Phương trình vi phân hàm với đối số trễ vô hạn trong không gian banach

Trang 1

yp i nh ⁄ \XZ4\-, f2^<⁄

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO -

ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ THÀNH PHƠ HỖ CHÍ MINH

TRUONG DAI HOC SU PHAM = Ấy

LUAN VAN THAC SI

PHUONG TRINH VI PHAN HAM VOI DOI SO TRE

Trang 2

LUAN VAN THAC SE TOAN NAY DUOC HOAN THÀNH TAL TRUONG DAL HOC SU PHAM

THÀNH PHO HO CHE MINIT NAM _ 1997 oK KK OK of THAY HUONG DAN: P.TS LE HOAN HOA KHOA TOAN - DAI HOC SU PHAM - ĐẠT HỌC QUỐC GIÁ - TP.HCM THAY PHAN BIEN:

PGS - TS TRAN HUU BONG

KHOA TOAN - DAL HOC SU PHAM

- ĐẠT HỌC QUỐC GIA - TP.HCM

P.IS CHU DUC KHANH

BO MON TOAN - TRUONG DU BỊ ĐẠI HỌC TP.HCM

[LUẬN VĂN KHOA HỌC TỐN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC,

TRUONG DAL HOC SU PHAM,

THANH PHO HO CHE MINH

Trang 3

Loi Cam On C7 „ơn (YONG bil on Shéy: ( C ~ ` +, PTS LE HOAN HOA

Ny fine (a0 hiding dén tot horn

Vinh tot Suan 2? 2/227

Trang 4

Loi Cam On

Tran trong cam on Shay:

PGS-TS TRAN HUU BONG

P.TS CHU DUC KHANH

Da phan bien lan tinh Ludn

` \

7? 2?0t12⁄ a

Trang 5

1 CIIƠI THIẾU Mac Lue [1L CÁC ĐỊNH LÝ CHÍNH YÊU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN O PHAN * TRONG TAM CUA LUAN VAN Bar toan | bài tốn TỊ bài tốn THỊ Bài tốn IV Đài tốn V Bài tốn VI

Đài tốn VỊI :

Bài tốn VIH:

: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phan ham với đối số vơ hạn dạng (A)

: Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vị phân dang (A)

: Sự ổn định đều của nghiệm phương trình vị phân dang (A)

: Nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân dang (A)

- Sự tổn tại nphiệm của phương trình vi phân ham cĩ đối số vơ hạn dạng trung hịa (H)

: Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm phương trình vi phan dang (B) Sư ổn định đều của nghiệm phương trình vi phan dang (B) Nphiệm tuần hồn của phương trình vi phan dang (B)

O MOT VAL Y KIEN bE XUAT MO RONG GIA THIET

Trang 6

BIÚI THIÊU MỨ ĐẦU

+xx*+*

* luận văn này tập trung vào khảo sát sự tồn tại nghiệm, sự phụ thuộc liên

tục sự ổn định đêu và nghiệm tuần hồn của nghiệm phương trình vị phân hàm với đơi số trễ vơ han trong khong gian Banach vO han chitu Hai dang chính yếu

la:

Dang (A) : x’(t) = f(t, x(t), x.) + g(t, x(t), x,) (f © R)

Dang (B) : [x(t) — f(t, x(t - r))J? = g(t, x(Q), x) (t © R) trong do r > 0, ƒ và ø là 2 hàm thỏa một số điều kiện mà ta sẽ nĩi chỉ tiết sau

* Trong trường hợp khong pian hữu hạn chiêu, với đối số trễ hữu hạn và

khơng cĩ biến x(U, hai bài tốn trên đã dược nghiên cứu giải quyết trong một số điều kiện nào đĩ của và p bởi các nhà tốn học M.A CRUZ và !.K.HALI: năm

1969, O LOPES nam 1973 - 1975: G HERTZER nam 1975; GB GUSTAFSON

va K SCHMITT nam (974 (xem tai litu trich dẫn của [4]) \

# rong trường hợp khong pian Banach vơ hạn chiêu, với đối số uễ hữu hạn

và khơng cĩ biến x() hai bài tốn trên đã được nghiên cứu giải quyết tronp mội số điều kiện nào đĩ của F và pø bởi 2 nhà tốn học K SCHMITT và I.H HOA

nam 1993 (xem [4])

* Nam 1995S, nha todn hoc SHIGEO KATO co dang trén Journal of Mathematical Analysis and Applications 195.82.91 (1995) bai to4n phương trình vĩ phân hàm với đối số trễ vơ hạn trên khong gian Banach dang: x’(Q = FL x(Q, x) (te R) Bai

báo cĩ nội dung nghiên cứu piảẩải quyết sự tồn tại nghiệm, sự phụ thuộc liên tục

và tính ổn định đều của nghiệm với hàm I phải thỏa một loạt các điều kiện hồn

tồn khác biệt so với các điêu kiện của f và ø mà luận văn nghiên cứu giải quyết (xem [7|) Ngồi ra nphiệm của phương trình thuộc C(R, T:) (khơng gian các hàm

liên tục bị chặn từ là vào TF),

Bai toan cla S KATO da đưa ra hai ý tưởng: dưa vào biến x(Ú và đối số

trẻ vơ hạn trong khơng gian Banach vơ hạn chiều

* Gọi ý là khơng gian Banach với chuẩn II

Gọi CƠ = CHB(l-, I:) là khơng pian Banach các hàm liên tục, bị chặn từ là-

Trang 7

Gigi CCR Ee) là Khơng pian các ham liên tục từ R vào bE

`

* Vor moi x e€ CCR, BE) Vt e R, dinh nghia x, nhu sau: x, (0) = x(t + 0)

VỮI Ð œ R=

RO rang x, € C néu cĩ o € R va wm € C sao cho x, = 9

* Vii moi o € R, ham u: R - lý được gọi là nphiệm của dang (A) hay (B) trên [o, o) neu ue C vei mdi t € R, dao ham u(t) tén tại trên [ø,øs[ và thỏa

dang (A) hay (B) én [o , 0)

* Bai todn voi didu ki¢n ban dau của phương trình dạng (A) hay (B) là hài loan cho trugc me C va o c R, tim nghi¢m u cta phuong trinh dang (A) hay

(B) ten [o.o) va thoa ug = 9

* Su ton tai nghiém tuần hồn của phương trình dạng (A) hay (D) là chứng

mình sự tổn tại của woe C sao cho với mọi ơ e6 R, ta cĩ sự tổn tại nphiệm u

của phương trình đạng (A) hay (H) trên [ø,œ) thỏa u„ = w⁄, cĩ tính tuần hồn chủ kỳ œ khí f va g cong là hàm tuần hồn theo t, cĩ chu kỳ ø

Trang 8

CAC ĐỊNH LÝ CHÍNH YẾU SỬ DỤNG TRŨNG LUẬN VĂN *** ® ĐỊNH LÝ A: (Định ly 3, [5]) eau tae : cb ‘ ; OY ie , j Gọi Y là khơng pian lơi địa phương với họ nửa chuẩn tách trên Y và poi I) là tập con của Y Cho tốn tr U: D> Y Voi moi ae Y, định nghĩa U,: D -> Y bởi: với x e l) U(x) = U(x) + a

Tốn tử LŨ được goi 1d théa điều kiện (A) trên tập con € của Y nếu:

(A.1) Voi méi ae Q, U, (D) cD

(A.2) Với mỗi a e Q vàp e 2} tơn tại k, € N voi tinh chat: Ve > 0, ton tai re N*¥, 6 > 0 sao cho voi moi x, y € DD?

VỚI al (x -y) < £ +6 ta CĨ:

al (U(x), UNy)) < &

trong đĩ al(x, y) = max {p(UA(x) - Uj(y)) / ip = OWL, Ky}

®% ĐỊNH LÝ A (Phát biểu)

Gọi Y là khơng gian lồi địa phương, đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách

2)

Cho LÍ và C' là những tốn tử trên Y sao cho: (1) LÍ thỏa điều kiện (A) trên Y

(I1) Với mọi p e ‹? tổn tai k = k (p) > 0, sao cho:

p(U(x) — Uly)) < kp(x — y) voi moi x, y € Y

(ii) — Tơn tại xạ e Y với tính chất:

Trang 9

Với mọi p e€ 7} tổn tại r € N và X c |0, 1) (r và À phụ thuộc p) sao cho:

pil (x) > UỆ (y)) < ÀJp(x - y) voi moi x, y € Y

(iv) —€ là tốn tử compac sao cho:

p(C(CA)) < + œø khi p(A) < +ø voi A là tập con của Y, với mọi p e iy (V) p(x) lim —> MO) 9 = wpe P p(x)

Khi dé U + C c6 diém bất động

® ĐỊNH LÝ B VÀ ĐỊNH LÝ C: (Xem [4])

œ3

Gor S la khong gian metric sao cho S = (WS, trong dé 8, n là tập con

compiac, kKhae rang cua S thỏa các tính chat sau: n=!

(i) SoS nip YOU morn e N " ‘

(i) Vot moi tap con compaic K ctia S, ton tain e N* sao cho K c S,,

Goi CCS) la khong pian của tất cả các ánh xạ liên tục từ S vao TE (voi Ee la

khơng pian Banach, cĩ chuẩn Ll) Với mỗi n 6 NỲ, Vx e C(S), đặt Py(x) = sup(Ix(s)l: s c6 SN] 2x = ¥) Dat d(x y) = » " voi x, y € C(S) U + p(X ¥) "1 Khi do (p

khong gian Préchet va day (x,), trong C(S) hội tụ tới x nếu và chỉ nếu:

wy lÀ họ nửa chuẩn tách và d là metric trên C(S) Ta cĩ €C\(S) là a) na ee * Ji P(X, — X) = 0 voi moi n Ee N ® Định LÝ B_ (Định lý 1, |4]) Tap con A cha C(S) là tập compăc tương đối khi và chỉ khi với mỗi €

ne N*, A dang li¢n tục trên S„ và tập (x(S): x e A, s € S,} ïà tập compac

Trang 10

@ Dinh ly C: (Dinh ly 2, [4])

Goi CBS) là khong pian Banach của tất cả các ánh xạ bị chặn, liên tục tren S vao FE với chuẩn: IL.|I

llxll = sup(lx(s)l : s e §}

Cho tap con A cia CB(S) va dat A(S) = {x(s) : s €6 S x € A}

(a) Neu A(S) là tập compac tuong doi trong lý thì A compac tương đối trong CB(S)

(h) Nếu S hồn tồn bị chặn và A đẳng liên tục trên S thì 2 mệnh đê sau

là tương đương:

(i) A compäăc tương đối trong C B(S)

(1đ) A(S) compặăc tương đối trong E:

® Định lý ASCOLIL - AZELA: (xem [I], trang 43, ménh dé 7.3)

Cho S la khong gian metric compac va Ela khong gian Banach €C(S) là

khong gian Banach cac anh xa litn tuc tir S vao E voi chudn sup, Ixll = sup (Ix(ok te S}

Tap con A của CS) là tập compac tuong doi khi va chi khi A dang liên tục và A(s) = {x(s) : x € A} 1d tap compăc tương đối trong lý với mỖi s 6 S

Trang 11

PHAN TRONG TAM CUA LUAN VAN

Trang 12

Bat toan I

SU TON TAL NGHIEM CUA PHUONG TRINH

VI PHAN HAM VOI DOI SO TRE VO HAN

“KK ok KOK

®9 Định lý T:

(1) Chof:lxExC€C ->l là ánh xạ liên tục với tính chất sau:

Với mỗi ø e l, với mỗi neN.n >ơ, tơn tại 2 số duơng 1); hy sao cho

voi morte lo n]

I(t u, ®) - ft, v, ®))I < Iu - vi + i llồ — D'll vor mor D, D Ee Clul ve F

(1.2) Cho eg: Rx Ex C > EW anh xa compac vii tính chất sau:

(1.3) lin e(t.u,P)I = 0 đều theo t trên mỗi tập bị chặn của l và đều

|ldbll - œ Hap] theo ue f

Cho trước @ 6 CC và cho trước o € R ta xét phuong trình ví phân ham

với điều kiện ban đầu sau:

[x')= f(t.x().x) +g(Lx()x) Œ>ơ) Œ*)

[ko =

Khi d6 phuong trinh (1) cé loi giải trên R, nghia 1a phuong trinh (1*) c6 nphiệm ten [o, tớ) ® Chung minh: Phuong trinh (1) tuong đương với phương trình tích phân sau: { { a) Ian =f I(s.x(8).x,)ds + | 2(S.x(S).X.)ds + @(0) (tt > 9) (II*) XG =O Dat X„ = C (lơ, œø), l) Ta cĩ X

tục trên |ơ +œ) đến l với họ nữa chuẩn tách:

œ là khơng gian Erechet các hàm số liên

Trang 13

Voi moi x © XQ đặt x: R -> l được định nghĩa bởi: Sun x(s) + @(0) - x(G) nếu s>Ø x(s) = (p(s — 6) néu sso Thế thì x là ánh xạ liên tục trên R 1 7° ` 4 mà AS % Dinh nghia cac toan tu: Ur G: Xo > Ky wo x €6 Xu, Ux(t) = [ ((s.x(s).x,)ds , (t> Ø) (*) ° | Gx(t) = [ 2(8.x(s).X ds + p(0) (1 >) BO dé I1:

(C ho F thỏa (ETl) và cho LÍ được xdée dinh bei (*) Khí đĩ với mỗi n e€ Non > o va với mọi 7z c€ X„ 2[(n—- ø)k, |} \ Mal p,(x - y) vot moi i e N, lự | In (Ux - Uy) = i! ni tronp đĩ Ux = Ux +7 va k, = 1, + h, ®' (hứng mình:

Vor mois € [o nj} e l- ta cĩ s + 0 <n và:

Trang 14

8

< ƒ k Ix - yellds < 2(t-o)kypy(x-y) VLe Io nl

a

OQ Chi y: Wxdlh = sup {Ix(s+ 0k 0 < 0), với ø <s< L

Dos + 0 < s, VO < 0 nen Ix ll = sup ({lx(u)l: u < s} với ø <s<_t

Mà sup (lx(0)l: ú < s} > Ix(s)l với ø < s <I

Suy ra ÍXx(S)E < ÍxH, vot mors € [o, t] * Gid su: 2[= ø)knÏ' x(t) = Uy(0I < ủ Pa(X - V) vot mort Ee [ơ, nỊ vÀ Ee Ni t> | Ta cĩ:

Ú0 5ú) 091900 < Fis œ GENE) TN) ~ K.Giyys) Tyrol ds

< Kf (UTX) — (Uly) lids

Ta cé voi s € fo, n} 0 € R=:

((Ux) (0) — (UỦy),(0)1

Jiu lÌx(S i 0) - Ul y(s + 0) + L x(Ø) — Uly(ø)l nếu s+>ø

|u nếu s+(<ơ

IA IUx(s + 0) Uy(s + 091 + IUEx(a) — USy(o)I

Trang 15

[(L- ø)k„J!"Ì

7 (i+ 1)! Da(X — y) với mọi tổ fo oj

((n - ø)k,)!

lo đĩ: pa(Ufx = Ly) < 2 7 Da(X -— y) voi te Nix € XQ Co meoneN

Bo dé E đã duge chung minh ‘BO dé 2: Cho g thda (1.2) va dat G, duge dinh nghĩa bởi: G,x(0 = [ g(s,x(s), x Jds + pO), G đeœN.hn»>ø.te |ở Nj X e ÄX

Khi do Gi, là tốn tử compac trên khơng gian Banach: X, = Cfo nj, FB) vii chuẩn

Ixll, = sup (Ix(Ol: t € [o, n]} * Chung minh: * Ta ching minh Gy € X, voi mdi Me X,: { (it) = | g(s D(s) , Dds + @0(0) Lc |ø, nỊ| ao

Với £ > 0, lấy ð = 6, t.U 6 fo nj, It — Cl < 6, ta cĩ:

IG, DP) = G®(U)1 < fics.) Bas

Do DO) = Ds + 0) (0 € R- vas € [o, nf)

_ J(s +0) + 9(0)—- ®(ø) nếus+0>ø (s+0<n)

|o(s Ð0 - ø) nếu s +0 <ơ Suy ra OI < 2IIPH, + llọll với mọi s e [ơ n| Vay ID(u)l < 2D, + Hell voi mọi u<n

Vig 1a anh xa compac nén ton tại là > 0 sao cho: Ip(s, ®(s), MOL < 1,, ver

Trang 16

1Ĩ Vay G@ liên tuc tren fo nj _ 1" a © hay GP © Xu +

Ta chung minh G, liên tục trên Xu

Pat (xp) Ko e N, la day trong X, sao cho Jim) x,=x® € X,

k->»m

Dat B= {(x,) 2 s © fo nis k © N) The thi B là tập compăc trong C

Thục vậy, pội (Xpide là một dãy trong B, (i € N)

oe

Nêu (XI); là dây con của (xy), thì xp, => XỞ

Nếu (x/j)¡ khơng là dãy con của (xp), thì (Xyj)¡ cĩ một đãy con hội tụ

[rong cả 2 trường hợp ta đều cĩ một đãy con hội tụ của (Xi), Vi (si); 1a day trong tập compăc [ơ n[ nên cĩ đãy con hội tụ (Sij)j-

Gia str: S; > Se [o, nN] Gia str: Xd) —> X \ (x cĩ thể là xị (K 6N) nào đĩ hay cĩ thể là x®) đa cũng cĩ: s; =»* sS M Suy ra Hi), = XS < H@EijDy — X; H+ Hxy — xi J `1 iN hs jl “1 jl “ih jl ` = 2p, (Xi, — X) + WX - Xl Vi voi moi x Ee X, anh xa bién s thanh x " ` s € fo, nj liên tục, điều này đản đến: Jim WX De - xl = 0 đài H `1 Ss >~mN il

Vay Bola tap compac trong C

MO bar B= (x) (0): s € [o n], k € N, 0 € [o-n, O]} (n © N, n > 9)

bat S = R- S, = [o-n, O] (n > 6) Ta c6 S =U §,

neN

nog

Với y œ6 C(S, F), đặt qa(y) = sup{ly(O@)V/8 € S|) voi n e Non > a Ta cĩ C(S EF) là khơng pian Eréchet với họ nữa chuẩn tách (qu)ạ Từ (*) ta suy ra

lim a((x,, ) — X.) = 0 với mọi ne Nvàn >ơ

/ ym|# ey

Trang 17

Theo định ly B, ta cĩ B` là tap compac tương đối trong E

Mặt khác ` = {xy(s E0): s 6 [|ơ, nỊ, keN,0 € [ao -n 0|)

= (x, (0) :- f € [26 -n nj, k € N}

(Do <s<n và đ-n<Ø0<0 nên 2ø -n<s + 0 < n)

Dae BY = (xp): cổ [ơ, nỊ ke NJ

Ta cĩ: B`` cCHB', Vậy B`'` là tập compăc tương đốt trong E

L] Với mọi £ » 0Ú, vì p liên tục trên tập compăc [ơ nỊ x B`` x B, tồn tại

5 > 0 sao cho vii mọi (u, v), (u, v) € BY x Bova Hla v) = (uy vl < õ (**) đẫn đến: ` ` £ lp(s u, v) — p(s, wy v')l < voi moi s € [o, nj], va n> oa n-o Vì lim Xp = x? trong X, nen ton tat k,, e N sao cho k >~mM oO xy, = Sl, i vot moi k 2 k,, (1) “ o Và § € [o nl Khi đĩ xg | (x) I < 2ilx, — xl, < ° voi mot k > k

Suy ta Ix, (s) x©(s)| < 4 Vay Ixy (8), (Xự),) — (x9(s) (x°) Il < & voi mot k 2k ) vA s © [o, nh liiểu này dẫn đến, với mọi t € [o, n], ta co: lGnXy(D — Gx9(0l < [ lp(s x,(S).(Xy)¿) - #(S, x9(s) (x) lds Ø E < ˆ_ (n=Ø) =£ với mọi k 3 k„ và VL e lo n| I\ — Ơ

= lÍ,xu = (ì,XPH, Ấœ với mợi K 3 Ke

Vậy Œ„ liên tục trên Xu,

[f* Chú ý: Cho E và F là 2 khơng gian Banach với chuẩn Ith; va Th, Hl (a BY WM = Meth: + UBM voi (a B) 6 l x

ld chudn trong khong gian tich E x Fo va Fx F cong 1a khong gian Banach Œ đây I: là khơng gian Banach va C = CB(R-, FE) cong ld khong gian Banach] $8

Ta chứng mình G„ là ánh xạ comjắc:

Trang 18

Dat A = {x.:x c Q.s e |ơ nỊ}

la khẳng dinh A bi chan trong C

[hục vậy, tổn tại r > 0 sao cho: voi x e Q thi Ixll, <r

x (0) = x(s +0) (0 © R-: 8s e |ơ nị) S

x(s+Ø) + (0) - x(Øø) nếu s+>Ø

ms +0 —o) nếu s+<ơ

Suy ta Ix (0) < Ix(s + ODL + Ip(O)l + lx(ơ)l (với ø < s + Ø8 <n) Hay Ix(O Ss 2lxIl + lọ(0) < 2r + lọ(Đ) (với øơ < s + 8 <n)

Mát khác Ix,(0)1= lạ(s + Ø0 - ø)! < llọll nếu s + 0< ø

Vậy: Ilxll < 2r + llạll với mọi s e [ơ nịỊ, xeO Do dé A bi chan trong C

„ lát AT = [x(U: xe QO te |ơ, nÌ]

Do x(t) = x(t) + @(O) — x(a) suy ra Ix(DL < 2r + Mpll voi moi x € O

Vay A’ la ip bi chan trong bE

„ lần đến [ơ n} x A’ x AW tap bi chan trong Rx Ex ©

Vay glo n] x AX x Ậ) là tập compic tương đối trong lý và do đĩ nĩ bị chăn

e Hat K = C'o|p([ơ n} x A’ x A) UfO)] (CoA là bao lồi đĩng của A) The thi K la tap compac trong F: (Xem {6]) \ — — Ci, (€2) (1) = | 2(s.x(s).xJds + oO) > x EO (9 <t<n) aC Vi p(s x(s), 2) E€ K với mọi s € [o, n] va x € Q, ta cé: CG (QM C (Œ = ø)K + @(0) (xem [TH], trang 60)

Vậy G()() là tập compäc tương đối trong E,

Theo dinh ly Ascoli - Azela, G,(©) là tập compăc tương đối trong X„ Vậy

€ là ảnh xạ compắc

Trang 19

1 Chưng mình bài tốn (1?) cĩ nphiệm trên [ơ, ):

Theo Bổ Đề boovai moi x ye Xn e Non > a, ta co: 2((n - o)k,)!

| p,(% - y) wii i Ee N Dy, (Uh x Uy) <

2((n — o)k,) = (1), nén tin tat i, e© N sao cho 2(n = ø)k,)! < | VỚI

oO

Vì lim n i!

jon i!

MWVOL To - I):

Vay LÍ thỏa diéu kitn Gi) Git), Git) cha định lý A

e Cho (xp), là day trong X, sao cho lm xy, = x° © Xo AI) Vi (x,y), hội tụ đều về x2 trên [ơ, nỊ với mỗi n > ơ, nên theo Hổ đề 2 fa co: lim op (Gx, Gx®) = 0 với moi ne Non > a > rT Thục vay: L — — (ix([) — | p(s X(S) X.)ds + @(0) (1 > ava x € A,) a Vor maine No n>oa.a <t <n, ta cé: {IX(TY = €ix(U)

Suy ra Cixi) Cx) = Gx, — Gx) vor mort e€ |ơ, nỊ

Vậy lCGxi(@) — Gx(Ol s { Ip(s , x, (s) (Xự),) ~ p(s, xs) ; x0)lds <Ff

a

vor mort Ee [o, n] k > k

(Trong do k, chinh lak, trong (1), trang 11)

e Voi moi t > øơ, tổn tại n © N sao cho: o < t <n

Vay Ix.) ~ Gxe(Ol < & voi moi k 2 k, liền này co nghia LG liên tục trên Xu

Đặt G(O) = [Gx/x e O|

{

Trang 20

1A

Suy ra Gxt) = yx) neuo <t <n

Vay C(O) ~ (Oxleay X CC ©} (XIA là ánh xạ thụ hẹp của x trên A) Theo Hổ để 2, ta cĩ G(Ĩ) là tập compặc tương đối trong X,,

Vậy G() đẳng liên tục trên fo, n} (do Dinh ly Ascoli-Azcla)

va {Cix(s) > x © O s © Jo nj} là tập compăc tương đối (do Dinh ly ©) Theo định lý B ta cĩ G(O) là tập compac tuong doi trong X, Vay G là ánh xạ com pặc « Mặt khác nếu Dc XQ va PAD) < +0 voi moi ne N, n> oF thi ke “Z Pd) < too với mọi n c6 Nn>» a „ Sau cùng ta chúng míỉnh: P(x) 7 lim — () VỚI Iì > Ơ VÀnjn €N gi “ke PaO) Với mi 6 > 0, tu (13) voi mois € |ơ., nỊ và u Ee FE, tổn tat y > 0 sao cho: lp(s.u,®)l - E IDI O(n ~ o)

với mọi Œ Ee C vA HADI > y

Mat khac, voi IDI < y, s € [o nj, u é€ B0), vì ø là compăc, nên tổn

tại MB» Ø sao cho

lp(s, u, @®)l IA M

M

Chon yy sao cho <

YỊ ~ 2(n- 0) av yy V llpll (Lưu ý: yị vẫn phụ thuộc y vi

ï¡ phu thuộc MI) lyse ' 4 vơ ` 3 ° Vor mor x © X, sao cho Pạ(x) 3 yy => Ixll, 2 yy va Wax ì — ie Gx(Ol Ix, Ix, ƒ lp(s x(s).xJIds + lạ(0)J [oo - | , xl,

- lí J las x) xglds + J ts 00) E200 ann I, I ‘ + le(@)

Trang 21

asixis + ON <y VOe RVs € [ain

Suy ralx (DE <y VLe fo of hay x(t) € Boy Hau quả Ip(s, x(s), xls M vors € |) Min-o) 2 FYI Ct ] — — Vậy VN IIxIl, | 0(s X(S) X.)ldS lp(s x(s) x,)lds < xl, - ĐI, 5 Mặt khác tì cĩ: IIx Il Ig(s x(s) x Jlds

lIxII lu lp(s x(S) x/)lds = Lào áo Am Ix 2

Ta co: Ixdl = sup (Ixis + 0): 0 < 000 < 8 <n) {| sup {Ix(s + 0): 8 + 0< n} JIx(s 40) + p(0) — x(a) n@éus +0260 (S410 <n vio <s <n) sup |lp(s+0 -@)| nếu s+<ø - IIx II Suy ra lÍx < 2llxII, + lhpH[ => ` Hep <2 + li < 3 (vì y¡ > ll@ll) - _ HH Nx Il, YỊ llx,lÍ Ip(s x(s), x,) £ € Dan đến | - “ds < 3(n - o) oo = I, xt, Ix Il O(n — 3) 2 Vay ta co: ax(l _ ())I ` =) Sc ko) voi mot t € fo nl xl, xl, | Py(Crx) () :

Suy ra P2 P(X) <g ¿ NẠI IxIl, Khi xe X„ và Pạ(x) > Y

ton Py(OX) ect

Vay lim - 0 voi moi ne Ni n> oa

p„(@x) >> D(X)

Trang 22

16

| - — oe _

Vay Í Í(s, x”(S), Xxv)dS + | p(s x"(s), xy)ds + @(0) = XxỶ() (t = o)

ov ao

Với 0 c R-: x°(0) = x*(ơø + 0) = 0(ơ +0 —øơ) = @ (0)

Say TẾ XS = 4p a

Vay x* 1) nghi¢m cia phương trình (I) trên R và là nghiệm của phương trình

(I*) trên fo oo) Tuy nhiên khi t > ơ thì x*{U = x*(U, do đĩ x* là nghiệm của

(I*) trên |ơ, +), Lưu y ring x* € XQ = C(lơ, +00), FB)

ok EK KEK OK ok ok

Q Chu thich: Lay 1D) & XQ sao cho P,(D) < +0 voi moi ne No n> a

Vin mdi ne No n> o, ta dat

lạ = sup(P,OCO/x € D)} Suy ra IIxil, $4, Vx € D

Ta cĩ Pu(C(x)) = súp [IG(x)(UlU 6 [o, ny)

< sup if lp(s x(s) x,)lds /t © [o, nf}

: c 3 gs ¬ cect °

be [IIx.ll < 2IxIt, + Ihpll < 2r„ + lipll, với mọi x e D

(

|Ix()! < 21, + lọ , Với mọi x e ])

va g compac nên tổn tại hạ > 0 sao cho p(s, X(S), x,)I < h, voi moi s € lo, n] VÀ VỚI mọi x œ€ D

Suy ra P.(C(X)) < h.(n — Ø) VỚI mot x € D Dan đến IPa(C(13)) < +00

Trang 23

Bat toan II

SU PHU THUỘC LIÊN TỤC CUA NGHIEM

ie sk ok oe

® Định lý I:

L] Cho {A()} là họ các tốn tử tuyến tính bị chặn từ l x C€C' vào T' phụ

thuộc liên tục theo te là Cho E là khơng pian Banach với chuẩn LÍ

(` = CH(lÈ, E) là khơng pian Banach với chuẩn II Với mỗi x Ee CL ta co: Ix

súp {Ix(DI: tƠ c là-]

| x €C là khơng gian Banach với chuẩn II được định nghĩa bởi:

lll(tu, đ))|Í = lui + Webi với (u, MD) Ee Lx ©

CL) lA() (u a) A(Đ(v, (@)l = IA() (u — v, ®-—ø)l <

IUA(OlE Heo và qŒ®—@)ll[ = WAC (lu — vi + Id — oll)

n|} (vot n Ee N, n> o)

Dat Ko = sup (NACOI : te lơ i

Ta cĩ IAQ) Cu a) A(U(v @)l < K,(u - vị + 1q - all

vor mort © fo nj voi moru, vi e€ FE vot mor Dm Ee © Do do AM)(u, DP) thỏa (TT) tronp đĩ định bởi:

if Rx kx C - T: Mt ou BD) — A(0(u, @®)

(J Voi moi k © N, cho gy: Rox Fox C - FE thỏa các điều kiện (I2) (L3)

va sao cho day (gp) bot tu déu ve g? [pe Rox Ex C -> FE thỏa (L 2), (L3)|

Trang 24

5 0 X= 0 1m X t Khi đĩ lim xÈ=x,, nphĩa là | _ ˆ k->mœm CT") 2 | K le a5) = Baller, ws trong An: @ Chung minh:

Dae X = (x e C(R, BE): XN 6 or al bi chan, Va e€ IR}

Vii ne No n>o dat = CB((-co, nj, F)

Lat IIxII, = sup {lx(UI : tU e (-œ, nỊ) Ta cĩ tu II.) là khơnp gian Banach

X IA khơng gian Irechet với họ nửa chuẩn Pạ được định nghĩa như sau: vol moi x € X, P(x) = sup(Ix(Ol / t € (-o, nj} (n € N, n > o)

Dar Bo = (xk 1ì (-, np ik € N) (n> o van € N) « Ta chưng minh B, bị chặn trong X° n

Ta cĩ: với e > 0, tn tat kje N, sao cho k € N va k 2 k,

=> Ip, (lou, D) - pot ue OD) < £ với mọi (tu, ®) Ee Rx EXC

Suy ra lpy(( u, Dy Ss tet, u ®) + e (k 3 ký)

s« Với £ > Ú nĩi trên, tổn tại œơ > O sao cho Hl » œ thì:

| 09%, u, ®)[ < NDI 0 Ẹ

4n

vol moi t € flo nf n >øơ, neN và với mọi u e E,

Trang 25

€

19

Suy ra: lpr(t u, (Đi <M,

voi mot (tL u, @D) © fo n] x BY) X B* (0) vak = 0 I, 2 k, Da dé ta co:

Ig.(t, u, yl < M' + 7 Ile II

voi moi k € (0, 10 kK) Vl e [ơ n| và với mọi u e Ï:

neu Hel > y hay vai moi u Ee BLO) nếu ll®|| < y Vay ta cĩ: E ý E lpeu(t u, ®) <M' + HDI + 1 + - DI + £ Bí tì 9) 4n 4n với mọi keN VLec fo n} va với mọi u e E nếu llĐll > y hay với mọi Ba) neu WD < y bat M = (M’° + I + 8) 7 M E Suy ra Ipp( u, ®)l < + IDI | n3 Bx 2 2n với mọi keN, VLe [ơ nỊ và với mọi u e€ E néu il@ll > y hay với mọi BAO) nêu Dll < y Y TA en: IxF(DI < km (091 + | IA(s)(xF(s) xF)lds + | Ipy(s x(s), xÈ)lds a Go lrong do: a <t <n, * Chú thích: *# Nếu IlxRll < y = IxR(0)1 < y VŨ <0, s e |ơ nỊ => lxÌ(s + Ø)l<y V0 <0, s e [ơ nÌ Vì 0 < 0 và s e |ơ nÌ ta cĩ: -o< s +<"n

Vậy: Ix(0l<y VL<n nếu IIxÈII < ys € fo, nj

Trang 26

20 II =(selø.t : IxEl<y ] trong đĩ: l¬ = lo ‘ (W\ 1, {

Dân đến Í Ie((œ.xÉ@).xllds < 2 [ [M¿ #kiks = Í (M + Siixkii)ds

ha cĩ: [A(U(u ®) < Ky dul + Mel

VỚI H"HỢI f € [Ø, n| n » ø, mọi WD c C và u ec T

—s JA(s)(xk(s), xk)I = K, (IxF(s)l + IIxFII) fjo@ox ssSteaost Ss ni)

IIxFII = sup {Ixk(s + OL: s + 0 < t 0 © R-) = sup (Ixk(ujl u < t}

Suy ra Ix(s)E < IIxRll vn mois € [|Ø, tỊ

Vậy IA(s)(xR(s), xk) < 2K Ikki với ø Ss St va <t <n Dat 2K, = k,, * khi đĩ ta cĩ, Với ao < t <n, E (DI < l@y(ĐI + [ kalxRllds + f (M + “llxkil)ds o o n / Do đĩ Kk) < ep, (OI + M(n — Go) 4 (Kạn + ng -) f lIxéllds Dat b = sup (Mpls k 6e N)

Ta cĩ Ixf(0E <b + M(n - o) + (k n '* `) | IxKllds (ao < t <n) n" 7a |

Ta cũng cĩ: IxÌ(DlE = lip —- Ø) | < b (với mọi ( < Ø)

Suy ra IxX(DI < b + Mín - ø) + (kK, + ef lIixkllds (với mọi t < n) Nog - Dan đên IIxFII <b + M(n — o) + (k W E | lIxRllds với mọi t e [ơ n| 24 : neg ` Theo bất đẳng thức Gronwall, ta cĩ: IIxFlI < (h + M(n-ø))exp ((k, + ef ds) < (bh + M(n-o))exp ((k, + “yn -)) NG I

vor mot k © N, t € [o nf

Suy ra Ixk(t 4 0) < (b + M(n-ø))exp((ka + (nơ) với mọi k eN và

n

o<tc<csn 0 e R

Hệ quả IxÈ(0I < (b + M(n-ø))exp((k, + “\(n-a)) vit t <n

Trang 27

2l

e Ta chung minh B, là tập compăc tượng doi trong x

' Voi modi k © WN dat V, OC, 2 X —» X Voi mbi x © X dinh nghia: { Vx(t) = Í A(S)(x(s) x¿)ds nếu t>ø lc nếu (<Ø (x() = om |í 0y(S., XS) x,)ds t@y(0) nếu t>ơ lu“ —Ø) nếu t<Ø * Vx € X, = CB((-», nJ, E) với øơ <Xt<n ta cĩ: | IVx(DE< Ƒ IA(s)(x(S) x,)lds ao <| h Chú thich: Voix e€ X, ta co: ( k2Ilx,llds < | kallxllds = kallxlb(L— Ø) ao Ø

Ix ll = sup (Ix(O)l = lx(s + 0): ØÐ <0 và ơ<s<t và g<t<n]

= §uP ({lx@Dl: uú <tvà øơ <t<n) < sụp (lx(u)l: u < n) = lxla

* Cid SỬ VỚI! 6N 1> 2, tì cĩ

[R„f = đ)†

i!

IV l2(ĐỊ < PACs evinisy (Vix) cls S j kạll(V'x),Ildx

IV'x (Ol < Ix’, (voi o < t <n)

Nhung voi méis € [o t] vao < t <n ta Cĩ:

Trang 28

ct 22 Do do { [k,,(s _ ø)]|Ì itl ( IV fs(DI < ky lIxit, ds 7 5 | (s — a)! dsllxth, * oO k.(—Ø i+ | 1 vn ni lIxili (với ø SSN) 1+ : ¥ Suy ta, voi motte N*, ta Cĩ: (k, (i= Ø))Ì 1! [kaq(t- ø)|! i! lievianny a lIxII, = IIxiI, (với <t<nn) I(Vlx)()I= 0 với t<ø Mặt khác IIV°xIl, = Ixll, [k(n - ơ)ÌÌ Vậy IIV'xIl < lIxI| với mọi ¡ e N I¿ ca * pat lx = So VIX, vei x eX) Ta co WI I chuẩn do A() tuyến tính, re) \ œ® = IlxIl ca) [k(n = o)]! i! Vì 3 IV, < Ixln2) ¡=() =0 Ta la cĩ: Ix Il, ae Ilxl x Ih <S ID * ` nk,(n-ø) — © n = xl, _ xt * ty) œ) # IIVxIP = 0 vt d= | >> Uvex, | — VOxl, = tb Ằ% tĐoÍyI# <= ty] Mell, sx * — Ixil, ; =() ¡=0 < lhe Ư„ kín ) * = xt ~ ( ais kế Ax Vay WVxllh < (1 - e km -ø) JIxIi

Vậy V là ánh xạ cĩ hệ số ƒ trên X,, voi chudn Il ilr * (X,, lh) ld khong gian Banach và B„ là tập bị chặn trong (Xu, ILIỆ) ° Mặt khác Cụ là ánh xạ compäc, O Chung minh C, compac : Cy : X + X | Vor x œ X, đặt IlLx(U) = | 2.(8 x(S), X.)ds + —, (0) (t 2 0) lai

Trang 29

Pat Dy 7 (om ao] > IE sao cho 0.(U = M(l — oO)

Ms neu (>a

Vay EX): =

[ACO neu (SƠ

hay Q 1) ap bi chan trong X Ta cé Hy(Q) 1a tập compắc tương đơi trong

MC V0 tiếu (>a

la cor OL Ox, CO) cm

|m,(0 nếu (so

Hho (UN OX)),, Tà day trong EH(O) nên nĩ cé6 day con (T(x), bor tu

Vay (Cy(x,), cong hor tu = day (C.Ox,)), = (Uy), cĩ day con hoi tu Vay (C(O) Tà tập compác tương đối

th Với mơi keN ta cĩ xk = V(xk) L Cu(xÈ) Hữu xÃ VDGÙ + CS) + Cụ) = CS(SK) Vậy Hụ c {V + C?{H,} + {CgIx) - C9(xÈJI (-m, nỊ| - ke NỊ * Theo định ly về ánh xạ cơ đặc ta cĩ: Neu V là ánh xạ cĩ hệ số ƒ và C9 là ánh xạ compäc thì (V + C9) là ánh xạ cơ đặc hệ số |} từ X„ đến Xu liều do suy tà: x|(V + €C®)(B.J)J < B.x(B,) (xem [6])

Trang 30

24 KiB) CPB TÀ tập compäc tường doi vi Cy Ce là các ánh xa compac k, với mi ke cN > (7 [€¿(n 2) C(0)0J là tập compäc tường đối k-0 Ky Do đĩ: y C7 TC, (B,)- CB )ET = 0 k-O

Vay y [(Cj(XR) - CS(XÉ)I (an, nỊ ke NỊ] < xIB‡(0|

ha cĩ: ý (BAO) <£ (xem chú thích cuối bài tốn TÚ

Suy ra xI(CtxÈ) — C(x), _n, HỊ * k € N}] < & voi moi £ > Œ,

Vậy x[{Cg(xỀ) — Ce x)! ( —en, n| - ke NỊ= 0 ,

Do do xB) < XV 4 COBOL < Be x (By)

Suy ra x(B Cr - B) < 0 > x(B,) = 0 (vi TF - B > 0)

Vậy B, là tập compäc tương đối trong (X,, ILI)

- VỊ Hạ là tập compäc tương đối nên tổn tai day con (xk, mi Của

cy", oy np Sto che tim XI, “af = ¥ '€ Xi

đa CO ky " V(xK;) | Cy, (ki

1

tay gen yk _ k ` vk,

Suy ra Xi ae el * (Vx Dy in) * (( KX il œ „ nỊ

see alk Kegk ` k ` ` ọ : Fas vo

Hay xml ul V(x Hl m nU + Op (X il(-on, np (suy ra từ dịnh nghĩa của V và Cy)

Cho 1 -> o» suy rar y = V(y) + C%y) trong Xn

Vậy Y = XI 41), Cang (VÌ X¿ LA nghiệm duy nhất của (H9) (} SAU GA

Vay voi bat kỳ dãy con hội tụ nào của đãy (xẺI (-m, npk Cong CĨ cùng một stot han ly x ale an, ap

Trang 31

[?o đĩ tổn tại 6 > 0, sao cho Vị 6N nị > j và mị > | (nị mị e N)

Ã Reais Wy my * +

dan dens WOM on ni] X lạ nh >_E (*)

3 Này ` ; nj l mj ; : ia @

lo cĩ 2 đây con của 2 đấy (X qpj Va (x "` NI n] nen dieu CY) vơ lý

Ay ,k ' 9 : A

Vậy U8" he mi hội tụ và hội tụ về Xe „, nf:

E] ket quả ,lin x&

k->ơ ry ( =,n| ~ Xai ( sn| dung voi moi ne Nn > co Suy ta

k » —

fi Wx enn) ~ Saloon = 9

vor morn Ee Nn > oa

= * na ; k : oss ‘ ‘ =

I?o HH, ~ HH nên kìm | IIXỀÍ( „n7 Xol(cemIlh = f? với mọi neNĐ n>a.,

Suy ra, lim Poxk ox ) = 0 voi moi n e Non > oa Điều này nphĩra Tà k-»m 0 0 im xF =x¿„ trong X Định lý I đã được chứng mình ` ›» h - hk KEY * Chu thích:

L] lộ do cầu phí compăắc xy : (Xem [1] trang 41)

Cho X la khong pian Banach va Bola tap bi chan trong xX

x() = inF {r >0: B bị phủ bởi hữu hạn các quả cầu bán kính r} Tính chất của ý như sau:

#.x() = 0 nếu và chỉ nếu B compăc tương đối

* By, & By => x(BỊ) < xa)

Trang 32

Bat Toan III

SU ON DINH DEU CUA NGHIEM

*k 2k ok

* Khao sát phương trình

Jx (0= A0) &() xÙ 1 0(tL,x(.xj) (t>ơ) (I) |

(II) |xx=m

trong dé AQ) va g thỏa các điều kiện đã nĩi ở Bài tốn TH

° Ciả sử phương trình (HH) cĩ nghiệm duy nhất là x(ø, @) với ao = l và

me © nao do

Theo G Seifert (xem tài liệu trích dẫn từ [7|) va Jack K Hale (xem |3|) và theo TIAPUNOV (xem [0J) về định nghĩa của sự ổn định của nghiệm tì cĩ nghiêm x(ơ, @) của (II) trên [ø.) được gọi là ổn định đểu trên [ơ ®) nếu với mois > 0Ú, tổn tai 6 = &(e) > 0 sao cho với ơi 3 ở VÀ với mi đđ â C vi

ep x, lle « ð, kéo theo lu(ay Day — x(ø ,)(0lI; < £ VỚI mort > Gy

®' Định lý THỊ:

Cho x(ø.@) là nphiệm duy nhất của phương trình (II) với ø e€ IR va

nphiệm x(ơ.@) ổn định đều trên |ơ m)

@ Ching minh:

cho Wa x„lÍ < 6 kéo theo

|

P (ula, „ ®) WG] XI < £ Với mọi n e Non > oy (*)

Kết quả này cĩ do định lý Th ulo,.@) va ula, xg.) lÀ nghiệm của (HH) với

` |

diều kiến đầu (ơi.tP) và (Øi ‹ Xe):

Từ (7) suy ra: lu(øi,€®) (0) — u(Gi.Xzj (ĐI < E vii MOL | > GY

|

Vì phương trình (II) cĩ nghiệm duy nhất x(o,@) tng với điều kiện dầu

(a.m) và U(Øi.„ }„ — X(Ø.0})„ nÊn ta suy ra:

Trang 33

27

x(G ,0)(U) = u(Øi X„ )() vii MOLL 2 oy

I

Io do tule, PA) x(G,(@)(UÌ < £ vt Mort 2 oy \

Trang 34

Bat Tốn IV

NGIIIỀM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG "TRÌNH

VI PHAN HAM TUAN HOAN tok C) Xét phuong trinh: x'() = A()@() xj) + (EL x(x) ((>ø) (IV) (IV) XơE#Œ 7777 Trong đĩ:

thuộc: liên tục vào L tuần hồn với chủ kỳ @œ theo ( (@ > 0)

(IV.2)p : là x x(€ -> E là hàm tuần hồn với chủ kỳ @ theo t và thỏa

các điều Kiện (l2), (1.3),

(IV 3) Vor mot m c6 C voi moto € IR phương trình (TV) cĩ nghiệm duy

nhat x(p) trên l, nghĩa là phường trình (TV*) cĩ nghiệm duy nhất trên |ø m3) ° la chứng mình phương trình (IV) cĩ nghiệm tuần hồn chu kỳ @ trên |ơ 5)

L] Đặt S( s); C -> C; § phụ thuộc liên tục theo (t, s) € IR? và thỏa: S(, S)(p) = y,(@) nếu L> s S(.s)z= 0 nếu t < s tronp đĩ y(p) là nphiệm duy nhất của phương trình y(0= A()G@).y) (3S) (IVA) Js « Ta cĩ: S((, s) là họ các tốn tử tuyến tính bị chặn từ C > C LÍ Đặt X :IR- > LE, E) xX()=0 nếu 0<0 X(0) =1

Trang 35

I) 29 L] Đặt: VụC, s): => C được định nphìa bởi: | Vụ(.s)() = S(Ls)XCJ(e)= y(XCJe) @>$s) lV, (.s)=0 neut<s

trong đĩ yXC(e)) = XOMe)

[1 bat Vas): > E được định nphĩa bởi:

|Vd.,s)=0 nếut< s

trong đĩ V phụ thuộc liên tục theo (t, s) € IR

* ta cor Vit sie) + Va sD = y(X(C)(e))() + y(X(C)(0)(U) (với e E c T)

Vì nghiệm y(@) của phuong trinh (IVA) 1A tuyén tinh theo @ ta cĩ: VINE MeN § VXCIDMOD = yIXO)(e) & XCD

— y[(X(.)(œ + f)|(Ð

—= V(t, s)he + f) (t > 8)

Vay Vat sic) + Vit sf) = Vit site + FY (At > 8)

la cone co Vat s)(Ae) = AVL s)(e) (A € IR) (t 2 8) Nehia là Vat os) tuyén tính theo e e6 Fr

Ta cĩ: Iy(X()e)(0I < Mell exp(k,.(n-s)) với s St < n (xem trang 20, bài tốn trong đĩ: llpll = IX()ell = sup {IX(6)c|: Ø0 < 0) = lel

Suy rả: llpl[ = lel dẫn đến ly(X(.)e)(ĐI < lelexp(k,a.(n-s))

lo đĩ: TVỤ s)(eJ < lelexp(Kun - s)) với mỗi e e E:

Vay V(t s) bi chan Suy ra V(t s) Ee EE 1)

"Vi y(XC.e)) 1a let gidt cua phương trình (TVA) ta cĩ:

Jy SOMO = A(0[y(X()(e)(Ð) y,(%(C)@))]

¬ (L> S)

Trang 36

: s V(t spe) = A()IV(.S)(e) V/(.s)(e)[ (L> s) Suy ra: ¢ et V(.sJ(e) = XC)(e) ° W(s)= A(0[V(L.S).V,C.S)|- (L>S) Hay: {ot V.(.s)= XC) Ta cĩ: * VC, s)(e6(0) = XC)(e)(0) 3> V{(s, s){œ) = X((ec) <^ V(s, S)(e) Ke) =e Do dé: Vs s) = Te LU 1)

| "VU, s(e)(0) = XC)(e(0) (0e R*#-)

lo đĩ: V(s + 8, s) =0 € TAK, EF) nếu 0Ð <0)

Vay ta đã chứng tỏ sự tốn tại của họ tốn tử tuyến tính bị chặn V(t s) từ |: vào chính nĩ được định nphía theo se là, t © IR va V liên tục theo ( s) và

thỏa phương trình sau: ¬ | 5, V (18) = A(0IV(.s) V,(,s)], nếu t>s €1 V(.s) = Ï nếu t=s t2 |0 nếu t<& L] Chứng mình | S( + @, S) = S(( + @, Đ.S(( S) (C> S) (*) Ta cố: SCE OL SIP = Vey (0) VAP) = |S( s)p = v,(@) RCD = <p [SC Har OLS(LSID] = SCLHOODY (= Vey oo (¥ C(O) | vy (em) = y(n)

Trang 38

x X là Baz [y (000w) = A()|y(p)W) vụ, vÉ@)| SUY Fae Vì phương trình (TVA) cĩ nghiệm duy nhất trên ta cĩ: Viam(®) = ¥ CM)

SUV TAD Veg yg (P) = VQ(P) = —

Vay (**) da duoc chung minh L]Ì Chứng minh: x là nphiệm của (IV) nếu và chỉ nếu x = Al ap 4 | (V,( S)p(s.X(s).x¿)ds (t 2 6) (F**) a *# ez) Neu x, = Š(t Ø)@ + f (V,( S)p(s.x(S).x¿)ds (U> Ø) thì ta chứng minh ao nghiệm cua (PV) Va cĩ: { x(t) = SC a)p (0) 4 | V((,S)p(S,x(S).X,)dsS Suy ra: X'(D = [S(L ø)@p(0){ ` + | 1 (V(L5)(S.X(S).x,)d$ + V(t, t) p(t xO x) a ` Dan đến: x'() = A(0)[y(), vụ] + [ A(Đ[V(.s)(e¿), V,(.s)(e¿)Jds + £øŒ x() x¿) ao

(rong dé e, = g(s, x(s), x): xem chu thich | va 2)

Trang 39

Way x, = @

Vậy x là nphiệm của (IV)

# =x) Nếu x(@) là nghiệm của (IV) thì ta chứng mình: x/(@) = S(( Ø)@ + [ V,( S)p(s, x(@)(S) x¿(p))ds (1 > Ø) Ta cĩ: Sứ øbe(0) t[ V(Ls)p( x(p)(S) x,(0))ds Ì = ACU, y(t) 4 | V(t s)(f,)ds, y, + | VC SF ds} + pit, x(0)() x,Œp)) ao ao (trong do fo = g(s, x(p)(s) X.(p))) Mat khac: x (pd) = AMIX(M)(D xX (M)] + p(t x(p)Œ) x,@p)) Suy ra rằng: [x(p)() — S(t ø)@(0) — f vastus = ° { A(U[x(t@)(U) — y(t) = f va sds X(~p) - y, - | VAC Sv ds] ao a Mặt khác ta cĩ: Xx„(t0) y„(@) — [ V.Cs)Œ)d =o-g -0 = 0 ao 7 (I = A(z, (7D 7 ‘qe = ()

VỊ phương trình | cĩ nphiệm duy nhât z = 0, nên ta suy

x(@)(U) — S((, Øø)@(0) - ƒ vụ 8)(fc)ds = 0 VỚI IHỌI ( > Ơ a { Vay xp) = SU op + V.C.s)a(s x(p)(s) x (p))ds (t 2 Ø) a L] llệ quả từ (***): Xa¡a(0) = S(œ+ơ Ø)(0) tÍ a a a GS Vang khai IE MU DI kh» : HH [I| Với La ø: Đạt we ve = Với mỗi E Cz T(D(@) = x((@)

trong đĩ x(p) là nghiệm của pT trình (IV)

L] Chúng mình: Tí + 1% T() Tơ + Lo) ( Ất › „ _Ơ) |

Định dạng
Số trang	65
Dung lượng	18,33 MB