ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 84 60112 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Chủ tịch hội đồng: GS TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - 2020 Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ động lực phi tuyến 1.2 Tính ổn định 1.3 Lý thuyết hàm Lyapunov 12 1.4 Lý thuyết hàm lượng 15 1.4.1 Hàm lượng 15 1.4.2 Hàm lượng cho hệ động lực cấp hai 18 Chương Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục 23 2.1 Điểm cân biên ổn định 23 2.2 Đặc trưng biên ổn định 31 2.3 Miền tựa ổn định đặc trưng biên tựa ổn định 35 2.4 Thuật toán xác định biên ổn định 39 Chương Ước lượng miền ổn định hệ động lực liên tục 3.1 46 Tập mức đặc trưng điểm cân không ổn định gần 46 3.2 Miền tựa ổn định hàm lượng 50 3.3 Ước lượng miền ổn định theo hàm lượng địa phương 52 i Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 62 ii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hoàn thành hướng dẫn PGS TSKH Vũ Hồng Linh Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ mơn Tốn học tính tốn Tốn ứng dụng, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2018-2020), cảm ơn gia đình, bạn bè quan chủ quản động viên, giúp đỡ nhiều trình học tập Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2020 Học viên Phạm Hồng Quân iii Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov 1.2 Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận 1.3 Mô tả đa tạp ổn định địa phương đa tạp không ổn định địa phương điểm cân 1.4 Quan hệ không gian ổn định không gian không ổn định với đa tạp ổn định đa tạp không ổn định điểm cân hyperbolic 1.5 Đa tạp ổn định không ổn định (0, 0); không gian riêng ổn định không ổn định tương ứng 1.6 12 Minh họa quan hệ hình cầu mở hình cầu đóng chứng minh Định lý 1.11 13 2.1 Giao đa tạp không ổn định x1 đa tạp ổn định 2.2 x2 khơng thỏa mãn điều kiện hồnh 29 Miền ổn định điểm cân ổn định (0, 0) Ví dụ 2.1 35 2.3 Minh họa khác miền ổn định miền tựa ổn định 38 2.4 Đường cong A B giới hạn miền ổn định xác định phương pháp khác Đường cong C biên ổn định thu phương pháp 42 2.5 Bức tranh pha hệ (2.3) biên ổn định 43 2.6 Bức tranh pha hệ động lực Ví dụ 2.3 Biên ổn định đường in đậm màu đỏ 3.1 3.2 45 Mối quan hệ mặt mức lượng S(r) giá trị mức khác miền ổn định A(xs ) 48 Cấu trúc mặt mức lượng tăng giá trị mức 51 iv 3.3 Miền ổn định ước lượng theo mặt lượng 3.4 Bức tranh pha hệ Ví dụ 3.1 So sánh biên ước lượng biên ổn định định xác 3.5 55 56 Miền ổn định xác miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.2 59 3.6 Miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.3 60 3.7 Miền ổn định ước lượng biên ổn định xác Ví dụ 3.3 v 61 Mở đầu Từ nhiều kỷ trước, việc nghiên cứu tính ổn định hệ động lực xem tốn khó hấp dẫn người, xuất nhiều lĩnh vực khác kinh tế, học, vật lý, kỹ thuật Cũng chủ đề rộng nên khái niệm độ ổn định hình thành theo nhiều cách khác tùy thuộc vào mục đích nghiên cứu tính ổn định Trong đó, chủ đề quan trọng liên quan chặt chẽ đến ổn định miền ổn định hệ động lực phi tuyến Trong thực tế, nhiều hệ thống vật lý kỹ thuật thiết kế để hoạt động trạng thái cân Nói cách khác, cấu tạo để vận hành điểm cân xung quanh điểm cân mơ tả q trình vận hành hệ động lực phi tuyến Yêu cầu quan trọng để vận hành thành công hệ thống trì ổn định trạng thái cân Tính ổn định địi hỏi chắn điểm cân nhiễu nhỏ tác động bên hệ thống gây Nói cách khác, trạng thái hệ thống dần điểm cân nhiễu nhỏ định Tuy nhiên, hầu hết hệ thống vật lý kỹ thuật khơng ổn định tồn cục Có thể hiểu hệ thống quay trở lại trạng thái cân kích thước có giới hạn nhiễu Mặc dù vấn đề quen thuộc toán đặt làm để tính miền ổn định xung quanh điểm cân hệ động lực cho trước Từ đó, cho phép hạn chế nhiễu nhỏ dao động bên miền ổn định tính tốn Cho đến nay, có số phương pháp dùng tính tốn xấp xỉ miền ổn định hệ động lực phi tuyến cho trước hầu hết phương pháp dựa hàm lượng hàm Lyapunov, [4], [5], [9], [12] Tuy nhiên, cách tiếp cận không dựa hàm Lyapunov xem xét trình bày [5] Phương pháp cho phép tìm miền ổn định xác hệ động lực phi tuyến cho trước Một cách tiếp cận khác dựa phương pháp mặt mức ẩn tập mức nghiên cứu [7], [11] Trong luận văn này, chúng tơi trình bày “Miền ổn định hệ động lực liên tục” Cụ thể hơn, chúng tơi trình bày lý thuyết miền ổn định cách tìm miền ổn định phương pháp số Luận văn chia thành ba chương sau Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm ổn định tính chất liên quan Ngoài ra, lý thuyết hàm lượng, hàm Lyapunov đề cập đến Các lý thuyết sử dụng để ước lượng miền ổn định hệ động lực phi tuyến có số chiều lớn Chương 2: Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục Chương tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng biên ổn định biên tựa ổn định hệ động lực Ở cuối chương, chúng tơi đưa thuật tốn để xác định biên ổn định cách hoàn chỉnh Chương 3: Ước tính miền ổn định hệ động lực liên tục Trong chương cuối, tập trung vào phương pháp ước lượng miền ổn định hệ động lực cho trước dựa hàm lượng tập mức Bên cạnh đó, số thử nghiệm số thực cho số hệ động lực phi tuyến tiên tục có số chiều thấp đưa Các tài liệu sử dụng luận văn bao gồm số sách báo tác giả Hsiao-Dong Chiang Luís Fernando Costa Alberto, [2], [4], [5], [12] Kết luận văn báo cáo seminar Bộ mơn Tốn học tính tốn Tốn ứng dụng, Khoa Tốn - Cơ - Tin học trình bày Hội thảo Một số tốn chọn lọc phương trình vi phân điều khiển Viện Nghiên cứu cao cấp Toán tổ chức Tuần Châu, Quảng Ninh, ngày 05-07/11/2020 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương thứ này, nhắc lại định nghĩa tính chất tính ổn định hệ động lực Bên cạnh đó, lý thuyết hàm Lyapunov, hàm lượng hệ động lực ứng dụng trình bày mục cuối chương Đây kiến thức sở cho nội dung chương sau Phần lớn nội dung chương trình bày dựa tài liệu [1], [2], [4] [5] 1.1 Hệ động lực phi tuyến Trong chương này, xét hệ động lực phi tuyến (ô tô nôm) sau x˙ = f (x), (1.1) x ∈ Rn biến véctơ hàm f : Rn → Rn thỏa mãn điều kiện đảm bảo toán giá trị ban đầu (1.1) tồn nghiệm Trong luận văn này, giả thiết hàm f khả vi r lần đạo hàm liên tục Điều kiện đảm bảo với giá trị ban đầu x0 , tồn khoảng cực đại I = (w− , w+ ) ⊂ R, ∈ I tồn hàm khả vi liên tục x(t) : I → Rn nghiệm phương trình (1.1) cho x(0) = x0 Định lý 1.1 ([5]) Cho x(t) nghiệm phương trình (1.1) [0, w+ ] khoảng cực đại tồn nghiệm Khi đó, tồn tập compact K ⊂ Rn cho x(t) ∈ K với t ∈ [0, w+ ] w+ = +∞, tức nghiệm tồn xác định với t ≥ Sau đây, ta trình bày số khái niệm cần thiết cho kết sau Đường cong nghiệm phương trình (1.1) xuất phát từ x0 thời điểm t = gọi quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 ký hiệu φ(., x0 ) Hơn nữa, quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 hàm theo thời gian Việc tham số hóa t → φ(t, x0 ) sinh đường cong Rn , gọi quỹ đạo nghiệm (1.1) qua x0 Quỹ đạo qua x0 ký hiệu φt (x0 ) xác định φt (x0 ) = {φ(t, x0 ) ∈ Rn , t ∈ R} Trong số trường hợp, ta ký hiệu tập {φ(t, x) ∈ Rn , x ∈ A} φ(t, A), A ⊂ Rn Điểm x ∈ Rn gọi điểm cân (1.1) f (x) = 0, tức điểm cân nghiệm đặc biệt khơng thay đổi theo thời gian Do đó, điểm cân quỹ đao nghiệm không dịch chuyển Tập tất điểm cân (1.1) ký hiệu E = {x ∈ Rn : f (x) = 0} Một dạng quan trọng khác quỹ đạo nghiệm quỹ đạo đóng Một quỹ đạo nghiệm γ quỹ đạo đóng γ điểm cân với x ∈ γ , tồn T > cho φ(T, x) = x Điểm cân quỹ đạo đóng ổn định khơng ổn định Tập M ⊂ Rn gọi tập bất biến (1.1) quỹ đạo nghiệm hệ (1.1) xuất phát từ M nằm M với t Hợp giao tập bất biến tập bất biến Tập M ⊂ Rn gọi tập bất biến dương (âm) (1.1) quỹ đạo nghiệm (1.1) xuất phát từ M nằm M với t ≥ (t ≤ 0) Một điểm p nằm tập w-giới hạn x ứng với ε > T > 0, tồn t > T cho |φ(t, x) − p| < ε Điểm p nằm tập α-giới hạn x ứng với ε > T < 0, tồn t < T cho |φ(t, x) − p| < ε Nói cách khác, p gọi nằm tập w-giới hạn (tập α-giới hạn) x với ε > 0, tồn dãy {ti } ∈ R cho φ(ti , x) → p ti → +∞ (ti → −∞) Định lý 1.2 ([5]) Các tập w-giới hạn tập α-giới hạn quỹ đạo nghiệm φ(t, x) hệ (1.1) tập đóng, bất biến Ngồi ra, quỹ đạo nghiệm φ(t, x) (1.1) bị chặn với t ≥ (t ≤ 0) tập w-giới hạn (tập α-giới hạn) khác rỗng, compact liên thông Hơn nữa, d(φ(t, x), w(x)) → t → ∞ Như ta thấy điểm cân ổn định tiệm cận loại đơn giản tập giới hạn Tuy nhiên, tập giới hạn vơ phức tạp; điểm cân bằng, quỹ đạo đóng hay dạng khác 1.2 Tính ổn định Tiếp theo, ta nhắc lại định nghĩa ổn định Lyapunov tiệm cận ổn định Định nghĩa 1.3 Điểm cân x ∈ Rn hệ (1.1) gọi ổn định Lyapunov với lân cận mở U of x ∈ Rn , tồn lân cận mở V x ∈ Rn cho φ(t, x) ∈ U với x ∈ V với t > Ngược lại, x gọi không ổn định x V U x¯ φ(t, x) Hình 1.1: Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov Một cách trực quan, điểm cân gọi ổn định quỹ đạo xuất phát từ lân cận điểm cân nằm gần với điểm cân sau khoảng thời gian Mặc dù vậy, nhiều toán yêu cầu quỹ đạo nằm gần với quỹ đạo chưa đủ Thay vào đó, người ta đưa yêu cầu mạnh quỹ đạo gần với điểm cân hội tụ điểm cân Định nghĩa 1.4 (i) Điểm cân x ∈ Rn hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn lân cận mở U x cho quỹ đạo φ(t, x) xuất phát từ lân cận U hội tụ điểm cân x t → ∞ hay lim kφ(t, x) − xk = với x ∈ U t→∞ (ii) Điểm cân x ∈ Rn hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận tồn cục ổn định với x0 ∈ Rn , φ(t, x0 ) → x t → ∞ x¯ x U φ(t, x) Hình 1.2: Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận Định nghĩa 1.5 (i) Một tập đóng, bất biến γ gọi ổn định Lyapunov với lân cận mở U γ , tồn lân cận mở V γ cho φ(t, x) ∈ U với x ∈ V với t > Ngược lại, γ gọi không ổn định (ii) Một tập đóng, bất biến γ gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn lân cận V γ cho tập w-giới hạn điểm V chứa γ (iii) Một tập đóng, bất biến γ ⊂ Rn gọi tập hút tồn lân cận mở U γ cho với x0 ∈ U , φ(t, x0 ) ∈ U với t ≥ φ(t, x) → γ t → ∞ Thực tế, tập ổn định tập hút tập bất biến ổn định tiệm cận Nói cách khác, tập γ tập hút quỹ đạo nghiệm lân cận γ đủ gần với γ hội tụ γ t → ∞ Để xác định tính ổn định điểm cân x, ta cần số công cụ để mô tả dáng điệu quỹ đạo nghiệm, mặt định tính quỹ đạo nghiệm xung quanh điểm cân x Đối với hệ động lực tuyến tính x˙ = Ax, việc kiểm tra thực cách tính giá trị riêng véctơ riêng tương ứng ma trận A Do đó, dáng điệu động lực địa phương tốn phi tuyến nghiên cứu thống qua tốn tuyến tính hóa Bây giờ, ta giả thiết x ∈ Rn điểm cân (1.1) Bằng cách đổi biến x(t) = x + y(t) sử dụng khai triển Taylor x, ta có x(t) ˙ = y(t) ˙ = f (x)+Df (x)y+O(kyk2 ), Df đạo hàm trường véctơ f Vì f (x) = nên phương trình trở thành y˙ = Df (x)y + O(kyk2 ) Do đó, để nghiên cứu dạng điệu quỹ đạo nghiệm, ta xét hệ tuyến tính hóa y(t) ˙ = Df (x)y (1.2) Định nghĩa 1.6 Điểm cân x hệ phi tuyến (1.1) gọi hyperbolic ma trận Jacobi tương ứng Df (x) khơng có giá trị riêng có phần thực Ngược lại, gọi điểm cân không hyperbolic Hơn nữa, điểm cân hyperbolic gọi loại k k giá trị riêng ma trận Jacobi Df (x) có phần thực dương n − k giá trị riêng có phần thực âm Đặc biệt, Df (x) có giá trị riêng có phần thực dương, ta gọi x điểm cân loại Nói chung, điểm cân loại xem tối quan trọng nghiên cứu đặc trưng biên ổn định biên tựa ổn định Ta ký hiệu λ giá trị riêng Df (x) Eλ không gian véctơ riêng suy rộng ứng với giá trị riêng λ Nhắc lại Eλ bất biến hệ (1.2) Nếu gốc tọa độ điểm cân hyperbolic ta viết sau Rn = E s ⊕ E u , E s = ⊕Eλ với Re(λ) < E u = ⊕Eλ với Re(λ) > Ngoài ra, điểm hyperbolic điểm cân loại k E s E u có số chiều n − k k Định lý 1.7 (Hartman-Grobman [5]) Xét hệ phi tuyến tổng quát (1.1) có điểm cân x Nếu Df (x) khơng có giá trị riêng khơng có giá trị riêng ảo, có đồng phơi h, xác định lân cận U x, biến quỹ đạo φ(t, ) hệ động lực phi tuyến (1.1) thành nghiệm hệ tuyến tính hóa (1.2) có dạng etDf (x) Phép đồng phơi bảo tồn tính chất quỹ đạo nghiệm cách chọn tham số hóa theo thời gian Định lý sau đưa điều kiện đủ cho điểm cân hệ (1.1) ổn định tiệm cận Định lý 1.8 (Tính ổn định tiệm cận, [5]) Giả sử giá trị riêng ma trận Jacobi Df (x) hệ tuyến tính tương ứng (1.2) có phần thực âm Khi đó, nghiệm cân x = x hệ phi tuyến (1.1) ổn định tiệm cận Với x điểm cân U ⊂ Rn lân cận x Ta định nghĩa đa tạp ổn định địa phương đa tạp không ổn định địa phương sau s Wloc (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x t → +∞}, u Wloc (x) := {x ∈ U : φ(t, x) → x t → −∞} u s (¯ x) theo thứ tự tập bất biến dương (¯ x) Wloc Chú ý Wloc bất biến âm Hình 1.3 mơ tả đa tạp địa phương u Wloc (¯ x) s Wloc x¯ x¯ Hình 1.3: Mơ tả đa tạp ổn định địa phương đa tạp không ổn định địa phương điểm cân Định lý 1.9 (Đa tạp ổn định không ổn định, [5]) Giả sử hệ động lực phi s tuyến liên tục (1.1) có điểm cân hyperbolic x Các tập Wloc (x) u Wloc (x) gọi đa tạp ổn định địa phương đa tạp không ổn định địa phương Khi đó, đa tạp có chiều ns , nu giống khơng gian véctơ riêng E s , E u hệ tuyến tính hóa (1.2) Hơn nữa, đa tạp s u tiếp xúc với không gian riêng E s , E u x; Wloc (x) Wloc (x) trơn giống f (x) of (1.1) Đây tập bất biến hệ phi tuyến (1.1) quỹ đạo nghiệm hệ phi tuyến đa tạp có tính chất tiệm cận nghiệm hệ tuyến tính hóa khơng gian véctơ riêng tương ứng Hình 1.4 minh họa định lý đa tạp vừa trình bày Eu W u (¯ x) Es x¯ W s (¯ x) Hình 1.4: Quan hệ không gian ổn định không gian không ổn định với đa tạp ổn định đa tạp không ổn định điểm cân hyperbolic Chú ý 1.10 ([4]) (1) Điểm cân x tập w-giới hạn điểm W s (x) tập α-giới hạn điểm W u (x) Với điểm cân hyperbolic, chiều W s (x) số giá trị riêng Df (x) có phần thực âm Tổng số chiều W s (¯ x) W u (¯ x) số chiều không gian pha (2) Sự tồn nghiệm đảm bảo W s (x) W u (x) tự giao với W s (x) W u (x) giao với (3) Đa tạp ổn định đa tạp không ổn định tập bất biến Mọi quỹ đạo nghiệm W s (¯ x) hội tụ x¯ t → +∞, quỹ đạo nghiệm W u (¯ x) hội tụ x¯ t → −∞ Ví dụ 1.1 Ta xét hệ dao động Duffing sau x˙ = y y˙ = x − x3 − εy, ε > Bằng cách giải f (x, y) = 0, ta thu ba điểm cân (±1, 0), (0, 0) Trong đó, (0, 0) điểm cân loại điểm lại điểm cân ổn định Thật vậy, sau tính tốn ma trận Jacobi Df (x), ta có hệ tuyến tính hóa xung quanh điểm cân (0, 0) x˙ = y y˙ = x − εy # √ −ε + ε2 + Từ ma trận , ta thu hai giá trị riêng λ1 = , −ε √ −ε − ε2 + λ2 = Từ đó, ta có khơng gian riêng ổn định khơng ổn " định tương ứng ( E s = (x, y) : y = ( E u = (x, y) : y = −ε − −ε + √ √ ε2 ε2 +4 ! ) +4 ! ) x , x Các đa tạp ổn định không ổn định tiếp xúc với không gian riêng ổn định, không ổn định E s , E u điểm cân hyperbolic (0, 0) Ví dụ 1.2 Xét hệ sau x˙ = x y˙ = −y + x2 10 Giải f (x, y) = 0, ta có điểm cân hyperbolic (x, y) = (0, 0) Khi đó, hệ tuyến tính hóa tương ứng x˙ = x y˙ = −y, có giá trị riêng −1 ứng với không gian véc tơ riêng ổn định không ổn định E s = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}, E u = {(x, y) ∈ R2 : y = 0} u Để tìm Wloc (0, 0), ta thấy dy −y y˙ = = + x x˙ dx x x2 C Bằng cách giải phương trình trên, ta thu y(x) = + , C x u (0, 0) biểu diễn hàm số với biến x số Vì Wloc nên ta có y = h(x) với h(0) = h0 (0) = Do đó, suy x2 u Wloc (0, 0) = (x, y) ∈ R : y = Mặt khác, quỹ đạo nghiệm xuất phát từ (0, y) với y ∈ R, nằm trục Oy tiến đến (0, 0) t → ∞ Ngồi ra, khơng gian riêng khơng ổn s định E u trục Ox, ta suy Wloc trục Oy (xem Hình 1.5) Ý tưởng “điều kiện hoành1 ” sở để nghiên cứu hệ động lực học giới thiệu Palis, 1969; Palis de Melo, 1981 Smale, 1967, [4] Trước hết, ta nhắc lại số khái niệm cần thiết cho việc trình bày điều kiện Cho M đa tạp trơn có biên khơng có biên Một đa tạp dìm2 M tập A ⊆ M cảm sinh cấu trúc tôpô (không cần không gian tôpô) tương ứng từ đa tạp tơpơ (khơng có biên), cấu trúc trơn A ,→ M phép dìm trơn, [8] Bây giờ, ta giả sử A B đa tạp dìm thực M , ta nói chúng thỏa mãn điều kiện “hoành” hai điều kiện sau thỏa mãn Tài liệu tiếng Anh: transversality condition immersed manifold 11 y y W s (0, 0) Es W u (0, 0) Eu x x Hình 1.5: Đa tạp ổn định không ổn định (0, 0); không gian riêng ổn định không ổn định tương ứng (i) Tại giao điểm x ∈ A ∩ B , không gian véctơ tiếp xúc A B sinh không gian véctơ tiếp xúc M x Tức là, Tx (A) + Tx (B) = Tx (M ), x ∈ A ∩ B (ii) Chúng hồn tồn khơng giao Một đặc trưng quan trọng điểm cân hyperbolic x¯ đa tạp ổn định đa tạp không ổn định điểm cân hyperbolic giao hoành x ¯ Điểm giao hoành quan trọng bảo tồn nhiễu động trường véctơ 1.3 Lý thuyết hàm Lyapunov Trong phần này, chúng tơi trình bày tổng quan hàm Lyapunov Trước hết, ta sử dụng ký hiệu sau đạo hàm theo thời gian hàm V (x) T ∂V (x(t)) x(t) ˙ V˙ (x(t)) = ∂x ∂V (x)T = f (x) ∂x 12 Định lý 1.11 ([5]) Giả sử x ˆ điểm cân x˙ = f (x), f : Rn → Rn Cho V : U → R hàm liên tục xác định lân cận U x ˆ, khả vi U cho (a) V (ˆ x) = V (x) > x 6= xˆ x ∈ U , (b) V˙ (x) ≤ U \ {ˆ x} Khi đó, x ˆ ổn định Hơn nữa, (c) V˙ (x) < U \ {ˆ x} xˆ ổn định tiệm cận U Bδ (ˆ x) U1 Hình 1.6: Minh họa quan hệ hình cầu mở hình cầu đóng chứng minh Định lý 1.11 Chứng minh Giả sử với δ > đủ nhỏ cho hình cầu Bδ (ˆ x) = {x ∈ Rn : kx − x ˆk < δ} nằm trọn vẹn U Ký hiệu ∂Bδ (ˆ x) := {x ∈ Rn : kx − xˆk = δ} biên hình cầu Bδ (ˆ x) Đặt α = V (x), x ∈ ∂Bδ (ˆ x) Vì V (x) hàm liên tục V (x) > nên cách xác định α định nghĩa tốt α số dương Đặt U1 := {x ∈ Bδ (ˆ x) : V (x) < α} Bây giờ, ta xét x(0) ∈ U1 Ta có V (x(0)) < α Ký hiệu x(t) quỹ đạo nghiệm thu xuất phát từ x(0) Từ giả thiết V˙ (x) ≤ 0, ta suy V (x(t)) < α Ta chứng minh điều suy x(t) ∈ Bδ (ˆ x) Thật vậy, giả sử tồn t1 cho kx(t1 )− xˆk > δ , tính liên tục x(t) nên ta phải có thời điểm t2 sớm 13 ... hệ động lực cấp hai 18 Chương Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục 23 2.1 Điểm cân biên ổn định 23 2.2 Đặc trưng biên ổn định 31 2.3 Miền tựa ổn. .. ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục Chương tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng biên ổn định biên tựa ổn định hệ động lực Ở cuối chương, đưa thuật toán để xác định biên ổn định cách hồn... ổn định đặc trưng biên tựa ổn định 35 2.4 Thuật toán xác định biên ổn định 39 Chương Ước lượng miền ổn định hệ động lực liên tục 3.1 46 Tập mức đặc trưng điểm cân không ổn định