Bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong không gian euclide n chiều

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM TPHCM

KHOA TOÁN - TIN cacao

LUAN VAN TOT NGHIEP

Chuyén nganh Hinh hoc

Dé tai:

Trang 2

MUC LUC

LOT NOD DAU ố ẽẻ.a qaiá I

CÁC KÍ HIỆU Ò HH1 05111318 11114334134 747217522522 4 Chương I CÁC KIÊN THU'C CHUAN B|

§1 Ánh xạ khả vi giữa các không gian Euclide - s5 s5 5 §2 Gradien và Divergence - - - HH ng xe 9 §3 Đa tạp tÔpÔ - HH 1y TH v HH ng g1 rau gu, 11 §4 Da tap ka 7 ố 5 16 §5 Anh xa kha vi gidta ca&c a tape.c ccccccccccccccsccssscsssscscsssesessestesesucseseseeseceees 19 t6 ĐA UE ann a ao os 23 Chương II BAT DANG THỨC DANG CHU TRONG KHONG GIAN EUCLIDE

§1 Hằng số đẳng chu và céc G&c trumg ccccscsssessssesessesressessensseveevcnnesees 24 §2 Phép chứng minh bất đăng thức đẳng chu tổng quát 34

Chương Ill MOT SO BAI TOAN DANG CHU CO BAN TRONG HÌNH

HOC SO CAP PHANG VA KHONG GIAN

§1 Các bài toán đăng chu cơ bản trong hình học sơ cấp phẳng 42 §2 Các bài toán đăng chu trong hình học không gian - 5 56 an, nu 62

Trang 3

Bắt đăng thức đăng chu GVHD: PGS-TS Lê Anh Vũ

LỜI NÓI ĐÀU

Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu có lịch sử lâu đời từ thể kỉ 3, 4

trước công nguyên nhưng hiện nay đang được hồi sinh vả phát triển Thực chất

“bài toán đẳng chu” cỗ điển được phát biểu như sau: Trong tất cả các miền phẳng

với cùng một chu vi (tức là độ dài chu tuyển của miễn) cho trước (còn gọi Ia các miền đẳng chu), hãy tìm miễn có điện tích lớn nhất Câu trả lời thật đơn giản: hình tròn chính là miễn có điện tích lớn nhất trong các miễn đẳng chu Điều này được

biết từ thời kỳ cổ đại mặc dù phép chứng minh chặt chẽ nó không hê tâm thường

Có thể phát biểu bài toán đẳng chu phẳng theo một cách khác tương đương như sau: trong các miễn phẳng có chung điện tích (còn gọi là các miễn đẳng diện), tìm miễn có chu vi nhỏ nhất Cách phát biểu thứ ba là biểu điễn bài toán như một bắt

đẳng thức giải tích mà được gọi là bất đẳng thức đẳng chu Vì chúng ta biết chính

xác diện tích của hình tròn với chu vi đã cho nên bải toán đẳng chu cỗ điển được

biểu diễn bởi bất đẳng thức đẳng chu phẳng

>4mA, (1)

trong đó A là diện tích của miền được xét và L là chiều dai biên của nó Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi miễn là hình tròn Như vậy, để giải bài toán đẳng chu ta cần

chứng mình bất đẳng thức đẳng chu (1) cho một lớp các miền phẳng cảng rộng

cảng tốt vả chứng minh rằng đẳng thức đạt được khi vả chỉ khi miễn [a hình tròn Một điều đảng lưu ý lả, mặc dù bắt đẳng thức đẳng chu (1) trên mặt phẳng sơ cắp được biết đến từ thời cô đại nhưng mãi cho tới năm 1841, mới có phép chứng

mình tương đổi chặt chẽ đầu tién cia Steiner Nam 1882, F Euler moi dua ra một phép chứng minh (1) hoản toan chat ché Sang dau thé ky trudc, mét sé nha toan

học khác cỏn giới thiệu vài chứng mình chặt ché khac cua (1)

Trong những năm của thập niên 30 của thể kỷ 20, bắt đẳng thức đẳng chu phẳng (1) được tổng quát trong không gian Euclide n chiều ÍR” (n > 2) như sau :

Trang 4

But dag ne dame chi GHD) POSTS Le dak bai

———— eeeenee _— _— _. el

Aaa) 1(8" `) —= Sb - ue!" i

(r0! ¬ vee) a

2) trong đó © là miễn (đo được) khá thẻ bất kỷ trong 8°, A là thé tich (n — 1) chiéu

(in — 1) — dO do) va V 1a thé tich n chiếu (n - độ đo), «, là thẻ tích của hình cấu

don v1 BY vac, ¿là diện tích cua (n - 1) - mật câu S” ' (biến của 8") trong R”,

¬ ^ câu đóng n chiếu Với n = 2, (2) nhận được khi lẫy căn hai vẻ của (1) Khi n = 3, (2) được chứng minh chat chè lan dau tién boi Schwarz năm 1890 Nhà Toán học Nga L_.A Liuxternik chỉnh

là người đầu tiên đã chứng minh (2) trong trường hợp tông quát năm 1939

Nhìn chung bắt đẳng thức đăng chu trong không gian sơ cap (n = 3) va trong

không gian Euclide n chiều tông quát có phép chứng minh khó vả phức tạp hơn rat

nhiều so với trường hợp phằng Hơn nữa, rất hiểm tải liệu, đặc biệt là không có một tài liệu tiếng Việt nảo giới thiệu đầy đủ các phép chứng minh (2) khi n > 3

Bởi vậy, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tải “8á: đẳng thức đẳng chu tông quát trong không gian Euclide n chiều” với mục đích chính là giới thiệu một phép chứng

minh đầy đủ về bất đẳng thức đăng chu (2) trong không gian Euclide n chiều tổng

quát

Vẻ bế cục, ngoài phần mở đầu vả kết luận, luận văn gồm 3 chương với nội

dung tóm tắt như sau:

> Chương I giới thiệu các kiến thức chuẩn bị vẻ ảnh xạ khả ví cần thiết cho

nội dung chính của bản luận van

> Chương 2 là chương chính của bản luận văn trong đó trình bay bài toan

đẳng chu tông quát trong không gian Euclide n chiêu và chứng mình bát đăng

thức đẳng chu tông quát trong không gian Euclide n chiều

> Chương 3 giới thiệu một xố bài toán đẳng chu cơ bản và mở rộng trong

hình học sơ cap phang lẫn không gian

Trong quá trình làm luận vẫn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất nhiệt tình tử

Thấy hướng dẫn Lẻ Anh Vũ, Thầy đã nhận xét cũng như góp ý cho tôi rất nhiều đẻ

Trang 5

Bat dang thin dame «hin ' GAD POSTS Lé Anh Ua

-““Ỷ- mmm—h————— aaa Sam

tốt có thê hoàn thành tốt để tải luận văn cua mình Tỏi xin chân thành cam ơn

Thấy rất nhiều và tôi cùng xin cam ơn bạn quan lý thư viện cua nhà trường một số

thay có trong khoa đã ludn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc mượn các tải

liệu tham khao, cuối cùng tôi xin được cảm ơn gia đình va ban bẻ đã luôn động

viên tôi trong suốt thời gian qua

Đo thời gian có hạn vả trình độ bản thân cỏn nhiều hạn chẻ, bán luận van

chắc chăn khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiển đóng góp của các thây cô và các bạn sinh viên

Thành phó Hỏ Có hi Minh, ngay 09 thang 05 nam 2008 Sinh vién thyc hién

Nguyễn Thị Hồng Nhi

Trang 6

Bat dang tan dang chu GHD PGS-TS Lé Anh Vii ————~ —=——————— — , , - CAC KI HIEU g#?: Bién cua mién Ø, | «re? hy = ;ợ o ' Hàm đặc trưng của tập 2 (I d{z,02) = inf lz — ob: Khoảng cách từ điểm z đến biên của 02, véi II.II là chuân Euclide ¡/1: Môđun của hàm số ƒ ‘ 2? f vÝ

|urađƒ| = (24) + + las : Môđun của gradf

ut, = (fire av)": chudn cia ham sé f trong khéng gian 1”, 1 < p < x

lơradfl, = ( figrads’ av)": chudn 1 cia trong vecto gradf, 1 < p< 2

Cc’ (2): Khéng gian nhing ham lién tuc trén 2

C* ({): Khéng gian nhimg ham cé dao ham cap k liên tục trên {, £ > LẺ e N Œ* (8) = ƒ]C†,& e N: Không gian những t>0 hàm khả vị vơ hạn trên 9

Œ.(©): Khơng gian những hảm liên tục c6 gia compact trong 2

C#(@) = C!(0)nCŒ,(Q),k>1ke€N

CX (2) = C* (QIN E, (2)

LU (Q); Không gian những hàm khả tích trên và có giá trị trong R

Trang 7

Bat dang thin dame chu GUAD PGS-TS Lé nh Vii

Chuong |

CÁC KIÊN THỨC CHUẢN BỊ

Cường này trình hày các kiến thức chuẩn bị cản thiết cho các chương sau

Các mệnh đẻ, tỉnh chất, định lý chỉ được phát biểu mà không chứng mình Bạn đọc quan tam xin tham khảo các tải liệu [H], [5] [6] Các kiến thức được nhắc tới ở day bao gom:

e Anh xa kha vi giita cac khong gian Euclide e Gradien va Divergence

¢ Da tap topo © Da tap kha vi

Cho / là ánh xạ liên tục tử tập ma Uc R” vao &” Ta nói / khả vi tai

x„€##" nếu tổn tại một ánh xạ tuyến tính 4 từ #* vào &* sao cho với mỗi

Trang 8

Bat dang thie dang chm GVHD PGS-TS Lé Ankh Vii

Ta got A ladaohamcua / tai x,

Neu / khả vi tại mọi điểm xeU ,tandi £ khá vi trên tap L/

Dạo hảám của / tại x phụ thuộc vảo x vả được kí hiệu là /'Íx) hay Ø/{x)

Nêu U/ › xE+ / *{x} là ánh xạ liên tục thì ta nói f là ánh xạ khả vì liên tục

trên (/hay / thuộc lớp C” 1.1.2 Định lí

Cho U, V la hai tap ma trong R° va RÑ'

Nếu ảnh xạ ƒ :U -»V' khả vi tại a, g :V > R* kha vitai fla) thi anh xa

gạ/ :U => R* khả vi tại a và (g s ƒ}{a)= g'(/(a))» f'(a)

1.1.3 Hạng của một ánh xạ

Cho / là ánh xạ khá vi từ U c Ñˆ vào #* Khi đó, / được xác định bởi hệ

thống các hàm thực /”, /”, ƒ” khả vi trên U/ Đạo hàm /*'(x) được đặc trưng bởi ma trận Jacôbi

(z ) rasan

J= ‘wp ' b `

Øx' }), l<j<n

với (x'),.„ là tọa độ trên #* với cơ sở là (e'},„„ : (y') là tọa độ trên &°

ƒ thuộc lớp C! ttn Ứ kh và chỉ khi các đạo hàm riêng { 2) tôn tại và liên lsi$p JS/sn tục trên Hạng của ƒ tại x là hạng của ma trận Jacôbi gồm ø - cột, p — hang #4 of’ J<SiSp ˆ (=) | Isjsn

1.2 DAO HAM CAP CAO

Cho U la tap mo trong R"

Trang 9

Bat donne than denny hie GHD POS-TS Le Anh Vi

/`.L! -› LẬR'.Ñ: )

\ + f'(vÌ :

Dao ham cua /' tại ở nêu có được gọi là đạo hàm cấp hai cua / tai a va ki hiệu là /''(v),hay Ø`/(a}e LÍR".rÍR".R" ÌÌ

Bảng qui nạp, đạo hàm cấp r của f tai a la D' f(a)= DID' ‘f(a)) (vai

r>/) Nếu đạo ham nay tôn tại vả liên tục tại mọi điểm thì ánh xạ ƒ£ được gọi là khả vị lớp CÔ hay là một C” — ảnh xạ ( vớiz >3 /)

1.3 DINH Li VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Lay a b là hai điểm trong U c R` thỏa [a.bÌc U và cho ƒ là một CÍ— ảnh

xạ từ U vào Ñ”

Khi đỏ: |f(b)- f(a} < M[b- 4|

với M = ae |/(x]

1.4 MỆNH DE

Ảnh của R*ˆ bởi một CÌ- ảnh xạ ƒ vào R* có độ đo Lebesgue bang 0 nếu m< p Kết quả này được giữ nguyên cho một tập mớ U c R"

1.5 ĐỊNH LÍ HÀM NGƯỢC

1.5.1 Định lí

Cho ƒ là một CÝ— ánh xạ (r > l) từ tập mở A trong Rˆ vào R° Nếu tại

ac 4 đạo hàm f'(a): R~ => R~ là một C”- đẳng cầu thi ton tại một lân cận mở U c A của a và một lân cận mở V của f(a}) sao cho ảnh xạ ƒ :U -»V_ là một

C’ ~ dang cau

Trang 10

Bat hong thin dame chu GAHD POSTS Le Anh ta — 1.5.2 Hệ quả †1 Cho / 1-+» #” là một C - ảnh xạ (r>7)

tử một tắp hợp mơ trong &ˆ vào #®^ (m<n) Nêu yy >ự

hạng cua f tat ae A bang m (tire 1a f(a) 1a anh NG

xa lén) thi ton tar mot lan cin mo U c A cua a, " :

mot lin cận mơ HW’ cua O wong #ˆ* *, một lân cận t8

mở V cua f(a) va mot C’ ~ dang cau hs U +V «W sao cho biéu dé bén giao

hoán (ở đây, Z lả phép chiều lên nhân tử thứ nhất), nghĩa là:

£'ÍU x"}= wÍu x*} ¡=l1 m

1.5.3 Hệ quả 2

Cho /: 4— #7” là một C”- ánh xạ ( r>/)

từ một tập hợp mở 4 trong &ˆ vào &* (m >n) U f > vy Nếu hạng của / tại ø bằng ø (tức là / {2} là ánh

i h

xạ /- / vào) thì tồn tại một lân cận mở U/ c 4 của

a, một lần cận mờ W của Ø trong &*”* và một C7 Ux

Trang 11

Bat dane thin dang chin CAD POSTS Le Anh la

§2 GRADIEN VA DIVERGENCE

2.1 GRADIEN CUA MOT HAM KHA VI

2.1.1 Dinh nghia

Cho f: R" + 8 là hàm khả vì trên R*, Gradien cua /, ký hiệu grad/, được định nghĩa như sau :

grad ƒ = (Seon Ss 2.1.2 Mét sé tinh chat

Voi € © R” va cdc ham Í.! thuộc lớp C° trên R" ta cỏ

(grad f.€) = df(€) = Ef;

grad( f +h) = grad f + gradh;

grad fh = f gradh + h grad f

2.2 DO DO RIEMANN TREN R" 2.2.1 Dinh nghia

Với tập B bat ki đo duge Riemann trong R" , ta ki higu V(B) là độ đo của B

và xem như là thể tích n chiều của B Nếu [` là một đa tạp con (n - 1) chiểu của ÑR" thi với tập Á đo được trong Í` ta ký hiệu độ đo của nó là A( Á ) và xem như là thể tích (n - 1) chiều của A Phần tử thẻ tích n chiều và (n — 1) chiều tương ứng

được ký hiệu bởi đV vả đA

2.2.2 CÔNG THỨC ĐÓI BIÊN CỦA TÍCH PHẢN NHIÊU BIẾN

Lấy D, là các miễn trong R”, ø >1, ;:Ø0 ~ là vì phối C` và lấy J_+z›: là ma trận lacôbi của + tại x Khi đó với hàm / c ƒ` bắt kì trên 2, ta cd:

J ,Lfoz|detd,|dV = ff fav

Trang 12

Bat dang fan dame chu GHD POS-TS Le Ankh bi 2.3 DIVERGENCE CUA MOT TRUONG VECTO 2.3.1 Dinh nghia Với bắt ki trưởng veetơ kha ví liên tục X= Ÿ`¿ -— trên RB" , ta định nghĩa val (C1, divergence của X, kí hiệu đ#ivV, là hảm liên tục trên Š” xác định như sau : dit X : r = (fi.Ta 1„) ca dịnX(r) = aa Ee R* 2.3.2 Tinh chat

Lới hàm ƒ thuộc lớp CỦ và các trưởng vectơ X.Y trén R" ta có:

div(X + Y) = divX + divŸ, div fX = (grad f.X) + fdwX, 2.3.3 Định lý 1 Nêu v là trường vectơ lớp CÍ trên RÑ” cỏ giả compact thi f divevodV = 0 a" 2.3.4 Định lý 2

Cho {\ là miễn trong R” có biên trơn Ø4, 1 là trưởng vectơ đơn vị phía ngoài dọc theo ÔQ mà trực giao với ØQ theo từng điểm (có dụy nhất mỘt trường

vectơ như thể) Khi đó với bất kì trưởng vectơ X thuộc lớp CÍ trén R" ta cỏ: fi divxay = fo (Xe), 2.3.5 Chú ý Nếu F = (.E, F, \ là hàm khả vi trên R" thi OF, aF OF, — + — + div F = nên te az,

Trang 13

Bart lang thane dang chu GHD PGS TS Le Anh Va

§3 DA TAP TOPO

3.1 ĐỊNH NGHĨA

Cho A/, là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được Khi đó, A/, được gọi là một đa tạp tỏpö ð+ - chiêu nẻu nó đồng phối địa phương với không gian Euclide &*, tức là : với mỗi ve A,, tôn tại lân cận mở U trong M, cua x va mot phép đồng phỏi ø : U —» V c Ñ*, ở đây V là tập mở trong &"

Sơ đỏ

a]

Cặp (U @} gọi là một bản đồ địa phương của 4ƒ, xung quanh điểm xe M,

3.2 HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG

Xét bản đỗ địa phương (U,@} xung quanh điểm x e M⁄, Ta có đồng phôi

@: U-+»FcCR'

u > Ø(u } = (x'(w}.x” (w), x"(u)}

Bộ (x'(w} x” (w), x°(u)} gọi là tọa độ địa phương của ứ

Các ánh xạ xí :U —> #, với í =1 n là n hàm thành phần của ø và gọi là

các hàm tọá độ

Luc nay, bd tu: K Sư Séc vˆị được gọi là hệ tọa độ địa phương (xung quanh

u © M_) ứng với bản đỏ địa phương (U.@)

Trang 14

Bat dang tare dang chu (;l HH) POGS:TX Lé Anh la

3.3 ATLAS CUA MOT DA TAP

Một hệ các bản đó địa phương |(C,,@, }}, gor fa mot atlas cua da tap M/_ neu

hy cac tap hop (U,) la mot phu mo cua VW,

Một atlas được kí hiệu là: 4

Atlas 3 = Í(U,.eœ,)}„ gọi là atlas tôi đại nẻu nó không bị chứa trong một atlas

nao khac ngoai chinh no

3.4 MENH DE

Mot da tap Xí, là một tập paracompact địa phương và liên thông đường địa

phương

Chứng mình Lay Pe M,, U là một lân cận của P

đồng phôi với một tập mở của #* Không mắt tính tổng quát, ta có thé gia sứ rằng đông phôi @: U ¬R' P+> g(P)=O Gọi 8, là quả cầu trong &* tâm O, bán kính là 8 Khi đó, @ 'ÍB,} với rah ` ee N) la mét co sé lan can cua P n

Vi (B_) ta cac tap compact va lién théng đường, do đó họ các tập ‡ø 'ÍZ, ||

cũng là các tập compact và liên thông đường

Vậy M, la tap paracompact dja phuong vả liên thông đường địa phương

Trang 15

Bat ding Hun door chu GVHD PGS-TS Le Anh Vii

3.5 MENH DE

Mot da tap lién thong thi lién thong dwong

3.6 PHÉP CHUYÊN BẢN ĐÔ - ĐÔI HỆ TỌA ĐỘ ĐỊA PHƯƠNG

Cho M là đa tạp tôpô m - chiêu

Giả sử (U,,ø,) và (U,.øØ, } là hai bản đồ địa phương của M, có giao khác

rong, tc la UU, +

Goi {U,;x) ,x}, x? } là hệ tọa độ địa phương ứng với (U,,¢, ) (1)

(U,;x},x} xz | là hệ tọa độ địa phương ứng với (U;,Ø; (2')

Khi đó, với mỗi x e U, (1U, , ta có:

Toa độ địa phương của x trong (1`) là: (x/{x),x‡ (x} x! (x)) Tọa độ địa phương cia x trong (2°) là: (x;(x) x¿ (x) x?(x))

Đặt ø„ =ø,.ø, |: ø.(U,fU,) > 9,(U,NU,)

Rõ rảng, ø„ là ánh xạ đồng phôi vả được gọi là phép chuyển bản đỏ hay

Trang 16

Kat dang the dame chu GHD PGOS-TS Lv Anh li —————— Hăm @, có các tinh chat sau: (1) @_ =id, va (ii) @ =O (tt) MP = Pp Pa, -

Do do, mỗi adlas 4 = |ÍU,.ø, lÌ, ứng với họ các phép chuyén ban đỏ Px,

thoa 3 tinh chat trén

3.7 HAM TREN DA TAP 3.7.1 Dinh nghia R Cho M, là một đa tạp tổpö nm — chiều va atlas A = {(U,.¢, )} Xétanhxa f: M,->R

Lúc này, / được gọi là ham trên đa tạp

Trang 17

Bat hone die dang chu GAD POS-TS Le toh Va Nhor vay, mdi / img vei mot ho cde ham thye # bien sé thye [/, | Ngoài ra, là có va f saocho U NU, #2 thi: (,=f°0, hay Í,=ƒf,°9, 3.7.2 Nhận xét

() Hàm ƒ/ có sự tương ứng /-/ với họ các hàm |/„|,„ thoa tinh chat f, = f,sØ, với mọi œ,/ saocho U, NU, 4

(ii) Ta đòng nhất /_ = f| ,„ và xem /| như là hảm thực ø biển sỏ thực

Trang 18

Bat dame thin dene chu GhHD POSTS Lé Anh tii

§4 DA TAP KHA VI

4.1 ĐỊNH NGHĨA

4.1.1 Atlas kha vi

Cho 4 (U,.@,)}, là một adas của đa tạp tôpô ø - chiều Af, Khi đỏ, 4 được gọi là một atlas khả vi lớp C° nếu với mọi cặp chỉ số œ, Ø sao cho

U„ fU, z Ø ta đều có phép chuyển bản đồ

ø„ : Ø.\U,f\U,) => ø,{U,ñU,)

la anh xa kha vi lớp C°

4.1.2 Atlas tương đương

Cho A va 8B la hai atlas kha vi lớp C* của đa tạp Aƒ, Khi đó, 4 được gọi là

tương đương với ®, kí hiệu là #4 ~ B, nếu với mỗi bản đỏ (U.ø}e 4, bản đỏ (V.w)e® sao cho U, WU, #@, ta déu có ánh xạ

ụsø'”' :ø(U \V)-»>w(Uf\V)

thuộc lớp C",

Lic nay, AU@ là một atlas khả vi lớp C°

Rö rảng, quan hệ ~ là một quan hệ tương đương va no chia tap tat cả các

atlas kha vi cua da tap t6p6 M, thành các lớp tương đương Mỗi lớp tương đương

Trang 19

Bat dang Une dame chu GUHD POSTS Le Anh ta

4.1.4 Nhận xét

Cho mot atlas 3 kha vị lớp C” Khi đó, 4 xae định duy nhất một cầu trúc khá

vị lứp CÔ và được kí hiệu là 4,

Ta có: 1 = LJ{8⁄@ - 4}: 1a atlas tôi đại chứa „1

Như vậy, đẻ cho một đa tạp khá vị lớp C}, ta chi can cho mot atlas kha vi

lớp CÍ

4.2 CÁC VÍ DỤ

(1) Đa tạp &ˆ với atlas gồm một bản đỏ [(R*.iZÌ| là đa tạp khá vi lớpC”

nở - chiều

Cấu trúc (Ñˆ.i#} được gọi là cẩu trúc vi phân chính tắc trên &ˆ

(2) Da tạp S* = Ề =Íx' ver /S le} -1| là đa tạp n - chiéu kha vi lớp C* với cấu trúc gồm họ các bản đồ |(U,*,ø* || ;~;

ở đó: U` =[r=(v' x""")e §*/0< x' < IÌ U,` =|t=Ík', ph !Ì

ef: Ur o4 hệ = “Veer cR"

(x' x""} ma (xh

Trang 20

Rut dang thie dane chu GAD POSTS Lé Ankh ta

4.3 DA TAP TICH

Cho har da tap kha vi lop CC là W và MÔ lần lượt có số chiều là n và Khi đỏ, tạ có thẻ xác định một cầu trúc kha vì lớp CƠ trên khơng gian Mx WW

Gọi ((/,@] là một ban đô trên A/, (HF'.ự/ } là một bản đô trên M, RO rang anh xa exw: UxV > RXR’ aR” (xv) (elx)hwly)) là một phép đồng phôi

Mặt khác, với mọi (x,.y,) Íx,y,Ìe#'xĐ~, ánh xạ (@,„Ìe(ø,,,ạ }

bằng (p,.ø, ˆÌ»|w„,w„ 'Ì cho nên rõ rang nó thuộc lớp C’ Do đỏ, họ tắt cả các

cặp ((Ư, x!„Ì(ø, *y„}| là một atlas khả vị lớp C7 trén M, x W,,

Lúc nay, da tap M, xW, voi céu trúc khả vi vừa xác định được gọi lả tích

của hai đa tạp À/, và W,

Vi dụ: Vì S“ là đa tạp ! - chiều khả vi lớp C“ nên xuyến m - chiều

T* =S'« S'« «S! (n lan) cing là đa tạp khả vi lớp C~ với cấu trúc khả vi là tích của các cấu trúc trên mỗi S'

Trang 21

Bet dang thicc dang chi GVHD PGS-TS: Lé Anh Vi §5 ANH XẠ KHẢ VI GIỮA CÁC ĐA TẠP 5.1 ĐỊNH NGHĨA

Cho M, la da tap khả vi lớp C7 n- chiều

IW, là đa tạp khả vị lớp C' p - chiều

Xẻt ánh xạ liên tục / : Äý, => W,

5.1.1 Biểu diễn địa phương của /

Xét một bản đồ tùy ý (U,ø} của M_, mt ban đồ tùy y (V.w) cua W, sao cho

ƒ(U)cE

Lúc đó, cỏ một ánh xạ z biến nhận giá trị là một vectơ p — chiều

ựsf|,sp': g{U) —= v(V)

cập bản để {(U,ø)(,w)}-

Ta đồng nhất /|, =w/s /|, s@' và do đó xem /|, như là ánh xạ m biến

Trang 22

Bat dang thee dang chu GHHD POSTS Le Anh ba

5.1.2 Tinh kha vicua /

la bao f la anh xa kha vi lop C’ ven & < mints) néu moi biếu điển địa

phinmg f|, =we S|, og “ đều là ánh xạ khá vị lớp C° 5.1.3 Nhận xét

Định nghĩa trên là hoàn toàn “hợp lý ” vì nó không phụ thuộc vào atlas chọn

ơtrẻn Äf, và W vì mọi phép chuyển bản đỏ trên Äƒ, và W đều khả vì lớp C’,

(` tương ưng

5.2 CHỦ Y

Trên đa tap kha vi với atlas 4 = {(U, ø, )Ì„ thì mỗi ø„ là một đồng phôi từ

U„ lên ø (U,}c R*" Hơn thể nữa, ø, là một vi phôi từ U„ lên @ (U,} Thật

vậy, theo định nghĩa của ảnh xạ khả vi, ta phải kiếm tra duge ring wog, og! la

khả vi đối với cặp bản đồ địa phương Í(U.ø}(V.w)} Chọn (U.ø}=(U, ø,} và ự = id thì hiển nhiên ø “ la kha vi do anh xa idog, og, ‘ sid la kha vi,

5.3 MA TRAN JACOBI —- HANG CUA ANH XA KHA VI

Giả sử / là ánh xạ khả vi lớp C° tir da tap kha vi lop C’ M, dén da tap kha vi lớp C' W, và ánh xạ thu hẹp /|, =w° /|, sø ° =(/¿ /;?} là biểu diễn địa

phương của / ứng với cặp bản đồ Í(U.ø}(V.ự Ì

Trang 23

Bat hang than she chu (1/1! POSTS Le Anh da

Na trăn J, 0) gor la ma tran Jacébi cua / trên £

[hát ra ma tran J, (/) la ham giả trị ma trận được xác định bơi ảnh xạ

Jf): U -» Tap)

oF ”.t9)= | 9Ì

Hang cua ma tran J, (/(x)) goi la hang cua anh xa kha vi f tar ve U va ki

hiệu là rơnk ( /} hay r (/)

5.4 PHÉP DÌM - PHÉP NHÚNG - PHÉP NGẠP

Cho /: A⁄, —>HW, là ánh xạ khả vì lớp C` từ đa tap kha vi lop C’ - chiều A/, đến đa tạp khả vi lớp C' p- chiêu W_ (k < min(r.s)) 5.4.1 Phép dìm Ta nói / là một phép dìm từ Aƒ, vào W„ nếu rank (ƒ)=n, với mọi xeM Ví dụ: Ảnh xạ ƒ : ® — Đ” biến mỗi r thành (cosr,sin:} là một phép dìm 5.4.2 Phép nhúng

Ta nói / là một phép nhúng từ Äƒ, vào W_ nếu / là một phép dìm và thỏa

các điều kiện sau:

(i) f là đơn ánh

(ii) Ảnh xạ / : Aƒ, —> /(Mý, } là một đồng phôi

Nhận xét

I Một phép đdìm là một phép "nhúng địa phương”

2 Một phép nhúng /: Ä⁄, =>, là một C” - đăng cấu từ A7, lên đa tạp

con /(Aƒ,} của W, ( /(M, ) là tơpư cảm sinh boi W, )

Lï dụ: Cho Œ là đa tạp con mở của Äƒ, với cấu trúc ví phân cảm sinh từ Aý,

Khi đỏ ảnh xạ J, - G —> AM, biến mỗi vé Ở thành xe Af, là một phép nhúng

Trang 24

Hút đang thin diame chi GUD) PGS.TS Lẻ nh là

5.4.3 Phép ngập

Ta nói £ là một phép ngập nêu rưnk Í /}= m, với mọi ve WỨ, l dụ: Anh xạ / ®->Š' biển mỗi f thành eˆ là một phép ngập

5.5 ĐA TẠP CON

5.5.1 Định nghĩa

Một đa tạp con ø - chiều của một đa tạp khả vị lớp CỐ ø - chiều Aƒ, lả một

tập con Í của A/, sao cho với mỗi điểm của W, thì tồn tại một bản đô địa phương (U.@} của M với @{U) là một tập mở dạng 4x# với

Ac R*.Bc Rˆ° sao cho ø{U f\W, }= Ax {0}

Đặt Vv =UNW, va ự =@|,„ Khi đó, họ tất cả các cập (V,w} có được như

trên là một bản đỏ thuộc lớp C7 trên #,

Như vậy, „ cùng với cấu trúc khả vi lớp C“ đỏ tạo thành một đa tạp kha vi

lớp C7 p - chiều vš gọi là đa tạp con ø — chiều của đa tạp 4⁄,

Khi p=m thì một đa tạp con W, chính là một tập mớ của Ã, với atlas _ Ũ, =U,nHW, |Ũ ø Ì, được xác định như sau: Ø, = Đ, 0 5.5.2 Định lý

Một tập con W, cua da tap kha vi n — chiều M,„ được xác định bởi tập gồm

(nm—-p)} phương trinh f{'(P)=0 f°" (P)=0, với ƒ', /"* là các ánh xạ

trên M, là một đa tạp con kha vi p — chiều của đa tạp M,„ néu ảnh xạ đi từ M,

vào R*^*” xác định bởi Pe>(ƒ'(P) f" "(P)} có hạng bằng (n- p} tại mọi

điểm PelW,

Trang 25

Bat dag tae dame chu GHD POSTS Lé Ankh ta §6 DINH Li SARD 6.1 ĐỊNH NGHĨA Cho ảnh xạ kha vị / từ da tap kha vi a» chiêu 4ƒ, vào đa tạp khả vị - chiều HE

1 Diém £ A/, được gọi là điểm cực hạn của / nêu rank„( £}< p

2 Điểm @elf, được gọi là giá trị cực hạn nêu Ó thỏa điều kiện / (O]}

chứa ít nhất một điểm cực hạn

3 Diém Pe M, không là điểm cực hạn được gọi là điểm chính qui 4 Điểm @e!, không là giả trị cực hạn được gọi là gia tri chỉnh qui

6.2 NHẬN XÉT

Nếu n<p thi tat cả các điểm của Aƒ, đều là điểm cực hạn do

rank( f)< min(n, pÌ< p

6.3 ĐỊNH LÍ SARD

Cho M, là đa tạp khả vi liên thông n - chiều và W,„ là đa tạp khả vi liên

thông p - chiêu ( n > p ) Giả sử thêm rằng Mí, và Ww đệu là tập con của không

gian Euclide số chiêu nào đó (không nhỏ hơn n) Cho ƒ là ánh xạ khả vi lớp C! (k >1) từ M, vào W, Khi đó, nếu k>n- p+] thì tập các giả trị cực hạn của ƒ có độ đo Lebergues bằng không

Trang 26

Bat dang hire dang «hi GHD PGS-TS Lẻ nh lì

Chương lÏ

BAT DANG THU’C DANG CHU TRONG KHONG GIAN EUCLIDE

Chương này là chương chỉnh của bản luận vận Nó được dành cho việc

trình bày chứng mính đây đú của bắt đăng thức đăng chu tổng quát trong khóng gian Euclide n chiều Vẻ nội dụng, chương sẽ giới thiệu những ván dé sau đây:

§1 HANG SO DANG CHU VA CÁC ĐẶC TRƯNG

1.1 HÀNG SỐ ĐÁNG CHU

Xét không gian Euclide n chiều R" Ký hiệu V là độ đo Riemann n chiều vả A là độ đo Riemann (n - l) chiêu trên R",

1.1.1 v- Thương đẳng chu

Cho Ấ là một đa tạp con mở của R" cé bao déng compact và biên trơn Khi

Trang 27

Kat dang Gin dang chu GUT) POSTS Le Anh la

1.1.2 Hằng số đẳng chu

Vor more ol 2 - Hàng số đăng chủ cua 5“ kí hiểu /(8'!, được định

nghia la wf 3,10), trong do {2 chay khap trén lop cae da tap con mo cua R" co bao dong compact va bien tron

Với e — x „ta có định nghĩa hằng số Cheerger f,(#*"! như sau:

[.(R") = nf ——— Ụ

trong do (? chạy khắp trên lớp các đa tạp con mở cua R“ được mô tả như trẻn

1.2 CAC DAC TRUNG CO BAN CUA HANG SO DANG CHU 1.2.1 Bỏ đề 1

Kới các miền 9% j = 1, .N trong R", va k > 1 bat kita có:

Din," 2 |ws'|

Chứng minh

Bắt đăng thức là một ứng dụng đơn giản của bắt đăng thức Minkowski Thật

Trang 28

Bat dang thire dame chu GUHD PGS-TS Lé Ankh Va

Vay tu (2.1) va (2.2) suy ra

yo vane 2 pu | (điều phải chứng minh)

1.2.2 Định lí

Trong dinh nghia ctia 1,(R"), » € (1.x], nó vẫn thỏa mãn khi cho { chạy

khắp trên lớp các đa tạp con mở của BR ma lién thong I 7 P g

Chứng minh

- Ta xét trường hợp + hừu hạn (1 < 2 < x }, còn trường hợp 1 = « ta chứng minh tương tự

tap con mở liên thông) có bao đỏng compact và biên trơn Khi đỏ, hiển nhiên

1,(R") < Sv(R") Vì vậy, ta cân chứng mình bất đăng thức ngược lại Lay {2 mở có bao đóng compact và biên trơn, ta cẳn chứng minh rằng:

A(ON) > Svc) VAY”, (2.3)

4

Nếu không, ta viết: Ở42 = U T,;, 7 (2.4)

trong đó Fị F, là các đa tạp con (n — 1) chiều liên thông compact của R" và ta

sẽ kiểm chứng (2.3) băng phép qui nạp trên k

Giả sử (2.3) đúng với mọi đa tạp con mở có k thành phản biên, với mọi k < l„ và giả sử ở0 được cho trước bởi (2.4) với k = kạ + 1 Nếu © liên thơng thì ta có điều phải chứng minh Nếu không, ta sẽ giả sử rằng í có thể được viết như là hợp rời nhau của các tập hợp mở (,, ©; Ta lần lượt đánh số các thành phần

biên của Jf? sao cho:

Trang 29

Bart ang tare dang clin GVHD PGS-TS Lé Anh Vit AR = Pp ul), ỦẾN =T,,g 12 Ứy ,y, Khi đó ta có; 2X) > l(E*) V((), !” và (0G) > Ae) VE (theo gia thiết qui nạp) Suy ra: A(00) = A(00,) + A(ØQ,) > du(Rn) VN)!" + đu(R°) VQ YM = 9„(R")( V(@)' ”/” + V(q)!=1*) > d»(R") (V(9,) + V(Q;))'”'” (theo bể để l) = du(Rn) V(@)~!/* => (2.3) được chứng minh => /,(R°)> Su(R")

- Xét trường hợp v = oo, ta chimg minh tvong ty nhu trong trường hợp +

hitu han bang cach lay J (R") = inl , trong đó { chạy khắp trên các miễn

Trang 30

Kart dame thin dang chu GUD POSTS Le Ankh Var

1.2.4 Dinh li Federer — Fleming

Ven more < (bx), tacos 1B") = S(O), (2.5)

Chứng minh

Ta chỉ xét trường hợp + hữu hạn, còn trường hợp + = x ta chứng minh

tương tự và được nhắc đến như fa định li Cheeger

Lay là đa tạp con mở bất kỉ của R*“ có bao đóng compact va bién tron

Với : > (! đủ nhỏ, xét hàm số

l ren

ƒ(rì = {(1/eki(r.0Q) cr ER dr dN <e

0 r+€R" { d(r.ở0Q) >

Trang 31

= > Rat dang thin: dang che GAHD PGS-TS Le Anh ti ee SẼ ễễẮ -.- | H (r4?) < Ì với rẽ A aii [adc eased < fadVaVifee RO Mt diay ch) W ay, > lìm fia rid < lim (fr CR” G2 qr¿N!< z}Ì<= V(Ø00) =0 “vo - > lin [tac ranyav = 0 tự nén cho -, !! trong (2.7), ta được: iy J Pr’ †?!đ#V = V(Ø) bạ | r” ‘av | =0) ` => yl fuer vay] Sa Hon nia: “i l/: ER" \Q d(rởo)<e Igradhe| = 1 _ chỗ khác Suy ra: | _ Vz ¢ 2: d(z,dQ) < &})

lim J |gradf, WV = lim - = A(0Q)

Trang 32

Bat cing thine dame clin ' GUD PGS-TS Le Auk Vii

Dé chimg minh (2.8), ta can cong thire sau:

« Cơng thức Coarea

Cho %\ là một miễn trong Re có bao đóng compact và ƒ -Ö — IR la mot

ham so thuộc CN OCD với flO = 0 Vởi bát ky gia tri chinh qui t cua |ƒ| ra lấy:

F() =|/I°IH, — A()= A((0)

va dA, la dé do Riemann {n - Ì) chiêu trên U(t\ Khi đỏ: dAdt Vi = —— ỊF | gradf | (2.9) và với bắt kỷ hàm © € LÌ (ì) ta có: ~ fotgradf\av = fide f od, (2.10) q /JMU Chứng minh

Tập các giá trị cực hạn trong R của ƒ có độ đo Lebesgue bảng 0 (theo định li Sard) Tap các giá trị chính qui của ƒ, kí hiệu f#¿, là mở trong R và với ! € #

thi tao anh f~'[¢) 2 la da tap (n — 1) chiều trong I" với ƒ~'{(£]f19 compaet, Lẫy (a.ở)C #, và ø € (a.đ), khi đó ta có thể xây dựng một đồng phôi

:/ ![r|x(a,8) = ƒƑ!|(a8)], sao cho /(W(g.t)) = +, với mọi (q,t) € /"!{u]x(a,8)

Trang 33

Ken dang dure dong chu GVHD POSTS Le Anh Vii và #*/ luôn trực giao với mặt phẩng / ‘1/1, = Bé dé 2 Voi bat ko © C.* UR), khi do: |grad|el| = |ørsdel (2.11) hau khap nai trén Re Chứng minh

Trén tap hop mo {o > 0} ta co |o| =o vả trên tập mo {o <0} ta có lol = =e nên (2.11) là đúng Do đỏ, ta chí cân xét trên {ó = 0} và ta chí cẩn phải

xét (2.11) xảy ra trên tập N, = {@ = 0) {grade = 0},

Nhung trong trường hợp này A4, là một đa tạp con (n - 1) chiều của R” nén có độ đo n chiều bằng 0 Áp dụng bỏ để 2 và thay ƒ bằng | ƒ | ở trên, khi đó ta có: , _— |dfW|,„„_ dAÁdt _ dAdt din = [ele [gradi fil igradf| Từ đây suy ra (2.10) Chứng mính (2.8) Với f € C.~(R") cho trudc , ta lay Qt) = {zr: | fier» > t}, V(t) = V(9(t)),

với f € #¿ Khi đó theo công thức Coarea, ta có:

Trang 34

Bat dang thine dame chu GVHD PGS-TS Lé Anh lan 7 v Pon icy ‘ —!' II , - Ì ` Do đó đề có (2.8) ta cần chứng mình: = ` tlie Viren at > _ tt vua (2.12) J v- iJ Dat * 1 lye FƑtsì = Jvu" Lí dt, Gisis | z rƒ tt giải l9 lh v— Ta có: F(0) = G(0) Lấy tị < tạ, ta có: ØĐ(ft) = {7:|/Icr› >hn} 5 O(bs+) = {r:|ƒ[Cr? > t;} nén SUY ra; V{Q(h)) > V(8(0)) => Vit) >Vi(h) = V(s) la ham giam cua s * -l/ư = l~l/w Mặt khác: Œ`+s› = — | [Jmmoal gray: a

Vi0<t<s V(t) < Vis (vi V laham giam)

Trang 36

Bet dane Hr dame ctu (¿l1 Hị) PGOS-TS Le Anh la

§2 PHÉP CHỨNG MINH BAT DANG THUC DANG CHU TONG QUAT

O day ching ta sé dua ra chimg mính của M.Gromov vẻ bắt đăng thức đảng

chu (2) trong không gian Euelide R" , Tir dinh li Federer — Fleming, dé cé (2) ta cân chứng minh: JQ laradf|dV > ray! WM sen ty, (2.13) với mọi ( © CS *(R") Đẻ chứng mình (2.13) trước hết ta xét hàm không âm bt k ô â C}(R* ì, các ảnh xạ u, : R* — (0x), } = L2 n, được xác định bởi: _x Rr

Trang 37

Bat dame than chanme chu GUHD POSTS Lé Anh tian a Ắ Fq } } wee ' — Ea SAN 2/20v.002L942.vvÊÊ | :t ) I Ory Ors - s “ào (ma tran tam giác )

Ôn Và, Ôn VỤ Oy,

—( ƒ`' —— Ƒ! ——(ểf\!

Or, Or, dr,

~ Oy, OY, 7 eat pany >alet dy cre = —ir = wp] Hue Or, Ta j-j ap ED | -m| peur &ˆ trong đó "1" J It Í Fị fy tạ dy dr, x R* = fenton )\dnddry dỈr, = Juersdr R* R"

y„ được xác định như trên , ta vẫn có Y„ < C' trên { và trên R"Ø, Trưởng hợp

đặc biệt với {? = B, trong trường hợp này ta kí hiệu Y„ bởi ® và dễ dàng thấy

rằng ®: B* “ là một đồng phôi có

detJạ = detJạtz› = LÍ, Inizrde) lạcz)

= {fav} =V(Qy' =V(B")"! =u,"

(.„ là thẻ tích của hình cầu đơn vị B" trong R" )

Ta quay trở lại ¿ø € C} (R*" ì tông quát va đặt:

' 2, = YoY, :Q2— BỲ với Z„ = (ty 2„ )

Khi đó

Trang 38

Kat hang thine dang chu GIHD POSTS Lé Anh Vai —— —— nd elet I, if = let ty | ' Nị i} đet 1 | = toler I, ' , ler Ay ‘rr = dư ae pie rode] ee Mat khac Oz, etd, «ri = ar (vì /z + z ' cũng là một ma trận tam giác) Vị Oy, M,„j€T}3 " — tr: = — >z VreR", )=t n Or, mere O: - trong đó „.¡ +7 * = /‹7', nền _ >(,Y7r€R",?p=1 n , mY Oz, Áp dụng bắt đăng thức Cauchy cho các số ñr 7 tađược: |ƒ„=«| - nin? = detJz To S2 -F“] (4), (2.14) a jet voi divZ, = Tee jel /

Đề áp dụng ở trên, với ƒ € C}(R*) cho trước bắt kì, ƒ > 0, ta xét

p= Ƒ.ha-0 = #8 0Ra-1 = ste) = full"

Trang 39

Kat dang hire dang «hn GHHD POSTS Lé Anh va

o> f Si te: | l2, - ( gradf.Z, )|- SỈ (2.15)

Theo dinh li divergence 1, ta co:

J, die fZ dV =0

Do do, tr (2.15) ta co:

alin Vie „sen ả ,

[fr tay < ef —(yrad Hư, zy) MV (2.16) Mặt khác 7 = Of | radf,Z,, irr = “=—t1'|2,tr ( gradf yer » Dr, r3Ì.?,tŒ ——tr'‡Ì Slee = 2 < >: 21 = |q@radƒfltr›, VYre R" “1 (Ỡ1, (bất đăng thức Bunhiacopxki) Vậy từ (2.16) ta được: cứ chu lu, sa J, borat l - WS da jn-t < suy J leradflav

2 figradf[dV > main WI in— Mi

(diéu phai chimg minh)

Sau khi chứng minh (2.1 3), theo định lí Federer - Fleming, ta sẽ suy ra được

bắt đăng thức đăng chu trong không Euclide n chiều Đề xét trường hợp đăng thức,

compact va bién trơn Trước tiên ta lập lại chứng minh cho bắt đăng thức Với mọi +€ ®, đi nhiên tử (2.14) ta có:

Trang 40

Bat dang thực dàng cÍtu GED: PGS-TS Le Anh Vi (2) 2< + evar 1° < —diuZ, arr n vú” , @ei< divZ,, (0) no,

Lẩy 0 = (rôâ9:d(r.00) > z}v ( là thể tích của nó Khi đỏ lấy tích

phân trên '* ta được: la dV < BA Đ! Ne T, dhuZ,dV <Ơ (ny " "1< r (Z„.⁄}dA (định lí divergence 2) Cho z | 0, từ tính liên tục của Z (trên toản ®") suy ra: V0)!" "Ta J„,2,.»)4A «Y(@) 5 Sint (inva = [sts cof <1) lia - —h—A(đ0) (2.17) Th, V(@)< _A(00)_ > nụ, la V(aj-* ~

va day là cách giải thích ban đầu vẻ bất đăng thức đăng chu tổng quát

Định dạng
Số trang	65
Dung lượng	2,84 MB