Bài toán gán phổ nhị phân mũ và tuyến tính hóa cho hệ động lực không ôtônôm

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH HĨA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG ƠTƠNƠM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2022 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC BÀI TOÁN GÁN PHỔ NHỊ PHÂN MŨ VÀ TUYẾN TÍNH HĨA CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHƠNG ƠTƠNƠM CHUN NGÀNH: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN MÃ SỐ: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: HÀ NỘI - 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn cán hướng dẫn khoa học Các kết viết chung nhận trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Các liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ NCS ii LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thiện Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình PGS TSKH Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Trong suốt trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thông qua giảng, hội nghị sinh hoạt học thuật, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp q báu thầy viện Tốn học Việt Nam Tác giả xin chân thành cám ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu Tốn học, Viện Tốn học hỗ trợ kinh phí cho tác giả thông qua đề tài nghiên cứu sinh trung tâm Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Xây dựng tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn thầy cô, anh, chị em trong phịng Phương trình vi phân phịng Xác suất thống kê, Viện Tốn học bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Luận án quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân u với lịng biết ơn, u thương trân trọng iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình vi phân tuyến tính 12 Phổ nhị phân mũ cho phương trình trình sai phân tuyến tính 15 Hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian Hệ điều khiển tuyến tính liên tục 18 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc 20 18 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian 22 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục 23 1 Đặt toán kết 24 2 Một số kết chuẩn bị 25 Chứng minh kết 29 iv 2 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến rời rạc 2 Đặt toán kết 32 2 Một số kết chuẩn bị 33 2 Chứng minh kết 32 42 Định lý Sternberg cho phương trình vi phân khơng ôtônôm 47 Đặt toán phát biểu Định lý Sternberg cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm 49 Làm phẳng đa tạp bất biến loại bỏ thành phần không cộng hưởng 3 Hệ sai phân liên kết 52 57 3 Khái niệm hệ sai phân liên kết số tính chất 3 C k tương đương hệ sai phân liên kết Hệ sai phân liên kết với hệ thuộc Oflat k (A) 333 59 63 Phương pháp đường cho phương trình sai phân Chứng minh Định lý Sternberg 57 66 71 Kết luận 80 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án Bảng thuật ngữ 81 82 Mở đầu Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Trong thập niên gần hệ động lực khơng ơtơnơm, hệ có yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian, dùng để mơ hình hóa nhiều tượng thực tế lĩnh vực khác sinh học, kinh tế, (xem [21, 22]) Khi nghiên cứu hệ này, thường quan tâm đến dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Ở đây, số khía cạnh quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực khơng ơtơnơm lý thuyết tuyến tính, lý thuyết ổn định, lý thuyết đa tạp bất biến tuyến tính hóa, lý thuyết dạng chuẩn tắc lý thuyết rẽ nhánh (xem [21]) Năm 1978, R Sacker G Sell phát triển lý thuyết phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm hay gọi phổ Sacker - Sell (xem [34, 36]) Cho đến phổ nhị phân mũ công cụ quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân khơng ôtônôm Cụ thể, lý thuyết ổn định, nghiệm tầm thường phương trình phi tuyến ổn định mũ phổ nhị phân mũ phương trình tuyến tính tương ứng âm (xem [7]) Điều kiện tách phổ phù hợp hệ tuyến tính kéo theo tồn đa tạp bất biến trơn hệ phi tuyến tương ứng (xem [2]) Trong [26], Palmer mở rộng định lý tuyến tính hóa Hartman-Grobman cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm với điều kiện đủ không thuộc phổ nhị phân mũ hệ tuyến tính Sử dụng cấu trúc phổ nhị phân mũ xây dựng điều kiện cộng hưởng phù hợp, Siegmund xây dựng định lý dạng chuẩn tắc cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm [37] Gần dựa hiểu biết thay đổi cấu trúc phổ nhị phân mũ vào tham số, cỏc tỏc gi Păotzsche v Rasmussen [30, 32] xõy dựng phân tích nhiều tượng rẽ nhánh khác cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm Cuối cùng, phương pháp số để tính tốn số mũ nhị phân phát triển (xem [14, 24]) tài liệu tham khảo liên quan Do quan trọng phổ nhị phân mũ lý thuyết định tính phương trình vi phân khơng ơtơnơm nên chúng tơi chọn nghiên cứu số khía cạnh liên quan đến phổ nhị phân mũ Cụ thể, trước hết nghiên cứu toán gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm Ở hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm cho hai dạng sau: Dạng vi phân: x˙ (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ∈ R, với A(t), B(t) hàm ma trận liên tục khúc u(t) hàm điều khiển Trong trường hợp hàm điều khiển xây dựng có dạng u(t) = F (t)x(t) , F (t) hàm ma trận liên tục khúc, thu phương trình vi phân tuyến tính có dạng x˙ (t) = (A(t) + B(t)F (t))x(t) Một câu hỏi quan trọng đặt là: 76 =0 Do đó, khơng gian {(0, xs) ∈ Rdu × Rds} bất biến Pnτ , tức k πu(Pnτ )−1(0, xs) = Sử dụng (3 43), ta thu fn − gn ∈ Cflat,u(Rd) Vì vậy, Difn (Pnτ )−1(0, xs) − Dign (Pnτ )−1(0, xs) = k Do đó, từ (3 56) ta suy Dxi Xn(τ, 0, xs) = Xn(τ, ·) ∈ Cflat,u(Rd) (ii) Đặt R := sup x∈Rd ∂ kXn (τ, x) ∂xk Khi với τ ∈ [0, 1] ta sử dụng khai triển Taylor hàm ∂ ℓXn ∂xℓ (τ, x) đến bậc k − ℓ (0, xs) thu (τ, x , x ) − ∂∂x ℓXn ∂∂x ℓXn ∂∂x ℓXn u s (τ, x) = ℓ ℓ ℓ (τ, 0, xs) ≤ R∥πux∥k−ℓ Bổ đề chứng minh Tiếp theo ta định nghĩa ánh xạ Ln : C [0, 1], C ℓ(Rd) → C [0, 1], C ℓ(Rd) công thức (3 57) (LnW )(τ, x) := DxPnτ (Pnτ )−1(x) W τ, (Pnτ )−1(x) Tư (3 54), ta có Mk,R ℓ ⊂ C ([0, 1], C ℓ(Rd)) Trong bổ đề sau, đưa vài đánh giá toán tử tuyến tính L jn := Ln+j −1 · · · Ln hạn chế Mk,R ℓ, n ∈ Z j ∈ N Bổ đề 14 Với W ∈ Mk,R ℓ khẳng định sau thỏa mãn với (τ, x) ∈ [0, 1] × Rd n ∈ Z, j ∈ N (i) ∥LjnW (τ, x)∥ ≤ Rγ j ∥πux∥k (ii) Tồn ε > ∂x cho ∥πux∥ ≤ ε ∂ iLjnW (τ, x) ≤ Rγ j ∥πux∥k−i i với i = 1, ,ℓ 77 Chứng minh (i) Từ (3 57), ta có j −1 LjnW (τ, = DxPnτ+i((Pnτ+i)−1(x)) W (τ, (Pnτ+j −1)−1 ◦· · · ◦ (Pnτ )−1(x)) x) i=0 (3 58) Do đó, j −1 ∥LjnW (τ, x)∥ ≤ ∥DxPnτ+i∥∞∥W (τ, (Pnτ+j −1)−1 ◦ · · · ◦ (Pnτ )−1(x))∥ i=0 (3 59) Do W ∈ Mk,R ℓ áp dụng định lý giá trị trung bình ta thu R ∥W (τ, x)∥ ≤ ∥πux∥k (k − r + 1) · · · k Mặt khác, sử dụng tính bất biến {0} × R ds Pnτ áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có j −1 ◦ ··· ◦ (Pnτ )−1(x)∥ ≤ ∥πu ◦ (Pnτ+j −1)−1 ∥πux∥ Vì vậy, từ (3 59) ta suy R ∥LjnW (τ, x)∥ ≤ (k − r + 1) · · · k i=0 ∂(πu ◦ (Pnτ+i)−1) ∂xu ∞ ∥πux∥ ∥DxPn+i∥∞ j −1 k τ i=0 ∂(πu ◦ (Pnτ+i)−1) ∂xu ∞ Khẳng định với (3 50) (3 51) suy khẳng định (i) mệnh đề (ii) Trước hết, ∂x sử dụng [9, Bổ đề 4] ta có khẳng định mệnh đề j = 1, tức tồn ε > cho với ∥πux∥ ≤ ε ∂ iLnW với i = 1, (τ, x) ≤ Rγ∥πux∥k−i i ,ℓ Sử dụng qui nạp theo j, ta thu khẳng khẳng định mệnh đề với j ∈ N Mệnh đề chứng minh Chứng minh Mệnh đề 11 Áp dụng Bổ đề 14(i), chuỗi ∞ Ljn−j Xn−1−j (τ, x) =: Znτ (x), j =0 (3 60) 78 với Xn(τ, x) xác định (3 55), hội tụ với n ∈ Z Theo định nghĩa Zn, ta có ∞ Znτ +1(x) = Ljn+1−j Xn−j (τ, x) j =0 ∞ = Ljn+1−j Xn−j (τ, x) + Xn(τ, x) j =1 = LnZnτ (x) + Xn(τ, x) Do đó, ta có (Znτ (x))n∈Z nghiệm (3 53) Hơn sử dụng Bổ đề 14(ii), ta thu ∂ i∂x LjnX i (τ, x) ≤ Lγ j ∥πux∥k−i với i = 1, ,ℓ (3 61) ∥x∥ ≤ ε với ε > Bằng cách cắt hàm số f n gn, ta thu khẳng định với x ∈ Rd Dẫn đến, Znτ (·) hàm số C ℓ ta j =0 n+1−j x) Znτ ∈ C1ℓ(Rd) Cuối cùng, từ có Znτ (0) = DZ nτL(0) = X0n−jVì(τ, vậy, ∞ (3 61) ta thu chuỗi j hội tụ theo τ tới Znτ ∥ · ∥ℓ Do đó, ánh xạ Z : [0, 1] → C1ℓ(Rd)Z, τ → Zτ := Z·τ (·) liên tục Áp dụng Định lý 8, ta thu hệ (3 41) (3 42) C ℓ tương đương Mệnh đề chứng minh Bây chứng minh kết chương Chứng minh Định lý Theo Mệnh đề 3, với hệ thuộc Ok+2(A) C k tương đương với hệ thuộc Oflat(A) Theo Mệnh đề 7,x˙tồn κ > cho hệ κ sai phân = A(t)x +0 g(x), (3 62) k liên kết hệ (3 62) xn+1 = A(nκ)xn + fn(κ)(xn), (3 63) 79 k, k phần tử Dflatℓ (A) Theo Nhận xét 10, tồn φn ∈ Cflat,u(Rd) k ψn ∈ Cflat,s(Rd) với n ∈ N cho (3 63) viết lại xn+1 = A(nκ)xn + φn(xn) + ψn(xn) (3 64) k Do φn ∈ Cflat,u(Rd) với n ∈ N, nên áp dụng Mệnh đề 11 ta thu hệ (3 64) C ℓ tương đương với hệ xn+1 = A(nκ)xn + ψn(xn) Áp dụng Mệnh đề 11 lần nữa, hệ C ℓ tương đương với hệ tuyến tính xn+1 = A(nκ)xn Vì vậy, theo Mệnh đề hệ (3 62) C ℓ tương đương với hệ tuyến tính hóa x˙ = A(t)x Định lý chứng minh Kết luận chương 3: Chương trình bày tốn tuyến tính hóa trơn phương trình vi phân khơng ơtơnơm Kết đạt là: Xây dựng phiên định lý Sternberg điều kiện tách phổ cho tuyến tính hóa trơn phương phương trình vi phân khơng ơtơnơm 80 Kết luận Kết đạt Luận án đạt kết sau: (i) Xây dựng chứng minh điều kiện cần đủ để hệ điều khiển tuyến tính liên tục gán phổ nhị phân mũ (ii) Xây dựng chứng minh điều kiện cần đủ để hệ điều khiển tuyến tính rời rạc gán phổ nhị phân mũ (iii) Xây dựng phiên Định lý Sternberg điều kiện đủ để tách phổ cho tuyến tính hóa trơn phương trình vi phân khơng ơtơnơm Một số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề tồn cần nghiên cứu mở rộng thời gian tới: (i) Bài toán gán phổ số loại phổ khác (ii) Nghiên cứu thêm số khía cạnh khác hệ động lực khơng ơtơnơm có cấu trúc 81 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án [CT1] Le Viet Cuong, Doan Thai Son and Stefan Siegmund, A Sternberg theorem for nonautonomous diferential equations, Journal of Dynamics and Diferential Equations 31 (2019), pp 1279 - 1299 (SCIE) [CT2] Le Viet Cuong, Doan Thai Son, Assignability of dichotomy spectrum for discrete time-varying linear control systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B 25(9) (2020), pp 3597 - 3607 (SCIE) [CT3] Artur Babiarz, Le Viet Cuong, Adam Czornik and Doan Thai Son, Necessary and sufficient conditions for assignability of dichotomy spectra of continuous time-varying linear systems, Automatica 125 (2021), 109466 (SCIE) [CT4] Artur Babiarz, Le Viet Cuong, Adam Czornik and Doan Thai Son, Necessary and sufficient conditions for assignability of dichotomy spectrum of one-side discrete time-varying linear systems, IEEE-Trans on Automatic Control 67 (2022), no 4, 2039-2043 (SCIE) 82 Bảng thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh nhị phân mũ, 10 exponential dichotomy phổ nhị phân mũ, 10 dichotomy spectrum phổ Lyapunov, 44 Lyapunov spectrum tương đương tiệm cận, 13 asymptotical equivalence phản hồi tuyến tính, 22 linear feedback gán phổ nhị phân mũ, 24 assignability of dichotomy spectrum điều khiển đều, 18, 20 uniform complete controllability ổn định hóa được, 25, 33 số mũ Bohl, 45 đặc trưng Kalman, 18, 21 dạng chuẩn tắc , 58 phương pháp đường , 67 uniform complete stablization Bohl exponent Kalman’s characterization normal form method of the path 83 Tài liệu tham khảo [1] L Ya Adrianova, Introduction to Linear Systems of Diferential Equations, Translantions of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, Providence (1995) [2] B Aulbach, C Păotzsche and S Siegmund, A smoothness theorem for invariant fiber bundles, Journal of Dynamics and Diferential Equations 14 (2002), 519-547 [3] B Aulbach, S Siegmund, The dichotomy spectrum for noninvertible systems of linear diference equations, J Diference Equations Appl (2001), no 6, 895-913 [4] B Aulbach and T Wanner, Integral manifolds for Carathéodory type diferential equations in Banach spaces, in: B Aulbach, F Colonius (Eds ), Six Lectures on Dynamical Systems, World Scientific, Singapore, 1996, pp 45-119 [5] A Babiarz, A Czornik, E Makarov, M Niezabitowski and S Popova, Pole placement theorem for discrete time-varying linear systems, SIAM Journal on Control 55 (2017), no 2, 671-692 [6] A Babiarz, I Banshchikova, A Czornik, E Makarov, M Niezabitowski and S Popova, Necessary and sufficient conditions for 84 assignability of the Lyapunov spectrum of discrete linear timevarying systems, IEEE Trans Automat Control 63 (2018), no 11, 3825-3837 [7] L Barreira and C Valls, Stability of Nonautonomous Diferential Equations, Lecture Notes in Mathematics 1926, Berlin, Springer, 2008 [8] F Battelli and K J Palmer, Criteria for exponential dichotomy for triangular systems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 428 (2015), 525-543 [9] P Bonckaert, On the continuous dependence of the smooth change of coordinates in parametrized normal form theorems, Journal of Differential Equations 106 (1993), 107-120 [10] P Bonckaert and F Dumortier, On a linearization theorem of Sternberg for germs of difeomorphisms, Math Z 185 (1984), no 1, 115135 [11] P Bonckaert, P De Maesschalck, T S Doan and S Siegmund, Partial linearization for planar nonautonomous diferential equations, Journal of Diferential Equations 258 (2015), 1618-1652 [12] F Bruhat, Travaux de Sternberg [Works of Sternberg], Séminaire Bourbaki 6, Exp No 217, 179-196, Soc Math France, Paris, 1995 [13] W A Coppel, Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes in Mathematics 629 Springer, Berlin, 1978 [14] L Dieci, E S Van Vleck, Lyapunov spectral intervals: theory and computation, SIAM Journal on Numerical Analysis 40 (2002), no 2, 516–542 85 [15] T S Doan, K J Palmer, M Rasmussen, The Bohl spectrum for linear nonautonomous diferential equations, Journal of Dynamical and Diferential Equations (2017), no 10, 1459-1485 [16] F Dumortier, P R Rodrigues and R Roussarie, Germs of Difeomorphisms in the Plane, Lecture Notes in Mathematics 902, Springer, Berlin, 1981 [17] A Halanlay, V Ionescu, Time-Varying Discrete Linear Systems Input-Output Operators Riccati Equations, Disturbance Attenuation, Springer, Berlin, 1994 [18] P Hartman, Ordinary Diferential Equations, Birkhăauser, Boston, 1982 [19] M Ikeda, H Maeda and S Kodama, Stabilization of linear systems, SIAM Journal on Control (1972), no 10, 716-729 [20] R E Kalman, Contributions to the theory of optimal control, Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana (1960), no 5, 102-119 [21] P E Kloeden and M Rasmussen, Nonautonomous Dynamical Systems, Mathematical Surveys and Monographs, 176 American Mathematical Society, Providence, RI, 2011 [22] P E Kloeden and C Potzsche, Nonautonomous Dynamical Systems in the Life Sciences, Lecture Notes in Mathematics 2102, Springer International Publishing, pp 3–39, 2013 [23] G A Leonov and M M Shumafov, Stabilization of Linear Systems, Cambridge Sci Publ , Cambridge, 2012 86 [24] V H Linh, V Mehrmann, Approximation of spectral intervals and leading directions for diferential-algebraic equation via smooth singular value decompositions, SIAM Journal on Numerical Analysis 49 (2011), no 5, 1810–1835 [25] E K Makarov, S N Popova, Controllability of asymptotic invariants of time-dependent linear systems, Belorusskaya Nauka, Moscow, 2012 [26] K Palmer, A generalization of Hartman’s linearization theorem, Journal of Mathematical Analysis and Applications 41 (1973), 753758 [27] S N Popova, On the global controllability of Lyapunov exponennts of linear systems, Diferential Equations 43 (2007), no 8, 10721078 [28] C Păotzsche, Geometric Theory of Discrete Nonautonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 2002, Springer, Berlin, 2010 [29] C Păotzsche, Fine structure of the dichotomy spectrum, Integral Equations Operator Theory 73 (2012), no 1, 107-151 [30] C Păotzsche, Dichotomy spectra of triangular equations, Discrete & Continuous Dynamical Systems 36 (2016), no 1, 423-450 [31] C Păotzsche and S Siegmund, Smoothness of invariant fiber bundles, Topol Methods Nonlinear Anal 24 (2004), no 1, 107-145 [32] M Rasmussen, Attractivity and Bifurcation for Nonautonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 1907, Springer, Berlin, 2007 87 [33] M Rasmussen, Dichotomy spectra and Morse decompositions of linear nonautonomous diferential equation, Journal of Diferential Equations 246 (2009), 2242-2263 [34] R J Sacker and G R Sell, A spectral theory for linear diferential systems, Journal of Diferential Equations 27 (1978), no 3, 320–358 [35] S Siegmund, Spektraltheorie, glatte Faserungen und Normalformen făur Diferentialgleichungen vom Carathéodory-Typ Dissertation, University of Augsburg, 1999 [36] S Siegmund, Dichotomy spectrum for nonautonomous diferential equations, Journal of Dynamics and Diferential Equations 14 (2002), no 1, 243–258 [37] S Siegmund, Normal forms for nonautonomous diferential equations, Journal of Diferential Equations 178 (2002), no 2, 541-573 [38] S Siegmund, Reducibility of nonautonomous linear diferential equations, J London Math Soc 65 (2002), no 2, 397-410 [39] J M Steele, An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities The Cauchy-Schwarz Master Class, Cambridge University Press, 2004 [40] S Sternberg, Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer J Math 79 (1957), 809-824 [41] S Sternberg, On the structure of local homeomorphisms of Euclidian n-space, I, Amer J Math 80 (1958), 623-631 [42] E L Tonkov, Criterion of uniform controllability and stabilization of linear recurrent system, Diferentsialnye Uravneniya 10 (1979), no 15, 1804-1813 88 [43] W Wonham, On pole assignment in multi-input controllable linear systems, IEEE Trans on Automatic Control 12 (1967), no 6, 660-665 [44] V A Zaitsev, S N Popova, E L Tonkov, On the property of uniform complete controllability of a discrete-time linear control system, Vestnik Udmurtskogo Universiteta Matematika Mekhanika Komp’yuternye Nauki (2014), 53-63 ... khiển tuyến tính liên tục 18 Hệ điều khiển tuyến tính rời rạc 20 18 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian 22 Gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính. .. ΣJED(A + BF ) phổ nhị phân mũ hệ (2 4) (xem Định nghĩa 2) Sau đưa khái niệm gán phổ nhị phân mũ cho hệ điều khiển tuyến tính liên tục Định nghĩa (Gán phổ nhị phân mũ) Phổ nhị phân mũ ΣJED(A+BF... lý sau nói cấu trúc phổ nhị phân mũ cho phương trình sai phân tuyến tính Định lý 13 (Định lý phổ nhị phân mũ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính) Phổ nhị phân mũ ΣTED(A) hệ (1 8) hợp tối đa