những phương pháp giải, những cách nhìn nhận vấn ñề xung quanh việc giải hệ phương trình. Theo quan sát của chúng tôi, hệ phương trình trong những kỳ thi tuyển sinh ñại học gần ñây theo chiều hướng khó dần lên. Nó có những bài toán không ñơn giản ñối với học sinh dự thi tuyển sinh ñại học. Mà trong khung cấu trúc ñề thi của Bộ giáo dục và ðào tạo, cũng gắn liền với việc giải bài toán này ở những câu khó hơn. Mang trong nó nhiều kỹ năng tính toán và phương pháp giải không ñơn thuần như hầu hết chúng ta ñã học ở hệ phương trình lớp 10. Do ñó, chúng tôi viết riêng quyển sách này như một vấn ñề then chốt. Những vấn ñề có thể nói là chuyên ñề phục vụ cho các em luyện thi tuyển sinh ñại học. Cũng chính vì ñiều này, các hệ phương trình cơ bản, cơ sở ñơn giản trước ñây chúng tôi không trình bày ở ñây. Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai ñối với ẩn, Hệ phương trình ñối xứng loại I ñối với ẩn, Hệ phương trình ñối xứng loại II ñối với ẩn, Hệ phương trình ñẳng cấp bậc hai ñối với ẩn. Mà nó ñược xem kẻ vào những bài toán trong tài liệu sau chúng tôi trình bày. Bởi sau khi dùng những phép biến ñổi mà các em sắp ñược học sau thì chúng ta sẽ chuyển nó về những hệ phương trình ñơn giản hơn rất nhiều mà tất cả chúng ta ñều có thể giải ñược. Trường hợp bạn ñọc quên và không giải ñược, chúng tôi khuyên bạn nên ñọc lại những phần ñơn giản như vậy ñể chúng ta còn có thể ôn tập ñể luyện thi ñại học ñược tốt nhất có thể. Hơn nữa trên Xuctu.com chúng tôi ñã cho ñăng hàng chục bài ñăng ñơn giản như vậy. Ngoài ra bạn ñọc còn có thể học ñược những cách làm thông qua những Video tutorial của tác giả-thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn trên kênh học toán http://www.youtube.com/user/quoctuansp Những phương pháp trọng tâm về hệ phương trình ñược chúng tôi chia thành. Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ñặt ẩn phụ Phương pháp 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến thiên hàm số Phương pháp 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ñánh giá Mỗi phương pháp ñều ñược chúng tôi trích dẫn lời giới thiệu. Lúc nào thì dùng phương pháp ñó ñể giải. Và hơn thế nữa mỗi loại chúng tôi ñã sưu tầm từ hàng trăm tài liệu chất lượng trên toàn quốc ñể giới thiệu ñến bạn ñọc. Do ñó, tính bao quát của tài liệu có mức ñộ ứng dụng và luyện tập rất cao cho chúng ta luyện thi tuyển sinh ñại học. Chắc hẳn, trong chúng ta khi biết ñến quyển sách này ñều có biết những Video Tutorial của tác giả(Thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn) giảng dạy trên Xuctu.com. Do ñó quyển sách là một sự kết hợp tuyệt vời dành cho quý ñộc giả sở hữu theo ñúng chủ nhân của nó. Chủ nhân của nó khi mua sản phẩm ñúng gốc sẽ ñược hổ trợ những Video Tutorial hướng dẫn giải chi tiết chỉ phát hành ñúng cho chủ nhân. Do ñó, tác giả khuyên bạn nên ủng hộ chính sách sở hữu trí tuệ mà website ñưa ra. Bởi trong những bài tập mà có hướng dẫn giải khó hiều. Tác giả ñều cung cấp link ñến video hướng dẫn cụ thể. Cũng xin lưu ý rằng, những Video Tutorial này không ñược tác giả chia sẽ trên mạng mà chỉ cung cấp ñường dẫn cho chính chủ nhân. ðiều này thật quan trọng bởi nếu bạn không sở hữu theo ñúng trình tự mà tác giả mong muốn. Huế, 4-2014 TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Cách nhận biết: Là loại hệ phương trình mà trong ñó có thể dùng phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử hoặc dùng phương pháp ñổi ẩn thì sẽ chuyển một trong hai phương trình của hệ phương trình về hai hoặc 3 phương trình bậc nhất. Cách thực hiện: + Từ phương trình (1) hoặc (2) của hệ ta chuyển thành nhưng ña thức nhỏ hơn và vận dụng công thức 0 . 0 0 A A B B =  = ⇔  =  + Từ phương trình (1) hoặc (2) của hệ phương trình. Ta xem x là ẩn và y là tham số(hoặc ngược lại). Giải phương trình bậc hai này theo tham số còn lại ta sẽ ñược phương trình bậc nhất mới. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ñể giải bằng phương pháp thế. BÀI TẬP MẪU CÓ LỜI GIẢI Bài tập mẫu 1: Giải các hệ phương trình sau 2 2 2 2 4 0 5 3 2 22 0 xy y x x y x y  − − + =   − − − + =   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 5 3 2 22 02 2 0 2 0 5 3 2 22 0 5 3 2 22 0 y I x y x yy x y x y x y x y II x y x y  − =     − − − + =− − − =    ⇔   − − =  − − − + =      − − − + =   Giải hệ pt (I) và (II) ta ñược nghiệm là 3 17 3 17 15 321 1 321 15 321 1 321 ;2 , ;2 , ; , ; 2 2 8 8 8 8         − + − − − + − +                         Bài tập mẫu 2: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 0 3 2 3 1 0 x xy y x xy y x y  − − =   + − − + + =   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải Hệ phương trình ñã chơ tương ñương với ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 0 3 2 3 1 0 2 0 2 0 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 x x y x y x y x xy y x xy x y x xy y x x xy y x y x xy y x y x y I x xy y x y x y x y x y x xy y x y x xy y x y  − + − + =   − − = − + − =    ⇔ ⇔    + − − + = + − − + + = + − − + + =       − =    + − − + + = − + =   ⇔ ⇔  + =  + − − + + =    + − − + + =  ( ) II        Ta có: 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 4 4 1 0 x y x y x y x y x xy y x y x x x x x x x − = = =    ⇔ ⇔ ⇔ = =    + − − + + = + − − − + = − + =    TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 3 2 3 1 0 3 4 4 3 2 1 0 5 5 1 0 5 45 10 2 5 45 5 45 5 10 5 45 5 45 10 10 5 45 5 x y y x y x x xy y x y x x x x x x x x y x y x x x y + = = − = −    ⇔ ⇔    + − − + + = − − − − + = + − =      − + =     = −    − +   =   − +   −   =   ⇔ ⇔     − −    = − −   =         +   =     Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là: 1 1 5 45 5 45 5 45 5 45 ; , ; , ; 2 2 10 5 10 5     − + − + − − +             −       Bài tập mẫu 3: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 0 5 3 1 0 x xy x y x xy y x  − − + =   − + − + =   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 0 2 0 2 1 0 5 3 1 0 5 3 1 0 5 3 1 0 1 5 2 1 5 2 * 5 3 1 0 1 0 1 5 2 1 5 2 * x y x y x x x y x y x x xy y x x xy y x x xy y x x y x y x y x xy y x x x x y x  − =    − − = − − − =     ⇔ ⇔ − =     − + − + =  − + − + =     − + − + =    − + =       − +  =   = =     ⇔ ⇔    − + − + = + − =  − −   =      − −   =     = 2 2 2 2 1 2 2 2 5 3 1 0 5 3 1 0 x x xy y x x xy y x   = ±   ⇔     − + − + = − + − + =   + Với 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 24 2 2 2 12 5 3 1 0 6 5 2 3 2 0 5 2 2 24 2 12 x x x y x xy y x y y y  =       = =    + + ⇔ ⇔  =        − + − + = − + − =     − +   =     +Với ( ) 2 2 2 2 2 2 2 6 5 2 3 2 0 5 3 1 0 x x y y VN x xy y x   = − = −   ⇔     + + + = − + − + =   TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 1 5 1 5 1 5 1 5 ; , ; 2 2 2 2     − + − + − − − −             2 5 2 2 24 2 2 5 2 2 24 2 ; , ; 2 12 2 12     + + − +             Bài tập mẫu 4: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 7 3 11 18 15 0 5 2 3 2 0 x xy y x y x xy y x  + + − − + =   − + + − =   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải Hệ phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 11 3 18 15 0 1 2 7 3 11 18 15 0 5 2 3 2 0 5 2 3 2 0 2 x y x y y x xy y x y x xy y x x xy y x  + − + − + =  + + − − + =   ⇔   − + + − = − + + − =     Ta có biến ñổi phương trình (1): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 7 11 3 18 15 0 1 7 11 8 3 18 15 25 10 1 5 1 10 2 5 4 2 12 12 3 3 4 x y x y y y y y y y y y y x y x y + − + − + = ∆ = − − − + = − + = − − −  = =  ⇒  −  = = −   Do ñó ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 5 * 2 5 2 3 2 0 3 3 ** 5 2 3 2 0 y x x xy y x x y x xy y x  −  =      − + + − =    = −     − + + − =   Giải hệ phương trình (*) và (*) ta ñược nghiệm của hệ phương trình là ( ) 8 0;1 , 5; 3   −     Bài tập mẫu 5: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 13 0 2 2 46 0 x y x y x xy y x y x y  + − + − =   + + − − − + + =   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ðặt u x y v x y = +   = −  hệ phương trình trở thành 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 13 2 13 0 2 2 13 2 46 0 2 46 0 13 4 2 92 0 2 9 13 5 13 2 31 5 2 8 4 105 0 21 21 4 4 v v u u u v v u v v v v v v v u v u v v u v u v v v v +  +  =   = − − =    ⇔ ⇔    + − − + =     − − + = + − − + =      = +    = =    +  =      ⇔ ⇔ ⇔ =     =       + − =     = −       = −      TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - Với 2 3 3 4 5 5 1 9 5 3 3 1 5 5 4 u x y x v x y y u v u x y x v x y y    = + = =          = − = = −  =       ⇔ ⇔ ⇔     = = − + = − =           = + = = −          Với 2 31 8 21 4 u v  =     = −   . Thực hiện tương tự ta ñược nghiệm là: 21 62 21 62 21 62 21 62 ; , ; 8 8 8 8     − − − − + +             Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( ) ( ) 21 62 21 62 21 62 21 62 4; 1 , 1; 4 , ; , ; 8 8 8 8     − − − − + + − −             Bài tập mẫu 6: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 4 3 2 2 2 2 2 9 1 2 6 6 2 x x y x y x x xy x  + + = +   + = +   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải Phương trình (2) tương ñương với 2 6 6 2 x x xy + − = thay vào phương trình (1) ta ñược ( ) 2 2 2 4 2 4 3 6 6 6 6 2 2 9 12 64 0 2 2 0 4 0 4 x x x x x x x x x x x x x x     + − + − + + = + ⇔ + + =         =  ⇔ + = ⇔  = −  Thay 0 x = vào phương trình 2 của hệ phương trình ta thấy không thỏa mãn Thay 4 x = − vào phương trình (2) ta thu ñược 17 4 y = Vậy nghiệm của hệ phương trình là 17 4; 4   −     Bài tập mẫu 7:Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 2 2 xy x y x y x y y x x y  + + = −   − − = −   trong ñó , x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: 1 0 x y ≥   ≥  . Phương trình (1) tương ñương ( ) ( )( ) 2 2 0 2 0 2 1 0 2 1 0 x y x xy y x y x y x y x y + =  − − − + = ⇔ + − − = ⇔  − − =  Với x y = − vô lí Với 2 1 x y = + thay vào phương trình (2) của hệ phương trình thu gọn ta ñược ( ) ( ) 1 2 2 0 2 5 y y y x + − = ⇔ = ⇒ = Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( ) ; 5;2 x y = Bài tập mẫu 8: Giải hệ phương trình: ( ) 3 2 4 3 1 1 2 9 9 x y x y y x y y  + + − =   − + = + +   trong ñó ,x y ∈ ℝ TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - Hướng dẫn giải ( ) ( ) ( ) 3 2 4 3 1 1 2 1 9 9 2 x y x y y x y y  + + − =   − + = + +   ðiều kiện: 1 y ≤ Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có ( ) ( ) 3 3 9 0 9 0 x y x y x y x y =  − + − = ⇔  + − =  Với x y = thay vào phương trình (1) ta có 3 0 1 1 2 11 6 3 x y x x x y = =  + + − = ⇔  = = − ±  + Do 1 y ≤ ta có phương trình (1) 3 3 1 2 1 2 7 9 1 0 x y x x y + = − − ≤ ⇒ ≤ ⇒ + − ≤ − < Suy ra phương trình (2) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0;0 , 11 6 3; 11 6 3 , 11 6 3; 11 6 3 x y = − + − + − − − − Bài tập mẫu 9: Giải hệ phương trình: 4 5 5 4 x y x y  + =   + + + =   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: 0 0 x y ≥   ≥  .Hệ hương trình dã cho tương ñương với: ( ) ( ) ( )( ) 5 5 10 5 5 10 5 5 2 5 5 2 5 5 5 5 10 5 5 4 4 5 5 5 5 25 x x y y x x y y x x y y x x y y x x y y x x x y y y x x y y  + + + + + =  + + + + + =   ⇔   + = + − + + − =    + + + +   + + + + + =  + + = =    ⇔ ⇔ ⇔    = + + =  + + + + =     Bài tập mẫu 10: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )      =+−++ =++− 021 01 2 2 yyxx yxyx trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ( Vì: y = 0 không là nghiệm của hệ) ⇔ ( ) ( ) ( )      =++−+ +=+ 012 1 2 2 yxyx yxyx ⇔ ( ) ( )      =−+ +=+ 01 1 2 2 yx yxyx ⇔ ( )    =+ +=+ 1 1 2 yx yxyx ⇔    =+ =+ 1 1 2 yx yx ⇔    −= −=+ xy xx 1 11 2 ⇔    −= =+ xy xx 1 0 2 ⇔    −= −=∨= xy xx 1 10 Nghiệm của hệ: (0 ; 1) , ( –1 ; 2) ( ) ( ) ( )      =+−++ =++− 021 01 2 2 yyxx yxyx ⇔ ( ) ( )( )    =+−++ +=+ 02 1 2 yyxyxy yxyx ⇔ ( ) ( )( )    =+−++ +=+ 012 1 2 yxyx yxyx TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - Bài tập mẫu 11: Giải hệ phương trình: 2 2 1 1 2 0 x x y y x y x y x  − − − =   + + − =   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: 0 1 x x y ≥   ≥ +  . Biến ñổi phương trình ñầu của hệ phương trình ta có 1 1 2 1 0 x x y y x y y = − − + ⇒ = − − ⇒ ≥ và ñược ( ) 2 2 4 y x + = Do ñó, 2 2 y x = = Biến ñổi phương trình dưới ta ñược x y y x + = Thay vào ta ñược ( ) 2 2 2 0 1 y y y y loai =  − − = ⇔  = −  Tính ra ta ñược 4 x = Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) 4;2 Bài tập mẫu 12: Giải hệ phương trình: ( )( ) 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 2 2 x y x x y x y y y x y x − −  − + =   − = + − +   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: , 0 x y x y ≥   ≥  Xét phương trình (2): ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x y y y x y x x y y y x y x − = + − + ⇔ − − = − + Nếu 0 0 0 x x y y y −  − − = ⇔  =  thỏa mãn Nếu 0 x y y − − ≠ khi ñó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 0 2 2 1 0 2 1 0 x y x y y x x y y x y x y y x x y y y x x y y − = − + − + − =     − + − + + = ⇔   + − + + =   Hệ phương trình trở thành ( ) 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3 1 0 0 2 3 5.6 4.2 0 3 5.6 4.2 0 log 4 log 2 2 2 3 4 2 x x y x x y x x x x x y loai x y x y x y − −    =     = ⇒ =   − + = − + =     ⇔ ⇔ ⇔   = ⇒ =   = =       =       Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( ) ( ) 3 3 2 2 ; 0;0 , log 4;log 2 x y   =     Bài tập mẫu 13: Giải hệ phương trình: ( ) 4 19 20 2 2 y x y x x y  + = +   + + =   trong ñó ,x y ∈ ℝ TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - Hướng dẫn giải ðiều kiện: 0 2 0 x x y ≥   + ≥  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 x x y x y x x y x x y x y x y x y x xy x y x xy y x y y + + = ⇔ + + + = ⇔ + = − + + ≤ + ≤     ⇔ ⇔   + = − + + + + + = +     Thay ( ) 2 2 1 x y y + = + vào phương trình ( ) 4 19 20 y x y + = + ta ñược ( ) 2 4 2 4 2 2 1 19 10 1 10 9 0 9 y y y y y y  = + = + ⇔ − + = ⇔  =   Với 2 9 y = ( ) 2 10 1 2 2 y x y = + = + ≤ vô lí Với ( ) 2 1 0 1 1 2 y x y TM y x = =   = ⇔ ⇔   = − =   Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( ) ( ) ; 0;1 , 2; 1 x y = − Bài tập mẫu 14: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 7 7 8 3 13 15 2 1 y xy y x x y x x  − + = − + +   + − − = +   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: 15 1 2 x ≤ ≤ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 2 2 7 7 8 7 8 0 1 8 0 1 y xy y x x y x y x y x y x− + = − + + ⇔ − + − − = ⇔ − − − + = Vì 2 2 15 15 ; 8. 2 2 x y x y ≤ > ⇒ < + Khi ñó ( ) 2 2 1 1 0 1 y x y x ⇔ − − = ⇔ = + Thay 2 1 y x = + vào phương trình dưới ta ñược ( )( ) 2 3 16 15 2 1 3 16 1 15 2 2 1 15 2 0 0 3 3 6 13 15 0 5 6 x x x x x x x x x x x x x x x x + − − = + ⇔ + = + + − ⇔ = + − ≥   ≥  =   ⇔ ⇔ ⇔ =    − − =    = −     Với 2 3 4 2 x y y = ⇒ = ⇔ = ± Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( ) 3;2 , 3; 2 − Bài tập mẫu 15: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 1 2 2 4 log 2 log 3 1 1 3 3 4 x y x y x −  + + − =    + =  trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - ðiều kiện: 1 3 2 0 x x y  >    + >  Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 log 2 log 3 1 1 log 2 log 3 1 1 x y x x y x + + − = ⇔ − + + − = 2 3 1 log 1 4 1 2 x x y x y   − ⇔ = ⇔ = +   +   Thay 4 1 x y = + vào phương trình 4 4 4 4 4 0 3 1 1 3 3 4 3.3 4 1 1 3 3 4 3 y x y y y y y y −  = =    + = ⇔ + = ⇔ ⇔   = − =     Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) 1;0 Bài tập mẫu 16: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log log 4 2log log .log 6 x y xy x y x x  + =   = −   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: 0 6, 1 0, 1 x x y y < < ≠   > ≠  Phương trình (1) của hệ ta có 2 log 1 log 2log 3 log 3 x x y x x y y y x y x y = =   + = ⇔ ⇔   = =   Với x y = từ phương trình (2)của hệ ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 log 0 1 log log log 6 2 log log 6 1 4. 6 0 x x x x x x x x x x =  = − ⇔  = −   =  ⇔ ⇔ =  + − =  Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 4 4 x y =   =  Với 2 y x = từ phương trình (2) của hệ ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2log log .log 6 1 x x x x x loai =  = − ⇔  =  Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 2 4 x y =   =  Bài tập mẫu 17: Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 2 4 2 4 2 4 x y x y x x y x x  − = −   − + = −   trong ñó ,x y ∈ ℝ Hướng dẫn giải ðiều kiện: 2 2 2 x y  ≥  ≥  ( ) ( ) ( )( ) 4 2 2 4 2 2 2 2 2 0 1 0 x y x y x x x x y y x y x x y − = − ⇔ + − + = ⇔ − + = ⇔ = [...]... 2 y ≥ 0 ⇔ y ≥ 0 T phương trình th nh t c a h ta có xy = − x 2 − x − 3 Th vào phương trình th hai c a h phương trình ta có 2 ( x + 1) 2 + 3 ( y + 1) − 2 x 2 − 2 x − 6 − 2 x 2 y + 2 y = 0 ⇔ − x2 − 2 + 3 y − 2 x2 + 2 y = 0 ⇔ 3 ð t t= t = 1 y 2 ≥ 0 , phương trình tr thành 3t − 2t − 1 = 0 ⇔  t = − 1 ( loai ) x2 + 2  3  y = 1 ⇔ y = x 2 + 2 thay vào phương trình th nh t c a h phương trình ta x +2 V i... kèm theo l i không ñơn gi n tí nào Phương pháp: T phương trình (1) ho c (2) c a h phương trình ta bi n ñ i v thành phương trình mà m i v c a phương trình ch bao g m ch a x ho c y sao cho hàm s chưa chúng gi ng nhau v c m n Sau ñó ta s d ng tính ch t sau: V i hàm s y = f ( t ) có t p xác ñ nh là D N u hàm s y = f ( t ) luôn ñ ng bi n ho c ngh ch bi n trên D thì phương trình f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y ,... = −1   ( 2 2 ) 2 5 1 V y nghi m c a h phương trình là:  ; −  , ( 2; −1) 2 2  3  x + xy − 2 = 0 Bài t p m u 16: Gi i h phương trình  3 trong ñó x, y ∈ ℝ  y + 3 xy + 3 = 0  Hư ng d n gi i T phương trình x3 + xy − 2 = 0 suy ra x ≠ 0 và y = 2 − x3 , thay vào phương trình th hai ta x 3  2 − x3  2 − x3 ñư c  +3= 0  + 3x x  x  ð t t = x 3 phương trình trên tr thành t 3 − 3t 2 + 3t − 18 =... 2x 2 + y2 + 4 x −4 y + 4 2 >0 t = 1 t = 32 Phương trình tr thành t 2 − 33t + 32 = 0 ⇔  V i t = 1 ⇒ x 2 + y 2 + 4 x − 4 y + 4 = 0 k t h p phương trình (2) ta có h phương trình  −10 ± 2 5 x = x + y + 4x − 4 y + 4 = 0  5 ⇒   −10 ± 4 5 2 x + y + 2 = 0  y = 5  2 2 Vowis t = 32 ⇒ x + y + 4 x − 4 y − 1 = 0 k t h p phương trình (2) ta có h phương trình 2 2  −10 ± 3 5 x = x + y + 4x − 4 y −1... h phương trình là:  ; ; ,      5 5 5 5     2 2 x ( x + y ) + y2 = 4x −1  Bài t p m u 18: Gi i h phương trình  trong ñó x, y ∈ ℝ 2 x ( x + y ) − 2 y2 = 7x + 2   Hư ng d n gi i ( ) x ( x + y ) + y2 +1 = 4x  H phương trình ñã cho tương ñương:  2 2 x ( x + y) − 2 y +1 = 7x  Ta có: x = 0 không ph i là nghi m c a h phương trình  y2 + 1 =4 ( x + y) +   x + Khi x ≠ 0 : H phương trình. .. phương trình th nh t c a h phương trình cho x ta ñư c 1 y 1  =1  + y+ a = x x x ð t   1 1 b = y  +y y= +3 y  x x x  a 2 + b 2 + ab = 1  ( *)  3 3 a + b = a + 3b  a = 1  x = 1 ⇒ b = 0  y = 0 Gi i h phương trình (*) ta ñư c  So sanhs ñi u ki n ta th y th a mãn V y nghi m c a h phương trình là: ( x; y ) = (1;0 ) 1 1   x + x2 + 1 = y + y 2 + 1  Bài t p m u 22: Gi i h phương trình. .. (*) 2 x = 2  V y, h phương trình có nghi m:  7 y=−   4 3 x 2 + 3 xy − 6 x = 2 y  Bài t p m u 25: Gi i h phương trình  2 trong ñó x, y ∈ ℝ  y + xy − y = 9 x  Hư ng d n gi i Nh t xét ( x; y ) = ( 0;0 ) là ngh m c a h phương trình nên xét xy ≠ 0 2 x  y ( x + y − 2) = 3  H phương trình ñã cho tương ñương v i:   y ( x + y − 1) = 9 x  x  u = y ð t , khi ñó h phương trình tr thành v =... 3:Gi i h phương trình  2 trong ñó x, y ∈ ℝ 2 x − y − xy 2 x 2 − 2 y + 1 = 5   ( ) ( ) Hư ng d n gi i H phương trình ñã cho tương ñương v i: ( ) ( ( )  x 2 − y 2 + xy x 2 − y = −2 u = x 2 − y  ð t   v = xy 2 x 2 − y − xy x 2 − y − 1 = 5  u 2 + uv = −2  H phương trình tr thành  2u − v ( u − 1) = 5  ( ) ) Gi i h phương trình này ñ tìm u, v thay vào l i ñ gi i h chính V y h phương trình có... hàm s ngh ch bi n trên [ −1;1] Phương trình x3 − 3x = ( y − 1) − 3 ( y − 1) nghi m ñúng khi và ch khi x = y − 1 ⇔ y = x + 1 Thay vào phương trình (2)c a h phương trình ta ñư c 3 ( x2 − 2 1 − x2 + 2 = 0 ⇔ 1 − 1 − x2 ) 2 =0⇔ x=0 V i x = 0 thì y = 1 th o mãn ñi u ki n V y nghi m c a h phương trình là: ( x; y ) = ( 0;1) log 2 x = 2 y + 2  Bài t p m u 7: Gi i h phương trình  trong ñó x, y ∈ ℝ 2 4... phương trình là: ( x; y ) = ( 4; −1) Bài t p m u 8:  x3 − x 2 y = x 2 − x + y + 1  Gi i h phương trình  3 trong ñó x, y ∈ ℝ 2 3 2  x − 9 y + 6 ( x − 3 y ) − 15 = 3 6 x + 2  Hư ng d n gi i Phương trình (1) c a h phương trình tương ñương v i x3 − x 2 y = x 2 − x + y + 1 ⇔ x 2 ( x − y ) + ( x − y ) = x 2 + 1 ( ) ( ⇔ ( x − y ) x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ x − y − 1 = 0 Do : x 2 + 1 > 0 ) Thay vào phương trình . http://www.youtube.com/user/quoctuansp Những phương pháp trọng tâm về hệ phương trình ñược chúng tôi chia thành. Phương pháp 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Phương pháp 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp. các hệ phương trình cơ bản, cơ sở ñơn giản trước ñây chúng tôi không trình bày ở ñây. Chẳng hạn: Hệ phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai ñối với ẩn, Hệ phương. bằng phương pháp ñặt ẩn phụ Phương pháp 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp biến thiên hàm số Phương pháp 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp ñánh giá Mỗi phương pháp ñều ñược chúng