Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2019 ĐẠI HỌC Q[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HỒNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TƠ-PƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HỒNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2019 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính giãn đồng phôi 1.2 Tính bóng đồng phơi 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô 3 10 16 Phân tích phổ hệ động lực tôpô 23 2.1 2.2 2.3 Tập quay lui xích Tập ổn định không ổn định Phân tích phổ hệ động lực tô-pô 23 29 35 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội hoàn thành hướng dẫn TS Lê Huy Tiễn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học khoa học tự nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Bộ mơn Tốn giải tích, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để em học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2016-2018), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Hoàng Việt Mở đầu Lịch sử lý thuyết hệ động lực bắt đầu biết đến Issac-Newton, người mà mô tả quy luật chuyển động phát lực hấp dẫn Trong lý thuyết Newton, chuyển động hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân Sau đó, cuối kỷ 19, Poincaré phát triển lý thuyết định tính phương trình vi phân Poincaré nghiên cứu tính chất nghiệm thay tìm cơng thức giải tích nghiệm Nhiều năm sau đó, nhà khoa học phát triển lý thuyết nghiên cứu định tính hệ động lực sở lý thuyết tơpơ Trong đó, việc nghiên cứu đồng phơi giãn bóng chủ đề lớn năm qua Tính chất bóng xuất phát từ việc giải số phương trình vi phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai, tác giả cho liên quan đến tốn ổn định tồn cục hệ động lực Các tác giả tiếp cận tính bóng phương pháp hình học Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề “Về phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ ” Trong đó, chúng tơi trình bày chi tiết đồng phơi khơng giãn bóng có phân tích phổ Nội dung luận văn chia làm chương Trong đó, • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức đồng phôi giãn không gian mêtric tơpơ tính chất liên quan, tính bóng đồng phơi đồng phơi Anosov tơpơ • Chương 2: Phân tích phổ hệ động lực tôpô Các nội dung quan trọng chứng minh chi tiết phân tích phổ theo Smale Bowen trình bày Tài liệu tham khảo khảo hoàn thành luận văn [2] Ngoài ra, tham khảo tài liệu [1], [7] Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức hệ động lực, ánh xạ liên tục tính chất hệ Anosov ánh xạ Anosov tôpô Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày số vấn đề đồng phơi giãn tính chất giả quỹ đạo Các tài liệu tham khảo cho kiến thức chương [2] 1.1 Tính giãn đồng phơi Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất đồng phơi giãn Từ dẫn đến tính chất ánh xạ giãn dương, ánh xạ c-giãn không gian mêtric compact Trong phần này, ta giả thiết không gian pha hệ động lực đa tạp khả vi Định nghĩa 1.1.1 Toàn ánh liên tục f : M → N không gian mêtric gọi đồng phơi đơn ánh ánh xạ ngược f −1 : N → M liên tục Không gian mêtric M gọi đa tạp tôpô n-chiều tồn tập mở Ui ⊂ M đồng phôi αi biến tương ứng 1-1 tập Ui thành tập mở không gian Rn , cho {Ui } phủ M Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian mêtric với mêtric d Đồng phôi f : X → X gọi đồng phôi giãn tồn số e > cho với x 6= y , x, y ∈ X ta có d(f n (x), f n (y)) > e, với n số nguyên Hằng số e gọi số giãn f Hơn nữa, tính chất phụ thuộc vào cách chọn mêtric X X compact Ta đưa khái niệm độ phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Điều kiện yếu điều kiện giãn, tức với x ∈ X , tồn δ > lân cận U x mà tồn y ∈ U n ∈ Z cho d(f n (x), f n (y)) > δ Từ khái niệm suy X khơng có điểm lập Tiếp theo, ta đưa tính chất truyền ứng tơpơ đồng phơi Đồng phơi f : X → X có tính truyền ứng tơpơ tồn x0 ∈ X cho quỹ đạo Of (x0 ) = {f n (x0 ) : n ∈ Z} trù mật X Với khái niệm này, ta có số kết sau Định lý 1.1.3 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact Khi đó, (a) Đồng phơi f có tính chất truyền ứng tôpô với tập mở khác rỗng U, V , tồn số nguyên n ∈ Z cho f n (U ) ∩ V 6= ∅ (b) Nếu giả thiết thêm X tập vơ hạn, đồng phơi f có tính chất truyền ứng tôpô P er(f ) = {x ∈ X : f n (x) = x, n > 0} trù mật X f phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Chú ý rằng, với f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact ký hiệu cl(E) bao đóng tập E Khi đó, phủ mở hữu hạn α X phần tử sinh (phần tử sinh yếu) T −n f với dãy kép {An } α: giao vô hạn ∞ (cl(An )) n=−∞ f nhiều điểm Nếu α, β phủ mở X hợp chúng α ∨ β xác định α ∨ β = {A ∩ B : A ∈ α, B ∈ β} Ta nói β mịn α phần tử β tập phần tử thuộc α ta ký hiệu α ≤ β Rõ ràng α ≤ α ∨ β β ≤ α ∨ β Hơn nữa, f : X → X toàn ánh liên tục f −1 (α) = {f −1 (A) : A ∈ α} phủ mở X Ta thấy f −1 (α ∨ β) = f −1 (α) ∨ f −1 (β) f −1 (α) ≤ f −1 (β) α ≤ β Định lý 1.1.4 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) f giãn, (2) f có phần tử sinh, (3) f có phần tử sinh yếu Chứng minh Rõ ràng (2) ⇒ (3) hiển nhiên Trước vào chứng minh phần tiếp theo, ta nhắc lại với X không gian mêtric compact α phủ mở hữu hạn X Nếu với tập A ⊂ B ∈ α ln thỏa mãn diam (A) < δ δ gọi số Lebesgue α Ta chứng minh (3) ⇒ (2) Thật vậy, cho β = {B1 , B2 , , B2 } phần tử sinh yếu f δ > số Lebesgue β Ký hiệu α phủ mở hữu hạn chứa tập Ai với đường kính diam (cl(Ai )) ≤ δ Nếu {Ain } dãy đơi α với n, tồn jn cho cl(Ajn ) ⊂ Bj nên ∞ ∞ [ \ −n f cl(Ajn ) ⊂ f −n (Bjn ) n=−∞ n=−∞ Do đó, α phần tử sinh (1) ⇒ (2): Cho δ > số giãn f α phủ hữu hạn chứa hình cầu mở bán kính δ/2 Giả thiết x, y ∈ T∞ −n (cl(An )), với An ∈ α Khi đó, d(f n (x), f n (y)) ≤ δ với n=−∞ f n nên theo giả thiết suy x = y (3) ⇒ (1): Giả sử α phần tử sinh yếu δ > số Lebesgue α Khi đó, f (f n (x), f n (y)) < δ với số nguyên n An ∈ α, T −n n ∈ Z cho f n (x), f n (y) ∈ An x, y ∈ ∞ (An ), mà giao vô n=−∞ f hạn nhiều điểm Suy f giãn Vậy định lý chứng minh Định lý 1.1.5 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact k số nguyên khác Khi đó, f đồng phơi giãn f k giãn Chứng minh Ta ý từ khẳng định α phần tử sinh f |k|−1 _ f −i (α) = α ∨ f −1 (α) ∨ · · · ∨ f |k|−1 (α), i=0 phần tử sinh f k Ngược lại α phần tử sinh f k α phần tử sinh f Từ đó, ta có điều phải chứng minh Định lý 1.1.6 (a) Nếu f : X → X đồng phôi giãn Y tập đóng X với f (Y ) = Y , f|Y : Y → Y đồng phôi giãn, (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, ánh xạ giãn đồng phơi f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 định nghĩa sau (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 đồng phơi giãn Hơn nữa, tích trực tiếp hữu hạn đồng phôi giãn giãn, (c) Nếu X compact f : X → X đồng phơi giãn h◦f ◦h−1 : Y → Y đồng phơi giãn, đó, h : X → Y đồng phôi Trong phần mục này, chúng tơi trình bày khái niệm đồng phôi giãn dương c-giãn số tính chất Định nghĩa 1.1.7 Cho X khơng gian mêtric Đồng phôi f : X → X giãn dương tồn số e > cho x 6= y ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HỒNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TƠ-PƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun... hình học Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề ? ?Về phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ ” Trong đó, chúng tơi trình bày chi tiết đồng phơi khơng giãn bóng có phân tích phổ Nội dung luận văn. .. Anosov tôpô 3 10 16 Phân tích phổ hệ động lực tơpơ 23 2.1 2.2 2.3 Tập quay lui xích Tập ổn định không ổn định Phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ