BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẢO TẠO
a ` a bệ ,
ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ THANH PHƠ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM
LUẬN VĂN THẠC SỸ
TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG
KHÔNG GIAN BANACH SẮP THỨ TỰ
* Noudi hudng dan: SIs, <Vguyén Beak Hl uly
Trang 2BỘ GIÁO DỤC V Ả DAO TT AO
PALHOC OU OC GIA THANII "HỒ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM
(ệ()Ậr)
LUẬN VĂN THẠC SỸ CHUYÊN NGÀNH GIẢI TÍCH
TOAN TU DON DIEU TRONG
KHONG GIAN BANACH SAP THU TU
* Noudi hudng dan: PIs, = Nguyen Bick Hay
* Ngươi thục hiện: NG quyel < Hew Khanh
* Ngudi phan bién 7:
* Người phản biện 2:
Luận văn được báo vệ tại Ilôi đồng chắm luận văn Thạc sỹ Toán Triéng Pai hoc Su pham Thanh pha H6 Chi Minh
Trang 3Loti cam ta
Lin chin thank cam on
PIs Nguyen Bich fuy dé tin tink hiding dan t& trong gud trink thực kiển luda van nay
Trang 4MỤC LỤC Chrrittug 1: Non tron kii(o St PHHfẾI ảì-see-ễĂĂeecnknnsseseseeeeneseeosessrtenaail 2 l; các khỏi Hì HÀ CC ĐỒ -Ềssscoxzxeecsssegb00601442364214y00108146/6490x96438G63230A2(7634504241 2 Bs NốnNMIUIKIỀPRGETNBEEKƯG001(20011232ci0000010002L861itntlAHGntnigd 3 3 MÙNCHUẤNGG((2Ả\ X0 G0025 NGGÀIHSUXGGGAV0GVSGLAGNÁWA09600621G 3 "na .+4+4 6
Be 10001: 0F You <c-Ởs<rpuervvose-eekekev 2Exeies28XaloegseecbieiG0360042dex6222669Xonf002yEAxéddVsaas) 7
Chương 2: Tắnh liên trực của toần tử đit điỆU, 55555555552 2725<5cccccctccrvee i
Chuene 3: uất tứ đơn điện tả điển DAL ABI oocccccccccccceeeeceeecssscessssesessseeccoecesveesessseeneen If 1 Toài tW:dGfrGIỀN,vtocgcooéec ttg7acicsacceciifistedàdiiszcdisdiisszesika 16
1: Todn tu davdifw cosa RAE RRR 18
3, Toda tif cormparet detry GiGi eee ccs eeseeeceeseeneeneeneeseeseeseeneeneecensatenneeeceennen 19
4, Toán tứ compact đơn điện tới hạn ào cocceceeeSeserrrirrrire 25 5: foánđwlim:đĐssccqicccedeetoiavv0GL44t 04 30X6666gira00náaokỪxs 2R
Cluanse 4c Toán tel A Đrị đƠA đÍiỆ, cuc cv ccSSS 222cc kì
| ỘToán tỨ đa LYỊ -ó 2 < ĂĂ SE kg em me ce 31
# Toắn tỉ đa trị tuyến tắnh dưỡNG oicooc-eesSo.oonooeeeisabadiosso31
3 Toán tử a: TL YLđÌiỆN:y/202466v00100100 A0200 60866 ág8d8v 33
& Tốn Hfđdk&hẨđơcdiƠgdEOEc(ái(ảickiaS46cbagAaNWEG(svudd, 37
5 Tốn tứ da trj compact det GiGi eee eseeseesesesecneeneeceseesesnsarentereeceneneeneen hh
6 Town tif da tri compact don diéu Ộght ngặt tới i hari bpmnstasuenasave rap naraunchscncesd 40
Trang 5LOT MO BAU
[rong giải tắch tuặ, khi xet R vứt quan hệ thư tự tự nhiên tạ biết lai mệnh để
Sau:
(1) Mit bie don dif trêu R có không qua đấm được cấc điểm giản doar
(2) Hàm đi điệu tầng từ một nan tần chắnh nà có điểm bất đâng trên đan đề MIue đắch của luận văn này là trình bày các kết quá về toán tử đơn điệu Lrên cát
không gian Banach voi quan hé thi ty sinh bei cdc nón Qua đó mở rộng hai mệnh
đề trên ra trưởng hựp tổng quát thông: qua hai hướng trình bày chắnh của luận văn là
fate liệu Hắc eúđ tấu Hé đơn điện, luận tứ đơn điện tả điển Bất ding
Luan van gầm 4 chương: * Chitenug 1:
Irình lrày các khái niềm và kết quả về các nón trong không gian Banach với quant hệ thư tr sinh bút chang Các kết quả trong chương này sẽ được sử dụng trong
các chiững sau
* Chung 2:
Trinh bày tắnh liên tục của toán tử dơn điệu Bang thai me rong ménh dé {1} ra
dai viii khong gian Banach vii quan hé thi tỷ sinh bởi các nón,
* Chitfng 3:
Đây là chương quan trọng của luận văn Chương này trình bày các kết quá về
toan tử đơn điệu Qua đó cho thấy vai trỏ của toán tứ đơn điệu, toán tử đơn điệu co, toán tử compact don diéu va toan tf compact don diéu téi han trong viéc hinh thanh diém bat déng Dinh ly 4 va dinh ty 10 la hai dinh ly trung tam Binh lý 4 được
ding đề chung minh các định lý 6, 2, 8,9; còn định lý 10 được dùng để ching minh
dinh ly 11 Các định lý trên là các mở rộng khác nhau của mệnh đề (2)
* Clrreưng 4:
Trinh bày các kết quá mở rộng như ở chương 2 và chương 3 ra đối với toán Lứ đa trị đơn điệu Trong chương này có mội số khái niệm mới được đưa ra: quan hệ <,
quan he <<, toan Hữ đếm điện '<Ợ, toàn tứ địn điện nghiệm: ngặt
Trong luận vẫn này, các không gian được xét là các không pian Banach với
Trang 6Chidéng |
NON TRONG KHÔNG GIAN BANACH
1 CÁC KHÁI NIỆM CÔ BẢN
1.1 Khái niệm nón
(1 1lnh nghĩa L Che X la bhéng gran Banach wi R là tập can của X,
Ki duoc get la udn HIỂU: tì Á đáng, khác tổng tả # {0} 1] Ủ,bẠ lì: đ,b >U; rực => (+ | by kh tt] + CK và Ở+'Ạ R Ở> zxTỞỳỈỦ, e Vắ dụ 1 Che ầ =R" Ta ed K ={(ifs,-.:vÉ):&; ẹ RyẠe > Opi = 12,02) 0} N lt wow trong R
1.2 Quan hé thi tu trên X
O Dinh nghia 2 Treg thong gian Banach X vot wen Ky te xét giuauw he <
'
ie 80G
MVrưyyẠC X\yz Sự + W werk
Trang 71.3 Các tắnh chất của quan hệ <
Aw = AW
i WASO, Va,y Ở 12 ze Air my Ổ T Iz<ặt+#ặd-z
Hy) Newey < vp, Yava lim a, Ở2, lim Ấ Ởự thì # < Đ ex iii) Néu day (sr, ) Ling fgiain) va hoi tu vé x thiw, <2, (a, +) Vn Chung minh IÌỢ? <Sư=>yỞ+zCẠC MỞ ÀỮỞ Àz =À{ụu - r)C K Ở> Àr < Ày Ộtạ Sụ Ở> y/ỞaC ứ Ở> yỞ+=(/+z)Ở-(r+z)Ạ K Ở>z+z Sự+2 lay, SM, ỞỞ? tà Ở tạ ẹ ÔN, Vì Jun Ma rjp=y r và K đóng nên pỞ + ẠỂ ứ Do đó é < Đụ wee, -.* 4 Ổ sẽ * Ộ ` ` ` iii) Gia su [Z+Ấ} tầng Vúới mới tt, la CÓ #v ẹ tian Chom Ở oo thi chide SS ew Lo 2_ NÓN MIINIIBRAL MANH
1 Định nghĩa 3 Neu K troug X dicot got lé udu miniheral mauk wéu mei
lấp A{ Ấy chấn trên Đhang À đểu lấn tai supa
3 NÓN CHUẨN
Dink oghia 4 Món ĐÈ trong không giam Banach X được gọi là van chin trêu TT 3 D seụ cha Vư,pẠK.+ < thị ||*|| < Niall + aỢ Ẽ oe ` Ộ rs a ' - Aha dd se N divoe gor li hang sé chadn eva Kt eVidu 2 Ấ lWÈ = [ẶC C'ÍD,I}): Ƒ 3>) không là nản chuán frong C'(0, I] pW m {+ c CH0.1]:+()>0,x}Ọ 30W Ạ [0,1]} là nón chuẩn frong C0, 1):
ẹ 'Tinh chat Cho K Ja nén chuan Lrong X
1} VuyenC pm Sn Đủ can >Hef{rEeNXiucrce}
la tap dong va bi chan,
HW Newt, Sy Say n=l,2 2và hms, lin2 =a thn
Trang 8[lim tựẤ Ở # We tee ni) Néen day dan diéu (r,), có dây con (ZẤẤ ] hội tụ về x thie), hội kụ we x, Chứng minh
i)! tye dong: Gia RỬ ty, Ot utc, Wa va Jin Bom Ss
Tate atiiee se YanỞ= ready Se rete >
Youve bi chan
YWeecuur>thinienie SS e-ue C,tỞtẠ ứ vàỪ Ởw Sứ uw
Vì R là nóa chuẩn nên Jz Ở ula Me al
Ở> jel] = [hell SN Jo Ở | |
Dodd lle] < NJeỞal| + fel = Ảf
ii} Gia R #2 Ạ Yn S 2a, Van = Ody Ở #u XS Zu Ở đo
Do K là nón chuẩn nên lÌwẤ Ở ral| < N|ẬeƯ Ở #s|| (*)
VỊ lim-#Ừ = lì 3v =4 HIẾN Zv Ở #yu Ở+vÙ:
how ow hem
Ti (*) chon Ở 90 thi x, "4, Ở-Ừ 0
Dodd te =(y.- ta) + a, Ở r (2 Ởể c0}
ii) Cid ed Cary VA day Lang co day con (2, Je luội tụ về x
-~
Ta cor, Ộ<a, Vk vas, 2 7, nénz,, or, Vir
CP CBs [Se oS ee
Un, Ở - => z, dho ồ |iz Pre, | S Nồ
Khidé Wa > ne thì ly, Stn Sc ỦÚSzỞ1ẤSưrỞ ` Ở |x lip | % N ||: Ƒ Oks | Ộ ặ Pe * Vay li ệẤ.Ở # 7 L1 A Định lý 1 ftang khẳng gian Banach X sài nấu chuẩn N lên tại chưẩn 4 xố as
|: ||, tướng dương ret chudn ban dau |, || sao cho
Wye Xderiy ==+ || ồ llyll
Chung minh
Trang 9ỔVa chine minh: BUM) Co AC BIO), vir > Od lồn
| DotcANE Nứ]uên Bắnh, lịc A
+ Chting minh Ac BID Yr} vei r > 0
Nên ngược lại ta có thể xây dựng đây fz,]a C44 với |ra|l| = và
luc Ca e Hịn, L \, ey Va = K aan clin ey = Yn + Uy = 2% Ở Vy
VÌ ma Eứặ+ Ở za Ở Ấ nên ||tu + tu|| <2
[3u E là nón chuẩn nên |#a|| < Milena dt eal] < 2N
Dodo ụđô < |z,|l < |ws[ t[sa|[ SlE2M nu (Võ lý] * Nét phiém ham Minkovski cha tap A:
|z|| = r+/{A >U: \ eA zea
ỘVr eX, a 70, gai Ay Ở [Iz] thi TP i * 3{0, 1) va <- EA Ag ở x heo tiên ta có Te] EA và \ Ạ B(0,r) nên ||lz|| < 2||lz|| và Ag Irl! | wll Gir Ở+ sltrll < boll < rial
Khia Ở 0 thi dang thi: xây ra
Do 46 chuan || | Hưởng đường với chuẩn II
" Giả sử ÚSz S g la có {A>0: xỊC {A>o: =)
That vay, xằb A> Ù san cho 4 ; El
cà ` TS T + -
+YVi z >0 nên Ởặ /ứ >> -=04+-ẠR(0,1+4 4 \ À
| Vie Sy nen T = ; Ở : Ở T ek
; Ạ 44 nên theo định nghĩa A ta cd i= "uỞt với we BLL EN, Kii đó $= 0 Ở (2-2) -u- p43 Ie BiO.1) -
Dods > eA
Vivay [al = fy] LI
Trang 10A NON peu
LÍ Định nghĩa 5 New K frong X duoe got la non déu fein que) néu mor
day don diéu fang bị chấn trén trong X déu het tu ừ * ` * * + * e Vắ dụ 3 i} Non ede ham không âm hểu khấp noY trong L|U,I| là nón đểu trong /.|0, 1] tr} Nếu cde han kháng đm frong Choy; Khong la nần dex, % Định lý 2 i) iv da nén dew thi va chi bhi mot ddy don diéu giam bi chan dior déu how Fe a) KỆ ta nấm đều the N la meu chwetn Chung minh
i} (+) Gia sil KOLA nén den
Xét lax wy = Tey esi Zn Soot dis > T Ộị' *, - * * -.Ẽ ~ ae * a 7 \ Ộ arf Ja co dav fa, Ởw,), don diéu tang va bi chan Lrên bơi #ị Ở # nên hội Lu Vậy [ra}Ấ hội Lụ (<Ở) Xelbday mt, 5 ,.80,5 ,82
Ta thấy đây [#t Ở ra}u giam và bị chặn dưới nên hội bu Vay fay), hot tu
ii} La chủng minh bằng phản chủng Giả sử K không là nón chuẩn
Khi da WN, Sry Ạ WN, ayy Ạ KYO zkw ẾS x những [(zx|| > X ||ww |
Trang 11Dặi pỞ 3 wƯ thì ị +wạ+ +wysyw (va)
na]
ỔTa thay dav z4 Ở vị 4+ei+ +2 tang va bi chan brén bơi y Vì E là
non déu nen (2 ), hoi ty
Din dén a2 = 2, Ở2,-1 0
Dieu nay nau Whudn wo didn kiện ||rẤ|| =
Ộ Ộ
5 NÓN TÁCH
I Dinh nghia 6 Vến đượt gọt là mu tắch (uốn sinh] nếu V2 EX, duce As cra uỞe
@Vidu 4 Trang cde thing ginn Coy) bp{0, 1, nén ede ham khang dav tả
non tack,
A Định lý 3 Nếu uốn R có điểm trong tạ thì
i{da > D see cho Fee X thi Ởaljzlleo <x = Ủ|[ z ||
ci) Adi nan tick
Cling iminh,
img Cinth Ở> rỉ >0: D{ua,n}C KV
* Với z ý Ú la có tạ | ail Ạ Pfma,r} nên vot alle Xà ZY
lo đó ỞỲ||#||ua Z + < Ỳ||[# [to
* Khi z = Ú thì bat đẳng thuc trên còn đúng,
ii} Theo i} ầr Ạ X Ja > 0 sao cho Ởellr||ue Ế # Ế Ủ|(zl||to
` Ủ0lr|la++ệ Ở al|z|lla Ở# Ấ,, s Ổ
Data = | us - VÀ Ẩt= thi x >On > O và rỞnỞbU
Trang 12Chung minh Ta chung minh định lý qua hai bước e Bude 1
ỔTa da biét tip Á Ở {[z,#]: # Ạ X } là không gian con đóng Lrong khong gaan kắch Ả x
ồ Xem không giai bhiidng X = (NX x XU/A ma moi phan le cha né la
mot dp ede phan tal tidue ts, yhEN xX
Taco Cory) (tage) Se (e191) - Crag) Ạ & hay 2) 22 = yi Ở ae
* rong X ta dinh nghia phiểm hàm như sau:
|#|Ấ = inf {feel} ! l|:||: [Ừ,w](C ặfự{K x R}]
i) La chetig mink |Jxl] te chuẩn trong X
ỘYee X thi |@|| xae dinh (hay #N(K x I) Ấ Ú) Thật vậy
Vì l là nốn tách nên Y{+,y]}CỂ #, dưynC Í: #- ự=utw 0
Ổlaco r-u-yror Ở> (zy) (ue) Ở fe) e EN(K x WW) Do đó tển lại |#|| *JJ#| # 0 là hiểu nhiên ỘlJ#|.Ở=De->ẬỞỷ Da (0,0 6ự 1(W x W} nên |l0||, Ở Ngược lại, |#||, Ở ự Ở> 3{uẤ,tẤ} 6 #f1(K x KH): im (| | L || |1 = =+> ÌIn wẤạ := và lim ỦẤ Ở Íl R= ico Mã ặ là Lập dong nén (0,0) 6 ặ hay # Ở Ú "Ta để dàng kiểm chỉng được ||AẬ|l = |A||#| "` Via} e tO Lh x WH) File) Ạ ụ;ự{K x KÝ] tì {ứ + +?) E (@= #]T(N x k] nên ^ | +#'[' + ||u + tÍ|| (1
< ([w|[+ dell) + hell + fell) Ga i
Trong (1) xem (a',e'} cd dink, La có
|# + |, < mÍ{ [ đ|| + Jin; (ve) Ạ #f1{Ê x X]]} + (|e[ + |ell)
lề + oll
Trang 13hay ||# + ei <= |#| +(|l#|| + ||t|l; Yúu,??)ẠE pẲự(K x R}) ề#1 + ii: BỊ Ta chưng minh ( Ả, Í[ ||.) te chống giản Banach Vậy [jt +9 * Hnận xót VêẠ X, d(u.e]}c ặự1(K x &}: |ix||+ ||n||< 2|#|| (2) That vay
Nếu =Ủ ta chon fae} = (0,0)
Nếu |#[, >1 thủ do định nghĩa inÝ ta có
3u, Ạ ặự1{K x KỊ: lÊ||- s [lull 1 lIsl| < 3||2|l
*IJX chung minh CX, || ) Ws khéng gian Banach ta ching minh roi day Cauchy brong X đều hội tụ
Trang 14Do đó |# Ở#v | # lg Ở ĐẤ un] + tỞ 3, z|| +0 fxr Ở <]
*=l1 ol
" Buide 2
Xét anh xa A: X Ở+ X được định nghĩa nhỉ sau:
Wie Ê, lấy tùy ý (z,gìẠ ặ đặL A(#] = r Ở #
AGP) khong plow Gide vae phan ti đại diện Thật vậy Vi voi (zy yi), (a2, ye) EE ta cd
(21.41) (22,2) SC> TT #2 =WIỞ 2
= TT UICT1Ưv Me
"A tuyển tắnh:
+Wr,wẠ XÃ, giả s (,+:} Ạ ặ, (yay) ẹ ô Ta rá [Ẩ?t bai ta byele #19 uta
Al#+w} = (ry + Hy) Ở (xy +2)
= (x) Ở 72) + {tì Ở ?2}
= 4(Ậ] + ALP)
+VẬE Ý,VAE H, giả sủ (i.zƯ] Ạ Ê
Tà có (Àri,Àz+Ư} Ạ Àr nến Ả(Àz} = ÀriỞÀz7Ư Ở À(iỞza] Ở ÀA4Í?]
~ A len tue:
vie AX T(n,n}Ạ #*1(K x ứ}: |In|| + |Ie|l <4ll2l
Theo dink nghĩa của A la có ||24(2)|| = [lu Ở vl] ấ || + llel| < 3||#|| ỘAla ddn anh Aig} = |) Ở + Vz, ez thi rỞ i > At] Ở (Ì Ở> +r = y Ẽ == S70 * A la toan anh:
Vừ Ạ X, gọi ặ là lớp kưởng tương chúa (z,) thì A{2) = x
Thee tịnh ảnh xạ ngực, lôn Lại ánh xạ AT! : X Ởể X lién tue Khi dé
1A? >4: ||A '{z)||[ < Af|lzl| Foe X
Theo (3) Ở 3(6,s)c Á pC x KR): ull + fed < 2 Ace]
Vì (w,"}CẠ 41 !{z} nên + = A(A !{+]] =uỞ"
Vậy VrẠ Ả, 2,0 CẠ # : sao cho tứ ỞụỞ và fall, fel] < Mle]] 0
Trang 15C hủỏng 2 TINH LIEN TUG CUA TOÁN TƯ DƠN DIỆU O Dinh nnglifa 1 Cho hat khang gian Banach X,, X2 voi nén lì, ly tả Mic Ất i} Todn ic As Mo x, thước gọi la lun bu don dig ween: Yzye MM, xray Ở Ar = Ay 2} Todn de As MM Ở X, (tức gọt lạ loan tt đương neu: +ặ M\,xz>UÙ Ở=>.lz>U 2? ^Ẽ * ;Ộ tn + 1 aỖ s * Ộ * ,Ấ - ai * {Ủ TNhHận xét Dor vei toan tị tuyển Đình thi dink dvong 0a búuk dau điệu la fuong dueng That vay woe 1 a Ợ , ` Ộ \ ra Ộ+
Coa sl A: X, Ở+ Xy Ja toan tal tuyen tắnh
Néu A 1A Loan tat diidng thi Vza,yeEAXA,r i ymy-r>th Ở>
Aly Ởx) 20 Do dé Ay > Ax Vay Á là toán tử đơn điện
Ngược lại, nếu AÁ là loan ti đơn điện thì ầaeẠ Ny, 2 > 0 => As > A{U) = 0 Vay A là toau tu diidng
A Dinh ly 1 New Ay fa nen tach Ky fa nen chudn va A; X, + No là túan
X - , te * * 24 * 1% - 7 Ắ Ẽ^
tu fayén đắnh diuảng thi A la toáu fắt tuyên tắnh Điện tục
Ching minh
L} Ta chúng amình tổn tại số ra > 0 sao cho x Ạ Ay thi | Axl] < mlx]
Giả sử ngưùk lại Vy ax, Ạ Ky sav cho || Az, Í|> nẾ ||z || (zƯ # 0)
| cy, bb ,
Dat ee yy = l| zẤ {
Trang 16`Ợ Ỏ
ồ aỖ we oe ' ae a are ể as aỖ Ộ `
Tủ thấy chuối số 32 |[pƯ | hội bạ nên chuối 3w hội tạ về phản tắ - vol nol ầ thude X, Ủ % y= ` = Wim = lim So: = lim s = Ss ụ v5 Va ẢicG Ở_ẤJk SLE n=l k= nk Vi a= , yE Rì và ứy đồng tiến Ạ Ẩì k=i li Ở 3 "+" Ta có suyẤỞWa Ở } 21 2ẨĐ 3) t+CẠ Ấy nên Wà S %s+y Ổ= ét=u+l
Cho pce thi Ừ, < ầ
Do ALA loan lit den diéu nén Ay, < Ay
Ky 1A nén chuan nén IN sao cho | 4w, ||< || Ay |, Do do
wS |4za[ = ệ||4p||
Cho n Ở+t Ủố thì |[4p||= to [điển này vô lý]
i) Vidi, la non sink nên tôn Lại Ặ > Ú sao cho Vr & X,, duce Ạ Ay với
tỄ 7=ỞỦ và [lie] lle] <= mle] hi do
|| Az!] Ở ]Aw Ở Awl] = ||Aul! + !|An|| < mail] ef + [pe i} 2m1Áf || z ||
Vay A hen tue : rỊ
D Định nghĩa 2 Gia si X là kháng gian lápô (không rồng] tê 4C X, i) A pại là trú mật Đang Ả nếu  = X
tị] A gọi là không đâu trà trật trong X néw XA tri mal trong X ta] Hai không quá đểm được các lập không đâu Irủ tuật trang X gọt là
lap gay flap thade phar trà tj
A Diuh ly 2 Gid sw A: X, Ở+ Xq fa toán tử đơn điệu, (1á}? # ỷ, lắ; là
nón đều,
Khi đa tập cúc điểm gián slognu của A le lap gay
Ching minh
Trang 17Ởallz |ta Se S al|r|au, tre Xy (lj ` * Bang cach chon Ủả thắch hep ta có thể xem lite] <b : ; cả Ẽ : Ay la nón clẩn nên theo định lý 1, cluidng | ta có thế xem || |Ía khỏa )xr<pw thì lr|la < ||wl|a- ầx ẹ NX, ta dinh nghia
we) = jin, [|Ate + &ttg} Ở Afz Ở duo) ll, (2)
Với UD<~: ấp Ộấy la có rỞ ựạmg Se Ở ổymg va rd dup <r b Agtio VÌ Á dến điện nền AlaỞdeug) = AlaỞaéyug) va 4(z+dáyứƯ]} < Alert Ayre)
Ở 1 <= Ale + Ưqtty] Ở Ala Ở dup) = Ala + dguyp) Ở Ala Ở Siig)
=> [Abr 4 4:1) Ở Ale Ở byanjl}e < [Ale 1 devo) 4(r dail fa
Tá thấy hàm & 1 Alas 4 éug) Ở Abr Ở dep)|l2 bing nén iidi an (2) Lon tal
, Cluing nunb: A hen blue bat x <Ở wir) = 0
(Ở) À liên Lục tại x Ở> Jim || Ala +Suo)Ở Ala Ở duo} || Ở |ArỞAr I< ( Ở u(r) Ở0
(<Ở} Gid su wiz} = 0, Ta cd
0 < Ale + dup) Ở Aw = Al + dug) a Afa Ở duy)
0 < Ar Ở Ala Ở dug) <= Afr + burg) Ở Afa Ở dug)
` Ẽ * + ồ " ` # ot
Vi Ay la udp den nén theo dink ly 2, chidng 1 La suy ra KK la nén chuan
Kel hop vol wha) Ở 1 ta có
lim 4[z | dug) = Jin Ale Ở buy) = Ar
dim ACe | dug) = Tim Al u} = As (31
Gia atc, Ở Ủ, Theo (1) ta ob
=tt|a Ở #||¡wu S #Ấ Ở # S al|rẤ Ở #||¡tto
=+ rỞbytig Say, Sự Cổuug VỚI ế, = alla, Ở r[ị Ở^>U
Suy ra
Afr Auua] < Azr, < Aled buy) fA)
Toh (33, (4) va do Wy lA néo chan néa ba cé lim Ary, = Ax 1i -*+^
Trang 18`
Gọi l3 là tập các điểm gián đuạn của A
Dil Ư = {+ cC Ai :u(ặ) 2 _ } thi B= LJ Ri,
1 a=]
Ta chung mình By (i = 1,2, .) khOog dau tei mat bang phan chưng Gia sd ngude lai Ing Ạ Nir > 0 dr9 Ạ X, sao cho Bizo,7) ẹ Bay:
Chon day fe, 4, khỏa,
"Ta xay Hưng đẩy [ru}Ấ C HuƯ thỏa
-Ở -_.~
|| Ỉ 11 fry, + ặẤ1Ư ] || = 3+1
Lo + én E Blaze)
Nay ching wy:
Tà có xạỞ 5 itp CG Birae) nbn car, Ạ By, sao che || Ở bry + 5tu||I < ey + Xây ding x: Ta ca eer + ặiuo) Ở relly = dri Cra t Guo) ( (ặita b Ga) Ih = lÍ:ri (tg + z o l| + lle) + 5 tu |¡ =< Ạ, | fey + x) <1
HIỆN 24 be oyu E Blfzuvr] => dr,ằẠ Đ : |2 Ở (ry + Eyuo lly <2
| Xây ding ra: Ta có
[lÍ#a - faua} TỞ rally = |#s - Í#i 1 ẽits]j LÍ(#¡y + ặye#n) Ở #u) + aul; S |rzỞ(r( -tặitallli L |[* | ểiuu} = vol + leona!
ẹ ặ2, 1 (26,45) +eacr
nen rg | fate Ạ Birp yr) => dry ẹ B+ as Ở (re + fetto)||: < cs
Tiên tục quá trình ta xây ching chide day (a,j, thea (5)
* ỔTa xay dung clay ặ4); (4, > 0, Vin} sao cho
tet oyay Stag, Ở Ong tty hay (8, 4+ Oy plea Say, #4 [6|
Trang 19vũ LỆ} ỔTheo {1} ta co ỘOF 4 ytty Ạ 2s Ở (ty + entig) Tapp Ở ay PH len Ong )uy 9 ` & : TY có {G1 La cÌ" cần chọn âƯ sau cho bat bibs Sey Ở ote ES 6 (6x >D}?n= |,2⁄-:- = v DE cd &ié Ạ ặ| ỗƯ +ễa S ặ3 ỔTa chin ` a Ặ Ỉ ecỖ bios e! & = min(d.4} pty ằ ôn = mini, | Taco ty, Ạ Bog tiến : ` tủ | |z1(zỪ + Âu tạ] = A(x, ~ Sto} | 2 = wt, | 2 a ứ Ỉ ú
Do wy) EeuẤug Ạ P(re,r]} và (l} la có
Ởartty = fa, +Ạ.lnl Ở2to Ộare, SS fa +ẹSata Ạ #a | ỦrUn sie Do cach chon 4, ba cd & S ỞỞ Ế Ở 2Ợ 3 Dodé x, + 6,.u9 = %o + aruyg, Vn Ở Alfa, + deo} = Afro + ar1t}, vụn Ta 6 nụ =ốpta S tụ ổitna Ạ TạỞaạug Ạ ?22+ốaug S S tạ ỐnMn Ạ TẤ bya = Nen
Alay = ổn} = Afr, + ếi#ty} <= ÁÍzƯ Ở &yuq) < Atza -+ ẾƯtắa Ì Fei ies (8)
< Afx, Ở4,v9) = Ala, 4+ Syuo} =
Do HÝƯ là nón đến nên dây (8) hội tụ, Diểu này suầu Lhuận với (TỊ
Trang 20Chủỏơng 3
TỐN TƯ ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐIỂM BAT DONG
1 ToAN TO BON ĐIỆU
Ộ\ Dinh lf 1 Cho V lắ không gian Banach dior sip bot nin Wout toda fia A: X Ở+ NX Giả sự
¡} N là nén chuẩn,
tắ A là toán le don dieu nà đra CN: đụ > Tụ
iit) Ton tar dodu tu teyen tink đương liệu tục có báu kúnh phe nhio hưu i soo che: riy =o De Ay Ax < Alyx) Khi dea A có điểm bat dong x > xp Ching minh = ` # NV s : ae a ` oa se aỖ Vi K lA non chudn nên ta có the xem chuan brén K thoa diéu kién néu Va sy in [fel] = [ipl
Llteo giả thiệt
Trang 21A"ttro Ở 4ồzg < BLAỎay Ở AM ay)
3{ BEA" l>ya Ở A* ệ*ra)) Ở B?(AYr ly Ở A*? mo)
Ộ` t- | ! re 1
ỘA
Il
Ộ
B"( Ary Ở tu} = BP{ay Ở 20)
Suyra |[#*siia -z | S|[ff(zr( eal] Se? dri #ol| + Rli da Va > ng, ầp ta có 1s, nen] lÌ#Ừ+Ấ i | < Ừ` tap = rx xa = Yi e* lr, Ở #n|| Ế v = = Ấli =z Tp] ỞỞÍÌƯ 1! Ở x3
Dodo (anda la day Cauchy
Vi Xla khong gian Banach nén {z,,), hội tụ ver" Ạ X, , Clnlng minh 4zỢ = zẼ
Tact (ayy Gang va Ji X=+* ựên #a^S4 2 vn
ỔTheo {ii} tacé 0 < Ax* Ở Ax, < Bir" Ở x)
Khiw Ở 00 hia, Ở+ #* Do B liên tục nên Đ{rỢ Ở ề,} Ở+ BV) =
Suy ra ghế Aw, = AxỢ
Ma hin Az = tier He Dod AD =:
?1- +ẹ{ nỞ- 9S
Vậy A có điểm bất động +ồ,
LI
U Dinh nghia 1 Gia sw XN fi tép vol quan hé thif thieỖ < Tap AC X dior
gar la tap cow sửp thẳng của Ả niếu Vr,p A thị x < g hoặc g S x
Ủ Bổ để 1 (Zern)
Gid sử X là taột tập có thi ti, Nếu mọi tập con sap thang cua X déu es cận trên (cận đụ) thị X có d nhất mat phan tự lồi đái (lối lieu),
A Dinh ly 2 Gia av Asc use >< u,v > fa todn tw don diéu va K ti
miniheral manh Ahi dd A có diểm bất động trong < uv >
Chung minh
Trang 22+ AẶ + Ú: vì tuc Af,
+A:MỞoM: Yee Mthiz <= Ax viAddn dieu nen Ar = A( Az}]
ẤCÀI,
ỔLa ching minh moi tap con sap thang trong M đểu có cận trên Lhuộc M
Giả sử Ó là tập con sắp thẳng trong M
Ta thay C obi chan trén boi vo Vi K là rinthedral manh nén Ạ2 có cận
Leen ding cg = suppl) SS i Sey Se
WreG lac 2s rg Ars Aq Ở cc Ars Arg
4Ủ là cột cận Lrên của C nến cy = Acy, Do dé cg Ạ M,
Ổte -" as 4 = ae +
Theo bé dé Zorn trong M cé phan td téi đại +ồ
laco 2ồ Ạ MW nén ze? = Ax Vi Addn diéu nén 2Ợ = Az* < A{AzỢ), Suv ra AwỢ Ạ M
Vĩ ặT là phẩn tử tôi đại nên Agệ = 2ồ [ |
Vay A co trong <ow,e > diem bất động z7
2 ToAn rd ĐÓN DIỆU CO
A Dinh ly 3 Cha X là kháng gian Hanach được sốn hai nón ứ và tốn tử
Ấ:ẢX -ỞỪ X Giá sử
i) A da toán tế đau điêu nà đứa Ạ N : 4n * ta
it) A co theo nghia: ạ C {0,1}: Đ 6p Ở> [4ặ Ở Ay|#glặ v|: Nhi đó A có điểm bat dong x voit > ao
Chiing minh,
Xét day (7.}, vii x, = Ale nh eee Ay Boss 7 [rẤ}Ấ đưn điện tắng
+ Tà có xy = Arg > tp (theo gid thiét]
+ Gia stay, > ayy Do A don diéu tang nén Aw, > 4đzẤ_¡ =>
Tysy > Lu-
Vay Dap > Cay Vu
Pei Je la day Cauchy
Trang 23|TZxti Ở #Ừ|Í Ở [đra Ở 4z v|| SỐ 2# Ở ra-vl| = qllAze-1 ~ Arnall = 9 |Ì|#Ừ~: =Ở #Ấ~all = "iri voll Khai do Wray yp ba eo hon] Prep Ở Tal] = ee Jays Ở ell kỞn ntp-1 = 3 q* ||: Ở ãu|| kau nở Ở 21 Ở Zo} < |jerỞzol Sigh = qh Fal a (ns 00) kon | t Do đó (zẤ]Ấ là dây Cauchy, Ẽ Ổ + ae Ộ \ Ộ $e
Vì X là không gian Hanach nên {+zẤ}ẤẤ hội tụ về phần Lử z, thuộc X vai
+, >#ụ (vi ty, > to, Va) *'Ta chidag minh a, = Ag
<S Le
Ổla c6 (ty), (ang, x, ỞỞ zẤ và K là nón nên zẤ Á là toán kử có nên |4za - Ax.|| < 4l|rẤ Ở zề||
Ở+ Ì1Ấ+Ọ Ở 4r.Ề|| Ế #Í[rẤ TỞ z.|| >> Ín ể Ủ=}
Suy ra Vinee Tri} = Ags
Ma lim x,.4 Ở lim 2, Ở 2 nén Ar, Ở 2,
io: ẤỞ
Vậy AÁ có điểm bất động #Ấ voi re > op 1
3 ỘTOÁN TỦ COMPACT ĐỎN ĐIỆU
, e - oo 4 ) ồ * $ ' + a -<
L Đình nghĩa 2 Toán ft Á ướt gọi là toán fiể cotnnaet đơn điệu tren M
WETS
0Ì A dow dieu fren M
v) A deen taor dey dow dieu (ey), CM thank day (Aryja hor ty
H Bổ để2 Wến AI là tựu sử thẳng wt (:tudn CM thi fatỖ (20s co thé nil ra day con [ay je dow divie
Trang 24Chúng minh
Hit Ny = [1 Gc IN: ty 2 UE, he > 71 }
*'Poigng hap Xa vô hạn:
(id st No = fing, M2,- } voi ny < mee Khi đó (#u,Ấ]k Với fay 2 ty, = 1h day cin tim
* Tridug hop No lau han:
Ta thấy sẽ lển kại nụ Ạ N sao cho ầx > wy Ui ằN Suy ca dh > tr mà Ta # sg 4 ` ` Ộ ; *- * - * ` 4s ` Vì M 1A Lap sap thang nén #Ấ và zy ludn so sánh dược với nhau, nià +, 2 2, nến XẤẾ:3¡: Deo dé khi No btu han thi đán, Wật 2> nạ, TẾ 2n sao cho tạ = ry Nen WS + Ộ x ` ệ * aA Lui {rzẤjẤ cỏ Lhê chọn được dãy con đón cliệu to Can Sứ, * Tg) ces TR ee ỘNy Ư` Vậy trong hai trưởng hợp tử đấy (zẤ}Ư tá đều rút ra được dãy con (#a, Ì; dun dieu, O
A Dinh lầ 4 Cho A li todw tv! thde 1) A compact don didu tren < use >, 1) Á[< tu >) C< up > ( nghĩa la yx Au, Av < v) * + + ^ ` Ấ} a, * KH đó Á có trên << út thêm bát động Chung minh Ta co My #Ú và 41(4o] ce My, ` # 5
e fa chisig mink My cé phan ti tor das,
lật Mp, Ở {rec ue mo: xs Ar}
Ộae % \ ` Ẽ Ộ/ i 4
Gia su M la tap cou sap bhang trong My * A(M) là tap compact tuong dai,
Xeéb day (yaja = [Aron ẹ ACM), vei [site cM
cv e ` - J J ` Ẽ a ~ , -
Ta co M Ja lap con sap Lhang và (zv]Ấ C 2MẲ nên Lheo bố đề 2 có Lhê
rit ra diide day con ddn điện (3s, de-
eae 5 oaỖ ` , Xv ` -< Ẽ - \ `
Jheo giả thiết Á là toán ti compact don điệu nên day [ia }e Ở (Ara, be
Trang 25Vay ALAC la connael Lidng đối
* ỘLa clulng nắnh 4 có cận krên
Vi ACM) la tap compact tidng doi nén ton tai tap con dém dude tru
hal (y), vory, Ở Arv,, 7, Ạ M,
ow ns 3 Ẽ Ổ an ` - - = ` ồ
Vi Ad sap thang néncd thé xem (2,,), la day tang Do A la compact don thiêu nên ÍwẤ]Ấ luội tụ về phần til zg nao do, Ro rang y, = xo, ần
Ở Chiing minh: aq & My
Ty Ma = bn = Ax, = Mi (vì Ai Ma) K Ma) ỞP Vn < AY
= Ary
Mi vy, = aq uen Ay, <S Ary => y,
Cham Ở : Lhì ave = Ay Do dé 29 Ạ Mo
{1 Ching mninh: Ax < #a; Yớ C M
Vi Ata}, bh mat trong ALM) nên có đấy con (Ary, le hoi bu vé Ax
Ta có =" = Yn, = tạ nên cho É -Ỉ ao thì Áz < za
tr 2g, = NM,
Ma Ạ LÍ ta có r = Av Vi At irp nén x < apy
Vay mol Lap con sip thẳng M C AVÍu đếu có chặn trên Theo bổ dể Zonn Lrong My cé phan td Loi daisy
e Chitig mink Ar Ở x
Vi cE My nén x, < 213,
Mặt khác Á đơn điệu nên Ax, < A{Ax.} Do do Ax, Ạ Mo Ma x, lA phan Lu toi dai nén Aw, = cr
A Dinh ly 6 Của A ta fodn fut thea
Trang 26Giả sử À4 là tập con sắp thang cua My * Aệ{ AA) 1A tap compact tuidng đãi
Xét dây (ela Ở (A*zy]Ấ với +Ấ ẹ MM, Yn
Vì ,M4 là tập con sắp thẳng và (#n]a C jMắ nên theo bô để 2 ta rút ra
hide diy con don dieu Cen dp
heo giả thiét A* compact don diéu nén day (A*zẤẤ)Ấ hội tu
'Pj dây {(ws}y CC AM(2VV) tá rút ra được đấy con (WaẤ)p = (AF ra Dy how bu nia AS(A4) compact taidug, doi
* M bi chan trên:
Băng cách lý luận tưởng lai nÌn beong chưng mình cha dink by 4 ba suy
ra Ary Ạ My + Cu = Ate: Vor E M
Pre M thia ẹ My Theo dinh nghia cla Moy ta có x < Ar Vi A don dieu nena < Ar <= A*r< , < Akx =o a < xy
Do 5 M bi chan trén ba} ey
` ~ Ổ * ~ 1 = Ẽ + + Ẽ + * Ộ`
la thay moi lap con sap Lhang Cc Mg, deéu có cận liên nền Lheo bỏ đê Zorn trong Mg ed phan ti 46i dai r Khi dé ta c6 a, < Aa,
Addn diéu nén ciing co Ar, Ạ Mo
< ` ~ ` # Ẽ a
Via la phan tu 48) dai nen 4z Ở z
Vậy À có trong < re > điểm bất động 1, A Dink lý 6 Giá se i} Wy fa non dé n} A le tate tu dow dieu teen moult > it} Af ue >) Ce ue >, Nhi đó À có điểm bất đồng frên < 0,1 > Chung minh
ỔTa thay voi moi day ddn dieu (7,),, C< u,v > thi (Az), là dãy đơn
Trang 27A Dinh lý 7 Giả sv
{} ứ là nóu chuẩn
ii} A (đà toda tu đơn điệu tren <ul va le fodn lit compact fA biến fap
hi chan thank lận compact tiong dai}
w} AÍ< uye >) Cm uve >
Khi dé A co diém bất động trên << tru ?,
Chúng mình
Xél day don dieu fan), C < 0,0 ?> Ta thầy day [Av,)}, chila trong tip
compach tidng doi Af< u,v >) nén co day con héi ty Vi K 1A nén chuan
nen day [ 4zẤ)Ư; hội kúi
De dd Á là taán tử compact don điệu - - sa Ề é * Rs a - Vay theo dinh iy 4 thi A co trong < u,v > diem bat dong LI Ế * , Ộ - - aỖ -* + ` Ộ A Dinh ly 8 O dink bly ?, nêu thêm điều kiến 2À liên tue thi ta ed day ley 7 -' oat Ộ" a 5 , * ` Tạ S124 =Z đứa pc hai tụ nể điểm bát động thỏ nhất, củn ddy pa = t, ae ~~ -Ẽ A +Ộ Ộ % a ty Ở Aye-y foi tu ve diem bat dong lon nha Chung mình
* Day {2,}, tang va clnia trong tap comtpach licng doi vén cd gidh han xỢ
VIA lién tuc nen 2, = Ary, Ở* Ar? => Ax =z
Do đó ặ* là điểm bat dang,
Nếu x tùng là điển: bất động (+ = Avy thi i=-use =Ở> ry = Azo <S Ả? =1 => 1= ii, = Az Ở2 ~ ỞỞ Ở Ởf jer accep neces eae eeeeee ees ỞS OS a Se ee
Dodd 2, = 2, ần, Chou Ủ thie <r Vay a? la di@in bab déng nho nhất
t "Tưng tỉ ta có kết quả cho (Wx}y
= BS dé 3
Cid sw (WI AA, A cd chain đuôi la duh xa Ặ trên Ky = KO BUOY), f ed dao hun thco nêu ứ lar Ola ff tu) oa Ặ I0] cá tueclo trẻng sạ Ạ (N]? tông nơi gid int rieng Ag > 1
hhidé VirO du bé ta cd tag = Aliza)
Trang 28Chiing minh
Ta chỉ cẩn claiug minh fy < filtro), Fi 2 0 đủ bé hay
lào +
rejEEro) JÚzu]] Z (Âu Ở Lito (vì Pụuny[P#o] = Andra)
Nếu ngtige lại lon fai ton tai day sô dương (ẨẤ}Ấ, lv => sao cho
Se bey ; :
[An ức Live Ở 1,, a K VỚI #,, Ở i Lfts;(t;#a) : Fitvro}]
Vi tp (W?? nên để + Ú sao cho za +} B(U,r) CC ứ
heo đắnh nghĩa của đao hàm + * , - * (n] ta có zẤ Ở Ú '
=e pie) ER
ft eee T
K lA nén nén [Ag Ở livgp Ở 2, Ạ W {Võ lý] E
Do dd vain db lan ha ed
A Dinh ly 9 Che K la ndu chudn cd (AY ZO, ay Ạ A" wt A ot Dy tig >
KÝ là tuần tuỖ do'n diéu, campaet thea 2} AẢ[0J =0, AÍma] < tạ Hi A ca dae ham Aun fai # theo non K va Ain) có trong IK vecto NENG Ty từng 023 g1 ly riêng Ayo | Khe dé A eé trong = D.ua > điểm bất động khác A Ching mink Ộup > 0 Vì we oC K non uv > 0 Nếu vy Ở 0 thì 5+0; Bir} ch
ỔVa thay Ủẹ H(U,t) + ỞzẠ (0r} nên Đ{(1r}C @f1(ỞW)
dieu nay trái với giả Huết K là nón thì Kn fỞKy = 101
* 4:0 ,un Ừ* Ở <ề ao >C E
Do uy > U neu < Ô,1ú; 3 là đoạn thực sử và AÁ:< lớn > + # là ánh
xa không tấm tluldng
Farce Uag ki O< a < tạ Vì Á đổn điệu nên < Ate) ẹ Afitg) =
to Dodo Az Ạ< Ulan >
* Dat fix} =O; vac W thi A cé chan diel la f
Trang 29Do vp > O nén Sty > 0 dé tote S tạ (nên ngược lại Vu bà có ag > ay; x
chon - oo thi tig Ở 1 (VO lýj)
Khi dé VỆ O cu bé, ặ < tạ ta có day Ạ lụTp S trọ
(vì f<fƯ=>faỞt2U, do my EẠ (NY? nền tutu Ở try = (fo Ở thao Ạ AW
Ở> trey < byte]
1 ;.< fie, thy > Ở- 3 2 inp The "
Yr Ạ< do, ụ 2 La có toa Sẩ Su, Do A đdưu điện nên tưa S Á(izu] = A(+] < A[tua} Ế tạ Ở> Ả{(+] Ạ< ặ7ạ, ttọ >
* lạ co
| Att tag tig 1> ỞỞ <= fitg, ug >
| Ada ant xa din dien va compact + I< la non chuan
Theo dinh ly 7 la suy ra Sa* Ạ< tay, uy > sao cho Afa") = icỢ
Vi tag > OD nén < ##g.trạ >CC< tạ >
Vậy Á có điềm bak dang +ệ > D trong < Olay > +) HH F: ' rl
4 ỔTOAN TU COMPACT BON DIEU TOI HAN
C Dinh nghia 3 Toán từ A: Àf C X Ở X đượt gọi là lodu te compect fon dieu fot han new:
1) A đà toán từ đạn điệu
tị la? đá Wạ Ở AtdƯ, (ru Ạ 2V) đơn diệu gidm (Ar, > A?x2 > >
AtraẤ 2 ) dếu hội tụ
A Dinh ly 10 Gid sw
1M dong va be chan
tứ] 2|: 2V Ở+ M fa fodn ti compact don dieu tor han
v7) Jay EM: Aan < 2p
Trang 30yoArexr => Ap<ArỞ=p ỞyCẠC.VW ụ Trên ẤVÍạy ta định ngÌna các hàm
Ủa(r} = s0? ||A*o - AỎall see Ee Myo: A*u sc Aệe oor} n= 1,2 la có Ộ tỷ Ở> {ắu, trì ặ ,LẨq x My: AỎu = AỢụ = +} C {u,v} Ma x Mo: Á4ồu < 4ồw< 9w} Ở o,ft)coa ly) Ở a, là các hàm đơn điệu "Do Ae oa và A ddn ditu nén {fu.u} Ạ Mg x Mg: A" < A*e S z]} C flav) Ạ My xk Mo: Attlee = Á4*!'ụ.< z} bo đó aẤ[#) S ,k1{#), Vn
Mat đ{#] Ở lima toc i + zẠ 2Vg
eỔTachiing minh mf{ele)iue Mg, usc} a0; Ye Ạ Mo
Thật vậy, giả sử ugiide lai dz Ạ Mo, 36> 0 :afuj>d (Vee Mou < r] 1X chỉ ra mẫu thuần ta xây dựng các dãy (ta)ny (Uae C Mo có tắnh chất S3i1H: , J 72 A2, > A?u, > Ay > A'ua> 2 A?nuẤ> AỎt, =: COE) AP uy = AP eal) > 4 ` Ổ Cy -* 2 Ộ Xây dựng ,t: é it Nia 28
Ti cy (ir) = alr) > 2 dig > 2: Op, (a) > 5
Oog(t} > $e Tujue Mg: AMUS Ae Sa và ||A "9t Ở A**p| >Ế
Chon wy, = AP -2n, wy Ở Aww bhi ta dude u),14 Ạ Ma, g > AỖn, > Atm va il Ruy Avil 7 ặ-
* Xay ding ua, v2!
ậ Ta thay A*iy Ạ Mg va A?mi + nên af A?a,} > by > =
Lý luận nlnÌ trên, băng cách thay vai trò của x bởi Aệa, ta lim (lược
ấn
uyƯUƯ ẠAÁu với A? > Atty > Atty va |[Atag Ở Atvall > 5
Trang 31ẹ Tiép tục quá trình, ta xây dựng dude day (yn, (t)a ẹ Ma thoa [*)
[lây (*} có thê việt dưới dạng
` ag 3 \ Ộey 42 Mag 4 dae `" 4 ~ AL Ar, | fF ty = A (An) - 4 hd re os vul oy C Ma, Alt, C Moa ta & Ẽ - ar a ` Ẽ a! -* Do A compact ddn diéu toi han nên đây bội tụ Điều này mau thud với điển kiện |4 AM ay || > Ở 2
* Tiép thee ta xây dựng dây (ala C ƯMe có Linh chất sau:
ty > Ar, > Atta 2 > > Az, > La cP af{Aồx,) < Fn Gia si xây dưng được (4 Em Y-é< ata rm) < k
ro > Ax, > Ale, > 2 Aken,
Tacd imffotuj): we My, u < ASay } Ở0
nền auc My: u< Afar, atu} < i ke
Vi we My => w> Au> A*u > > A*tta
Dat yy, = u từ
Atta, < h < Am,
alA* ai) < atu) < c+
Vi A compact din diéu toi han nên đây (Aệ rida hoi tu Los, 11% Giá sự z = lim A"xr, *- *tÓxỀ e Chilng minh Az =e ầ Az 4 Ta thay day giam (Ả"zẤ]Ấ hội tụ về z nên z <= AỎz,, ần Do dé Az < Att ly
Mat khac do 2, Ạ My néen Aệt'a, < AỎ2,,
Do do taco A"z, Az Chon + of ta sny ra Az < =,
*WƯz< 4z
Theo tiên z > Az nên z 2> 2|*z, Vú
Trang 32lvết lợp với 41 ồzẤ > z ta có 41*ỘzẤ z Ả*Ợz tt Ộ ef ' , Cheo dink upina ae fA") ba có a Ợ Mie Ai sree 4 Ộ Ị ll4Ợzu A*z|[<S Ủa[4*ặu) S af A*a,) < Ở n quy ra Z1Ợ, Ở Á*Ư ỞỞ 0 + ts wv 419 ậ ' Cha na gối hạn bất dang đc 4z, - Ả*z 2 zỞ Áz tàcó ệzỞ Az hay Az >z Way Acé trong M diém bất động, ƯỦ¡ Hệ quả Giả sự tÌN bi nữu chưữn are X 73 ng né) Ả: < tu?! >> Ở+< tu: > la toán lie compact don digu Lai hạn Khe do A eco trong < u,v > điểm bất động Chứng minh ` # VÌ | là nón chuân nên < Ủ,n > là tận đóng và bị chặn, Áp dụng định lý TÚ ta được điệu phải chưng nắnh =] 5 TOÁN TỦ ?tLạM ĐỀU 1) Định nghĩa 4
Che ty 20 Tod te A duoc got là trụ = lim đếu trên <; tứ, 3> neu i} A dow diru fren <; 19,10 >
Trang 33Chứng minh
'Eư điều kiện (1H } La có [<Z trụ U >Ì C< tt!
lo R là nón chuần nên <⁄ 9, dong vi bi chan
+ 5 * * X ^ & - 4
Ta st Suing taimk A da toảỉ tu compact đơn điện tới hạn trên x tr, >,
e Ta pid sd de, fF > 0: any Sap < Pay va Ế < |
Thật vậy, nêu da v không có tắnh chất trên thì do điêu kién (ii) cua dinh
- ` * 4 ~ ~ = , ,
ng le Á là toan ti wy lồm dea ta suy ra de, ử7 > 0: aug = Au; Aes Đau Khi da dato wy = 2z, ey = Av thi ta có
z cx
Qty SẾ tị 1S Guy, 3 < Ì }
uy = Aw (w S 1# 7 tị > oy = Ane Avy] Any uy (tị Ở Aus v=? Ay = Av= xy
eoujyu > bi chan = _ỞỞv VAM >0: |lr|| < ÂÍ; Yư G< y0 >
e Chiắng raỉnH Á là toán tử conpaet đđn điện kế hạn
e kắ là nón chuẩn Ở+ 3Á > 0 sao cho Vr,pẠ K, z < y thì jal] < Vda)
` = 1
Gia sd (tah, O < u,e > thoa
` 2 ` * `
fei: Asy > Arte > oA Ta =
Ta chung wink (")} la day Cauchy Ợ ach 2 le 4 ặ Lấy ặ + 0 đun bé đề Ở ề; | Ở a MN Do A la loan tì vpỞldom điên đế + ( sao cho Wr Et ue >, ean ặ : VIE | rà | MAI la có 4(/z) > [I | 4M 4z '- ` a > a on Gioi ap la sé tal nhién thea điện kiện sắ + sytem #2 | " ồ B MN >5 tt ể> = aS att +8) af MN ỳ Ộ+ "` g > ~ t "
Bang cach giam é@, ta co the xem 3U + by" <2 I
La ching mink Fn > ne, FAR oN thi [hAN tie
Du Maye, Oe
A*zal| = Ạ
Trang 34, A *s hee > wy - ồ Doda - 7 a Mg > 3 => A* za > gre c Ta cé A 2,44 > A( sa) >({l+ 5)5 Be A*??z v > A|lÙ + ẾJ 2 Az.] >2 1+9); Sở ".hg66909609660090 900909090656 96969 009090 9 9 90 sÂe2^60 6g 966 poSĐ s6 p ý g6 bo cẹụ e6 6 69 @ c6 6s cjôẴcẰCẲệ 6ệ 6g đẰ ẰSồ Do đó tuy = ANAM IO 0) IX⁄ AI +6) Amej > (I1 am tn (1 Ở JAỖ xy, Iv M: N Kết liẹp vơi điêu kiện AỎ* 2,4 < AỎx, ta cd 0< A9 Ở A*!2x+k S TM An '
Do đó ||A2za Ở A*9**ỘzẤƯv(S mới N-IIA"z.ISN- TM =c MA
ỔTheo dink If (19) về toán td compact ddn diéu tdi han A có điểm bất dong bren <Ư tết ?^,
og
Trang 35Chidng 4
TOAN TU DA TRI DON DIEU
1 ToOAN TO PA TRI
U Pinh nghia 1 Cho hai khong gian metric X,V wi Go Xx ầ
Giả sv F la tương dng méi phan tee Ạ X nối mát lập còn P(r) của ầ
tinh xác định nữ s&N:
f(r}Ở{yẠY: (Ủw)Ạ G}
Khi dé 66 ba (X,Y,G) dole gọi là loán từ đa trị
Mix) la duh hey gia tri cua I(r) tai x
fmf = LJ Flr) = F(X)
2b
( được gọt là đổ thị của bh Kắ hiệu (TỞgrapkfF
Domi = {rE X: Fix) ặ0) là miển rác định của FP
Youn tv da tri f= CX, ầ.G) god la khang tan thidcang néu Dom? ặ0 Tite tuỖ da ted F god ta chat (strict) neu Dom = X (Piz) #4, ầx eX! ỦẤ được gọi la diém bat động của loán tế P: X Ở+ 9Ã trếu rẤ Ạ Pz.)
2_ "TOÁN TỦ ĐA TRỊ TUYẾN TINH DUONG
Lì Định nghĩa 2 Cho hai khẳng gian Nanach X,, Xz vot ere ndn fiy, We
uẻ toắn tư đa trị 4: Xị Ở 3352,
¡} Á nai là toán tử luyến tắnh nếu
4z) + 3A] Alez+-fu]h: Va, se F, vrƯục Ấy
Ul A nại là toán từ thàng nếu VăcẠ lội thị A(r] C N¡
Trang 36A Dinh ly t Che dar thang gran Banach Ny, Xq vot ede now Wy, hy Cie
` Ư ể
1} A: Xi Ở2* là tuyến tắnh thong,
ai i, đả nom fack, Ky la nom chuẩn
Nhì đá A thea điếw kiện: 3È > ( sao cho A(x)C B(A(0)Èl|r|[], VYre
Ay
(fo déy BUM) = {r ẹ Xo: dix, Qi <r}, mi QC X, J
Chung minh
e lu chung nan tan lark o> 0 sae cho ầr Ạ Ky, |z|| = l thi
Afzìc BLAU), &
Giả sử ngược lại Yn kử nhiên 3#Ư Ạ Ky, lap] = | sau cho Atay) ằ BLA(D) v3) Khi dé ton tai z, ẹ Aly) wa dfz,, ALO) > 0 => |lzƯ|l = |]z, ỞOx,|| > dfz,, A(O)) > nn? r dy lãi, ta = Ở- aa nm? i = dụ Ta co z |Ìt | = x Ở hédi tu nên wẤ hội kụ về ý và y > y, = Ở, mn =1! 1 =] ne os 'y ụ r Vu => Ữ mm eh
& X⁄< Ộđề Ấy '23N Aix,
VỊ Á luyêu tink dương nên Aly (2 đc c Aly =) C Kh nf Chon z Ạ Aly} thie- eK, => 2>= I Ky la nón chuẩn nên 2V ||z|| > lÌzalÌ >hn- ro (Vỗỳlý) wn?
e Ching mink: Sk > 0 seo cho Yr ẹ Ky thi Alc) c B(A(O}, klix] Yee Ky Paty = Ở thị ye WK, và ||y|| = 1
li
Theo bude ching mink trén 3k > 0: Aly) co B(A(0], È] Ta có mị4(r) c Aly) c BLAM), &)
Ta chdng minh Afr} ằ HE ALO}, ka) VzẠ A(z) tủ ty Ạ BLA(0),8)
Trang 37Ổla co diz, A(M) = d{z, xf AO) (Jz|l4(0) 4(0)) Ở InÍ ||zỞ |z|Ì\w|| we ALD) Ổ5 = Ilr}, inf |z | we AC) Mil Il Ởal vl Ở_II>ld(yƯ A(0)) &|*| Do dds Ate} B(A(0),É|*| We & (2hững ¡minh định lý, Xét z Ạẹ Ấy Vì Nụ là nón lách nên tồn tại Mf > Ú sao cho Ừ Ở ttỞ 0 với uv?Ạ Wy va ||u|| ||r|Í = Ảf|\r|
ỔTacd Alu) = Ale +e} > Afr} + Ale) Ở > A[z) C A(u] Ở A(c]
XelL ye Afz) vase > U Lùy ý
Tủ có =0 4 vor ay Ạ Ale), ye Ạ Ale)
Theo trên ta có dịu, A{0)] < EẢfl|z|| (? = 1,2) nén ton tai z, Ạ ALD) sao cho |#Ư Ở s|| < &M lal +e
TRÍ, z = z¡ Ở zƯ, la có zẠ A(U] nên
đắu, A(01) = |[p - z| < lai Ở zull + bye Ở za| < 2ÈM/||r|| + 2c
lo ặ tùy ý nên dịu, 4(0)) < 237 |+ | l
Vậy Afr) Cc H(A(0\.#fllz||} với k' Ở 2k ul
3 TOAN TO DA TRI DON DIU
1 Dinh nghia 3 Che khing gian Banach X dvoe xép bot ndén KX
WhE BL 3c Cs bee Wee C, We Bih<ec
i} Voi BC ED, te dink nghĩu BAC néx
Trang 38Thật vậy
*yục H,vì BH x (Ạ7 nên -le Ạ ẠCẼ sao cho b Sc Lại vì CC 4 nen dd ec D
ga ý cho ê Ạ d, To đó h < d
"Vie Dow ề Dwén dec Csaochoe <d Lai vi <ề Ạ nền ]ù Ạ f1?
sao chob<eềe Do dob a ẹ Tinh chat Néu Adon digi va BoềC uh ALB] <4 AIC) Chung minh ỘVy Ạ A(B) = |) Ale) => Je Ạ B; y Ạ A(z) rcP Vì BR <C nén dr éẠ Cs 2 <2"
Mal khac vi A ddn diéu nen Ala) ~ AleỖ) => SyỖ Ạ AÍzỢ): ụ S g Do dé lou tai xỖ Ạ AIC) sao cho y <yỖ
Ộ Ngược lại, vụ Ạ ALC) Ở |) AlaỖ) Ở+ JeỖ eC: yỖ Ạ AlzỖ)
ret
Vi Hac néen Jere Bsr
Mặt khác, vì A ddn digu nén Afr) <ề AlaỖ) => dy Ạ Ate): y syỖ Do dé ton lai y Ạ ALB}: y = y
A Dinh ly 2 Cho hai khong gran Banach X,, X, voi ndn Ky, Ky vd
A: Ai Ở+ 4 ỘHà toán HÈ da tri tuyén tắnh
i! Nấu Á là toán lẻ chất, đương thì A là tuần Hư (ưu điệu
it! Néu A ld toda tv don diéw vd A(O) Ở {Oy,} thì Á là toán Đử dường
Ching minh
i) Wey ty C Ẳ Tạ < 1 ta cú h2 re fy,
Vì A là ánh xạ tuyến tắnh đhiởng nên
Afra) a A( ri] Ạ: Alxy a #1] Cc lúa
Kt do
Trang 39* Wy Ạ Alaa), Jyy Ạ Alay) (vi DomAla,) 3È Ú) sao cho ýƯ - yy G Nà
ỞY t\ Ế Mạ
la dó 4[z;) 4 A[zƯ]
HT Ạ Íy Lá có z 2,
Vì Á đơn điệu nên A(0) ~ A(z} hay {0x,) <4 4(z) Khi do ầy Ạ 4Íz) thị y > Ux, nen y Ạ Ny Do dé Alir) co hạ o & Dinh ly 3 Cho har bhéng geen Banach X\,X_ voi ede néu Wy, Ky Cid sit ro) As Xy Ở+ 2" là tan từ đa trị tuyến tắnh ah điệu +} A(01 = {0v,} ail Wy là nán tách, ứ; là nón chuẩn Khe dd A thee dita bén: Jk > Ú sao cha A[r]C Đ(0x,ÈÍr[], Yee Nì Ching minh,
Theo Tinh Lý 2 thì Á là toán tử đương,
Theo dink Iv t ta chide diéu phat chung minh, oO L Dinh nghia 4 (id si X fi kháng Banach thie dvoe sap bod néw KOC X
i} Voi B,C Ạ 2%, ta dink nghia Be Conéu Fhe Bytee Cs bse ti) Todn of A: MOC X Ởể 9Ế đượt gọt là đơn điệu *<) neu
Vr,wẠ ứÍ.z Sụ Ở+ 4{z) < Alw)
A Dinh lý 4 Gũi sư
1 R là nản mìntherrt mạnh
.-* ` Ộ 4, + Ắ l *
tỤ Á: ÀẶ Ở< tu >ỞỞ+ ĐẺt là toán bit da tri đối điệu *Ợ iy supAtr) ẹ Ate), Yee M
Khe do A co diém bat dong trong Af
Chung minh
Dal Me={xe Mia < Afc}]
Ta thấy M bi chin trén bởi v nên
Trang 40Dất pẤ Ở supA(r.l La sẽ chủng mình gv = r Khi đó theo gia thiét ini}
hase coor, la điểm bầt động của A,
* Ching minh +, S #
Với mọi C JM bà có t< A[+] < A(z.]}
Theo định nghia quan hé < ba sny ra được + < y
Vi 2 Ở supM nén suy ra x, = #,
+ 3 - a tan * 7 a Ề * sẻ
* Ching mink yy ory De ed điển này chỉ cần chủng mình ý, E4 hay
We < 4Í.)
Theo trén ta co a, = y nén Alz.) < Aly) Ma ụ Ạ 4Íz.) nên có
zẠ Aly} sao cho yo <2 Dodd tard wề < A(g.) q A Dinh ly 5 Gid si tỊ R là nón mintheral mans : ] A: Àf =< tru xo +21 là toán từ đa trừ đan điệu 1) tmfA(r] Ạ A(r], V+ Ạ ÀÍ Whi dd A co diem bal dong trong < u,e > Chứng minh Bái LÍ =[zr Ạ< tớ >: r ề+ A(2)]
ỔTa thaw M bị chặn trên hởi v
Vi KIA miniheral manh nên top bai supA4 = 2,
Wat ye = in fAfe.) ỔTa chilog minh 2, Ở y Khi dé theo gia thét iii) ta s4 co a la liérm bak động của A
* Ching minh 2, < y,
Vzre Mihi z< 2, zeỘ A(x) 4 Ale) Ở= tS wỀ
Do đó 4 JA mot cậu Lrên của M
VỊ #, = sưJUÂÍ nên + S ye
f Chung mình w, < z Dé cd diéu nay chi can chung minh y Ạ M hay
ye < Aly
Theo trén ta coo <Ạ Ư Ho Á đơn điều nên A{#,] + 4g.) Vì