Sự khả ngược của toán tử vi phân hàm không ôtônôm

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

ĐÀI HỌC QUỐC GIÁ TILIÀNH PHO HO CH/ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM

>

NGUYEN VAN DOAN

SỰ KHẢ NGƯỢC

CUA TOAN TU VI PHAN

HAM KHONG OTONOM

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

CHUYEN NGANH TOAN GIAI TICH

| THƯ- VN MA SỐ : 1.01.01

ve eM mite NGƯỜI HƯỚNG DẪN

Phĩ Giáo sư Tiến sĩ TRẤN HỮU BỔNG

THÀNH PHO HO CHi MINH - 1999

Trang 2

LUẬN VĂN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI

TRUONG BAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHi MINH

Người hướng dân :

Phĩ Giáo sư Tiến sĩ TRẤN HỮU BỔNG

Khoa Tốn

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Người thực hiện :

NGUYÊN VĂN ĐỐN

Trung tâm Giáo dục Thường xuyên tỉnh Trà Vinh

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI

HO! DONG CHAM LUAN VAN THAC SĨ TỐN HỌC

Trang 3

MUC LUC **=+ MO BAU CHƯƠNG 1 : SỰ KHẢ NGƯỢC CỦA TỐN TỬ C - LIÊN TỤC 3) Dinh nghia 3 : 41 -Dinh nghia 4 ; | - 1 1 ll ì ] 1: 1 2,11- Định lý 1; 2.21- Định lý 7 O eet poe li- 3.1 Ba ais 3 er 1 | Din Iw l ¿2202024224661 ee eee ee ee eee ee) SERRE RR RRO eee ewe twee eee 4} ^ Binh ls Gt: ve UNG DỤNG : tá 3c x2

eRe 22S KHA NGƯỢC CỦA TỐN TỨC - LIEN TỤC ĐỀU

I TINH CHẤT CA TOẢÄN TỰC- LIÊN TU£ ĐỀU:: :25-::22.2-c 000cc, ;:?<.Đình V7 :::2 4e: lỊ rei DỤ ĐỀ TỐN TỪ LIÊM TUC BEL KHA NGUCK, 4+.1-; Đình lý 8 : ID FHÊL KIÊN CĂN W4, ĐỀ TOAN THÍ €- LIÊN TỤC ĐỀU! KHẢ NG TC 3.1: Các kỷ hiệu định nghĩa và bổ để : : 2/2222 cc

V UNG DUNG: seessse=eesseoseeseeeedeeseossooebso4$oobebeegeebs6se$es69ssseese©ses09òdeseooPbebeo9soseeseeossèssobbesg -

CHUONG 3: SU KHẢ NGƯỢC CỦA TỐN TU ON BINH THEO POISSON FPN TE PV Se SRA TẠI LIFL THAM, KHẢO CÁC KỸ HEU:VÀ ĐỊNH NGHỆ t2116011266066661i047206%00816632 leBinh-npila’] secicci etch Se 86 9s 2 ED PATS Papa 2 29 RR 100002/013020003/003/1061260V22 SE PSER INURE RI ROR Of tow enstecpeicwertn indent namanettter i ene estonap es cagannciuins Sante

Trang 4

MỞ ĐẦU

Một trong những bài tốn cơ bản của Ìš thuyết nhương trình vì

phân hàm tuyếp tính là bài tốr về tính khả ngược của tốn tử vị

phản ham ting ứng,

Nhiều tác giả đã nghiên cứu vấn để đĩ như: M.Á Krasnosenski

[1| E.Mukhamadiev [2} lu.S Koliessov[3| V.E Siiusartruc |4J V.G

Kurbatex |Š) Trần Hữu Bổng [6j

Trong luận văn này, chúng tơi nêu lên những khẳng định tổng

quát vẻ sư khả nghịch của tốr tỬ vì phân hàm khơng ơtơnơm

khong giả thiết thỏa mãt: các tính chấ: "sự quay lai” được đặc trưng đốt với tốn tử hầu tuần hồn tốn tử truy hỗi

Phương pháp nghiên cứu ở đây là dựa vào sự xấp xi tốn tử C -

lién tuc bdi tấn tử tuần hồn

Nơi dung của luân văn dưa vàc các kết quả nghiên cứu của

Si1USartruc trone |4 7|

Luật: văn gêm 3 chương :

Chương I :iếu các điều kiế: tương đổ tếng quát để tốn tử

C - liên tuc khả ngược, Kế! quả chính của chương này là định lý 2 và ứng dung của né vào việc tiải nhượng trình vì phân cĩ đối sẽ lệch

Chương II đẻ cập đến điêu kiện cẩn và đủ để tốn tử C - hên:

tục đều khả ngược và tốn tử khả ngược đĩ cũng C - liên tục đều

Chương II néu lên mĩi điều kiện đủ để tốn tử ấn định theo

Trang 5

CHƯƠNG 1 SỰ KHẢ NGƯỢC CỦA TỐN TỬ C - LIÊN TỤC ® h là tập hợp các số thực ® R' là khơng mian thực n chiều với chuẩn : n 1 1“ AW=HCLIRR MT KH(Kp RQ XQ) k=1

e C= C(R.R" 1a khéng gian Banach cia cdc hàm liên tục giới

nội trên R cĩ giá trị trong R” với chuân : ` n 2 i x le = sup | x(t) | = sup (3) ECO 9" teR k=l Vi X(TH= EX) (THX (TX, CO) st, +t es ` " ` , ° - ‘fl i e C™=HC™(R, Ro) Ja khong gian Banach cia các hàm: x» eC ; Gx va tll Z.* * ` -* - sao cho —- € C (với k=i.m m là sơ nguyên dương ! dl với chuẩn : idx d”xI cn ee \ IC dt Cc X|, ti = max <||X, > (q | e [X.Y| là khơng gian Banach các tốn tử tuyển tính hẻn túc À4:X Y với chuẩn - A ÍÀ\xiy, = SP ; JAX} |x ce x i Hit) ps y = » ˆ ˆ ‘ se ơ

đ ( ` l khơng Filan Cac ha rr tuarn noan Với chu kỳ >

x=xí›ce C'™ wai chuan: | X Icfm! = | X | ein ; “tụ ' '

¢ Xac dinh wong C'™ ho cdc tốn tử chuyển dịch §, với : € R nhu

Trang 6

sy KHA NGUO? CÙn T0ÁN TỬ € - LIÊN Tục ~ * + + ` ele "nã ` Rõ rằng luốn tử ŠS,c |ỊC””,C {và : s'=s, , Ss t r I9” tài | Toan ut Ac [CTC] (pig Li các số nguyên khơng ẩm ) được “4% - r^ a’ 4° * - ha ; ` zx na” + * ~" gọi là C - liển fực nên vớt một số r > Íl và mỗi số T > f, tốn tạt số đ —Đ(r/T} và sếN = NŒ:;-T) sao cho từ bất đẳng thức : ụ max S, vey eB, I x tes < | HEN ko suy ta bất đẳng thức : Fh (AXA) || < z: ty max >} : dt SN gn

Ì.2I- Piatt nghia 2 :

Trang 7

SU KHA NGUOC CUA TOAN TU ¢ - UEW TYC

1.4) -Dinh nghia 4:

Toin ui Ac] CC ] duge goi là ổm định theo Poisson nếu tổn tại

đây số (0„ —> % sao cho : | | a | dX /(A—~Sy AS Jx|tÐ lin 4 sup ` = k ' ner | <T k=) | dt | | IX] scm = - =() (vdi YT>0) 1.5)- Dinh nghia $ : Tốn tử ÀAe| C”',C”%'1 được gọi là truy hồi nếu với mỗi ¿ >0 và mơi N > 0 tập : a | aX [(A—Sy ak A So, xO M=,teR: sup 3 k <E} | |T k= dt | Ix] -ip) = |

irl mat wrong đế! trong R tức là

0{x:|x—a <e‡= R với e>U nào đĩ

‘4=M

1.6 Dinh nghia 6:

Tốn tử Ae, C??,C ?'| được gọ: là hầu tuần hồn nếu bac đĩng

cla tap [S-A.S_,.teER } tong | C™ , C'?] fa tap compac

II - NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

Cae toan tu C - hén tc va C - hồn tồn liên tục ổã được xét

trong | 24,7 |], ching déng vai td quan wong trong viéc LIẾp lụt

phát triển lý thuyết Favard

Tốn tử € - liên tục rất tiên lợi trong việc giải quyết hài tốn về

Trang 8

, ia Toan TW ¢- UF 2.1 Dinh ly 1: Néu toan t? D € [CC] la C - hồn tồn liên tục và tốn tử ự" , —— ~T (với mì là sê nguyên khơng âm) cĩ tốn tử ngược liên tục dị” qn +Dtr £ể[C°,C€C””"| thì tốn tử (—— + DỊ” là C- hén te ` d™ art dt 1H dt mi CHUNG MINH : (bằng phương phấp phản chứng] tri Giả sử (—— + DỊ” khơng phải là C- hén tue dị” Khi đĩ theo định nghĩa I thì tổn tại số e >1, |a.bï C R và dãy hàm {g„} (với neN) các hàm s„= ga(u e CỬ (len Ici0| <1) sao cho | (til <> vt] [nan] n= 1,2.3 ?> Q) ughiém xX, cua phương trình : axes ary - =— (DAL s„FH MY Ent] ~ 1 a ol thea diéu kien : ~ m | d* xin) | —— Fe .-a (3) max » | - ta|a.b| k=c dt | Ví SUP) X, aw < & Va D eICt! CÍP: 1à C - hồn tồn hên tục " eN ° ¿ tiễn từ (|! và (2) suy ra các hà¡n cua tap = | dx (0) : | na tae A tig 0< ? ee Z es t | eo ea ee m > sé bi chan déu va hén tuc dang bac n= cit

trên ting khoang hitu han

Trang 9

SU KRHA NGUOC CUR TOAN TU ¢ - HEN TUC : dk x (LÌ k 1 m in AY? lim sup |¥ | — : a= au :=0 (4) P”#“ tda.b] lik=G , = dt dt Nhân xét rằng từ (3) và (4] ta cĩ : py | m dtz{d ; oo max ¥ —— >£ (điểu này cĩ nghiã là z(t) = 0) tqda.b) k= | dé Tuy nhién uf (1) , (2) va (4) va tinh C~ hén me cua toan ty D ta cũng suy ra đẳng thức : Moy \ Ẻ oN + (Dzi(L) = 0 dare" ir Điều này mâu thuẫn với sự khả nghịch của tốn tử (——+D) dt” I- Pinh ly 1 da dude ching minh xong 22) Pink ly? : Che - Lì- Tốn tử ÀA e [ C”.C””"'¡làC - hồn tồn liên tục, Ề qm 3 ni- Ker —+A = KerL =0 vd epee + +, ` ` ˆ ? (; `

in} “ơn ta: Lốn tử hồn tồn liễn tục Âq@ € of (Ce

Trang 10

SU KBR NGUGC Clim TOAN Ti € - LIÊN TỤC CHUNG MINH Từ (6 ] suy ra la Gm dude sé d > 0, day jw, , ne N} sao che O,2n ¥n2l va: | _ đđy(p inf max OND ca BD) > (7) icf ¿ạ 991, dị On 43 d Ta cần chứng mình miền giá tri cla toan rb la LC =C™ (8) Lấy hàm tùy ý fÍ= f(t) e Cứ z MS ụ Cho dãy { í,(+)} các hàm f,(1) e CŨ” ne N r - ; | ; ' ‘th 5 sao cho § fy ci: Š f cif) vu =] (9) và lim max | f(t) — f{t) | = 0,VT>0 (1; na LIe|-T,TỊ ˆ Xét phương trinh : đ“xÍ1] „, KT +(A@nxlÍt|=f,(t) (I1) ne “ = Da (2? 1 và tính hồn tồn liệt tục của tốn tử Á,, phương TT : si {m| trink (11) co duy nhatnghiem xu! £ CC ˆ sao cho: a Ke |c:m: = d | Í | ois „neN (12) Thât vậy, với m z } bài tốn tơn tạ: nghiêm trong khơng gian | 5Í % * , ` -* - + * « , cn của phương trình (I1ì1 đưa đên nghiên cứu phương trinh tich ty ‘ phan: xã = [Glt—s} Bxis} - (Aw, x/sllts- “G[t- sỊ fn |s}ds (13) R R Ở đây B £ [RFT, RP] sao cho tốn: tử ơtơnồm: - CS da xt} i Ji) —- Bxit) di”

cĩ tốn tử ngược liên tục , G{ t } là ham Green của tốn tử 2 | ]

De giả thiết tốn tử Á„, hồn tồn liên tục nên tốn tử :

Trang 11

CDax!íU = Bx(U - (Ag x(t)

hồn tồn liên tục và do đé tốn tử : Un Oe +o được xác định bởi đẳng thức : n n (U, xyt) = (G(t—s)[Bx(s}—(A@,xisiJds cũng hồn tồn R jién Lục

Vi U, là tốn tử hồn tồn liên tuc nên phương trình (13 ÿ là

phương trình Fredhom , cho nên dựa theo (7) — phương trình (13) va dù đĩ phương trình (11) ( với m > ] } với moi f,, € CÍP cĩ duy nhất ` [ml nehiém x, € cr : hh Khi m=0, phuong trinh {11} co dang: Xt} 4+ (Ag, XMO= 7, (0 Cho nên dựa trên tính hồn tồn liện tuc cua todn WA, , phudnyg uu “ ` , : ` yom ae ~ v (Ư trình đĩ là Fredhom - Do đĩ dựa vào (7 ¡với mỗi Í{„ eC ˆ phương f ` + \ + z“ oa -Í } trinh (1 ]ic6 duy nhat nghiém x,, a a Bất đãng thức (12) suy ra từ (7) và (9)

Từ (10) (11), (12) (15) và điều kiện ban đầu của định lý ^ suy

re rany cdc ham cua lap:

dx, ft) dx ity

a dg gee |

liên tuc đồng bâc trên từng khoảng hữu hạn (-T.T) (T>0) va bi char

Trang 12

SU RHA NGUOC Cid TORN Ti ¢ - LEW Tye

Khi dé do f10), (11) (5) va tinh C - liên tục của tốn tử Á c|Ct"!'.C/ | ta suy ra đẳng thức sau : duet 1 +(Au)(= ft) W#teR dt Vì f là hàm tùy ý nén diéu này chứng minh được đẳng thức (§Ì LC'=C”' (L là tồn ánh )

Từ điều kiên ii)- của định lý và đẳng thức (§) ta suy re L là tốn

tử song ánh, do đĩ theo định lý Banach về tốn tử ngược ta suy Ta

TH tm

—+A cĩ tốn tử ngược Lˆ = (

d™ dị”

LtadượcL `” là C - hên tuc

B= 4 Ay”! va theo dinh lý

Định lv 2 đã chứng mình xong —

* Nhân xét :

Trone định Ìý 2 điều kiện i¡¡ khơng phải là hệ quả của diév

Trang 13

(ì néut = J A £ = - In" | [2-210 nêu t| < — 10% 0 néuft-10 +1) 2 | ThE = | d~ t—10 +1 |)2 nế b (1-10) +1| < 1 Ré rang Ae [CC là C- hồn tồn liên luc va:

(Ax ¥ -10*)=( Ax 610") ¥x ec) ( số nguyên kz2), ] ¬ "2 Tốntử Ag -C!!!—— CÍ?' được xác định bởi đẳng thức PS 10a Ta : : NSE gs „(q; CAL ak XI = (AXx}it} VỚI X € Tuy ` , d Ta can chifng minh : Kent +A) 40 (15) [ Ị : : dxí1) |g va lim inf mux |» CÀ ny Xi) >U (16) no |xiy+1! =lt c/-10”110”| dt ~ ¢ Chifng minh (14):

Ta cĩ mơ: nghiêm xt! cba phvong tinh (14) vai x(Oi=xyeR là nehieri cla phudng tinh tich nhân: ! Ju (t1.đr L |x(r;.dz x(t)= xụ.e" = ic? Ty, is aca® ids (1?! ạ ke2 ! [:x(t)dz

Vi xge® liên tuc bị chăn trên R,

Trang 14

-10-SU KHA MGUOS CUA JOAN TU ¢ - MEN Tue

Cho nên phương trình (17) cĩ duy nhất nghiém vu € C thỏa

điêu kiên u(0) = xụ

Từ phương trình (]7) ta suyra u € CẺ'

Vậy đẳng thức (15) là đúng

e® Bây giờ ta chứng minh (l6) :

Trang 17

* - + "3 d % ` v¿ ~ ` ` ` Tom lai, toan tu CG + A) vita thoa man (15) va (16) 1 De dé trong định lý 2 điều kién it) khGng phd: 14 hé qué cba diéu kién 11}- IHI- CAC TRL Trong mục này ta xét mơi sẽ kết qủa được suy ra từ đình lý cơ han 2,

Nhận xét rằng, khi m> 1 Cho tốn tử A ce | CC,

Nếu A e [CO “1C” ] là €- liên tục thì A e | CC”! là C - hồn tồn liên tục, cịn mỗi tốn tử A c|C‡"" area với (¡ >Đ } là hồn

tồn liên tục khi coi A € | COC), Dẹc đĩ tá cĩ định lý sau : 3.J-) Dinh W 3: Giả sử : li- A e[C!“”:C”'| (m> 1) Bì C - bên tục Iì- Ker L=Ú wok 4 ° Ẩ + stun ' « ~ Nn ` : 1111- Tơn tại các tấn tử A, € (C8 Co’) (Ơ67 â >) Sao che: lim sụn | (Ax fit)— (Ag, x10) | — 0 ,( VY T20; cu » tớ " mi Mic = t«7 va — im inf , max} ———+(A,, | 5XÂdẲ oo x(t >O O-v +0 eit | dị ow ¡e|-S.S]

Khi đĩ L cĩ tốn tử ngược C- liễr: tuc

Một trường hợp đặc biết khác của định lý 2 được nêu sau đây:

Tá ký hiệu “2 là tập các hàm F xác đính trên [2.+=) với các giá

trì trong (C?”,C”] sao cho :

Trang 18

-14:-ý, e« (Pạ¿x Ì| == (P,, x)| ~—|, V 0> 2 và xe C0), , 2} ` 2z sụp ' Pụ |[ c1) ci0}] < « 22 | — leo Tk, +—, -— lv ©22 o 2 ww e max |(P„xÌ()Q =0 nếuxeC “và max | x(t) |/=0 w a ' ` “ é 4ì “ ` * vế (: e(P,, xith= x(t) en ee te (ở tị —=IR— % 3 —.&t< ¬ > » max (Px, £3 max x(t) (‘7x eC ø z2) It c2 | |t.el#—4,®] Các phần tử của “”, chẳng hạn như các hàm Q„„ R„, được xác đình như sau: = a | ] ‘KU meu “Tỉ i i —¬ 2 a (Qe, XDEL) = ‹ Co | ¢ 2 (* ] 0 ———lt | xt) ơ nu lt f<ô ơ ô £ C1 f | scans ~ | XiTI ne up——t-2— So 2 a (Ry, xWli = 4 xa |2 Ci ,Oy, xã () XÍt1+ (lÌ= œ †MXÍ- - }~XÍ- Ì} nễu =-t« + 2 = 2 | úø

Từ những han chế lẽn cdc phan wocoa tap LY ota sux re nếu

Ae|C'".C”'! imE0I là C - hồn tồn liên tục ( hay Á c|C? 1C” (m>11 là € - liện 1ue} thì tốn tử Á,, £[C””?S(Cl”] (#21 với:

CÁ 32 ee 5 l wy "1! `, @\

(Ä¿ XÌ(Œ!=(PAXJU VYx eC¿” LÊN in

Trang 19

ee

Vì thế dựa vào định lý 2 ta cĩ định lý sau :

3.2-) Dinh lý 4:

Gia su:

i-) AE [C'™ Cl") 18 C - hoan toan lién tc (m0)

(hay Áe[C“"',C°°' (m2l) Rì C - liên tục) H-} Ker L = Mi ii-) Với P„ € © nao dd : " đ”“xít lim int =max | _— + (P¿ Ax)() | ° Gj L400 lÌK Ie cts tđï#1 dt’ cá Đi

Eh› đĩ tốn từ L cĩ tốn tử ngược là C - hiên tue

Định lý sau đây cũng là trường hợp đặc biệt của định lý 2

3.3) Dink We 5:

Gia su:

-) AefC™.C™ 1om20) 12 C - hồn tuần tide tuc

Trang 20

SU KHAWGUOS CUA TOAN TH ¢ - LIEN Tục

CHUNG MINH :

te bic ig ® (P11 (O) po a2 ba

Trang 21

CUA TOAN TU C - LIE

n : rtm) (0) 6-3522

Trong để Ä,, £ cf™ cl cũng được xác định như À,, khi

~ ~

uc(Ú ,+23À {004.(03 0, { cịn c„ lấy bằng |,

De dé theo định lý 2 và điều kiên 1 và 1i/ của đình lý này, toần

tử [ cĩ tốn tử ngược I.° là liên tục Đình lý 5 đã được chứng mini: ˆ

Định lý sau day là trườig hợp riêng của đình lý Š

3.4)- Định lý 6:

Giá SỬ :

¡ì- A = [C'™.C™) (me20) tén tai dav các tốn tử {A,] neN A,e [C'™.C'™] 1a C - hoan toan lién tuc: tén tai day {a,) cae sé

dương sao cha : tị (1 ® Á, cảm, cá: Ù VneN Gly, a, n+ va lim j|A, — All nem) pcos” = 0 Roe oe ° i ` **, > li), inf | LX po IX ic’? =!

Khidé Leé toantu ngude L Ja C - liển tục

Cho nên trên cơ sở của dịnh lý § và những điều kiện của định IX 6 ta suy ra L cế tốn tử ngược C - liên tuc,

* Nhân xét

thì 1n=Ú, các định lý 3,4,Š6 được sử dung dê nghiên cứu

nghiệm bị chăn của nhướng trình hàm

IV - ỨNG DỤNG :

Trong mục này ta xét ửng dụng của các kết quả ở mục sẽ HÍ

vào việc giải các phương trìnÌ: vi phân cé đổi số lệch : Xét! phương trình vi phân đối sẽ lệch cĩ dạng :

Trang 22

SU KHANGUOC CUA TOAN TU € - LIÊN Tực

dxiL! |

'=~—2x(UÚ— X[1(U]— XÍx(1(01]+3 f(Ltl (28)

dt

Ở đây m>1.rong đĩ 1[t}la ham sé lién tc dév wén R Ta

chúng mình rằng với mỗi f C (0) phương trình (2&) cĩ dux nhất nghiêm x ect, Xéttoganty AelC {0} Cr (9), được xác định bởi đẳng thức sau: (AX]IU = 2xÍt + X[Tt)) +X[t (t ())] Rẽ ràng À là tĩan tử € - liên tục e T¿ cân chứng minh SỈ Lx |(ci01 > (29) XI! cú) = ` d (vai L=— +A) đi

Giả sử ngược lai bất đảng thức (281 khơng đúng khi đề tốr ta1 dã

hàm x,=x,(the c, é., (th € C”' sao che :

Trang 23

SU KRHA NGUOC CUA TORN TU C - LEW TUC tlty) aye yo Cử Ý V1 -3Ís(t}5S][ 7/0 tu LẦN iA x.(trfn)|=— | € ” s Íxa(xisl) + Xz|1{T(S|]| - cạ„ ÍsÌÌ —z% in = 1) L „ ~seli-s a; | je* ids = ~ , MteR —x ~ ft 2\ lim sup fe p o ek -—« ole (sids= Ú Bất đăng thức {311 và sự liên tục đều của tit) én R ta suy ra đăng thức sau : l= lm XnÍtnì=- lm Xu(tÍtg))E-~- lim XaÍ(t(T(tn))] (32) no le x 1+ và lim Xn(TỈt,))=~ lim xy, (titty) (33) :->ớ =>»

Tuy nhiên hai đẳng thức {321 và {331 mâu thuần nhau

Do da bat dang thức (291 được chứng minh

e Bay gid xettodnnr A, € ney | (¿3> (1 ‡ được xúc đình nhu sau ‘ ; Tl tx go" 5 ƒ.“/ XÌ , 5 () (Am XI{t}= 2x{t}+ cos — |X[t{t]| + x| tị z(0ÌÌÌ với |b) s— É 2 Rẽ ràng : im sup [Axl I—(A¿xjJ(U | = () (ýếTz+0) (341 oer |xịc: =] |t eT e Ta cin chitng minh - a GT)! ie a hirn inf maxX | = ~A„xƑd 2p ot (35) ø¬~e lgÌjj=Ll ion | at t\ {:} * 1T xa)

Ta giả sử ngược lai là bất đẳng thức (35! khơng đúng

Khi đĩ tốn tại đây him Íx„|vá dãy sẽ {@, ¿ sao cho :

Trang 24

-2q-SU KHA NGUOC CUA TOAN TU ¢ - LIEN TUC oO, 2n,¥n2] =()) = , ‘x < n ee ; Ixa[ci" <9 Xn lig = -_maxX _Xn(f=] X a n su Nr | ty a sua cho : Idx„(Đ lim max - n+ 2x, (0) io Lš Cặp Wy |, I + cos “r [xn(r(t}ì + xp (t(1(0)1) ={) (36) ! ' 0) n & r- ^ Giả sỬ tạ e[- sao cho xnqÍtn]=l để n (Lạy Ì dt

vi t, la diém eve tri cla xn{t nén =i

đo đĩ từ (36) suy ra: my him = 2aylin | + cas |xa[zíta)Ì +Xy[t tl, iN] =Đ wì thế cho nên : ì=—lm xa(tt„jl=- lm x„{:(zra„ Ji ( for , tì-»ơ la If d >* lưn = =f (38) |: *# Un —] tua

oo, dx pit] Se TL Ti pep nih

Dat fy(t] = 2 = 2a yt) + eos [ag [step = xqfaitttl : ; di ` 0 p ` ` yt ` ‘J

Khiđ¿ : Ytrzl , ticé:

+!

The) sper gins

«pegs ies MEF —3e[t, Jes|

Xa|tltn)]l=— Jove es n (r{s}} F xa{z{z(sÌ|| = fats)fis

anh

Trang 25

SU KH NGUOC CUA TORN TU ¢ - LEW TyC ' : # Cịn z a i Se $ 3 È bởi vì Í:rn| = —{t(tp l =+z .„, do (38|, giá thiết của 1(L) và lim max — {f, [sÌ ='0 [:—*Ø: xài On Oy - 2 Dodd: lim xạ(x{t)Ì=- lim xạ[1(x{tn]}]| npr ss II—># ‘ "

Điệu nầv mâu thuần với đẳng thức (37:

Vậy Lá đã chứng ninh xong (351

Từ (201 (34).1351 và định lý 3, tá suy ra với muỗi f eC’ phương

trình {2§) cĩ duy nhất nghiên: x ec

Ta thấy răng, đối với hàm: tị1) cụ thể, việc giải phương trình

Trang 26

SU KHA NGUOC CUA TOAN TU ¢ - LIÊN TU€ ĐÉU

CHUONG 2 :

SỰ KHẢ NGUOC

CỦA TỐN TỬ C - LIÊN TỤC ĐỀU

I- TÍNH CHẤT CUA TỐN TỦ C: LIÊN TỤC ĐỀU ;

Trong mục này ta chứng mình mơi tính chất quan trọng của

tốn LẺ C- liên tuc déu ma ta sé Xử dụng trong mục sau để chứng

iunh điều kiên đủ của sự khả nghịch của tốn tử C- bên tục đều

[.]-! Binh lý 7 :

Chủ A e[C®+.C!"]| là C- liên tục đều, lấy hầm sé Viti sae cho

t 1

W r1

vít): ov (Qos (tì liên tục đều bị chăn trén R

Khi đĩ, thỏa mãn: đãng thức sau :

lim sup Ve TAX - AV, TX 0) =( t—Í! 'TeR c X Ji 1—/ Với VeT = veelt - Th) CHUNG MINH Xetham sé a= gitihén tuc trén R cing cac dao ham cua nĩ đến cấp m suo cho : qíu = ¡ nếu |L « ¿ qít= 0 nếu |1 và Ù“Zq(}<£1l, YLe|-1,1: Ta xây dựng tấn tử Qạ; £ [C'",C”"I được xác dịnh bởi dang thức: PT (QO -xiiti= gt IXxÍt) , rI

Trang 27

rev , sun (AXMTI-(AQr;XI1! <ư IKcem=] (39) (YreR, vn>nạ] Cho cụ là số đương sao cho : | VgTx | tm £2sup vil) teR

nếu như € €(0,£9),| x ||cim; $1 TER

Khi đĩ dựa vào (39) va bat dang thức tam giác khi

g €(Ú.£,) ta được dãy các bất đẳng thức sau :

sup | Vo pAx - ÄvcrXx | dus TeR Spotty =! poy a K4, tr AI 2 ay = sup | vị#[1 — TÌ)| AXN:l-|AƠn,.r Vz.rxj[t) — 28 sup | vit} 1.TeR , | ck |x cum = = sup | vị e{+ — TÌJÍẦxJtJ— ws{xz= r)| AQp, - x fit] t.TeR | 3 1X com =: + Sup | \ AQ nyt? c.rXRr) '+ 2ð sup | vith 7.TeER IeF IRimiml = s 4ằsun vịt] + sup | | AQ;.xY ¿T3 Ks) (40) Lek TER - | 1x cum! =| Ở đây v, + = vịs(: - T)| - v(s(r - T)] t vì |On.r?c.r|Í}= gí— -} vs{t~ TÌ)~ v(e(x - T)|lA{:] n Che nén: hm sup Qna-YcTX | = (41; EU +.TeR - Ix] et m=! icin + " = Ím] - - _ * e

Và vì các hàm v,V-, ` “hiến tục đều, bị chăn trên R nên

tỪ (40411 và Š > Ơnhẻ tùy ý ta được :

Trang 28

-24-SỰ KHẢ Nutợ€ €Ú8 T0ÀN Tử € - LIÊN TựC EU lim sup | VV TAX -— AV, TX | an = () e>0 TeR X| cum =! Định lý 7 đã được chứng mình xong —

ILDIEU KIEN DU DE TỐN TỬ C- LIÊN TỤC ĐỀU KHẢ NGƯỢC:

la sẽ chifng minh rang trong trường hợp tốn tử

A &|CÈ“! CÍP là € - liên tục đều thì điểu kiên ii-) (KerL=0)

trong định lý 4 và định lý 5 cĩ thể bỏ được ,

2.l-! Dinh Ws:

Giá sử thỏa mãn các điều kiện i-) vi iii-} cla định lý 4 (hay

định lý 5) và gia str A ef ch! cl), là C- liên tục đều 111 Khi đĩ tốn tử L= ~ À cĩ tốn tử reưdc C- liên: tục dị CHƯNG MINH

Giả sử Ke: Lz0 và yeKerL:' |0)

Trang 29

-25-| : ` , trên cự sở đẳng thức (43) và tính tuấn với chu kỳ œ của hàm

Trang 30

26-| V€ - Li ` d day Ayit) la hàm ma trần xác định trên R sao cho : Y sup | Ag tt ket! teR | x œ IR”,R'Ị (1L) là hà::: liên tục trên R sao che : sup|t—y(íUL <œ,Yk>O ieR ` ^ sft va tec, KHA NGUOC:

Trone muc nay ta sé chitng minh dieu kién can va đủ đề tốn tử

À ìà C - liên tục đều khả ngược và tốn tử ngược Á”” cũng lš C- liêr tuc déu Để chứng mình điều này tá sử dụng các ký hiệu và các bố để Sal: 3.7) Cée kt hiéu dinh nghia va bé đề : tA 2

œI Các định nghĩa và ký hiệu :

s Cho Ae|C”" C!”] DĐãy (A,} các tốn tỬ A,e|CU C1]

ine Ni dude gĩi là hội tụ địa phường đến tốn tử Ae[C'”'.C ””] nếu im sup |[(AaxMt—tAxju |=0 (VT>0) Ne eT |*|_tm.)-ï Kv hiệt : Âa ——+Ä EP

e Cho Mc C 18 tap khơng rằng

Ký hiệu ^fM; là tấp tất cả các hàm feM sao cho lon tal:

day him bi chan {{,}ineN) va :

no jist lim max | f(t- f,(t) =a ¥T>0

L1 :

e Ky hiệu D” là tập các hầm xeC””” sao cho supp x là tấp

Cornpae (giá cornpacl

Trang 31

—-bi Các bồ để :

đ Bổ đề I:

Nếu tốn tử Ac|C”",C*1 là C- liên tục đều thì :

lim sup | Qua =: AQnx Hyco ci = 0

H*“ teR

(Bề để này được suy ra từ đ¡nÌ: Ì 7)

ii-) Bo để 2 :

" pie ste in (m] (0Ì, + “g : syasacececsaty Nêu Tốn tử Ấ e[C`' ”ˆ.C` "| là C- liên tục đếu, cĩ tốn tử

- $8) sales: z4 Bees a 2

ngude A cic! ok thì tốn tử À } la C- hén te déu

CHUNG MINH Giả sử ATÌ khơng phải là €- liễn tục đều

Khi đề tên tại các đầy: {1„; Írn e€RI {Ynl iG _ / ~Í0l (vdi vụ = Vu(t} €C”” [Xu ¿cu =lÌ: sao che ; | ` um One ¥n | ¿ai =Ữ n—»e n lic : ` ‘pets -l / Ve ủ ch | Qn-,À Yn cim! - * \ , t > II 1 oF, Da ba dé 1: 1 _ a My = ay AQn:, A Nn Ont, Yn ic | m ° ' , paises MS _ | _

nên inf; | Ax jaiois |X jim =1 =O

Điều nàv mâu thuần với giả thiết tốr tử Á khả ngược

Trang 32

lW Tử € -Jff , CHUNG MINH

` '

Cả sử ngược lại ; inf | Ax cll | X | oom =] ;=0 khi dé tén sma Paes sim) | ì

tạ! dẫy ‡Xn/ ¡VỚIXnE€©` ˆ,|*Xạ |: =] ,n| sao cho: › ` ¿ lim | AX, | cis’ =) no ˆ Khi đĩ theo bể để 1 ta được: lim sup | AQ, 7%, (io) =O no ep Cc vì Q,-X„ €D”',vVpzl,t eR về lim sup | QnrẦn | ni = ] nén inf AX |c-I°! :XE D™ | x ici} =]l| =Đ `— —' Điều này mâu thuấn với giả thiế: của bổ để 3 Vậy bổ để 4 đã được chứng rmnnh ï 3.2-) Dinhiv 9: ` ” vi “ ~ ˆ | é 1 ˆ q 1 ~ ToaniwvC- héniuc déu A kicn) cĩ) mi very -Í W2 ở 1

ints | Ax pA xeD VX, cin

ngược A llà C - liên lục đều khi và chỉ khi tốn tai đây

c=Í ~ CĨ tốn tử

Ns¿# Pini, Heb pO beers es {0}

iA, (cde toan ar A,, cịC! C`* ?] và tập Y„ cC' sao cho:

(4Ì An 3> À {n> x]

DP

ibj at YY), yee ' ype)

nop

nghiệm x, € 1x: |x |eim) < diy [pM] tv6i d la hang số

dươne khơng phụ thuộc n }

CHUNG MINH : e Chitne minh phén thuan :

Giả sử A «[ct"J c0] }cĩ các tốn tử ngược

Am felch) tốn tử €- liên tục đều

Trang 33

gt :

Lay A-=A Y= CO) ụ suy ra: ia} A, 2 A (khin> oo)

DP _ )

(ì A(Yy]=c1)

(cì Với mỗi hàm y, € Y, phương trình ÁcX=Yn cĩ nghiệm

đã E |x :|*lcim < địYn lcis j Thật vậy ; ¡ À CĨ tốn tử ngược À ˆ ' nên ta được phương trình tương ưỡng: x = An Yn :

Giả sử x„ là nghiệm của phương trình ta cĩ : xự = À đục

nên lxaạ —) „im} = (A Ty F |A 803 = : ao es 9 | Ỳ > ˆ ui i n C : ev co clad \ Ẹ icc UY Tả | Xa Í.jm #d.| y | (2| với d= AT? | - il ic F ! s v 5 h Ce | cl cm! khơng phụ thuậc n FẦsz:« = - ct Vay X_ EY X=] % imi Sd.) ye Ici j - e Chứns minh phản đáo :

Gia sử các điều kiện (a);.(b)(cì, được thỏ¿ mãn, t2 chứng

Trang 34

-30-SU XHA NGUOC CUA TOAN TU ¢ - LIÊN TỤC ĐÉU Từ bất đẳng thức cuối và bất đẳng thức (46) ta suy ra:

SUP (Xu [CcÍm) < œ Hân :

Khi đĩ dựa trên điều kiện a¿- và (47) ,(48} ta cĩ :

lim max |(Ax¿}t- v(|=@ (YT>0] (49) n—>x [ST

Dodd lim | Q,oA(x_ - x1) k,l-»e cial = a

cho nên theo bể để | ta cĩ: lim — AQna(x; -X\] | 10 =0 lì, X, ` em Vì A khả ngược nên : lim |Onnfx; - xy} im =0 kK lo 2 taro ` ® * ˆ ` % [ml Đăng thức này bảo đam sự tơn tại hàm u = tít) cm - mi = Q

sao cho: lim ns Q„pÍxy - U ` roe

Khi đẻ từ (49) va tink chat C- hén toc của tốn tỬ À ta được

đẳng thức Ầu = V

Vậy (251 đã dudc chứng minii

Đằng thức Ker A = j0} được suy ra từ điều kiện của định ly íxem hể để 3¡

Hai dang thức AC” = CC!!! và Ker Á = [0} bảo đảm sự tên tái toắn tử neược liễn tuc Á”

l3o bể để 2 ta suy ra tốn tử ngược Ä”' là C- liệr: tục đếu

Đình lý 9 đã được chứng mình _

Trang 35

| - ,

3.3-) Hé qua 7:

Tốn tử A e[C“L.C?”1C-liên tục đều mà :

int AX cit xebD IX etm eT 3! = = I: > (

cd toan tu ngude Av 14 C - lién tuc déu khi va chi khi t6n tại

đây ¿Ấ„| các tốn tử Á„ € [C “UC?”] thỏa mãn cắc @éu kién sau - -! Ay oA n>” BP 1i-) Các tốn tử Á, cĩ tốn tỉ ngược liền tục Á, ` và ; -1Í ne Ar, oh cl) =O 314+) He qua 2:

Tốn tử A c|C”“€'1 CC -liên tục đều cĩ tốn tử ngược € -

liên tục đêu khi và ch: khi

inf | |.Ax| cl x =D" xicims = sp

va afAC'™' = cre:

IV UNG DUNG ;

Ta xu dụng cá: kết quả ở mục Ï vào việc nghiên cứu tính khẻ neude của tốn tử f' cĩ dang | k, ir dd’ xits+ A} (Px\= 3 an — ¥ Aggy (——— ha k k=) A=M dt ở đáy ME là tập đếm đưdc

A4 g1) là các hàm hiên tục trên R: lấy giá trí trong [R".R")

cung nhau 6n dinh theo Poissen san cho :

Ir,

¥ ES sup lAgpiice (50

K=l AzM teR

Nhớ lại rằng hàm Axg{U (với A e M,k = 0m ) được gọi là

Trang 36

SU KHA NGUOC CUA TOAN IU ¢ - LIEN TUC MEU

Ta cĩ dinh Ii sau :

~ Pinh ly Tt):

A Ff \ Ì i :

CHUNG MINH

Khơng giảm tính tổng quát, t¿ cĩ thể giá sv dai lune &, trong

(5] thâu điều kiện œ„ >n—1 #n z1]

ANCL ma wan ham Aa kay (tuần hồn với chu kỳ œ„ được

cho trê¡t đoạn [Ơ, („| như sau :

at l

ln g(t) né ute[—.a,, |

= n

V4, KO - (= 4 1

1 mA gy +0 y)4 nmtAa, ith ne WEL) với (ÀA eM,k = đm

Vì những hàm nav hen tac tên R: nên de (50) va (S11 suy ra tơn tại đầy số a, > +e sao cho @ > G@,22 Fael va wr a 12 hm sup ma (Py Xt} =(PXlIit:i =U AO bs! amie * tq-o, ,] ` Ký hiệu mụ là phân nguyên của sẽ ; —” Từ (52) suv za : | z8 SUP | Qn, Tt ( Pan, cin ; cit) =it) tex , Oe tụ : [ oh | +G- oe &5- =]

Tw dang thife nay va diév kién ctia dinh l¥ 10 ta duce :

Trang 37

$i KHANGUOC CUA TOAN Ti ¢ - LIEN Tue DEY Bất đãng thức này bao dam sv ton tại tốn tử ngược lién tuc

Trang 38

-34-£U KHA NGUOC CUA TOAN TU ON OJWH THEO POIssoONn CHUONG 3

SU KHA NGUOC

CUA TOAN TU ON BINH THEO POISSON

Như đã biế: tốn tử hầu tuần hồn, tốn tử truy hổi được nghiên

cứu trone [8] đá lá lồn các tốn từ đặc biệt của tốn tử én dinh thee Poisson

Cũng như những chương trước sau đây là một điều kiện đủ để tốn tử ơn định thec Poisson la khả ngược và tốn tử ngược này là C

- liên †ue

# Hinh ív TT:

Giả sử |

- ` "4 +, tm 1s x w ˆ + > a > ss

1- Tốn tử Ấ e[C?' C?°”' im>z[1 là tốn tử ổn đình thec

Paigsor, Œ - hồn tồn liềz: tục và € - liên tục đều dt ll- inf Là | du >0, L=——+Ấ Niet my dt it Khi dé toan tw L cĩ tốn tử ngược € - liên tuc CHUNG MINH

Trang 39

i WGUOC CUR TOAN TU ON Ð

(Ag XK vil), với LéR

trong dé v(t) la ham tuần hồn với chủ kỳ œ„ được xác đỉnh

trên [Õ œ„ | như sau : sả ] Ax£t) nề u 1e|—,0n | T j 1 (] — nƯ(AxXx]( +ứn n }Ì + n(ÀAxlU nề u1c|O,—) 4 n

lim sup max {Ag x){t} - (Ax)(0 =() (54) ie ~ No : tm I =Í 1đ‹n, út, | 3° > “Cú , Chứng minh rằng : 1U lim int {(—— +A, 1x > 0 (33) | mh 1 L_ xử |x|, im: v2 đi ich) hn tin Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Cnả sử (5%) khơng đúng, 1ức iä: mr | wie ad lim int í Ag IX =0 noe | x\\ om =| dt 5 init Ca tim

Khi đĩ theo (54) tốn tạ: dãy í{n,¡ ,(ín.eN,n, >k.Ykzl!,

tồn tại đầy (yy} các hầm : nhã ¿ MÍm] ES OP —3 tis Vự=wxg(U œ € thự (|Y x | em =], ¥k2)) saocho: Mr | qm | bị Tux ii —— + Advy t8 =ÍfI (56) Ks 1d-0u 0„ | | đc” :m;? ws Ủy er Viv, eC néntim duoc: P, e| — ow, -—! Or | = k < | sao cho :

dvi (py } a "yi (pp) | sue

Trang 40

| 7 3 4 Xé1 ham gp, =, (th=q(—it- py li trong dé ham sé ait Hy được chọn như trong chứng rnrnh định lý ? Từ (56; ta cĩ :

lim l[ÌqyLy ces | qkLYk ic a, =0

Td dinh W 7, tinh C - hén tục déu của tốu tứ L và lim Œœn =+ø suy ra đẳng thức : * h— oe lim qy, Lyy - Lqy Yglxi0; =0 ae K : K kÍc Như vậy : lim 'Lqy ye [pw =0 k—>z

Điều này dẫn đến mâu thuần với điều kiến: H)- của đình by vì

trên cơ sở (57) thì: lim |d„ Yg |ciao =]

ke

Do dé viée gia thiét khang thou man (55) ja khong dang, Â Bavsittagiasu lim o,=-*ô h>2- > Khơng giám tink (ong quét cba chifng minh ta co thé gia : iy S —|] ¥n > I ici c0! IC ~ủ)r ' —W | băng đằng thức : - om mn

Xây dựng tốn tử Âm,

(Ag xiíri= Z(1} trong đĩ zí(t) là hàm tuần hồn với chu kỲ-œ,

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	1,79 MB