BO GIAO DUC VA DAO TAO
DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINII
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM ——> LUAN VAN THAC SI TOAN HOC , h e ứ ?) I ỡ ?
TINE COMPAC CLA TOAN'TU GIA VIPHAN TRONG KHễNG GIAN R"
CHUYEN NGANH GIAI TICH
MaSộ LOL.O0]
Người hướng dẫn : Z/Š Liong if (ong Son ` , + /Ê ` Sach  T4
Hoc viộn : đú Van Sane
~ Tp Hỗ Chớ Minh 1998 —
Trang 2BO GIAO DUC VA DAO TAO
DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
e
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
TINH COMPAC CUA TOAN TU GIA VI PHAN TRễNG KHễNG GIAN R’
Nguỏi hướng dõn: #Z% Duong Luong Son Học viờn : BO Van Tam
Luan van duoc bao vộ tai loi dong chin luận vàn thạc sĩ Toỏn hoc
Trang 3
LOI CAM TA
Chin ÂWành: cim cơm :
PTS ; Deamg aLiang õu da kận links lining ai: li hung quỏ
bined, Dreec liền lận tt tra,
2
( dew phein biện da nhận xột uà cho nhường tỷ liờn 4u hdu
`? lậu, tốn
Trang 4
CHUONG | | kha nein ce ban cea loan tộ ge ue fan cromn cenceeecd
S 1 Một sộ quy ước ` In dd 1
$2, Khụng 0lan g Và:g cúc S002 20200000 001n14ni08688618.<0.75011411An586ó60 3 9:3: Toần từ phỏ VI 0Đè N02:2021000200201020100L 0121016001100 000515102064 CURR SBR OVAL ES 5
CHƯƠNG II - = ii lit sộ tink hdl coca (HỆ điệu trở oda loin bet get ud Ađứu 4 - KÀ , a
$ 4 Ky hiộu cua toan tu gia vi PHAN CHINM ersscreresereseeercnesierce 13
$ 5 Kỹ hiệu của toan tu chuyờn vi, đối ngẫu và cụng thức liợp 22
$ 6 Kỷ hiệu cụ điễn và toỏn tử SP vi phõn cổ điển s52 ccscscs vs 25 $ 7 Tinh nội Eliptic va tinh Eliptic O646šsỏ\št/dtxerissitky3t8iGâsi204035815406(siei14022ễ $ 8 Gỏc định lý về tớnh bị chặn và tớnh compac của toỏn tử gia vi phõn Sa $ 8 Khụng gian Xoholep - Sàn nh HH Hs HH He gu 35
CHƯƠNG HH : C52ằ đề ca ue dõn (22t thộ Ge Guan er 43
$ 10 Đai số của toỏn tử gia vỉ phõn trong Rin - 5-22 22c2c22c S2 ee 43 $ 11 <ÿ hiệu đổi Vicopxki, định lý vệ tinh bị chặn và tỉnh Gompac 53
$ 12 Tỉnh nội Eliptic và Parametric Khụng gian Xobolep 97
— \, \
\ Ả \ '
Trang 5Loi mở đầu
[,ý thuyết toàn tử giả vi phõn đó phỏt triển nhanh chúng trong thời gian gõn đõy
lủi cae nha toan hoc: Kohn J.J, Nirenbcng L, Hormander L., M.A Subin ,
Hằng lý thuyết toỏn Lử giả vỡ phõn, nhiều vẫn để trong toỏn học đó dược giải quyột tron ven
[.uận văn này bước đầu tỉm hiểu lý thuyết của toỏn tử giả vỡ phõn Đặc biệt là tỉnh Cornpnắe vả tớnh bị chặn của Loỏn tử giả vỡ phõn trong khụng gian RẺ Gồm 3
chương sau:
Chườớng [ Những kluii niệm cư ban của toần tử gia vỡ phõn,
í a : ° “ a ta ˆ a “a “*
Trước hết trinh bay một số khai niệm cần thiết phục vụ cho việc đưa :a định nghĩa toỏn tử giả vỡ phõn Như khải niệm hàm suy rộng, piỏ của
ham, tich phan furie ,
Sau đủ đưa ra khả! niệm: toỏn tử piả vớ phõn,
Chung ET: Một số tớnh chất của kỷ hiệu và của toỏn tử giả vi phõn
Nội dung chương nảy là dưa ra khải niệm toỏn tử giả vỡ phõn
chỉnh, toỏn tử chuyển vị và đổi ngẫu cựng cỏc kỷ hiệu tương ứng của
chung Tinh nội Eliptic va Eliptic
Sau đú đưa vào cỏc dịnh lý về tớnh bị chặn và tỉnh Compắc - cuối
củng là khụng gian Xoboienp
Chung THỊ Toỏn tử giả vỡ phõn trong khụng giản R"
Trước tiờn, nghiờn cứu đại số của toỏn tử giả vị phõn trong R", đưa
vảo cỏc ky hiệu trỏi, phải, Võylepxki và ký hiệu đối Vicopxki Tớnh
bi chin va tinh compfe [a trong tam của chương nảy cũng như của
Trang 6Chuong |: NHUNG KHAI NIEM CO BAN CUA TOAN TU GIA VI PHAN
gl Mot sộ quy ude về ký hiệu
1.1 Như thưởng lệ, chỳng tu ký hiệu tập số tự nhiờn, tập số nguyờn, tập số hữu tý và tập số thực lắn lượt là N, Z„ Q, R, Cỏn cỏc phõn tử của chỳng ta lả cỏc chữ cỏi L.a tỉnh hay Hy Lạp thường; chẳng trạn n, eN, m e Z, a,b e Q, pử e R
Đơn vị ỏo, dược ký hiệu là Ă, nú cú tỉnh chất iŸ = — 1 hay Ă - 1
12 Với n 6e N, tap R" bao gộm tử tất cả cỏc phẩn tử cú dang
X =ÍX; X„ X.}, ong do x, 6 R vả được gọi là Lọa độ thứ của X
Trờn lỡ" cú cầu trỳc khụng gian tuyến tớnh thực dược định bởi hai phộp toan:
Nếu x=(Xy,-.,Xa),Y(Y, V,)eR° và teR
thi XY = (Xp HV Is wees Ky + Ya) và tx = (x, ., OX)
‘Trộn R cộ cfu tric topo thộng thing sinh bởi cơ sở là họ cỏc khoảng (a,b) trong dda, b c Q,a < b R" như là khụng gian topno tớch của khụng gian topo R,
Vè cỏc nhộp toỏn cộng vả nhõn ủ trờn là liờn tục trờn R° nờn cũng gọi R° là khong wiun vee td topo,
Ngoài ra, trờn là" ta định nghĩa tớch trong (ch vụ hướng) như sau: Ms * xơ DX = OX, ey Nab Ơ = OƠ yy Va) â RoW XV =X) Fe XL, = Ị I và nhuf da biột vdi dinh nghia nay, R", la khộng gian Hinbe — n ơ Từ tớch vụ hướng ở trờn, ta cỏ: (|x|Í = +2/(x,x) =(# x?? thỡ ||x|| là một chuẩn l1 `
trong R°, cho nờn cũng cú thể núi R" là khụng gian tuyến tớnh địnềi chuẩn, Hớn nữa, nờu đặt d(x,y) = ||x — y| thỡ (R*,d) là khụng gian metric đủ Nờn R" cũn là khụng gian Banac
1.3 Nhu vay, 6 1.2 cho ta hiển rằng: nếu cha x = (Xụ, , X;), Y — Oy ons Ved)
R* thỉ tớch vụ hướng của x vả y là xy = XỊY, + + X„Y„ và chuẩn của x là |x| = (X;,
X.?}!? : để dứn giản, chuẩn của x, chỳng ký hiệu là {x}
ỳ ` ey
Ở đõy chỳng ta dưa thờm kỹ hiệu:
Trang 71.4 Cho œ — (0 , &, +, On) trong da a â Z, a, = thỡ œ dược gọi la da th Tõn Nhan chisộ Khids ky hidu Jal = a, + +a, = La, luw ý rằng đõy khụng phải là chuẩn j=] trong R", mac dự œ e JR' và trựng ký hiệu; vỡ rằng núi chung: " mn : La#( La) -] =1 1⁄2
'Từ ký hiệu trờn và tử tớnh chất giao hoỏn của phộp cộng trong l4 chỳng ta eử
vải bắt ký — ơ =(ớơi, ứạ) và B =(y, , B„) là cỏc đa chỉ số thủ at = (ơi +, - ơn + Bạ) và |œ + BỊ = |œ| + |B| 1.5 Nếu œ = (0, , ơa) là đa chỉ số, x = (Xụ, - x) â R", thớ chỳng ta kỷ n A ` ĐI : 2) 4 Sy al hiện! \-=Nj 7y: ¿213% NX Jel Nộu fixd = f(x), X; Xa} là hàm xỏc định trờn miễn khong rong €3 c RỲ thi ky hres aw * ^ơ 1% +ể ` of ` th A “| c 4 ty, — af = 10,1, GD, trong de af = = va Of = 2, 4% * 0, f= — Xe L Ky ae con Mxjdx duge higu JA tich phin Lobegig ma miộn lay tich phiin la trộn toan bd It" dx - dx¿ dx„ là độ do Labegio trộn R" Chung ta cũng kỷ hiệu D ~ (D,, D, , D,) ong do D, = —, và — De =(1 1 DP)? =(b + DP + DY + 4D)"
1.6 Gid sii Q la miộn khụng rỗng trong R”, khi đú chỳng là ky hiệu:
C(O! : tập tất cả cỏc hảm liờn tục trờn €3,
CVO), k eZ, k 2 0 la tip hop tất cả cỏc hàm cú đạo hàm riờng liờn tục tới cấp
k trờn â (tập tất cả cde ham khả vị tỏi cấp k trờn @]
Dặchiệ: C”(O1s C(â)
.“.Ắ
Cứ = ủ1\ ChớQk: tập tất cả cỏc hàm khả vớ vụ hạn lẳn (mọi cấp) trờn â, hay
k=U
tập tất cả cỏc hàm cú dạo hảm riờng liờn tục mọi cấp trộn 22
1.7 Cuỗi củng, giỏ sử I{x) là hàn: xỏc định trờn miễn €2 c- R, chỳng ta dịnh nghia gid (support) ella fla bao đồng của tập tất cả cỏc phõn tử x c â sao cho f(x] #
ỉ và ký hiệu là suppl Nhu vậy, suppf — {x e3/f(x) z0, ở đõy Á được hiểu là
bao dộng cra tap A,
Trang 862 Khong gian % va 7":
2.1, Cue dinh aghia:
Định nghĩa 1.2.1: Tập tat ed ede ham fix) xde dinh trờn miễn khụng rỗng €3 R” thủa món:
+ f(x) khả vỡ vụ hạn lẫn trờn @ (hay f C”(Q)) + Tộn tri tập compae KrcC Q sao cho suppl c Ky
[ước gọi là xhụng gian C,”(€3) hay (Gỡ
Núi khỏc di:
C.(Q) = {fe C*(Qy 3 K¿(compac) c @: suppf c Ky}
= {f eC”(Q1⁄3 Kr(compac} c ễ: ù @œK,=0!
Dinh nghia 1.2.2: Day {o,}",., trong C,”(R”) được gọi ià hội tụ về e
C70?) nến tốn tại tập compac K trong R" sao cho:
+ Yến œ N thi supp „ c K
| Voi moi da chi sộ a thi 0, —=E ỉ?@ trờn K Va duue ky hiộu la lim @„ 7 ( hay ức, => @)
.—>œ
Định nghĩa 1.2.3: Phiểm hàm E: C,P(R?) —> R được gọi là hàm suy rồng tiến
lẩ” nếu :
t J' tuyển tỉnh, nghia la:
-Vx,yeCŒ,\(W) thi Foxy) = P(x) + iv)
-VœeR,VxeC, (R) thi F(œx} = œè*(x)
L liất kỷ dóy {0a} trong C.”(ẹ?) hội tụ về O c C2 (R7) thỡ F(w„) -> ế,
[lập tất cả cỏc hàm suy rộng trờn R” được ký hiệu là Z '(R")
Trang 9Nhận xet 1.2.2:
| RG ràng vải bất kỳ đa chỉ số ơ và bất kỷ ọ„, @ € C."(R") ta cú: ở (0a - @} = &o, - Ko
> Gia sito, > trong C,”(R”), thỡ trước hết do sọ œ C,”(@ẹ ) nờn tổn tại tập
campac &,,c R” sao cha: - ŸWneN:stIpp @„œ Ku
- Batky da chi sộ @ thi 6%, =F tein K
Nộu K, =K,wK #6, thi:
-Ơ ne N: supp (ip, = @) C Kị; vỡ rằng do supp @, Â K nộn gy ia%K = 0 va
supp o, cK nộn PARK, eG Vay 0a -—y = Ole K„:
- Với bất kỷ đa chỉ œ; tạ cú đ'( („7= 0} =F Oren KU K,, Cuối cựng: K, K„ compac nộn K, = Kw K, compac,
Viv of, => 0 thi @, - —> Ũ
Tử đả: E lả hảm suy rộng trờn R° nghĩa là F là phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục
trờn khụng gian CR"),
Định nghĩa 1.2.4: Giỏ sử F c Z (R”), @ c C¿”(ẹR”) và œ là da chỉ số tủy ý Khớ
du:
Ky hiộu: - Fig) co nghia la < F, p>
- D’ Fup) cộ nghta la < D°F, p> = (-1)" < F, D%p>, trong do D° Fi) la đạo hàu cấp k của F tại cp,
2,2 khiờng gian ' và ”:
Định nghĩa 2.2.1: Ham @(x) 6 C,”(RŸ) dược gọi là hàm giảm nhanh, nộu bat
kỷ cỏc đa chỉ số œ, chỳng ta dểu cử supplx°.@ấ(x)| < +0
Tap uit ed cae ham giảm nhanh được kỷ hiệu là #(R") hay dun giản là 2 vả
coi la khộng gian Svat (Schawarz }
Nhan xột 2.2.1: Nộug Â./(R') thi voi mdi cSp da chi sộ a, B dộu tộn tại số
Trang 10‘Thue vay; do p = AR") nộn heo định nghĩa: Với bất kỳ cỏc đa chỉ sụ œ, Bi ta
co supp]? tx} < ++,
Dat = Mic, 8) = suppix*.@’otx)] thi cú diộu phai chimg minh
Như vậy, nến x = {Xi, X„ Xạ) € R” ma cỏc x, # 0, thỡ tử định nghĩa 1.2.1 Ă Mia, ee bat ‘ he a ` ‘ a ` chỳng ta suy ra rằng: với bất kỷ cỏc cặp da chỉ số ơ, B thỡ: pix < |x | > 5s $ Z - ` ts dang thufe nay cho thay ’@{x) gidm nhanh hon x* (vdi a, f3 là cỏc đa chỉ số bắt kỷ] khi x ra vỗ tõn
Dinh nghia 2.2.2: Day {p,(x)}",-, trong dược gọi ià hội tạ về ð(x) e nếu
với bất kỳ cỏc đa chỉ số œ, B; chung ta cú X“.ỉ°ð,(X) E x*đ.ỉ'o(x) trờn RẺ,
Nehia la: Ơ œ, , We >9 (be my ý), 3N € N sao che Ơ n> N chung la cú:
|X lx) x Fix) |<2(vdi Ơ x € R‘),
Dink ughia 2.2.3: Phigộm ham tuyộn tinh F xde dinh wen khộng gian 2 dược
gọi ỡọ hảm suy rộng lăng chậm nếu: Với bất kỷ đõy to,(x}}*,., rong Z hội !ụ về O
< -Ơ thi Pia) — 0
Tap tat ed cae ham suy rong ting cham ky hiộu la 7',
Nhan xột 2.2.2: COR cc Z và ⁄'c: # CR")
Đ3 Toỏn ti gia vi phõn:
3,1 Một sổ khii niệm mở đầu: -
Định nghĩa 3.1.1: Cho m, p, ồ 6 R vàn, N e ẹN: giả sử X # ý trong R”,
XT[X¿, X,.Xa) € X và é = (ÚĂ, Ủy) € RỲ, Chỳng ta ký hiệu Si (X x RỲ} là lớp
liit cả cỏc hàm a(x, 8) œ CPWX x RỶ) thỏa món diểu kiện sau đõy: Với bất kỷ cỏc da chi sộ a, B va bat ky tap compac K œ X đều tim được số Capg„ > 0 sao cho: [8%
BPalx, OPEC yay <0 =>? OPO Gi moixe Kva@eR" (3.1)
Nhiều khi, để dơn giản, chủng ta viết Saằ thay cho Sos (X x RỲ):; Đặc biệt
thay vỡ viết S”, ¿ thỡ viết là S'” và đặt S“ = f1 S”
"
Trang 11Nhdin xt 3 0.b: N@u alx, 0) € SN (XA R) và b(x, 6) € Si sLX xR} thi voi bẩt kỳ cỏc đỏ chỉ số œ, B chỳng tả cú:
(1) 8, u(x, 0) ơ S0 PiSISIPÍ(X x RỲ) (2) atx, 0)b(x, 0) 6 S2" (X x RỲ)
Chiing minh:
(1) Do a(x, 61 e SM (Xx R") nộn voi bat kỳ cỏc da chỉ số œ, [ vả bất kỷ tập
commpac Kc X ludn tim duge 96 Cyn > 0 sao cho:
lõy "2, “aỳx, 8) Ss Cop, <O2 7 Pm FOR,
Cũng do aix, Oe SN (XxRỲ)
tờn a(x, 8} c C”(X x RỲ) vậy 78 Patx, Ae C (Xx R)
Tử đỏ, với bất ký cỏc da chỉ số œ, [†' chung ta co: Gad." (ay"GPacx, 0) = BO atx, 8},
do vậy với tập compac K tủy ý ưong X luụn tỡm dude sộ thie Cone pork &
sao che: xe K, ỉ9 c RỶ, chỳng ta cú:
ụn" BFP atx, 0›<€, tạ ƒ (Ít + <0>” ~patel ODN
hay [da 2,” (06°@,Pa(x, Ơ)] S Coss pep ne <B>" "0! BH ote SP
Nhu way: (and Paix, vy) Â are pia|+ấ|Pl(x x RẺ)
(3) Với bất kỷ cỏc đa chỉ số œ, j và bắt kỷ tập compac K = X
Do a(x,Bỡ = Sa 1X X RẺ) nờn tỡm được Cử 'saK” >9 sao cho Y xe<K,Y 0e lš” chủng ta cú:
Kụz"ð “uỳx, 8| s C Say <2” n9 10B,
Cũng đa bớ(x, 9) S0$(X x RỶ) nờn tỡm dược C pie > Ú
Sao cho xelKV8c RẺ chiing ta co:
Trang 12liờu” b(x, 0) < Crap, <O>" 86: HE,
Do atx, fe Sak x RŸ) và b(x, ễ] € s(x x RỲ) nờn a(x, 8) và hb(x,0) c€*{X xRỲ), vậy chủng ta cũng cú a(x,01.b(x,é) e C”ŒX x RỲ) Tứ đỏ: ủ;"ỉ\(a(x,0).b(x,0)]= > ụp" a(x,0) x ụg” b(x,0)x ụ a(x,0)x ð/P b(x,0) Ê'*+œ | '+œ°=ứ J'+'|ð +bˆ=J = aaa FY *a(x9) ðPu(x,0) de? b(x,0) a” b(x,0) +P =p > a™(A,Palx, 0) -Bo* (2," b(x,0)) a'+aq'= 9+ƒ°=Ƒ Vay |8 2 (a(x0jb(x4001< E |a?(2”a(x9))|2s"2/ Œ`+Œ( ` =: Œ b(x,0l P'+ƒ'=p 4 é Cupy<0>009/007 _—- — a+a"=a pip'=p 7 Ce MK <0" ~pke°‹ | Ser" Xớ SR Ceuta ey entre ee een œ0+0zœ 'ˆ'” shng ƒ'+J›'=B Dặt - Capk” } Cang Casnyg > 0 thi: ạA + =o f'+B'=p
lờn ?õ,P(a(x,0),b(x,0))/ sĩ Capk,<02”n nh phi ‘eh
Vay ax,8).b(x,0} â SMI (X x RY),
Nhiin xet 3.1.2- 3n x R”) là khụng gian vectơ con của khụng gian
C7UXXRỲ1 vải phộp cộng hai hàm và phộp nhõn một số thực với hảm., Diộu nảy hiển nhiờn do tỉnh chất của dạo hàm riờng
Trang 13p4] — inf 1C /o,jÄ là đa chỉ số, K compac trong X} thi pi.) la mat nia
œ,[*.X
chan trờn Si (XX Ry
Ching minh: Hiộn nhiộn P(.) lọ một phiền ham
Bay gid, gia su a(x,0} va b(x,9) € so gle x R") Khi dy vdi bat ky cae da chi
so a, B va bat ky tip compac K c X; liờn tỡm được cỏc số đương CC!” sự và
Cša sao cho: xe K, Vễ RỶ chỳng ta cú:
è ụn” &Pa(x,0 \ < ng <p>" ~pia| + $35]
lụa”ụ,Pb(x,0)| < C”%>sv <0>" PR! OB:
Tủ đú: |8, {ab,6] + b(x,8)]| < |&°ờ,”a(x,8)| + |õx"2"b(x,6)|
< (OP ay + Car ỡ <a>" -phị + ọ|ủ'
Eat Copx > Cung + Khi > O thi suy ra:
lờu 2, (a(x,B) + b(x,8)J| <Csaxy <0" OP
ti piuta, G) + bớx, 8]} < p(a(x, B)) + p(b(x, 8])
Vi pa+b)sCank<C “se +C “ha
Sau dộ liy inf theo ơ, B, K về phải thỡ cú điều phải chứng mỡnh
Cuỗi cựng, W xe R; chỳng ta cú:
ụu 2 (^ a(x,B)) = 1õ "ụ,a(x,0)
=> J8"A"\Äa(x,8)|~|AlA"2/”a(x,9)|
Tứ đỏ p(2,ỏ(x,0)) = |À|.|p(a(x,8))|
Vậy p(,] lả một nửa chuẩn trờn 3 s(X xR")
Dinh nghĩa 3.1.2: Ta gọi Gradien của hàm o(x, 6) C”(X x R™\O} theo x la
lap ab Op
veutd i, = “42% yey |, cOn Gradien của ú(X,0) theo x vả 8 là vectd:
Trang 14
Ê aN
O's = a oP DU op evrre _— | {3.2)
SOX ex, đỔy A,
Định nghĩa 3.1.3: Ham dx,8) Â CX x R™O) dude goi 14 ham pha nộu thea
man:
t b{x, O) nhAn giỏ trị thực
| otx, G) thudn mbt dudng bac nhat dội vdi O; nghia la vt > 0, Ơ x e X, Ơ 0
e RW ehtin 2 taco } (x, 1ễ } = tủỳ(x,0)
+ pix, 0) khộng co điểm tỏi han khi @ # 0; nghia la Ơ xe X, Ơ 8 â R™W thi ow #0, Dinh nghia 3.1.4; Cho (x, 8) Â C7CX x RO), ta dinh nghia |io"ss dae! la na trận cấp N x (N-n) nhur sau: t ath ao ar ụ“ú 29,60, ` 28,20, 29;ụx, ` đ8;ờxu ah OHS G50, 00, 20x, 26 48x,, 7% ap ụ”\ | Oy 28 CB Be CO,EX; ~ By dx, | va C¿ = 1(x,Bỡ cXxR”G — thỏa man $' (x0) =0}
Nhận xột 3.1.4: Nếu ở (x0) là hàm phớa thỡ C„ là một nún trong X x RO
Thật vậy: Nếu #(x,8) la ham pha thi theo định nghĩa 3.L.3 ta cú ú thuần nhất
dương bậc nhất theo é
Tử đú, giả sử (x,8} c Cạ, t> 0: thỡ $'o(x,10) = tử s(x,ỉ) = 0 hay (x, tễ) e Cụ,
Định nghĩa 3.1.5: Hàm phỏ ệ(x,8) được gọi là khụng suy biến nếu vỡ phõn Ẳ
hàn! 4 i ad Ns | dộc lập tuyển tớnh, nghĩa là rank (| "sa $"z„|| —N
` iv
‘ J i
Trang 153.2 Toan tf tich phan Furiộ:
ơ 4 4 Teh 4) ae hy ai Nz
Chỳ sử X, Y lần lượt lạ cuc miễn trong R ` và Ä ?;xce6X,veYva8eceR dở day ny, ny, N € N, con ox, y, 6) 1a ham pha trộn X x Ơ x R", atx, y, Bỡ c Sa (X
xYx I) trong đú p > O0; ừ < | và Hy) e C.“CY)
Định nghĩa 3,2.E: Ea gọi A là toản tử tớch phõn furiờ với bỏm pha ${x, v, ễ} là
toam tỷ được cho bởi cụng thức:
Au(y) = ÍÍe'*!t"? atx, v, 0)u(y)dyd0 (3.3)
Nhận xột 3.2.1: Với cỏc giả thiết ở trờn, khi độ tổn tại tớch phõn <Au,v> = Sffe 8?” atx, y, B]u(vy )vx(x)dxdyd8 (3.4) với v{x) bất kỷ trong C,”(X)
Hon nua nộu uly} cụ định thỡ Au la phiộm ham tuyộn tĩnh liờn Lục dội vai v
Ching minh:
Thật vậy, tớnh tuyển tớnh của Au được suy ra tử tớnh tuyến tỉnh của tỉch phõn, củp để chung mớnh tỉnh liờn tục của Ait thỡ hóy giả thiết
vụ 6 CU”Q@X), vạ —> Ú, khiấy lỳn <Au, Ơ,> = 0,
Iỡ—>œ
[Do v„ c C*(Xè, và <> 0 nờn với bat ky c > 0, Jn, € Nsaocho Vn  N, nn, chung taco: |y,| “2 UX Shieh atx, v, Ajulyidyde)
G day : |v,,! chuẩn của vụ trong C.”(X)
1X d6 do [.ứbe ciia X trong R* dương nhiờn do X lả miễn nờn |X: z 0
le*#t**# a(x, y, B)u(y)! chuẩn của hảm etary y, 8)u(y) ưong C”ÚX x Y xRỲ)
Tứ dộ =<Au,v„>~ ÍlÍe"”°*?°a(x, y, 8)u(y).v„(x)dxdydụ
nộn =SAu,va>| s filler acx, y, 0)u(y)dyd0)|v„ldx
= |l“Auv,*|sÍlX[ledx=e
Vậy = <Auy,> > khin -> œ hay điều phải chứng minh
Qua đú , chỳng ta thầy ring Au e 2 {X]
Vớ dụ 3.2.1: Giỏ sử X là một miễn trong R”; x„y e ÄX, Đ Â R" Chung ta dat ox, 6)-— XE aa(Xx)Š ,meN (3.5)
|zj=m
Trang 16Trong dộ: @ - là đa chỉ số, aa(x) e C*(X)
Khi ẩy rừ rằng ơa(x,ẫ) e S”(X x RỲ)
[lõy giở, chưng ta xột toẩn tử A được cho như sau:
Au(xy = fle 6 ax, š)u(y)dydẫ (3.6) với \I(X) Ee COX)
thỡ Á là toỏn tử tớch phõn Euriờ với hàn pha p(x,y,6) = (x — v=
Định nghĩa 3.2.2: Giỏ sử A là tớch phõn Euriờ, khi đỏ hàm: suy rộng K„ = '#(X x Y} dược cho búi cụng thức:
<K,,.W> = [fe "a(x, v, 0)w(x,y)dxdyd0
lroneg dộ {(x,y) e C¿”(X x Y} dược gọi là hach etia toan ut A
Nhận xột 3.2.2: hạch K„ của toỏn tử A là hạch thụng thưởng của A thee nghia
Svat da cụng thức hiển nhiờn sau dõy:
=Au,v> = <K„„ u(y)v(x)> với bất kỳ n e C.”(Y}, ve C(X}) 3.3 Toan ti gia vi phõn:
Định nghĩa 3.3.1: Giả sử n, =n, =n=N, X= Y Khi đú toỏn tử tớch phan
Furiộ voi ham nha :
bi X\Ơ,8) = (x — y) & được gọi là toỏn tử giả vỡ phõn Nhà vậy, toỏn tử giả vớ nhõn là toỏn tử cú đang:
Autx} = Jle'™ "5 ax y, ẫ)u(y)dydš (3.7)
Trang đú X R”, a(x, y, Đ) < S53 (X x X x Rđ)
po >0,8< 1 va uty) € C,"(X)
Vớ dụ 3.3.1: Toỏn uid Vi du 3.2.1 chớnh là toỏn tử giả vớ phõn Đặc biệt, toản Lử nảy tuyển tớnh nờn AÁ cũn được gới là toản tử vớ phõn tuyển tớnh
Nhận xột 3.3.1: Nếu A là toỏn tử giả vỡ phõn và K„x là hạch của nú: nghĩa là:
<K„,Wđ = [Í[t'*YŠ ,a(x,y, E)W(X,y)dxdydE
Thỡ K„ e C,”(XxX\A), ở đõy A = {(x, x) x â X} và được gợi là dường chộo
cla Xx X
Nhận xột 3.3.2: [oỏn tử giả vỡ phõn Á xỏc định cỏc ảnh xạ tuyếp tỉnh liờn tiịc: A:C.”(X) ->CŒ,”(X)
Trang 17Nhận xột 3.3.3: Nộu atx, Ơ, &) = S ng (X x X x Ít) triệt tiờu khi x = v và ễ =
p tỡ toỏn tử A cú thể viết đưới dạng:
Au(x) = Ílle''**Š,b(x,y, š)u(x,y klyd$ Trong dộ bix,y, &) € 5 xXx Xx R")
Nhận xột 3.3.4 Nếu a(x,v, š) với x = y cú bậc khụng vụ hạn thỡ K„ e C”(X x
X)ivà A ảnh xạ từ #'(X) vào C”(X)
Nhận xột 3.3.5 Lớp cỏc toản tử giả vỡ phõn cú thể xỏc định nhỏ hàm a(x,y, š} = Su 1X x Xx R*)
Lop cỏc toọn tử giả vị phõn nảy được ký hiệu lả Ls (X) hay đơn giản Dung:
đặc biệt Lƒ%› được viết gọn là L” và L”= ủL°
tn
Con ham atx, Ơ, &) duge goi la ky hiộu etia todn tu A
Hiộn nhiộn ring, nộu R” va X da cho thỡ toỏn tử giả vi phõn A phụ thuộc vảo
kw hiển a{X,Y, Š}
Trang 18Chương II: MỘT SỞ TÍNH CHẤT CỦA Kí HIỆU VA CUA TOAN TU GIA VI PHAN $4 Ký hiệu của toỏn tử giả vỉ phõn chớnh 4.1 Phộp chiếu chớnh tắc Định nghĩa 4.1.1 Cho hai tap X, Y, khi da cae anh xa: um: XxVY —X (X,V)* x my: XxíỶ ơY (Xv) y
dược gọi là cỏc phộp chiếu tử X x Y lờn X (hay Y)
Nhận xột 4.1.1 Nếu X vả Y là cỏc khụng gian tono thỡ cỏc phộp chiều ay, 2, la cac anh xa liờn tục
Thue vay giả sử G lả tập bất kỷ trong X thin, (G)= Gxằ Y là một tập md
trong X x Ơ chting 0 2, liờn tục Việc chứng zninh tinh liờn tục của 3 èọ tướng tự
Định nghĩa 4.1.2 Cho toỏn tứ giỏ vỡ phõn À = La K, la hach cua A va suppK, la git cua Ky, n6 fa Lip bộ nat trong tat ca cdc bao dong của tận con Z & X
x X thoa man k,| series Khi do cae anh xa nm): supp K, <> X
(XVèE> x
ft! supp K, -> X
(xy)> y
được gọi là cỏc phộp chiếu chớnh tắc
Nhận xột 4.1.2 Thực chất cỏc ỏnh xạ \, œ; ten 1a ede thu hep ella cỏc phộp
chiếu tử X x X lờn X cho nờn tử tớnh liờn tục của cỏc phẻ|› chiếu suy ra tỉnh liờn tục của cỏc phộp chiều chớnh tắc
4.2 Ảnh xạ chớnh
Định nghia 4.2.1 Anh xa (ot khong gian tape X vao khộng gian topo Y dude avi 14 anh xa chinh nộe nebich anh eda mot tap compac bat kƠ trong Ơ la mot tap
Trang 19Not gon Jai: Cho hai khộng gian topo X va Y; f X => Y la anh xa liờn tục Anh xa fla ehinh + Ơ Gc Ơ, G compae thi f'(G)} compac trong X
Vớ dụ 4.2.1
* X la khộng gian topo thy y; anh xạ đồng nhất i,: X => X là chớnh
*X, Y là hai khụng gian tope tủy ý, ya œ Y là cổ định, [: X —> Y la anh xa
hing: Ơ x â X thi {(x)= y, Nộu X compac thi Ê chớnh: vỡ G compac trong Y thỡ
„Š ÿ nều y„ Ê G
f (€)= ; :
Anộuy, €G
Nếu X khụng compae thỡ để thấy f khụng chớnh
* Xột X = Y = (0, +eo} với teno cảm sinh tử Rè f: X —> Y dược cho bởi cụng
‘ ` l ~ * ` ˆ
thuic RAJ — —, ta thay ngay f khộng chinh vi (0,1) la compac trong Y nhưng XxX
(0,1 ] = [1, +0) khong compac trong X
4.3 Tuần tử gới vớ phõn chớnh,
Định nghĩa 4.3.1 Toản tử giả vỡ phõn Á được gọi là toỏn tử giỏ vỡ phõn chỉnh
nếu cỏc phộp chiếu chớnh tắc ;: supp K„ => X ( = 1,2) la cỏc ỏnh xa chỉnh
Vớ dụ 4.3.1 Xột toỏn tử vỡ phõn tuyến tớnh A ở vớ đụ 3.3.1., Đ3, chướng | Như
chung ta đầ biết Á là tuần tử giả vị phõn, Ngoài ra nú là chớnh vỡ trong trường hợp nảy: supp Ky — A= {(xX,x) |x â X} va được gọi là đường chộo của X x X
Định nghĩa 4.3.2 [làm a(x,y,Š}) được gọi là hảm với giỏ chớnh nếu cỏc phộp
ˆ < * * + *
2 7
ehicu chink Wie m,: suppy yatx,Ơ,6) > X fa cac anh xa chinh Ở diy supp, yal XƠ,5)
là ký hiệu bao đồng của tỡnh chiếu supp a(X,v,Š) lờn X x X
Mệnh đề 4.3.1 A e Ly (3X) là toàn tử giả vi phõn chớnh, thỡ A cú thể được
chịa bởi cụng thức (3.7} trong đú hàm a(X.y,E) cú giỏ chớnh
Chung minh: Gid sit x (Gy) 6 C”(X x Y) thổa món +{x,yè~ | trong một lần cận nào đú của supp „ vả cỏc phộp chiếu chớnh tắc x„ Sung X —> X lả ỏnh xó chớni1 Khi độ sau khi chỳng ta viết An(x) — ÍÍeÊ**~?'Š y (x,v).a(X.y,š)n(vjdydE thỡ rừ cảng chỳng !a khụng làm thay đổi bạch của K„¿ và do đú khụng thay đổi toỏn tủ A
Nhu thộ ham x (Xx,y).a(x,V,ẫ) cú giỏ chớnh
Mệnh để 4.3.3 A là toỏn tử giả vị phõn bất kỷ, khi đồ Á cú thể viết dược dudi
dang A=A,, | A;, trong dộ A, la toỏn tử giả vỡ phõn chớnh và À, cú hạch
Ka ecXxX x X)
Trang 20Ching minh: That vay, chung la wiộl A, dudi dang
Aix) = fle" aouy Emudyidyd&, ở đõy a,Q4y.6) = 2 oy )a0,y,6)
con A, dudi dang:
Ayuda = Ie" "a Oxy, €).Cagyidydộ,
ở dõy a,(X.V.Š) = (ẽè — x(X,V)).a(X,vy,ẫ), trong đú +(x,y)= | trong một
lõn cận nảo đỏ của đường chộo & ({X x X) và sao cho cỏc phộp chứa chớnh
tắc ớt: supp x —> XỤ = I,2) là cỏc ảnh xạ clỳnh
Mệnh đề 4.3.3 Toỏn tử vi phõn Á là chớnh khi và chỉ khi cỏc diểu kiện sau dược thỏa món:
tu; Bất kỳ tập compac K œ X đều tổn tại tập compac K, c X sao che tử
supp uc K Suy ra supp Auc Ky
(b} Diộu kiộn {a} edn diing khi chiing ta thay A bdi bdi ‘A
Chứng mỡnh: Trước hết chỳng ta thấy rằng, nếu t(y) € C,°CX) thi supp Auc supp K,.supp u That vậy, nếu v e C¿”QX) sao cho supn vế sujp K¿ supp 1! — ộ thi stipp Ky om supp (u(y}.v(u(y)}) — pb vỡ vậy “Au, v> = ễ vỡ sÁAU,V> = “Ky JUV VEX)
liỳn nữa, từ cụng thức hiển nhiờn sau:
suppk,.suppu = 4;(suppẫ„ / x ‘(suppu}), suy ra rang wong suppK,.suppu
ed edi compac sao cho Au € C,7(X), ut do suy ra diộu cfin chuing minh Ti do diộu
kiện cần của định lý được suy ra tử bao hảm thức vừa được chứng mỡnh ở trờn
Chỳng ta hóy ching minh điều kiện đủ, chẳng hạn chỳng ta chứng minh phộp
chiều m;: suppK„ —> X là ỏnh xạ chớnh: Giả sử K lả tập eompac bất kỷ trong X, hóy
tin ip compae K, dude noi 6 diộu kiộn (a) va chimg td ring m (IK) supp Ky c K, x K
Gia sul (x, Ơ,.) € COXVK,) x K thi nếu hảm trơn w{x,y) = 0(y})v(x) tập trung trong lần cõn của (X„.v„) thỡ do (a} chỳng ta co <K,,w) = 0 Nhung khi do, suy ra tinh
tuyển tớnh vả liờn tục của hảm bất kỷ w œ â C,*(X x X) lập Irung trong lõn cận của
(X„.V„) Tử đỏ suy ra hàm thức cần chứng minh
4.4, KV hiệu của toan tử giả vi nhõn chớnh
ftte đớch của chỳng ta là muốa đổi với một toỏn tử giả vi phõn chớnh bất kỹ
Á, đều xỏc định được ký hiệu của nử tương tự ở vớ dụ 3.2.1 chương ( Nghĩa là :eỏn
tử giả vỡ phõn ÀA cú dạng:
Trang 21Au(x) = fe a(x ulydydộ trong d6 o,(X, E}= SE ax} &%,
œ|<m
ở dõy atx) € > O'%( Xi, XR", va do vậy ơa(x, š}) e S”(X x R”) và được gọi là
ký hiện của A Ở vớ dị đỏ, chỳng ta thấy ngay rằng cụng thức sau là đỳng:
Gald, Ê) = ẩ.2(X)Á&@¿(X) ổ đõy e¿(x) = e”° (4.1) và hiển nhiờn về phải của cụng
thife nay cú nghĩa cho toỏn tử giả vị phõn chớnh A
Định nghĩa 4.4.1 Cho toỏn tử giả vỡ phõn chớnh Á Khi ấy ký hiệu của À là ham o,(x, Ê) được xỏc định bởi cụng thức (4 |)
Nhận xột 4.4.1 Nếu c;(x; khả vi vừ hạn lần theo Š với giỏ trị trong C”(XI vả A la toan uf uryộn tinh liộn tue trong C°ÂX) thi o,(x, ẫ) cũng là hàm khả vỡ vụ hạn lin thea & vii gid ui trong C7UX) Từ đú suy ra đA(X, Đ) ô CPQX x R°} Sau khi viết (XI 6 (XI nhỏ cụng thức biến đối ngược Furiộ dudi dang: u(x) = - fex(x) n(E)dE
vụ nhận thấy rằng tớch phõn nảy hội tụ theo topo trong C?UX) Chỳng ta thấy răng:
Atu(x) ~ Í e9 aẠ(, ẫ) nỢ Fide hay
hay Ali(x) =ÍÍe"h" ?°đ dơx(x, Đ).u(y)dydš (4.2)
Sau nay, ching ta thay rang nộu A e Los (X)vad<p
thi a,ix, Gi e pis lđ x R"}
Nhận xột 4.4.2 Bất kỷ toỏn tử giả vỡ phõn A nao trong X, thi kƠ Hiệu của nỏ
4 ky hiện đx (X, Š) nờn toan tt gid vi phan chinh A, trong X sao cho A- A, Â L™,
trong ivfdng hop nay, ky hiộu xde dinh khong duy nhất mà sai khỏc một hàm
rx, Ses, 3 (XxR")
4.5 Sự khai triển tiệm cận trong lớp Su:
Định nghia 4.5.1 Gia suf a; (x,8) € ` TEX xR): trongđỏj=l2 ; va
h
In,ằ — oo khi j — +90; va gid sử cho hảm a(x, 8) c C(X x R`)
Chỳng ta viết: a(x,0} ~ E A(x,8) nu VreN,rz2 j=!
: ồ r=l m,
chung taco: a(x,0)—- 2 a(x,Đ) € 3b 4x xRỲ) } j=i
trong dom, = max{m,/] # rj
Nhận xột 4.5.1 Qua định nghĩa trờn, suy ra rằng a(x,) € Sz(X xRỲ)
Trang 22Mệnh để 4.5.1 Nếu cho dóy aÁ(x,0) e ` 4 (XxRỲ)
trong do j = 1,2, va m, > = 9 Khi J —> œ thị ton tai hảm› a(x,0} “ứn sao cho a~ 3 a, Ă=1 * õ > m Hon nda nộu co một ham a'{x,@) nao khae thoa man a'~ > a, j=! thia-a'e SoS (XxRỲ) Chung minh: Diễu khẳng định thứ hai là hiển nhiờn, vi theo dinh nghia 4.5.1 suy ra ring Yre N, > 2 chỳng ta cú: r 1 a- #Wnvảa-— T5 a,dễu thuộc S$; (Xx RY) j1 J=1
= a— ae Sls (XxRỲ)(vreN,rz 2: => a—a’le S75 (XxRỲ)
Bõy giở chỳng ta chứng mỡnh điều khẳng định thứ nhất
Đầu tiờn, chủng ta cú thể giả thiết {m,} là một đấy giảm nghiờm ngặt về —
kin | 3 too ma khong mat tớnh tổng quỏt, vỡ rằng nếu khụng cú mụ >> > mà thỡ
ching ta lập số hạng thử nhất với một vải số hạng sau để cú bậc = m,, va sộ hang
thứ nhất là tập hợp ấy, tương tự làm như vậy cho cỏc số hạng sau
Giả sử X = Ũ X,, trong do X; la tip con của X thỏa món: lŠ, = jet - X(nphĩa
Trang 23KKhi x œ K: và khi {ul + |B] +1 <j Chung ta sộ chiing to ring điều đỏ Luụn luụn
được thực hiện Chỳng ta thấy rằng la“e() |< C„ <02>”°“,tz 1 (4.5) trong do Œ„
: ` ẹN PD ace ; 3
khong phuc thuộe vao t nghia la dội voi p rd khi t= | suf danh gia trờn trong lap
S°.„ lỏ đều đối với t Thật vậy: là samt xe FOV ss 8 oy â[): ta “oi °} 4 Pl va [Al < t < 2G] vdi 8 â supp as"? |) tudo rut ra bất đẳng thife (4.5) a's aca 6n c2: l Ẹ ` ~„'#J = || * š||\| Ngoài ra, tử đỏ rỳt ra rằng: |ỉs 2, (° Yon, 8)j| = C, <@> nếu x e K,t# I;|ơ| + |B|-Fl < j Bay gid ching la thay ring
<0> my pal SB) < <0> tt — pkel + Sif! với <q>" ơ > Và
Vỡ vậy, bằng cỏch chọn tĂ chỳng ta dạt được bất đẳng thỳc (4.4) Tử (4.4) suv
r1 sự hội Lụ của chuối (4.3) cựng với tất cả cỏc đạo hảm trờn tập compọc bất ký
Kc X va vidi a, B, | bit ky ching ta cd ` ede ô Mal) Ye |, (x,0J]| < 6 '.<0>x -P8*ấP nếu xe K,, J=r~l L J - r~l N Từ đú, rỳt ra rằng a— ệ me Sia (X xR") j= : D6 chinh là điểu cẩn đỏi hỏi Mệnh để 4.5.2 Giả sử a, c SỈ 2 (X x RỲ),m, —> — ứ khi j => + s2
ac C%X x R"), tiờm vào đú đất với tập contpắc bất kỷ c X và cỏc da chỉ số bất
ky a, B Ton tai cae hang sộ w= pla, B, K) va C = C(a,B,K) sao cho: Vx â K thi
|Ä›”.ỉ ax, Ai) < C.<8>†!4.6)
Hon nữa, giả sử rằng dối với tập compọc K â X, tụn tai 2 diy s6 jy = pi K),
[=1,3 và ot — CAR), Sao clo: tụ —> ~ œ khi è —> + œ vũ cú sự đỏnh giả
|a(x,0] xó a(x,0)l < C<0> (4/7), ý xe K, Khi đú a~ Y a
Ă=l j=!
Về thục chải, mệnh để này củng bất dắng thức (4.4) cho phộp chỳng ta kiểm
tra sự đỏnh gid chi phan du đổi với hẳn thõn hàm mà khụng đổi với tất cả cỏc đạo
hàm Nếu: với đạo hàm ỉy*2,ấa mà thỏa món sự đỏnh giỏ khụng chặt ở bất đẳng thức (1.61 Việc chủng minh mệnh đề 4.5.2 này dựa vào 2 bổ dộ rất quen thuộc sau đậy:
Trang 24BS dộ 4.5.1 Nếu hàm f{t} cú cỏc đạo hàm fF'(t) va Ê “Œ) liờn tục với — | ets |
thi F"(61Ƒ = 4A.(A, + Ag} (4.8), trong dộ A; = sup ff! (t) — 1 strong < 1}; 7 0,2 Ching minh: Thee định lý Lagrắng: |f() - f{(0)| š À¿.|L-
Vi |f \U|> =i 40) khi A:|t| > a ‘(0)| vdi t e[-I,1] chung ta ky hiệu A =
nin} - | v1} thỡ | (trong)] = zIf 0) voi Ơ trong € [-A,A]
Cluing taco! 2A, > 'fA)— f(-A)| s JA ae
Fate: aes 2A
đo đỏ |f(0)| < 5 = 2A,max { y1}; điểu đỏ cú nghĩa lả
f (0) |"
hoặc |f0)| < 4A„A¿; hoặc |f{0){ˆ < 4A Từ đú suy ra (4.8)
Hổ đề 4.5.2 Giả sử Kạụ, K; lả hai tập compọc trong RỶ thỏa món K, c int K;
tÍnt K; là kỷ hiệu phần trong K;} Khi đú tổn tại hằng số C > 6 sao cho đối với hàm f bắt kỷ khả vĩ vừ hạn lần trong lõn cận của K; mả cú sự đỏnh giả sau dõy:
sun 2 Doo =sC sup [fool ( sup [foo] + sup EY |DPẹWXII:
welt, lol | xĂcÍ › xeKs xeK > aj=2
16 dộ nay chi là hệ quả của bổ dộ 4.5.1
Bõy giả, bằng cỳch đựa vào hai bổ để nảy, chỳng ta chứng mỡnh mệnh để 4.S.2
tỡ sat:
2) `
Chiing minh: Gia sib ~ â a, (ham b như vậy luụn luụn tốn tại do tiện đẻ
j=!
4.5.1 chủng ta đất d(x,0) = a(x,0) — b(x,8); khi đú đối với tập comipọc bất kỷ K c X chủng ta cú: |ấw” ad, 0} < C<0>*, x e K, trong đồ C va p phu thuộc œ, B, K va ngoài ra |d(x,0)| s Cụ 0>”, x e K trong đú €, = C(K)
Ching ta dat dg(x, 6) = d(x,8 + €) Khi do chiing ta co
ALG, dal x, Ele -g = = Oe “a Pd (x0) Bay gid chỳng ta ỏp dụng bố để 4.5.2 san
khi đặt K, = K x0, Ky = K x (|š| < 1}, ở dõy K la tập compic trong X thỏa man: int K >K Khids chủng ta nhận được
sụp 3ÿ (2g"ỉjPd (x,0) < C<0>7'{<0>* + <0>), trong đỏ r tựy ý, phụ
x eÍ€ Jœ|*|P|='
thuốc œ, B, K cũn C phụ thuộc z Nhưng tử đú rỳt ra rằng với x e K va fa] ' |B| ô hàm ờ:”ụ,Ủd (x,0) giảm nhanh hơn bắt kỳ lũy thừa nào của <8> khi |B| => + œ Sau
khi iập luận theo qui nạp, chỳng ta nhận dược điều đú chớnh đối với bất kỳ ơ, [9 sao
Trang 254.6 Biộu thife cia kỷ hiệu toỏn tử giả vỉ phõn chớnh qua hàm a(x,y,Š):
Từ nay về sau, chỳng ta gia thiột ring 8 < p
Định ly 4.6.1 Giỏ sử À là toỏn tl gid vi phõn chớnh được cho bởi cụng thức
(3.71, đa(x, 5} là ký hiệu của nd Khi dộ o,(xƠ) ~ r— đ:”D,ˆ"a(x,y,ẫ)|, - v (4.10)
a
Trong đú tổng Liệm cận chạy theo tất cả cỏc đa chẽỈ số ơ
Chưng mỡnh: Vỡ rằng ụ;”D,”a(x,y,Šẫ)(, € Si (P~ŠJl#ẽ và nhụớ vậy tổng tiệm
can (4.10) la co nghia
Bay gid chỳng ta thấy rằng do mệnh để 4.3.1, nờn cú thể coi hàm a(X,y, Š) cú giỏ chớnh, cụng thức (4.1) xỏc định ký hiệu ứạ(x, Š) cú thể viết dưới dạng
đa(X, E) = ÍÍa(x,y,0) e5 ~?8 v!9~*Š dyvd6 (4.11)
Ỏ đõy tich phõn được hiểu là tớch phõn lập và cú nghĩa vỡ rằng với mỗi x cổ dinh, tieh phõn lấy theo y với miễn lấy tịch phõn là một tập compọc Vỡ vậy, nếu campọc trong X thỡ (4.11) được hiểu khi tớch phõn trụ phụ thuộc tham số x e K * ‘ ae ‘a 2 = Ơ ` x ^ ` 8 Chung ta di biộn trong (4.11) nhuf sau: 0-E sao cho việc trỡnh bay được đơn n=0- gian: atx, &) = Slatx, x +2, & + nye "dz.dy (4.12) va khai triển hõm a a(X, x Lz,ẫ _ r= 3é @a@uw,xtzE) 1 oD + ry(x, X +2, Gn) (4.13) lelsz | N.n N-| aicN GQ: o z A(X, x +7, & enpddt, (4.14) trong do rx, xX +z, & 4) = và chỳng ta thấy rằng:
l[3;”a(x, x +z, Ee "dzdny = õ"D,°a(x, x + Z, Š)|„= 0 (4.15)
Theo cụng thỳc furiờ ngược Diễu nảy cho cỏc số hạng hữu hạn trong vũng
thite (4.10)
Bay giỏ, để sử dụng mệnh để 4,5.2 chỳng ta nhận được sự danh giả ban đầu
dang (4.6) cho ơa(x,ẫ), Đổi với điều này, chỳng ta biển đổi (4.12) bdi fuương phan
tớch phõn từng phần vả suy ra:
Ga(x.Š) = Í <D,>'a(x, x +z, E +rị) =n>?dzdn (4.16) ở đõy y là sụ nguyờn
chẩn vả khụng õm
Da cú bất đẳng thỳc <š + n> < <ẫ>.<sy> chỳng ta nhận được tử (4.15) sao cho:
lex “ae x(X,š)| <C=š>† ˆ h[~n>" BẠN ~My
Trang 26Ỏ dõy p = maxỳn =p|ơ| + SB]; 0), x € K va 7 dd ldn Chinh digu nay cho suf
đỏnh giỏ cần thiết của đạo làảm của œA(x,5] dạng (4.6)
Cụng việc bõy giờ là đỏnh giỏ phẩn dư (số hạng dư) Sau khi thay ở (4.1L) biểu Unie ry=tpts Xt 2, &, mp) thay cho a(x, x +z, & +) ching ta thay đổi lấy tớch phõn theo t và lấy tớch phõn theo z, rị thè sẽ nhận dược đẳng thức cho t e [0,1], x e K su danh gia tớch phần:
R„x, &) = fle’ ay a&e%a(x, x + 2, & + tydzdny 6 day |ơ| — N Sau khi tớnh
bằng phương phỏp ting phan, ching ta nhan duse
Raix, &) = fle" 8"D,*a(x, x 1 Zz, & + tydzdn (4.17)
va tach tich phn (4.16) ra thanh hai phan: Ra; = Ray + Ray (4.18)
G đõy trong R'„„Ă cú miền lấy tich phan 1a tap hap {(a, nin] s [E24 con BR,
cú miễn lấy tich phiin la phin ba eda phan trộn Chiing ta thay cing nộu |y| < [E}2
‘ 4 3 ` # + * +
tt [š|2 <s |š + ty] s = |S] ma trong R,, "thộ tich" ctia minh lay tớch phõn theo +ị khong viel qua CE!" nộn
[Rix Ey] Ê C cea" "ON!" 4 19) O dõy C khụng phụ thuộc ẫ vả t
Bay gid chung ta dinh gid R",, Lay theo z tich phan ting phin sau khi sd
dung cộng thife : <= cD te "= e “1 ỏ đõy y là số chẩn, khụng õm Khi đú R"2,
được biết: diễn đưới đạng tổng hữu lập cỏc số hạng đạng:
l„ ÁX, &)= oe Me." D," ‘Pax, x +z, E+ tn} dzdy (4.20)
ne spe
Gday |ủi <y Khi In| z |š2 biểu thức &*D “Pax, x1 z2 ẫ + tị) được
danh gia theo modun qua € <y=""~ (O- BIN OF Khi m— (p — 6)N + by) 20 va qua C
khim (pe - GN + Sy <0, ed hai trưởng hợp này C khụng phụ thuộc š, 1) va t Sau khi tink nhde tae chỳng tạ nhận được từ (4.18) với y đủ lỏn:
Rag,x,ẫ)| < CÍ<q>PT "ẩn, mỊ > |ẫJ⁄2
trong đỏ p = max{m — (p — B}N, 0} Nếu p— (l — ừ]y+n +1 <0 thỡ từ đủ rỳt
ra rằng: Reap (Sil € C<z>" teehee fer : ‘dy <(C‹t>F- heya (4.31)
trong do C khụng phụ thuộc x, &, 1 vỏi x e K,t e [0,1]
Sau khi chọn y đủ lỳn, chỳng ta cú thể làm cho trong (4.21) số mũ p — (1 — By
tnd | dim va dd lin về mođun Chủ ý rằng tử (4.17) và (4.18) chỳng ta nhận được
sử dảnh siỏ đối vỏi R„: |R„(x,)| < C<Ê>z" POP x â Kt â 10,1] do ỳp dụng
Trang 2785 ký liệu của toỏn tử chuyển vị, ký hiệu đụi ngẫu và cụng thức
hop
5.1, Ký hiệu của toỏn tử chuyển vị
Định nghĩa Š.E,.1, Cho toỏn tử giỏ vỡ phõn A bất kỷ, khi ấy toỏn tử chuyển vị
của Á lả một tuần tử ký hiệu là 'ÀA nú được xỏc dịnh như sau: Vu,v Ê C,7(X) chỳng
ta co;
AUS = <u, Av> (5.1)
Ở đõy =u,v3 — ÍU(x).V(x)dx
Nhận xột 5.1.1: Nếu Á là một toỏn tử trong Lũ s(X) được cho bối cõng thức ở định nghĩa 3.3.1 Chương [, trong do a(x,y,6) â So's (x.x.R") thi ‘A được cho bởi
cụng thức 'Axdy) = fle -*atxyy,Ê) vixidxd&, Từ đú, bằng cỏch đổi biến n = - €
chung ta nhận được:
'Av(v) = lle “Y7 a(x,y, -n)dxdn (5.3)
Tư đú suy ra rằng ‘Ae Ls (X)
Dinh ly 5.1.1, Gid sd A la toan nf gia vi phan chinh; o,(x,6) là kỷ hiệu của nú, con a',(x,6) la ky hiộu eva toan ut A Khi do:
ŒA(N,Š) ơ 226D, ”ứa(x,~š)J/ơl (5.3)
oO
Chứng mỡnh: Do A là toản tử giả vị phõn chớnh nờn 'A cũng là toỏn tử giả vi
phõn chớnh Ildn nữa củng với a(x,v,Š} trong cụng thức (4.2) của A co thộ thay
ơaLX.Š) Khi đố ($.2) cú thể viết như sau:
'Av(x)—~ ộ "TS z„(y,-š)v(y]dydš (5.4)
Dõy là cỏch ghỉ chuẩn của toỏn tử giả vị phõn, trong đỏ vai trẻ của a(x,y,Š} biếu diễn bối ơ„(x, Š1, Phần cũn lại của định lý là hệ quả trực tiếp và hiển nhiờn
của định lý 4.6
Đ.2 Ky hiộu của toọn tử liờn hợp
Định nghĩa S.2.1 Cho toỏn bỉ giỏ vớ nhõn A bất kỷ, khi ấy toỏn tử liờn hợp của Á là một toỏn tớ dược ký hiệu là A*, nú được xỏc định như sau: u,v e C.(X)
Trang 28Trong để (u,v) = Íu(x)v(x)ởx, ở đõy v(x) - số phức liờn hạp eta vix}
Định lý 5.2.1 A là teỏn tử giả vỡ phõn chớnh với kỷ hiệu ứứ„(x,Š} thi A* cũng là toỏn tử giả vỡ phõn chớnh vả nếu ứ¿*(x,y) là kýhiệu của nú thỉ
G4" (X,5) ~ DAD a 6 4 (X68) fo! (5.6)
Đ.3 Ký hiệu đối ngẫu
Định nghĩa S.3,1 Cho toỏn tử giả vớ phõn Á với ký hiệu của nỏ là ứ„(x,Š) khi đỏ kybiệu đổi ngẫu của nỏ được ký hiệu là đu(x, ẩ) và được định nghĩa như sau:
ơa(x, E) =0'a(X,-ẫ) (5.7)
Nhận xột 5.3.1 tỦÁ) Á
Thật vậy, tVA) là chuyển vị của 'ÀA nờn Vu,v ộ C,”QX) chỳng ta cỏ:
<2At,v> =(utCAIwv> hay <t('A)y,u> = <v,"Au> = <Av,u> Vay A= tA)
Tự nhận xột này vả tử (5.4) suy ra A co thộ dude viột qua kỷ hiệu đối ngẫu am a(x, &) thee cdng thức:
Au(x) = Íe**T*Š ứ x{x, €)M(y)dydš
“A st
hay (Aue) =Je™.o atx, Elucyidy
Từ đú chung ta ed dinh ly 5.3.1 sau đõy mà việc chứng mớnh nú lỏ hiển nhiờn suiy ra tu (5.7) va (5.3) Dinh ly 5.3.1, Ky higu đối ngẫu ơ a(x, Š) liờn hệ với kỷ hiệu ứ;(x,ẫ) bỏi cụng Lifc Liện! cận: a ;(X, Š) ~ 2 (—ấ;} D,“ứa(x,Šš/ơl (5.8) wn
5.4 Cing thie hgp: Bay gid gid stt A va B là hai toỏn tử giả vĩ phõn chỉnh với
cỏc ky hiệu tương tng ơ„(X,ấ) và ứn(X,Š)}
Trang 29Vain dộ dat ra la hợp của A vả B là toỏn tử € = B.A là toỏn tử giả vỡ phõn
chỉnh huy khụng? Và ký hiểu ơ,(x,š) của nẻ như thế nảo? Dịnh lý sau dõy cha
chiing ta cau tra loi trộn,
Dinh ty 5.4.1 Nộu A va B là hai toỏn tử giả vị phõn chớnh vdi cỏc ký hiệu
hing ing a,(x,Ê) va ứs(x,ẫ) thỡ C — A.B cũng là một toỏn tử giả vớ phõn chớnh,
động thởi kỷ hiệu ỉ,(x,Š) của € thỏa món:
G(x,ẫ) k LO” Gn(x,ẫ)D,“ơ„(x,šŠ)/ơl (5.9)
ứ
Chung minh: Chting ta sf dung hai cing thife sau day:
( Au 1Š) = fo!” aly, Eỡu(yjdy (5.10)
Buta} = fle" ~ Spt xt juty dvd (5.11)
Chung ta nhiin dude: Culx) = Í[ e**~* lu x,E) ủ A(Y, ẫ) u(yỡdydộ
Tự dọ suy ra nếu Á € L(X) vi Be Loa (XI thỡ Œ œ Le tx) và hoàn
toàn tướng tự C — ÍA-HB e Ly đ*(X), Như vậy, tử mệnh dộ (4.3.3) suy ra C là
toàn tử giỏ vớ phõn chớnh, cũn kỷ liệu œ-(X,Š) được suy ra tử cỏc định lý (4.6.1) và dinh ly (5.3.1): œ((x,Š)~ 287D, ”|ơu(x,Š).đ A(y, Š)J/Gd|y - x = 3,ỉ@”[ứn(X.Š) Dy”ứ 2X, Š)]/œ! ~ Le SE &fon(xZi(-&) D7 Po a(x, Ealp! (5.12) x, fl
Sau diy ching ta dưa ra 2 bổ để rất quan trọng thuộc ở đai số:
BG để 5.4.1, (Cụng thức Lõóybnhisa); Giả sử f{x) và g(x) là hai hằm trơn trang
Trang 30$6 Ký hiệu cổ điển và toỏn tử giả vi phõn cổ điển
6.1, Cae dinh nghia
Định nghĩa 6.1.1 Hàm a(x,0) e C”(X x RY) được gọi là kỷ hiệu cổ điển nếu
với bộ mỡ nào dở chỳng ta cú sự khai thiển tiệm cận a(x,8} ~ k2 \/(Đ).1,, (x8) j=0 2| — 1m “ tnếu|0|s Trong đú v (0) < C”(lš”] thỏa nỡấn (0) = ¿ â Leu [Oo] = ] Con a, —, thuần nhất dương theo 8 bậc mỡ — ], nghĩa là tt > 0 và V(x,ỉ] c Xx(R 0) thớ dụ, &x,t8) = "ax, 8)
Lớp tất cả cỏc kỷ hiệu cổ điển trờn được ký hiệu là CS”@X x RỲ),
Định nghĩa 6.1.2, A là toỏn tử giả vỡ phõn được chủ dưới dạng cụng thiức (3.7] trong đú a(x,vJ01 c CĐ”(X xX x RỲ) thỡ A được gọi là toỏn tử giả vỡ phõn cổ diển Lớp tất cả cỏc toỏn tử giả vỡ phõn cổ điển được ký hiệu là CL"(X)
Nhận xột 6.1.2 Nếu ay(x,0) thuần nhất dương theo 9 bậc k thớ ụạ°ụ,” a(x,0)
thuần nhất dưng theo é bậc k — |ụ|
Ching minh:
Thực vậy, VL> 0; A2 Pỏ(x,t0) = 076” a(ẩ.a(x,Đ)i = ẩõ"ð,Pa(x,é) do a(x,é)
thuẩn nhất dưdng bậc k theo 8 và Ủ là hằng số đổi với x và é
Miặt khỏc ụ¿*2,Pa(x,t0) = t°lõđụ@ a(x,t0} da t0 như là hảm bậc nhất đối vải 8,
Tư do L "8 a(x,1té} = 2z"2Pa(x,9 )
Nờn ủ"@Pa(x,10) = T2 a(x,t8)
Trang 31(tị Nếu Á 6 Cl."(X) thớ lÁ và A* â CL™{X)
Nhận xết 6.2.1 Qiia mệnh để 6.2.1 cho chỳng ta kết luận rằng lúp CŨ (XI
động kớn cỏc phộp toỏn hỳp, liờn hợp và chuyển: vị nếu cỏc toỏn tif xột trong CLIX)
tả cỏc toan tử giả vỡ phần chỉnh
87 Tinh nội Eliptic va tinh Eliptie
7.1 ky hiệu và toỏn tử nội Eliptic
Dinh nghia 7.1L [am ứ(x.Š) 6 C”(X x }) ở dõy X là mốt miễn trong RP
dược gọi lả kỷ hiện nội Eliptie nếu nỏ thỏa món cỏc điều kiện sau đõy;
(a) Vn tại cỏc số thực m,, m sao che bat ky ip compac K c X dễu tỡm được cae hang sộ duting R, C,, C; sao cho:
CAS" S |a(xš)| š €;|l[” (7.1)
Với V Ê thẻa món |ẫ|> R va Ơ x € K
(bỡ Tụn tại cỏc số thực p, ử sao cho 0 # p < ừ < | và đối vỏi tập coimpọc bất ký
lL c X tốn tại hằng số R sao cho bất kỷ cỏc đa chỉ số œ, B tim duoc hang sd Cy 9,
sao cho:
12:76, Po(x.Z)1o7 (XE) S Cope lB 7m POP! Vidi x eK, [EJ = R (7.2)
L.ỏp cỏc ký hiện ỉ(x,š} thỏa món ede didu ki€n (7.1) va (7.2) vi cac sộ m,, m,
ƒ ử cú định chỳng 1a ký hiệu là HS (X x R") hay don giản hơn HSNg ne
nuờn X đang nú: khụng bị hiểu nhằm Lin
Chu y 7.0.1
Qua định nghĩa trờn suy ra rằng HS 35° (XxR)c Sns(X x R”] vả qua
HI `! ”* (X) chỳng ta ký hiệu lỳp tất cả cỏc ký hiệu: pb
đ/(X., Š) € HS " (Xx R”) mà ơa(X,$) là ký hiệu của toỏn tử giả vỡ phõn chỉnh A trong miộn X
Định nghĩa 7.1.2 Toọn tứ giả vỡ phõn Á dược gọi là nội [:liptie nếu tổn tại
một toỏn tử giả vị phõn chớnh A, € HS a3 (Xj) sao cho A- A; +R,, trong do R, L~| X}, nghia la toan wR, cd hach kha vi vộ han lẳn
Nhận xột 7.1.1 Chỳng ta thầy rằng dối với sự biểu diễn của bất kỷ toỏn tủ nội
[lintie dưới dạng A = Ái + Rị ổ trờn thỡ Ai â HLS" (xX)
Trang 32Vớ dụ: 7.1.1 Gọi Á là toỏn tử vị phần, nghĩa là A = 3, ag(xjD* trong do jx ina 41x) Ê C”(X), Chỳng tả gọi ký hiệu chớnh của nú là a„(X,Š) tỡ =a (XSI 2 aa(xẫ" (73) |œ|<m thỡ A là toỏn tử nộ: Eliptie 7.2 Tuần tử Eliptic Định nghĩa 7.2.1 Toỏn tử vi phõn A dược gọi là Elipue nếu a„(x,Š) # 0 với trại (x) e X x(R”^0) (7.4) Mệnh đề 7.2.1 Chú toỏn tử vị phõn Á Cỏc điều sau tướng đương: (a) A Eliptic (by A  HEY 3" (X) Ching minh:
(b) > (a! là hiển nhiờn
(h; -> (a}: chỳng ta, trước hết dưa vảo ký hiệu đõy đủ của toản tử A: A(Xấ)= 2í 4u[X)E" (7.5) jafsin mỡ vả clilng ta thấy rằng nờu cú (a} thi BED yg = b_(x,8) Ain XS
trong do b (x,6) â C*(X x RO) va thuin nhat theo š bậc — j,
Từ đỏ rỳt ra sự đỏnh gia (7.1) vdi m, = im; con (7.2) được suy ra hoàn toản
tone tf
Dinh nghia 7.2.2 Todn ut A € CL™(X) dude goi la Eliptic nộu kyƠ hiộu chớnh
clit 10 ay XE) hoa man diộu kiộn (7.4)
Dinh nghĩa 7.2.3 Toỏn wl A â Lo's(X) duve goi la Eliptic nếu A e
HL HH, nó AX)
Chỳng ta cú mệnh để hiển nhiờn sau đõy:
Mệnh để 7.2.2 Để toản tử A Ê L21s(X) là toỏn tử I:liptie, điều kiện cần vả dủ
Trang 337.3 Cac tinh chat don giin cia ky hiộu ndi Eliptic
Trước hết chỳng ta quy túc rằng: ứ(x,š) € Sp's với ẫ đủ iớn, nếu đổi với lập
coiipắc bất ký K C X tốn tại số thực R = R(K) > 0 sao cho hàm ơ{x,ẩ) được xỏc
định với x e K vả |E] > RCK), va vdi ⁄{x,Š) chỳng ta điều cú sự đỏnh giỏ (3.L) Nếu
khỳu đú cẩn thỏa món sự đỏnh gia (7.1) va (7.2) thi ching ta noi ring ofx,Ê) â
HS "9 với Ê đủ lỳn
Chỳng ta thấy rằng nờu ứ(x,ẫ) € S 21s hoặc a(x,8) e HS; `* với Š đủ lớn thỡ
suu khi nhón ứ(x,ẩ} vải bảm lỏt edt tran 1/(x,Š) bằng 1 với š đủ lớn (chẳng bạn vỏi x
e K và !ẩ| > R{K) + 2 dội vdi tap compic K bat ky) va bang 0 trong lõn cận của tập
mad dộ ky hiộu o khộng xac dinh (chang han, x € K, |ộ| Â R(K) + 1); chỳng ta nhận
dude ky hiGu o.(x,Ê} € HS "(X x R") trựng với ký hiệu a(x, E} khi Ê đủ lớn Sau đõy chủng ta nờu lờn một số tớnh chất mả khụng chứng mỉnh
Tớnh chất 7.3.1 Nếu ứ(x,š) e HS; š" với š đủ lớn thỡ
-m
Go (x.6) € HS 75°" vii & đủ lớn lớn nữa đối với bất kỷ cỏc da chi sộ a, B
‘ ig ee P &i v :
chiỳng ta cú ễ"ụ,“a(x,šơ(x,E) e S ten với š đủ lồn
Tớnh chất 7.3.2 Nếu ơ e Hs 4 ore Hs me" : _$ T1 ‡ t1” itn, tt" thi G.đ"€ HŠ n5 Tớnh chất 7.3.3 Nếu ứ e HS nó Và r € Sia trong dộ m, <= mM, ' ; I1,EI thi ctre HS os -
Tỉnh chất 7.3.4 Nếu ứ(x,y} c HS oA VOLE đủ lỳn
và ỉŒ (y, tị) = 0 (xty), Ely, 0) trong đỏ ảnh xạ (y, 1ị) œ (X(Y), Đ(y, +Ị)) là ỏnh
xạ khả vi tử X; x (R9) vào X x (R"0}; Hơn nữa š(y,š) là hàm thuần nhất dướng bậc
nhất đổi với nị Thỡ ứj(y,) e HS a8 vdi 7 dd ldn
7.4 Cỏc tớnh chất đơn giản của toỏn tử nội Fliptic
Sau đõy chủng ta cũng nờu một số tớnh chất của toỏn tử nội ElipUc mó khụng chung minh
Trang 34thi A' A’ Âc HL", am" (x) iq! 4 Hh,”
Tớnh chất 7.4.2 Nếu A e HELD (X) thi ‘A va A* â HLM (X)
Tớnh chất 7.4.3 Nếu A Â HL Oo"? (X) va R â LOE (x) trong dộ m, <= m, va R
lả toỏn tế giả vỡ phõn chớnh thi A + R â HL 33" (X)
Tớnh chất 7.4.4 Nếu | — p < ừ < p thi lớp HL""* (X) bất biển đổi vdi phộp
biến dối, nghĩa là cho phộp vỡ phụi 2ƒ: X —> X, và A là toỏn tử được xỏc định theo số đỗ sau: in A Co) ——~ Cc (xX) A me 7 A CPG) = COD) va — 4=2''thiAyĂu=[A(u.29]2: Khi dử chỳng laeử: Ai eHL-*(Xj) 7S Parametric ‘Trude hột, chiing ta dua ra dinh ly lam c sộ dinh nghĩa Paramộtric của một loan (uh,
Dinh ly 7.5.1 Gia si A â HL oa (X) trong do 6 <p va x là một miộn trong
R° Khi đỏ tốn tại toản tử B c HL tee “™(X) sao cho:
B.A =I+R,, AB=1+R (7.6)
Trong dộ Ry  L°(M), j = 1,2, | la anh xa dộng nhat Su tộn tai B khộng duy
nhất mó sai khỏc một toỏn tử trong L”(QX), nghĩa là nếu cú
B eHL-Đ*" P00 và Rị e L“(M),j= 1,2
saocho BA=1]1+R',, AB'=1+R;thiB-B' Â L“(M)
Chiing mỡnh: Giả sử ơ„ là ký hiệtt của toỏn tử Á Chỳng ta xột hàm — ba(x,Š) e HŠ ¿9 “(Xx R")
Trang 35Bay gid ching ta tim toỏn tử chớnh B, € HL Gorn (X)
Sao che ay, - b,  S “(Xx R") Chiing ta kiếm tra rằng: B„ tt A=1l + R, (7.7) Trang đỏ Rg Lox) ‘That vay, theo dinh by (5.4.1) ching ta eo khi & dai lộn: ze POA Deo lajel a “an oA ° ơ oe ồn A(X)~l + 2 OfoR Deo, =1+.5 — jeje œè Phan edn lai ap a tớnh chất 7.3.1 Bõy giở giả sử Œ, là toỏn tứ gid vi phan chỉnh sao cha: =F ` (7.8) SỈ: Neha la 6c,~ Ll LJơ, ` (7,9) ja Pử (7.8) hiển nhiờn rỳt ra rằng Cy +R,j-T  L™, do do aộu chủng ra đói Bị - CB, tỡ BỊA =1 1 R,, (7,10) Irong đú R, L ”(X) Từ cỏch xõy dựng rừ rằng rằng B, € a (X)
Ilan nữa, bằng cỏch tương tr cú thể xõy dựng được toản tử By e HL ae MX)
sao cho AB; =[ +R; - 1)
trang dd Rạ eL”
Bõy giờ chỳng ta kiểm tra rằng nếu B,, B; là hai toản tử giả vi phõn bất kỳ
thaa man ede hộ thie (7.10) va (7.11) thi R;-B; e L ”()
Việc chủng minh tổn tại l3 sẽ đũi hỏi điều này (với tự cỏch cú thể lấy bất kỷ cỏc (cỏn tử 13,„ B;) và tớnh duy nhất của nú {chinh xỏc đến toỏn tử trong L”(X)]
Chỳng ta thấy rằng Bị và B; cú thể coi là chớnh, sau khi nhắn (7,10) về bờn
phải với B; và sử dụng hệ thức {(7.L 1) chỳng ta nhận được B, — B; = R,8; — B,R; vả con lụi, chỳng ta thấy rằng 3,R¿ vả R,Bạ thuộc L'“Q@X)
Định nghĩa 7.5.1 Toỏn tử B thỏa món điều kiện (7.6) được gọi là Paramtrie
của toản tử A
Hệ quả 7.5.1 Nếu Á là toỏn tử giả vi pen nội Eliptic (cú thể khụng chớnh) thỡ
Trang 36Hệ quả 7.5.1 Nếu Á là toỏn tử Eliptrie, A = L7; (Xi thớ tốn tại Paramộtric B
gy wh am
cane ma Bb = HE “nỗ (X}
7 6 Parametric cia todn tt gid vi phan Eliptic cổ điểu: Giả sử A lả toỏn tủ giả
vị phõn El:ptie cổ điển trong miễn X = R”, mà ký hiệu a(x,š) giả thiết š đủ lỏa củ
sự khai triển tiờm cận: a(x,Š} = > Ay, —j(X45) (7.12)
j=
Trang đủ: a„„(Xx,Š} e C”(X x R0); đồng thởi du — (X55) thuần nhất đương theo
Š bậc m — j vả thỏa món điểu kiện Elipbie (7.4)
Nếu B la Parametric ela A Chiing ta chung minh ring E3 là toỏn tử giả vỡ phõn
cổ điển mà kỷ hiệu là b(x,Đ) vdi € dul idn cú sự khai triển tiệm cận:
b(x.š}= ` bu (XÃ) (7.13)
i=l
Trong đồ hạ ,e CX x(R%0)) va b_, thuần nhất đương theo ẫ bậc -m-|
Cụng thức hợp chứng tổ rằng ký hiệu b(x,š} cần phải thỏa món diểu kiện
LHP als, GID A(x, E Mar ~ |
hay Lee"ay AX )D bg Shar ~ | (7.14)
[từ ràng rằng nếu chỳng ta nhúm lại trong (7.14) tất cả cỏc số hạng theo bậc bởi tớnh thuần nhất thỡ (7.141 sẽ cú nghĩa là đẳng thức đđn giản của thành phẩn
thudn nhat tong ting,
Sau do chiing ta nhận được
> ey, FyidX, SID, by, (X,E Mor = 6," (7 | 5)
kt jlel-p
„
hode cu thộ hon a„.b _ „ = |
ay Diya 2 (de (a(x, D,"*b.,,,- (X$)X@i = 0, J = 1,2
Keitki-p °
Tử (7.L5) cọc hàm thuần nhất dương bậc —m -— j (j ~ f,1,2 ] dược xỏc định
bằng cỏch như vậy hiến nhiờn đơn trị Bõy giỏ nếu xỏc định b{x,š) bởi (7.13) và tỡm
toạn tử giả vỡ phõn chớnh B sao chủ ơa(X,Š) — b(X,ẫ) e S ”(X x R) thỡ B là
Trang 37Đ% Cỏc định lý về tinh bị chặn vả tớnh compắc của toỏn tử giả vi
phõn
8.1 Dink ly ev ban vộ tinh bi chin,
Giả sử Á là toỏn tử giả vỡ phõn trong R” Chỳng ta sẽ xột A như là một ảnh) xạ
ALCOR) => C.”“ÚC) và giả sử hạch của Á là Kạ được hiểu theo nghĩa Svat (xem định: nghĩa 3.3.2, chương [}, Nếu supp Ka là tập compọc trong R” thỡ ÀA xỏc dịnh tội ảnh xạ A:C (R”)—>C, (R)
Chỳng ta dặt vấn để, cú thể thỏc triển (mở rộng) toỏn tử A đến một toỏn tử
tuyển tớn liờn tực — A: Lˆ(RP) —> LẦ{RP] hay khụng?
` ‘ , ‘a 2 * + ‘ * “*
RG rang rang, diộu kiộn can va du la co su danh gia:
||Au < € [la], awe CoACRđ) (8.1)
Trang dủ C > 0 khụng phụ thuậc ỳ vả |.|Í là chuẩn trong LỶ(|R”)
Chiing ta quy ude rang Jim la(x,Š)|= lim sup |a(x,š)
L—ằ>#: lot
oS xek
Ngoài ra, tạ luụn cú (ÂU, Âu) = (Á*AÁu,u)
Bộ dộ 8.1.1 Giả sử a(xŠ] 6 S2 s{X x R”) và a(x,ẫ) nhận giỏ trị tự trong tạp
compọc K c €â (C Ja tip số phức) với W{x,Š) e X x R”
Giả sử hàm phức E{z) xỏc định trong lõn cận của K và khả vớ vụ hạn lắn nhủ là
ham etia hai biển thức Rez va tmz Khidỏ - I{a(x,Šl)e S2s(XxR) (8.2) Chưng tớnh; Chỳng ta kỷ hiệu: n = Rez va v = Imz thỡ hiển nhiờn = VE A v1 ` ^ a! P a 6, "Maly )) — > Cay, 2 ge Of vl? - JA(y) X \ hoot wt tễ Ă PF Oy =1
ỉ/”(Ren) ðy "(Rea) ð,'(lma} 6, (na) (8.3)
Từ đe suy ra (8.2) Như vậy Ke ‘Ps Pa ay) Sa
Mệnh dộ 8.1.1 Gii si C e ae xR), 0S 68<p Ê1, C là toỏn tử giả vỉ
Trang 38Doi voi bit ky tip compic K c X, Khi dộ tộn ti tedn te chinh B = LB 5X)
sim cho toda bE R = B*B — € cú hạch khả vỡ vụ hạn lần,
Chung minh: Tu bộ dộ 8.1.1 Rut ra ham Rea (x8) eS 5 voi 2 du ldn Vi
vậy, tấn tại toỏn tử giả vị phõn chớnh B„ Â L$, CX} sao che nếu b„(x,ẫ) là kỷ hiẹu
củu nú thỡ: |h,{x,ŠJJ` - Rec ơ,(X,Š) e Sia
Ti dd rit ra ring C ~ B,*B, € L3'P*!(x) (8.5)
Toun ui B, “gan khộng" dội với toàn tử B Chỳng ta sẽ tỡm gắn nhất dạng
B, +B, trong dộ By € 1.1 “1(X) Chiing ta ed:
C (BL L B,* XB, L B,) =(C = B,*B,) - (B,*B, + B,*B,) - B,"B (8.61
Cú nghĩa bẻ hơn taọn tỉ bậc của toỏn tử B,*B, + B,3B,, lấy B, là toỏn tử giả
+ nhần chỉnh với ký hiệu là b,(X,&}) sao cho 251(X,5)-6,08,8) = đc an (XÃ) (8.7?) Hiển nhiễn rằng điểu nảy cú khả năng, vỡ rằng bự '(x,Š) < Sng với Đ đủ lớn thea bo dộ 8.1.1 ie (8.4) va (8.7) nit ra ring C-(B, + ByXB, +B) e LF (X) (8.8)
Tớnh tuần theo quy nạp, cỳng ta cú thể xay đựng chỉnh xỏc đến cỏc toỏn tử
giả vị phõn chớnh B, e LẬP HN ~ l,2 sao cho C-(B, + +B,)*(B, + +B, e LP (xX) (8.9) Va nộu b(x,8) 1a ky hiộu etia B, thỡ chỳng ta cũn phải xõy dựng toỏn tứ giỏ vị = phõn chinh B sao cho đu(Xẫ)—~ 3 bớx,Š) j0
Tử (8.9) hiển nhiờn chỳng ta cú toỏn tử cần tỡm
San đõy, chỳng 1a dưa ra hai định lý như la hệ quả trực tiếp của mệnh để 8 |
Định lý 8.1.1 Giỏ sử A 6 L2z(R”), 6 sp < ọ Ss 1 va supp Ky li compac trong R” x R° Khi đỏ cú sự đỏnh giỏ (8.è} vả do đỏ loỏn tử Á cú thể thỏc triển đến một toỏn tử tyển tớnh liờn tục troag LỆ : (R?)
Định lý 8.1.2 Giả sử Á là toan tử giả vỡ phõn chỉnh, Á e I.2s(X) trong đỳ ( <
bó ấ l và X lỏ một miễn trong R" Ching ta giả thiết rằng tốn tại hẳng số Xớ > ỉ
Trang 39suo che im, lrxtx,š)| < M đổi với tập comnpọăe bất kỳ K â X Khi đồ tổn tai toản tỉ
vớt
tớch phõn chớnh Íš với hạch Hecmit R e C”(X x X) sao cho:
(Au Àu] s Mt + (Raw), ue CX)
&.2, Cac dinh ly vộ tinh compiic
Định lý 8.2.1 Giả sử A œ L?¿(R”), sp < ừ < 1 va gid sii hach K, co gia
compiec trong R” x RẺ
Con kỷ liệu #A(x,5) thỏa món điều kiện: dim Joab) <M (8.10)
Khi do tộn tai todn ut A, sao cho A - A, â L™(R") và hach Ka, co gid
cumpae tida man ||Ajul] 2 M.|fu|, ue â,”“(R”) (S.11} Ching minh: Gid st ham y{x) € C,7(R") thea man: 70x) > â, Íx(xIdx = l,
*
(< x{ẫ)< 1 Hảm x(x) như vậy là tổn tại, vỡ rằng trước tiờn chỳng ta xột hàm
yin) 6 C?(R”?2, x.(x) > 0 và Íy@xõx — 1 Khi đỏ rừ rắng (y2) Z L Sau đỏ đặt
y\(x! = Íy,(x ! xỡ ev idy, Do x(ẫè _ Hiậi nờn hàm z(XI thỏa món cỏc điểu kiện dai hai, Bay gid, ching ta dat x(x) = 6" (=) và định nghĩa toản tử A, bỏi cụng thỳc b Apu Au Aty.*u) (8.32) Ireae để (#„*đu}(x) là phộp nhẫn chập của x, va u dude cho boi cộng thie: (#014) = Ízx(x — yu dy = [u = y)(y)dy
Khi do do dinh ly 8.1.2 chung ta co:
Aull” = MF |lu - x.*u|Ÿ | (Rou — x, *W), = z¿Ÿu) (8.13) Irong đú [š lả toản tử với hạch R(x,vỡ c C,”(R` x R”)
Chỳng tu thấy rằng phộp biển đổi furiờ hàn tt = x„*a bằng
(l— x(<,Ê))àŒ} và tử điển kiện ệ < z < ! rỳt ra rẰng:
li — ye*ul S [ul (8.14)
Hơn nữa nếu kỷ liệu R, là toỏn tử chuyển ỳ vào Rỳt - #„*u) thỡ bạch R„(x,v)
của nẻ dược cha hộ: cụng thiức:
, ° 1 tự —
Trang 40hay RAax yi) > Rex - [Roxy + ez) x(z)dz
TT đỏ thấy rằng supp R,{X,y) nằm trong tip compie xỏc dịnh nảo dộ khụng
phi thuậc g với {) < g <€ | và sup(R¿(x,y) => ễ khi e => 9
x
‘tude suyra ÍR,| —> ễ khi e —> 0 Tử (Đ.L3) và (8.14) chỳng ta cú:
|A,u|ˆ < MỈ||bjf' + Rarlli|| (8.15)
Tử điều kiện cửa dịnh lý rừ ràng chỳng ta cú thể thay MỸ bởi MỊ — Š, trong đú ử
đủ bộ Nhưng khi đú từ (8.15) suy ra rằng với e > ỉ đủ bẻ thỡ J|A,u|ẩ < MẺIu|ƒ Bay gid, chiing ta dit A, = A,- Như vậy, toỏn tử của phộp chập với x, cd ky hiộu x (et) c S (R" x R”)rừ ràng A - Ai 6L ”(Rè],
Do vay hach KXA;, của À cú giỏ compắc
Dinh ly 8.2.2 Gia st Ae LO s5(R), 0S 6 <p # 1, hạch K¿ cú giỏ compọc
trong R" x R" va sup l@„(x,Š}' —> ệ khi |Š| —> œ (8.16)
X
Khi dỳ Á thỏc triển được đến toỏn tử compắc (hay hoàn toản liờn Lục) rong
LR")
Chưng mỡnh: Từ dịnh lý 8.2.1 suy ra rằng đổi với bất kỳ g > 9, tổn tại sự khai
triển Á — A„ + lầu, trong đú ||Á,|| = e và là; cú hạch tron hưu hạn và do dừ colpọc Nhà vậy lun |Á — R¿|| = 0 Từ do suy ra ÀA compàc
c
Hệ quả 8.2.1 A < [.s(R”), 0 Zó <p <Š lm < ủ và Ky co gia compic Khi
, : eh anc 2 pay
da, A thde triộn ditde dộn toan th compae trong L“ER")
Đ9 Khụng gian Xobolep
9.1 Định nghĩa khụng gian Xobolep
Dink nghia 9.1.1 V la một khụng gian vectơ thực, MI = V được gọt là mdt da
tạp (afin) nếu #x,uv e M, V2 eR Uhỡ: Ax +(Í— x)y â M
Chu ý 9.1.1 Rf là một khụng gian vectd con của V thỡ RÍ là một da tạp, nhưng
ngude lai Khong dung,
BS dộ 9.1.1 Gia sit M 1a da tap ty Ơ, khi do bat ky s € Ry trộn M tộn tại tuản tử giả vỡ phõn Eliptie cổ điển A, bậc s mà ký hiệu chỉnh dương {khi & #0)