ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 12 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 14 Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.1 Tính ổn định hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.2 Tính bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 20 Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 26 3.1 Tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 26 3.2 Tính bị chặn hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 31 LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây, giải tích phân thứ hệ phương trình vi phân phân thứ nhận nhiều quan tâm nghiên cứu nhà khoa học ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nhiều hệ thống kỹ thuật, chẳng hạn hệ thống viscoelastic, phân cực điện môi (dielectric polarization), phân cực điện cực (the electrode-electrolyte polarization), mơ hình mạng nơ ron, mơ tả tốt chi tiết hệ phương trình vi phân phân thứ [4, 6, 13] Như biết tính ổn định tính chất quan trọng hệ động lực Do tốn nghiên cứu tính ổn định theo nghĩa Lyapunov hệ phương trình vi phân phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều cơng trình chất lượng cơng bố tạp chí quốc tế uy tín năm gần (xem [5, 7, 11] tài liệu tham khảo đó) Trong ứng dụng thực tế, ta cần phải xem xét dáng điệu véc tơ trạng thái hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ thời gian hữu hạn, giá trị lớn véc tơ trạng thái chấp nhận M.P Lazarevi´c cộng [9, 10] tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ Khác với tốn ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái hệ phương trình vi phân phân thứ khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái khoảng thời gian hữu hạn Một số kết thú vị tốn nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn thời gian hữu hạn cơng bố tạp chí quốc tế uy tín cho số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ [3, 14, 15], lớp hệ tuyến tính phân thứ [13], lớp hệ phân thứ có trễ [12] Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [4, 5, 7, 8] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian của lớp hệ tuyến tính phân thứ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [13] Trong chương luận văn, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến Kết mở rộng kết báo [13] Đây nội dung nghiên cứu luận văn LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn hướng dẫn nhiệt tình q thầy động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Với tình cảm chân thành, xin gửi lời cảm ơn đến tồn thể q thầy khoa Tốn - Tin khoa sau đại học Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người hướng dẫn khoa học TS Mai Viết Thuận, người tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ, động viên suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến Hiệu trưởng toàn thể thầy, cô giáo trường THPT Thanh Lâm tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tôi xin dành tất yêu thương lời cảm ơn vô hạn tới gia đình, bố mẹ, cơ, cậu, anh chị, em người thân niềm động viên mạnh mẽ giúp thực hiên luận văn Xin chân thành cảm ơn! Danh mục ký hiệu R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) p λmax (A> A) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [4, 5, 7, 8] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lí sau Định lý 1.1 ([4]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([4]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa hàm Mittag-Leffler Định nghĩa 1.2 [7] Cho α ∈ C, hàm Eα : C −→ C xác định Eα (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + 1) gọi hàm Mittag-Leffler tham số Nhận xét 1.1 Trong Định nghĩa 1.2, cho α = 1, ta có E1 (z) = +∞ X k=0 +∞ X zk zk = = ez Γ(k + 1) k! k=0 Do hàm Mittag-Leffler mở rộng khái niệm hàm mũ Định nghĩa 1.3 [7] Cho α, β ∈ C, hàm Eα,β : C −→ C xác định Eα,β (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + β) gọi hàm Mittag-Leffler hai tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức Eα,β (A) = +∞ X k=0 Ak , ∀A ∈ Rn×n Γ(αk + β) Các tính chất hàm Mittag-Leffler tham số, hai tham số trình bày chi tiết sách chuyên khảo Kilbas A.A [8] 8 1.1.2 Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.4 ([7]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn dn := n t0 Itn−α x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := dαe số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) 1, t ≥ f (t) = 0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.4, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: n AC [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (D n−1 f )(t) ∈ AC[a, b] d D= } dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] ... 14 Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.1 Tính ổn định hữu hạn thời gian lớp hệ tuyến tính phân thứ 16 2.2 Tính bị chặn hữu hạn thời gian lớp. .. lớp hệ tuyến tính phân thứ 20 Tính ổn định hữu hạn thời gian bị chặn hữu hạn thời gian lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiễu phi tuyến 26 3.1 Tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN VÀ BỊ CHẶN HỮU HẠN THỜI GIAN CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ