Trang 1 TRAN THI BICH THU MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CAUCHY TRONG THANG CAC KHONG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán giải tích Ma sé: 60 46 O1 LUAN VAN THAC SY TOAN HOC Trang 2 Để hoàn thành luận
Trang 1TRAN THI BICH THU
MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN
CAUCHY TRONG THANG CAC KHONG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán giải tích Ma sé: 60 46 O1
LUAN VAN THAC SY TOAN HOC
Trang 2Để hoàn thành luận văn này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành
dén PGS TS NGUYEN BICH HUY - người trực tiếp hướng dẫn,
chỉ bảo tận tình giúp tơi hồn thành luận văn; đến tất cả cdc thay cô giáo khoa toán trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh và trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi những kiến thức cần thiết bổ
ích; đến các bạn học viên lớp cao học giải tích khoá I5 trường
ĐHSP TP Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ; đặc biệt là đến Trường THCS Thị Trấn Phước An cùng gia đình đã tạo điều kiện tốt
nhất cả về vật chất, tỉnh thần và thời gian để tơi hồn thành luận
Trang 3Ei CRG OR 050cc SG01400612024014006026165618c235546L086xk460i4540-538Se.sgbSi04evs4tktesšesosasisib l Mùc Weare 126261/4668)56086i2)600&WqWSGlbA 202/46 ãyuáss 2 J9 )JÀdtttiẳẮỶỒỖỒ 4 CHIẾN su 22k4601G086020)021G01 20008 0GGSŒGGNQIGQGir6S(6104512u8001401axkqx@ 6 1,1CHữI HIÊN 2224:6061 X4A08 R08 ._ïg 6 Gid CHIT LD 43 7
BRI I BAY cscs ssasasacccssesabessizunsuacsus crass skcttapcicnicsincchaccettaansmenaabemnetera 8
2 MOE var Cee aaite ie acini ee ee 9
Gid THIET 1.2 ooo cccecececesscesseeseeescesseesessensseseueeeseeeueeeeeeeeasensreeserserneneees 9 Bi H122 cát ecttx4 2066 )6G116616663000010ề00400801101830§80006 11 Chế l9 1 Buacsátuiáktiagidisvbdatsiikiiidisbcakdlotktioiddedt@kiGiiogatex 11 1.3 Chứng minh định lý 1.0 ooo ee cece eecececesceeeeeeeeeseeseeaeeeeeeeeseseeneeeens 12 Bổ đề LÍ aueoneoraaaasi06016101006026152)53334640136508384566036:604606636 12 PRS BE ssi iiss iNET EAI bd aa 14 Chứng minh định lý l.1 SG SH HH ng 14
CRINGE: 2 scsssisictnitscansaiitss since vwsexicy sie eowonancchcenitonapanevebenies snewivankanyantonvesananmertrueieteessens 21
2.1 Phương trình cấp 2 với điều kiện Lipschitz với .- . .- 22
các hàm a(4, 4°), ð(Â, Ä') tổng quát - - 2 ¿+55 5scszss=se2 22 Đinh lý: TbcccuiutGticctyvGt0ã2654i5ã00Aiá0580X800460ã046i0010 08k 23
2,2 Phương trình cấp 2 với điều kiện Lipschitz - ¿5-55 <cs<s<css2 26
với các hàm a(À, 4"), °(4,”) trong trường hợp đặt biệt 26 PiEU Ki (A) 18 gu 28 SR UM i SaaS ERR NSBR RCA E Casa aE a Baa oon ects 31 Chương 3 - QQ TS ng Họ nọ n3 01509 33
3.1 Phát tiểu của bài DẦN: «seuseeenaaeeasvoeeniirienedeneoddngrhdavgaiae 33
3.2 Định tơ vấp xÍ (ng QUÁ ¿các i45 SácttittGttiododgidicududboitck 34
Định lý 3.l - Á S HH ng nu HT nh H04 37
3.3 Định ý Kiattiển tổo£ QUÁ co ckga phi uáaniiiacdzaokiaoaaa 39
Trang 5vị phân với điều kiện đầu (cũng gọi là bài toán Cauchy) dang: du
— =Ƒ tt,
at ( u) (1)
u(0)=u,
Néu anh xa F tac ding từ [0,7] x X vào X (với X là một không gian
Banach) và thoả mãn một số điều kiện thích hợp ( như điều kiện compăäc,
điểu kiện Lipschitz, ) thì sự tổn tại nghiệm của (I) được chứng minh nhờ các
định lý quen thuộc về điểm bất động
Trong một số bài toán ta gặp tình huống có một thang các không gian Banach {X, :s e(0,s,)} với X, C X, khi s°< s và ánh xạ #' tác động từ [0.7]xX, vào X, (s” < s), thoả mãn điều kiện:
c
|F(t,u)-F(t,v)| < lu —v| (2)
s—s'
Vì ánh xạ # tác động từ X, vào một thang rộng hon va hé sé Lipschitz
trong (2) tiến ra œ khi s° —> s nên việc nghiên cứu bài toán (I)-(2) trở nên
phức tạp hơn rất nhiều, đòi hỏi phải có những phương pháp nghiên cứu mới
Các điều kiện thích hợp dạng (2) và phương pháp nghiên cứu bài tốn Cauchy trong thang các khơng gian Banach được Ovcyanikov, Nirenberg đưa
Trang 6nhiều,
Luận văn trình bày một số nghiên cứu về bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach Chương I của luận văn trình bày bài toán Cauchy cấp
I với phương pháp chứng minh tương đối đơn giản của Safonov, được tìm ra
Trang 7THANG CAC KHONG GIAN BANACH
1.1 Gidi thiéu bai toan:
Xét bài toán giá trị đầu đối với hệ: , = F(t,x,u,u,) | (0, x) = 0 eM Trong đó: u=(u'u° u”), F=(F!,F, F”) XZ(X\,X¿ Xa), u,=(H, , H, v1, )
Nếu F giải tích trong một lân cận của 0Ö với tất cả các đối số thì định lý Cauchy-Kovalevskya bảo đảm sư tổn tại và duy nhất một nghiệm giải tích
(f,x)trong một lân cận của 0Ư trong khơng gian phức n+1 chiều C”"
Tác giả M.Nagumo đã nghiên cứu trường hợp khi F(t,x,u,p) liên tục đối
với biến te Ä' và giải tích như một hàm của (x,u,p) thuộc C”””” trong lân
cận của 0e R’ x C77", Trong trường hợp này tồn tại duy nhất một nghiệm
u(t,x) sao cho ,1#, liên tục theo £ e ÏR' và giải tích như một hàm theo xe Œ"
trong một lân cận của 0e R' x C"
Trang 8trong một thang (một họ tham số) các không gian Banach đã được nghiên cứu
đầu tiên bởi tác giả T Yamanaky và L.V Ovsjannikov trong trường hợp tuyến tính : F(u,t)= A(t)u+ f(t) (1.3) Dễ thấy bài toán (1.2) tương đương với bài toán sau : u(t)=T(u(t))= [F(u(r),r)dr (1.4) Xét {B,,0 <s<s„} là một họ tham số của không gian Banach sao cho: B,cB,, | sil (1.5)
với O<s'<s<s,, trong dé |) 1a chuẩn trong B
Trang 9
| s “ lu—vị, (1.6)
|F(,r) i F(v,£)
trong đó c 1a hang s6 déc lap vdi s,s',u,v,f
c/ F (0,t) Ia ham lién tuc d6i véi bién t € (0,2) lấy giá trị trong B,,
<s<s, thoả mãn :
ÍF(0,/)||| < k, với k là hằng số cố định (1.7)
Dinh ly 1.1
Giả sử tổn tai cdc s6 dudng sp, r, ¢ va k, c6 mét hang s6 A,>0 sao cho
các giả thiết 1.1 thoả với A> 4, Khi đó, tổn tại duy nhất một hàm số khả vi, S—S, lién tuc u(t) lay gid tri trong B,, O<s<s,, a) <rvới () < f< và thoả mãn: u, = #(u(t),f) (0) =0
Trang 11Bằng cách sử dụng các đánh giá thông thường các đạo hàm của hàm
giải tích, thay vì điều kiện (2.1) ta có thể giả thiết rằng F bị chặn trong miền
D¬D
Với 0 < s < s„, cho B, là không gian các vectơ hàm m chiều, giải tích và bị chặn theo chuẩn:
if] = sup|/ (x)+sup|/,(x)| (2.2)
Từ các đánh giá đã biết cho các đạo hàm của hàm giải tích ta có: sup| //(x)| <——sup f(x), O<s'<s
eee
Vì vậy, với O<s'<s<s, <1, feB, tacd:
I 2
I/[L<(+ s=g)sup|/ (x)|< —_ 7 Sup| f(x) ris (2.3)
Theo định lý giá trị trung bình và (2.1) ta có:
Trang 12Hơn nữa, từ: |F(0,1)|, =sup|F(t,x,0,0)| +sup|F, (¢,x,0,0)] =r | < 2c, (Do |F|,|F,|<c,)
Suy ra (1.7) thoa véi k=2cy
Nhu vay F (u,t)=F(t,x,u,u,) thod man gia thiét 1.1
Cùng với dinh ly 1.1 cho ta két qua sau đây của Nagumo:
Dinh ly 1.2
Cho c, >0,0<s, <l và một hằng số đương A, sao cho giả thiết 1.2
được thoả với Ä}4, Khi đó tổn tại một nghiệm duy nhất u(t,x)cta bài toán (1.1) sao cho: jul,jui<r, voiOss, |x]+AKX(s, (2.4) Chú ý 1.1 Định lý 1.2 đễ dàng được mở rộng cho một hệ tổng quát hơn có bậc cao hơn: 6" u = F(t,x,u,070/u), 3 u(0,x)=¢, (x), k=0,1, N-1 (2.5) Trong đó F phụ thuộc vào t,x,u và tất cả các đạo hàm của u với bậc bé hơn
Trang 13Với hệ này, nếu F liên tục theo t và giải tích với tất cả các đối số khác
thì trong một lân cận của bất kỳ điểm đầu (0,xạ) đều tổn tại một nghiệm duy
nhất u(t,x) liên tục và khả vi theo t đến bậc N, giải tích theo x Sau phép trừ
đi một hàm thích hợp, bài toán này qui về trường hợp ¢,(x)=0, wk
Khi đó, bằng cách đưa vào các đạo hàm bậc thấp hơn N như là những
thành phần mới của vectơ hàm u, ta có thể thu được một hệ tương đương với
(1.1), với N=l
1.3 Chứng minh định lý 1.1
Với y >0, xét không gian Banach có trọng lượng S§” gồm các hàm liên
tục #{£)lấy giá trị trong Ö,, s+Ât< sọ với chuẩn:
lu[” = sup(s, = s= 42) [¿@)|, 1*Ä/<& (3.1) Phương pháp chứng minh dựa trên ánh xạ không tuyến tính T trong
(1.4) hầu như là co trong S” nếu 0<y <l
Bé dé 1.1
Cho u(t), v(t)e S’, full” (r, fy" (r va cho F(u,t) thoa cdc gia thiét 1.1
khi dé vdi bat ky 2 >0:
[F(u,t)—F(v, 0] <27*e.|è — v|”” (3.2)
Trong đó c là hằng số trong (1.6)
Trang 14Cho 0<s'<s<s¿, cố định Từ giả thiết 1.1a/ các hàm E (u,) lấy giá trị
Sạ—4
trong Ö, liên tục đối với # = „(t) e8”,0< t< Vì scó thể chọn gần s'”
Trang 18Tic 14 chifng minh: M(Tu)sn, , wES, (3.13)
Trang 21tr) »
<q‘ fu’ 0<q= 2` <l
Như vậy { u')} la diy Cauchy trong 8’, vi vay né héi tu
Giả sử limu°”'=we S” Khi đó qua giới hạn trong đẳng thức u“) = Tu! ta dude Tu =u Điều này tương đương với: u(t)= [F(w(),z)4: (0) =0 Bước 6
Ta đã chứng minh được sự tổn tại của nghiệm #(£) Do ø” hội tụ về
trong S” nên “(?)sẽ hội tụ về “(f) trong Ö,, Äf+s <s,.,
Ta lại có: T⁄"' =w'"”, vì vậy :
Tu = ue‘**” “”sr'<r
Cho k + © ta được : Iu|” <r'<r => ue€§, (3.18) Bay gid ta ching minh yw duy nhất
Giả sử có v cũng là nghiệm cla phudng trinh 7v=y, vlién tuc vdi
5,—S
O<t< , lấy giá trị trong Ö.,0<s<s„ Khi đó :
Trang 22That vay, néu lí” >r thì:
lim V(ø) =|v[”” >r , V(ø)= supjs)|| ~*& (3.19)
Vì v,() liên tục trên B,,0<¿< *—` và ||v,(/)||_ bị chặn trên {s+ Âf < ơ } với
nên Ƒ (Ø) liên tục trên (0,s, )
Từ (3.19) ta chọn s” e (0,s, ) thoả :
r"'<V(s,)<r (3.20)
Thay s, bdi s, trong (3.1):
Jul” =sup(s, ~s= 2) Ja@)|,
Từ (3.11) ta có :
Ju— vf” = [Tu 70" <2 fu—vf”
2 sup(s, =s=Â} |uŒ)~= vứ)| , Do mt | <l nên: le — vf” =0 hay Ï„()— vữ)|| =0, với s+Ât < s; Từ đây và (3.18) ta có: {(s¿)= sup|*()| =sup|a(r)| <|¿®|<r' rà pÄrc(
Điều này mâu thuẫn với (3.20)
Trang 23CHƯƠNG 2
BÀI TOÁN CAUCHY CẤP 2 TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH
Cho thang (E,,||) , 24[0,l| và ánh xạ f tác động liên tục từ
[0.7]x E, xE, vào #£, A , với mỗi cặp 4,4) thoả điểu kiện
2<Ä
2.1
|ye«»- /;w;,v, |, < a(Â,Ä')|, ~H, , +b(A,A')\v, - v,|, Hồ
Trong đó các hàm a(2,2'), ð(Â, 2”) không âm, không phụ thuộc f,1,,V Xét bài toán:
u" = f(t,u,u’) (2.2)
u(O)=u,, (0) =1, (2.3)
Với điều kiện (2.3) thuộc #2
Trang 24Trong (2.5), ký hiệu [[ được hiểu là hợp của các ánh xạ
€ (À2, Ã')w(f) = inf C(4,, Â,, 4, Ä„)w(f),(Â > 2’) (2.6)
Trong (2.6) inf được lấy trên tập tất cả các bộ n+l số (Â,„4., Â,; Ä, )
thoả điều kiện  = Ä, > Â, > Ä, > > Ä, = Â'
Với 3 < ÄÂ' ta định nghĩa tập hợp :
T(4,4')={T' e[0,7]: limự€,(4,4')10) < 1,vz e[0,7']Ì
trong đó l(t)= l
Dinh lý2.1
Nếu số T“eT(Â,4') và hàm h,(†}=w, + [Z(,w,„0)dr bị chặn trong
E, thì bài tốn (2.2.2.3) có nghiệm u:[0,7”Ì—> E, Chứng minh Đặt €C, =C(0,7'],E,) C2 =C(0,7"],£,) Xét ánh xạ: F:C, ->Œ, định bởi: Fv(t)=u, + [4] rom + J(@)4£.v) lr
Khi đó, nếu v là điểm bất động của F thì hàm :
Trang 25Thật vậy, nếu v là điểm bất động của F thi: v(t) = Ev(t)=w, + [ƒ(,w, + [*(£)4£,v(z))dr Do ai(t)=u, + [v(r)dr nén (0) =u, a'(t)=v(t) nén # (0) = v(0) = w, a'(t) = v(t)= FV(t) =w, + [ƒ(r,u, + [V(£)đ£,v(£))dr nên ñ"()= ƒ(,w, + [Y(£)4,v())= ƒứ,ñ(),!0)) Vậy ta có: ñ"(t) = f(t,8(),#(0)), ñ(0) =u,và 8 (0) =u,
Suy ra #(f) là nghiệm của bài toán (2.2.2.3)
Trang 26bat u=fjv,(é)-v,(4)|, dé => du=|v,(r)-v,(2)], dv=a(A,A')dt =v=ra(A,/') khi 46 1, = [ra(A, A’) flv,(€)—v, (6), dé} - [ra(A,3')|v,(r)- v,(?)|, đz = [ta(A.2’) v.(€)~v,(£)|, để— [ra(A,A')|v,(£)—v,(z)|, đr = [ứ ~7)a(Ä, 1”) v.(7)— v,(7)|, dt Do dé: |Fv,(t)— F(v, (0), < f(t ~7)a(ÀÄ,Â')|y,(£)— v,(£)|, đr + [b(A,A')|v,(z) —vw,(r)|, đr =C€(A^,')|v,(f)— v,(0)|, ,v,,v, eC,
Vậy ta đã chứng minh được (2.7)
Với mỗi bộ số Â = Ä, > Â, > Ä, > > 4, = Â' áp dụng (2.7) ta có:
|F”v,ứŒ)—- F"v,(Ð|, $CA_, AFP y(o- Fv, (0),
SCA, A)C(A, 4.) med wel Fy, (t)— Fv, (0), Ss
< C(A, 4,)C(A, ; Â, ) C(Â,„4,)|y,(f)— v,()|,
Trang 27C(2,.„4,)|v,Œ)— v,()|,= f(t —T)a(Â,.„Â,)|v,(r)T— v,(£)|, đr + [®(A A,)|v,()—v,(z)|, dt <|y,—v,| [[a(4.,„4,M~z)+b(A, „Ã,)]ảr S|v,—v,| C(A,.4 MQ), i=1,2, 0 Suy ra: |F”v,(f)— F”v,(f)|_ < C(A,.,„Ã,)C(A, ;› Ä,„ ) C(Â,,Ä,)|y, =v,|_ 10) Do đó |F”v,— F”v,|< C(,,Â,Â,„ 4,)|Y, —w|| lữ) <€Œ,(A,4')|v,—v,|, 1Œ?) Nếu ta xây dựng dãy lặp v, (f) =0,v,.(f) = Ƒv (7), n=0, 1 thì từ (2.8) ta có: Vast ~Y, i = Fv, 4 Fy,,| ?' = |F’v,, ms F*y, | = =|F”v,— F”v, P < C (A, 2’) |v, = v,| \(T")
Ma: v(t)—v,(t)=Fv,(t) =u, + [ZŒ.u,,0)4r =h,(t) (2.9)
la ham thudc C, nén tif (2.9) va dinh nghia tap 7(A,A') suy ra day {v,} sẽ
hdi tu dén ham v nao dé trong C,, , v là điểm bất độngcủa E 2.2 Phương trình cấp 2 với điều kiện Lipschitz
Trang 28Ấp dụng định lý trên ta sẽ chỉ ra cách đánh giá các T(A,A') trong một
trường hợp riêng quan trọng Đặt Jw(t) = [w(r)dr ta CÓ: Jw) = [Jw(e)de = [[s(6)4£4z Tich phan ting phan : u= fuo(E)dg = du = w(r) dv=dr =¬vzr Jˆw@) =+ [w(#)4£J,~ few(e)de =t [»(£)4£ ~[rw(r)dr = [ứ ~7)w(r)dr Khi đó cùng với (2.4) ta có : C(A.Â')w) = [[a(A.A'—+)+b(A,A')}w()đ:, hey = a(A,A')J?w(t)+b(A,A')Jw(0) Goi Dc {1,2., ,n}
C(A,, 4, w(t) = a(A,, A, J w(t) + b(Â,,^ )Jw()
C(A,,A, w(t) = afA,,A, J? w(t) + (A, A, w(t)
Trang 29[lIa(2,.,.2,)”[1», ,,^,)J””
wen ed
trong đó : | là số phần tử cla D véi 214(n-1)=k, k=n,n+l 2n
Số phần tử của D là I=k-n
Goi M, là tập các tập con Dc | I,2, n |, từ định nghĩa (2.5) ta có :
CAA Apo MO=¥Y [ata,,.2, TT A,.4, yu" den (hes, jal wet
Ta lại có : Jw(t)= [w(r)dr, J’ w(t) = [ứ ~r)w(z)dr
Quy nạp /°w()= [(€~z)*'w(z)dr
Do đó J*1(f)=— k!
Suy ra: CL Add aS 23, []a(3,.,.Ä, NTT P,.02, (2.10)
fan (hem, sen een !
Giả sử các hàm a(Ä,Ä”),ð(2 Ä') thoả mãn các điều kiện sau:
Điều kiện (A)
T6n tai cdc hàm a (^,2'),b (2, 2"), n=l,2, sao cho với mỗi cặp Â3>^4' tôn tại bộ số Ä = 4, > Â, > 4, > > 4, =Â' thoả :
a(^, Â,)=q,(1,A3 b(1, ^4,)=b,(1,3), j=12 ,n
Trang 30Do đó, từ diễu kiện (Ä}) suy ra :
d, (AA Ay AVEC Tala, 4, [PT O(4,,.4,)
= Cal *(A,A') bP" (A, 2’) (2.11)
Bây giờ ta xét trường hợp :
a(Â,A”)= a(× Â'}ˆ, b(A,Ä')= b.(A— Ä'}"
(a>0,b >0 là các hằng số.)
là một sự mở rộng tự nhiên của điều kiện dạng Lipschitz cho phương trình cấp
một Khi đó, điều kiện (Ä) được thoả với :
Trang 315 FCP al" (A,A') (A.A)
Trang 32nse (252- —h+ jb’ ‹#]) (2-2) '+ 2a e AA b+ 1b 2 ha ay | 2a e = 4 GF) [- 26+ 44 «+58 la~29*4 4a’ 3 e so Cứ 2e 2a e =e| —| 267 - a 5 WAY Fr e 2a = fee € gh ee phe ae ge Fat ly = e 5o Vậy 7“eT(A,Ã') Dos 0,44 -ử b’ +#ÌÌEra a € Như vậy ta đã chứng minh được hệ quả sau: Hệ quả
Giả sử ánh xạ /: [0,7]xE,x E,—>x E, liên tục với mỗi cặp Â,” và
Trang 33va ham ñ (/) bị chặn trong £, thì bài toán (2.2,2.3) có nghiệm
w: [0,T"]—> E, với T” thoả; 0< 7”< tệ [4+ Ke
Trang 34CHƯƠNG 3
BÀI TOÁN CAUCHY TRONG MỘT HỌ CÁC THANG CÁC
KHÔNG GIAN BANACH
Các bài toán giá trị đầu dạng Cauchy-Kovalevskaya giải được không
chỉ trong các không gian các hàm chỉnh hình hoặc không gian các hàm giải
tích tổng quát mà còn giải được trong nhiều không gian liên kết tổng quát hơn.Trong phần này ta đưa ra cách giải bài toán giá trị đầu với hàm số ban đầu có thể phân tích được thành các thành phần phụ thuộc vào một họ các
không gian liên kết,
3.1 Phát biểu của bài toán
Các bài toán giá trị đầu dạng: du
—=F |
dt “ 0)
(0) = u, (2)
có thể giải được trong thang các không gian Banach B,, 0< s < s„ và cho một
toán tử ÏFtác động trong thang đã cho Nếu phương trình toán tử trừu tượng (1) có nguồn gốc từ một phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong nhiều trường hợp, toán tử đi từ một không gian liên kết vào chính nó được định
nghĩa bởi phương trình vi phân Šw =0 Ví dụ, toán tử F chuyển không gian
Trang 35bao gồm tất cả các nghiệm của phương trinh Gu=0 trong mét ho che mién
con D,, quét hết miền D mà trong đó hàm ban dau u, dude cho
Trong nhiều trường hợp, không gian liên kết không được xác định duy nhất bởi toán tử vi phân ÏF, nghĩa là tổn tại nhiều không gian cùng liên kết
được định nghĩa bởi:
ễ„¿=0 (3)
với các toán tử vi phân khác nhau €
3.2 Định lý xấp xỉ tổng quát
Để đưa ra một số bổ trợ cần thiết, trước tiên ta xét trường hợp thông
thường khi toán tử tuyến tính tác đông trong một thang các không gian
Trang 36
Cet
(kel) eel < 6
wera -wreoh, sE{ Se) 6
với t bị thu hẹp trong đoạn : O<t<q-— (7) trong đó q là số bất kỳ thoả 0 < q < l1 Thật vậy, ta sẽ chứng minh (6) bằng quy nạp Ta có lu” (r)— ¿”(9)|| -| few (r)dr | Kt < [|Fu,|| đr < s,—Ss
nên (6) đúng cho k=0 Giả sử (6) đã đúng cho k=n-l, tức là:
Trang 37u" (t)—u"(0)}, ete Cer dr 5,-s Ce sử” K Cet | {+;) $,—8 e Ce << Cet Ce \s,-s Vậy (6) đúng cho k=n Với n>k và t thoả mãn (7), từ đánh giá (6) ta có: ,“()—w®0)|,< Š]è*()=x°0)| K Là K g`" <5 —aq" = —, ace! Ce l-q | | C=) Do đó dãy {u'" (t)} la day Cauchy trong B, nên tổn tại giới hạn: u,(t)=limu"’ (1)
Hơn nữa sự hội tụ là đều đối với t thoả mãn điều kiện (7) Qua giới hạn
khi k—> œ trong (*) ta được:
u,(t)=u, + (Fu, (r)dr
hay uw, la nghiém cia bai todn (1),(2)
Trang 38Bây giờ ta thay thang B, bởi một họ các thang BY” , v=1,2,
“(t)- ga 8
“°()=*()| S1 ng Mã
ở đó s thoả 0<s<s,
Giả sử ta có điều kiện :
(H,): i) Cac diéu kién(4) va (5) được thoả trong mỗi thang cho trước với
hằng số C và K được thay bởi C; và K,
ii) Cac thang #“' chứa trong Ö và các tổ hợp tuyến tính hữu hạn các
phần tử thuộc vào các không gian ` với cùng chỉ số s trù mật trong B
Ta có định lý sau:
Định lý 3.1
Cho toán tử Ï° tác động từ các thang Zj/”' vào chính nó (nhưng không
tác đông lên tồn thang #Ư,) Khi đó, với mỗi phần tử #,trong 8, và mỗi
>0, tổn tại một phần tử ä, trong Ö, thoả: ||„;—#,|_<£ sao cho bài toán
Trang 39Do gid thiét (H)) ii) t6n tai phần tử ø, eB, là một tổ hợp tuyến tính các
phần tử „„ của hữu hạn các thang Ö/"” và thoả mãn |, =#,|_< £
Ký hiệu giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hữu hạn các C_ tương
ứng là C_ và C, Thu hẹp ttrong đoạn:
0<t<4 (9)
Từ đó ta có đánh giá (7) thay C' bởi C_ được thoả mãn
Vì toán tử tác động trong các thang con nên bài toán gia tri dau (1),
(2) có nghiệm trong các thang con #'”" này
Vì vậy, ta có nghiệm „của bài toán giá trị đầu với hàm ban dau u, , nghĩa là : ul =ÏM,,,„(0)= tụ, tổn tại trong đoạn 0<f< = ,„ Và từ (8) ta có sự xấp xỈ thứ k được tính bởi : K g`” C# 1=# Đặt ñ, =3 1, thì do F 1a ánh xạ tuyến tính ta thấy ñ, là nghiệm của w'()—w (ĐÌ <
(1) thoả mãn điều kiện đầu, (0) = ñ,
Trang 40<)>) K — "|, 2 'C el-q
3.3 Định lý khai triển tổng quát
Cho phần tử , thuộc vào thang B, được biểu diễn bởi chuỗi :
u, = bà Mạ, © BY (10)
Ta giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thoả mãn :
(Hy) ¡)Chuỗi 3 K_ hộitụ (11)
ii) Tén tai cdc hang s6 C.,C., sao cho 0<C,<C <C,, Vy iii) Anh xa liên tục Dinh ly 3 2 Giả sử có (10) và các điều kiện (H;), (H; ) được thoả mãn Khi đó bài toán (1),(2) có nghiệm Chứng minh Bair *_— v6i g € (0,1) Se ES
Ta thu hẹp t trong đoạn 0 <7 < g
Với mỗi v=l,2, , ta kí hiệu u, va '” theo thứ tự là nghiệm và
nghiệm xấp xỉ thứ k của bài toán : du