ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 9460112.01 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình tơi hồn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án chưa công bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 01 năm 2020 Tác giả Lê Văn Ngọc i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tâm huyết tận tình GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đặt tốn,dạy dỗ, bảo tận tình, chu đáo khơng q trình học tập, nghiên cứu khoa học mà sống suốt trình thực luận án Để hồn thành báo khoa học, bên cạnh giúp đỡ GS hướng dẫn đồng tác giả PGS TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án nhận hỗ trợ động viên GS Trần Vũ Thiệu, PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, tập thể Thầy Cơ giáo mơn Tốn học Tính tốn-Tốn ứng dụng, Xêmina mơn Tốn học Tính tốn- Tốn ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả suốt trình học tập làm luận án Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, Thầy Cơ giáo mơn Tốn đồng nghiệp Khoa Cơ 1, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thông động viên, tạo điều kiện giúp đỡ công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Vũ Ngọc Phát, GS TS Đặng Quang Á, GS TS Cung Thế Anh, PGS Nguyễn Minh Mẫn, PGS TS Lê Văn Hiện, PGS TS Tạ Duy Phượng, PGS TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn Trung Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hoài đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến để tác giả hồn thiện luận án tốt ii Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp toán (VIASM) tạo điều kiện, giúp đỡ khơng bố trí nơi làm việc, hoàn thiện báo với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà cịn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa học thơng qua thưởng cơng trình cho báo vào năm 2020 Bên cạnh tơi xin cảm ơn anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp người quan tâm tới luận án chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập làm nghiên cứu sinh Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới người thân mình: bố, mẹ, vợ, người thân gia đình ln sát cánh, chia sẻ động viên để cố gắng hoàn thành tốt luận án iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vectơ ma trận 1.2 Bài toán ổn định Lyapunov 1.3 Bài toán ổn định vững hệ chịu nhiễu 1.3.1 Tính ổn định vững hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3.2 Tính ổn định vững hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 1.4 Kết luận chương 14 14 22 26 26 28 33 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 34 2.1 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính 34 2.1.1 Tính ổn định vững hệ tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov tồn phương 34 2.1.2 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương 38 2.1.3 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách tiếp cận nguyên lý so sánh nghiệm 45 2.2 2.3 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.2 Cận bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Kết luận chương 56 56 63 73 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN HỒN 74 3.1 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn 74 3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống 76 3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch 86 3.2 Tính ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn 92 3.3 Kết luận chương 103 KẾT LUẬN CHUNG 104 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R, R+ N C C+ Z ı n T K Kn rK Hn Hn+ Rez N Kn × m n×m R+ I kxk x y A B σ Σ det A λ( A) µ( A) A> A∗ λmax ( A) Tập số thực, số thực không âm tương ứng Tập số tự nhiên Tập số phức Tập số phức có phần thực không âm Tập số nguyên Đơn vị ảo Cỡ khơng gian Chu kỳ tuần hồn Tập số thực số phức Không gian vectơ n chiều trường K Bán kính ổn định thực với K = R phức với K = C Tập ma trận Hermit cấp n Tập ma trận Hermit xác định dương Phần thực số phức z Tập số xác định N := {1, 2, , N } Tập ma trận thực phức cỡ n × m Tập ma trận thực khơng âm cỡ n × m Ma trận đơn vị có chiều tương thích Chuẩn vectơ x ∈ Rn xi > yi (∀i ∈ n), với x = ( x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn )> ∈ Rn Các phần tử ma trận A lớn hẳn phần tử tương ứng ma trận B Tín hiệu chuyển mạch hệ chuyển mạch Tập tín hiệu chuyển mạch Định thức ma trận A λ( A) := {λ ∈ C : det(λI − A) = 0}, phổ ma trận vng A µ( A) := max{Reλ : λ ∈ λ( A)}, hoành độ phổ ma trận vuông A Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận phức liên hợp chuyển vị ma trận A Giá trị riêng lớn ma trận A với A λmin ( A) s( A) smax ( A), smin ( A) ρ( A) M( A) k Ak A C ([α, β], Kn ) ma trận đối xứng Hermit Giá trị riêng nhỏ ma trận A với A ma trận đối xứng Hermit Giá trị kỳ dị ma trận A Giá trị kỳ dị lớn nhất, nhỏ ma trận A ρ( A) := max{|λ| : λ ∈ λ( A)}, bán kính phổ ma trận A Ma trận Metzler hóa ma trận A Chuẩn ma trận A Tập ma trận A1 , A2 , , A N hệ chuyển mạch Không gian hàm liên tục đoạn [α, β], nhận giá trị Kn với chuẩn k x k = max k x (t)k α≤t≤ β BV ([α, β], K p×q ) NBV ([−h, 0], K p×q ) QLF CQLF FDEs Tập hàm có biến phân giới nội đoạn [α, β] K p×q Tập hàm thuộc BV ([α, β], K p×q ) thỏa mãn η (θ ) = η (α) = 0, với θ ≤ α η (θ ) = η ( β), với θ ≥ β Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov functions) Hàm Lyapunov toàn phương chung (common quadratic Lyapunov functions) Phương trình vi phân hàm (functional differential equations) MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định phần quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực bắt đầu nghiên cứu cách hệ thống từ năm cuối kỷ XIX nhà toán học Nga A.M Lyapunov phát triển sơi động Tốn học trở thành phận thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Đến năm 60 kỷ XX với phát triển lý thuyết điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tốn ổn định hóa hệ điều khiển Các tốn ổn định điều khiển cho hệ chuyển mạch nhà nghiên cứu lý thuyết ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại tiêu biểu như, Molchanov Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten Narendra, 2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Gokcek, 2004 ( [24]); Lin v Antsaklis, 2005 ă ( [43]) (xem tổng quan ổn định điều khiển hệ chuyển mạch ( [44], [68])) Trong nước, số tác giả quan tâm nghiên cứu ổn định điều khiển hệ chuyển mạch V.N Phat cộng sự, 2006 ( [63]); P.K Anh P.T Linh, 2017 ( [5]) Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng lĩnh vực, chẳng hạn hệ thống khí, ngành cơng nghiệp tơ, điều khiển máy bay, chuyển đổi lượng (xem sách Liberzon 2003 [41], Sun Ge 2011 [71]) Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm số hữu hạn hệ thời gian liên tục rời rạc quy tắc chuyển hệ Dưới biểu diễn tốn học, hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục mô tả phương trình vi phân dạng x˙ = f σ ( x ), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ, (1) K = R K = C, N := {1, 2, , N } tập số, Σ tập hợp hàm khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng thái), σ : [0, +∞) × Kn → N gọi tín hiệu chuyển mạch luật chuyển mạch Trong trường hợp σ hàm phụ thuộc thời gian σ thường giả thiết liên tục phải Ứng với hệ chuyển mạch (1) ta có N hệ dạng x˙ = f k ( x ), k ∈ N, (2) F := { f k ( x ) : k ∈ N } họ hữu hạn trường vectơ liên tục Lipschitz Một toán quan trọng nghiên cứu hệ chuyển mạch tìm điều kiện để hệ chuyển mạch ổn định với luật chuyển mạch ổn định hóa luật chuyển mạch thỏa mãn ràng buộc cho trước Các kết tốn trình bày báo tổng quan (xem Shorten [68] cộng sự, Lin Antsaklis [44]) Các phương pháp sử dụng chủ yếu phương pháp hàm Lyapunov, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) đại số Lie Dưới xin dẫn vài kết tiêu biểu cho trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính Xét hệ chuyển mạch tuyến tính với luật chuyển mạch phụ thuộc thời gian Kn dạng x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ, (3) Aσ(t) ∈ A := { Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ 0, tập hữu hạn cho trước ma trận vng cấp n trường K Khi đó, nghiệm x = hệ chuyển mạch (3) ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch tất hệ x˙ (t) = Ak x (t), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , k ∈ N , (4) có hàm Lyapunov tồn phương chung (gọi tắt CQLF) dạng V ( x ) = x ∗ Px, P ma trận Hermit xác định dương (xem [41]) Nói cách khác, tồn ma trận Hermit xác định dương P thỏa mãn hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính: A∗k P + PAk < 0, k = 1, 2, , N, trường hợp tất ma trận Ak hệ ổn định Hurwitz (tức tất giá trị riêng chúng nằm nửa bên trái mặt phẳng phức) giao hốn đơi (được đưa Narendra Balakrishnan [57]) chuẩn tắc (xem Zhai cộng [76]) đưa dạng ma trận tam giác (tức tồn ma trận không suy biến T cấp n cho tất ma trận T −1 Ak T, k ∈ N ma trận tam giác trên, xem Mori cộng [55]) điều kiện đại số dựa đại số Lie tạo ma trận hệ Ak , k ∈ N (xem Agrachev Liberzon [4]).Tuy nhiên điều kiện đủ điều kiện cần đủ để hệ chuyển mạch tuyến tính ổn định mũ với tín hiệu chuyển mạch Monchanov Pyatnitskiy (xem [56]) đưa tồn hàm Lyapunov V ( x ) chung, V hàm lồi chặt bậc biến x Bên cạnh hướng nghiên cứu hệ chuyển mạch, khía cạnh ổn định vững hệ không chuyển mạch không chắn chứa tham số nhiễu nhận nhiều quan tâm lý thuyết điều khiển hệ thống thập kỷ qua Với hệ ổn định tiệm cận x˙ (t) = A0 x (t), t ≥ 0, người ta đo độ vững cho tính ổn định tiệm cận khái niệm bán kính ổn định, định nghĩa số δ0 ≥ lớn cho hệ nhiễu x˙ (t) = ( A0 + ∆) x (t), t ≥ 0, ổn định tiệm cận với nhiễu ∆ ∈ Kn thỏa mãn k∆k < δ0 Trong trường hợp K = C, công thức thuật tốn tính bán kính ổn định phức Hinrichsen Pritchard đưa năm 1986 (xem [33]) Bài toán tương tự cho bán kính ổn định thực (tức K = R) phức tạp nghiên cứu năm 1995 Qiu cộng [64] Về mặt hình học, bán kính ổn định khoảng cách từ hệ gốc ổn định đến tập tất hệ không ổn định Xuất phát từ quan điểm lý thuyết thực tiễn, vấn đề mô tả tính tốn bán kính ổn định có tầm quan trọng lớn Do đó, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đáng ý nhiễu tổng quát hơn, ví dụ nhiễu có cấu trúc A0 A0 + D∆E đa nhiễu A0 N A0 + ∑ Di ∆i Ei cho nhiều hệ động lực tuyến i =1 tính, bao gồm hệ khơng dừng hệ có trễ, hệ ẩn, hệ dương hệ tuyến tính khơng gian vơ hạn chiều, thời gian liên tục rời rạc Bài toán ổn định vững hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu viết có hệ thống chuyên khảo Hinrichsen Pritchard năm 2005 (xem [35]), ngồi kết thú vị tốn học cịn có danh mục tài liệu tham khảo phong phú Ngoài ra, số kết ổn định vững hệ không dừng nghiên cứu (xem [16], [30], [37], [45]) Một câu hỏi đặt liệu xác định thước đo độ vững (bán kính ổn định) cho hệ chuyển mạch tuyến tính hay khơng? Hơn nữa, làm để mơ tả tính tốn bán kính ổn định đó? Theo chúng tơi, câu hỏi chưa giải quyết, khía cạnh phân tích ổn định vững lớp hệ chuyển mạch nghiên cứu số nhóm tác Liberzon; Y Sun; Letel; Bagherzadeh; Zhang cộng (xem [6], [28], [41], [71], [75], [77]) Luận án trả lời phần cho câu hỏi Phần đầu Chương 2, chúng tơi đưa định nghĩa bán kính ổn định cho hệ chuyển mạch tuyến tính (3) với quy tắc chuyển giả thiết ma trận hệ (4) chịu nhiễu Ak Ak + Dk ∆k Ek , k ∈ N thiết lập số cận cận cho bán kính ổn định Trong số trường hợp đặc biệt, cận đưa cơng thức bán kính ổn định cho số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu khơng có cấu trúc Chúng tơi muốn nhấn mạnh hầu hết cơng trình biết ổn định vững hệ chuyển mạch giả thiết ma trận nhiễu ∆k bị ràng buộc Các kết luận án khơng u cầu giả thiết nói trên, đòi hỏi cách tiếp cận khác biệt Tiếp theo, Chương Luận án nghiên cứu toán ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính mơ tả phương trình vi phân có trễ Trong đó, tốc độ thay đổi trạng thái khơng phụ thuộc vào trạng thái hệ thống mà phụ thuộc vào trạng thái khứ Cho đến nay, hầu hết cơng trình lĩnh vực tập trung vào phân tích độ ổn định cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dạng x˙ (t) = A0σ(t) x (t) + A1σ(t) x (t − h(t)), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (5) h(t) hàm trễ phụ thuộc thời gian với h > cho trước thỏa mãn ≤ h(t) ≤ h, t ≥ (xem [48], [49]) Thông thường, việc nghiên cứu tính ổn định hệ có trễ phương pháp hàm Lyapunov tồn phương chung (CQLF) cổ điển thay phương pháp hàm LyapunovKrasovski (xem, [38, 54, 73]) Để xây dựng hàm Lyapunov-Krasovski chung cho hệ có trễ dạng tổng quát khó Tuy nhiên, trường hợp hệ chuyển mạch tuyến tính dương có trễ, người ta xây dựng hàm Lyapunov đồng dương tuyến tính chung (common linear co-positive Lyapunov function) (tức V ( x ) = ξ > x, ξ ∈ Rn , ξ 0) (xem [46, 50, 72]) Ngồi ra, tính chất phổ ma trận không âm kết lý thuyết hệ dương (xem [9, 18, 25]) sử dụng hiệu để nghiên cứu tính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính dương (xem [7, 19, 20, 53]) Phần cuối Chương 2, dựa cách tiếp cận trên, đưa số tiêu chuẩn ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt mơ tả phương trình vi phân hàm (FDEs) tuyến tính x˙ (t) = A0σ(t) x (t) + Lσ(t) xt , t ≥ 0, σ ∈ Σ, (6) đó, với t ≥ 0, xt (θ ) := x (t + θ ), θ ∈ [−h, 0] Lσ(t) toán tử tuyến tính bị chặn từ C ([−h, 0], Rn ) vào Rn Các tiêu chuẩn thu bao gồm nhiều kết biết (liên quan đến ổn định tiệm cận hệ chuyển mạch trễ rời rạc trễ phân phối) trường hợp đặc biệt Áp dụng kết này, nghiên cứu tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt dạng (6) với luật chuyển liệu hệ A0σ , Lσ chịu nhiễu cấu trúc đưa số ước lượng cho bán kính ổn định Song song với hướng nghiên cứu toán ổn định vững hệ chuyển mạch với quy tắc chuyển bất kỳ, toán ổn định vững lớp tín hiệu chuyển mạch thỏa mãn điều kiện ràng buộc, đặc biệt hệ chuyển mạch tuần hoàn nghiên cứu nhiều Trong thực tế, hệ chuyển mạch tuần hồn đóng vai trị quan trọng, chẳng hạn mạch điện, điều khiển, lọc chuyển đổi hộp số xe đưa Bolzern & Colaneri; Tokarzewski (xem [10,74]) Mơ hình tốn học hệ chuyển mạch với quy tắc chuyển tuần hoàn biểu diễn dạng hệ phương trình vi phân x˙ (t) = A σ (ti−1 ) x ( t ); ti −1 + ` T ≤ t < ti + ` T; t ≥ t0 ; ` = 0, 1, (7) x (t0 ) = x0 ; i ∈ m Hệ (7) biểu diễn dạng hệ chuyển mạch (3) với tín hiệu chuyển mạch σ hàm liên tục phải, tuần hoàn chu kỳ T, khúc từ tập [t0 , +∞) vào tập số N xác định σ(t) = σ (ti−1 ) với t ∈ [ti−1 + ` T, ti + ` T ); i ∈ m; ` = 0, 1, , Aσ(ti−1 ) ∈ A := { Ak ∈ Rn×n , k ∈ N }, t0 < t1 < < tm := t0 + T Chúng xin dẫn số cơng trình nghiên cứu hướng (xem [5, 13–15, 24, 68]), phân tích tính ổn định ổn định hóa hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục thời gian rời rạc tuần hoàn Đến năm 2009, Liberzon Trenn (xem [42]) nghiên cứu đưa kết hệ chuyển mạch suy biến dạng Eσ(t) x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, (8) đó, Eσ(t) tập hữu hạn ma trận suy biến Trong Chương 3, luận án đưa khái niệm bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính (7) với quy tắc chuyển tuần hoàn thiết lập số ước lượng bán kính ổn định tác động nhiễu lên hệ thống thời điểm chuyển mạch Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững ổn định hóa vững lớp hệ chuyển mạch tuyến tính, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov toàn phương chung nhằm đưa tiêu chuẩn ổn định mũ sử dụng chúng để đánh giá tính ổn định vững ổn định hóa vững hệ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu tính ổn định số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính thời gian liên tục với luật chuyển phụ thuộc thời gian chịu nhiễu cấu trúc affine sau đây: • Hệ chuyển mạch tuyến tính x˙ (t) = Aσ(t) x (t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, Aσ(t) ∈ A := { Ak ∈ Kn×n , k ∈ N }, t ≥ • Hệ chuyển mạch tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc eσ(t) x (t), t ≥ 0, σ ∈ Σ, x˙ (t) = A eσ(t) ∈Ae := { Ak + Dk ∆k Ek , ∆k ∈ Klk ×qk , k ∈ N }, t ≥ A • Hệ chuyển mạch có trễ tổng qt mơ tả phương trình vi phân hàm tuyến tính x˙ (t) = A0σ(t) x (t) + Z −h d[ησ(t) (θ )] x (t + θ ), t ≥ 0, σ ∈ Σ • Hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát chịu nhiễu cấu trúc e0 x (t) + x˙ (t) = A σ(t) Z −h d[ηeσ(t) (θ )] x (t + θ ), t ≥ 0, σ ∈ Σ, 10 e0 ∈ Ae := A e : = A + D ∆ k E , ∆ k ∈ Rr k × q k , k ∈ N , A k k k k σ(t) e := ηek := ηk + D1 δk (·) E1 , δk ∈ NBV ([−h, 0], Rsk × pk ), k ∈ N ηeσ(t) (·) ∈ Γ k k • Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn x˙ (t) = A σ (ti−1 ) x ( t ); ti −1 + ` T ≤ t < ti + ` T; t ≥ t0 , x (t0 ) = x0 ; i ∈ m; ` = 0, 1, , Aσ(ti−1 ) ∈ A := { Ak ∈ Rn×n , k ∈ N }; t0 < t1 < < tm := t0 + T • Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống x˙ (t) = ( A σ (ti−1 ) + Dσ (ti−1 ) ∆σ (ti−1 ) Eσ (ti−1 ) ) x ( t ); ti −1 + ` T ≤ t < ti + ` T, x (t0 ) = x0 ; t ≥ t0 ; i ∈ m; ` = 0, 1, • Hệ chuyển mạch với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống thời điểm chuyển mạch x˙ (t) = ( Aσ(ti−1 ) + Dσ(ti−1 ) ∆σ(ti−1 ) Eσ(ti−1 ) ) x (t); t ≥ t0 , ti−1 + δti−1 + ` T ≤ t < ti + δti + ` T; i ∈ m; ` = 0, 1, , x ( t0 ) = x0 Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng phương pháp lý thuyết ổn định phương trình vi phân (lý thuyết hàm Lyapunov, nguyên lý so sánh nghiệm, lý thuyết Floquet), phương pháp giải tích, giải tích hàm đại số tuyến tính (lý thuyết Perron -Frobenius, Định lý Hahn-Banach, biểu diễn Riesz, ) Kết luận án Luận án nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững ổn định hóa vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính thu kết sau: 11 • Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc hệ chuyển mạch tuyến tính với tín hiệu chuyển Đánh giá bán kính ổn định hệ dựa hàm Lyapunov toàn phương chung • Chứng minh số điều kiện đủ ổn định mũ cho hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng quát với tín hiệu chuyển mơ tả phương trình vi phân hàm sử dụng điều kiện thu để đánh giá độ ổn định vững hệ ma trận chịu nhiễu cấu trúc affine • Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc, đánh giá cận bán kính ổn định ổn định hóa vững cho hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn Các kết luận án báo cáo tại: - Xêmina mơn Tốn học tính toán Toán ứng dụng, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội - Các hội thảo Tối ưu Tính tốn khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, 2325/4/2015), lần thứ 14 (Ba Vì, Hà Nội, 21-23/4/2016), lần thứ 15 (Ba Vì, Hà Nội, 20-22/4/2017) lần thứ 17 (Ba Vì, Hà Nội, 18-20/4/2019) - The second Vietnam International Applied Mathematics Conference, HCM City, 12-2017 - Hội nghị Tốn học tồn quốc lần thứ 9, Nha Trang, 8-2018 - European Control Conference, Saint Petersburg, Russia, May 12-15, 2020 Các kết luận án đăng tạp chí Applied Mathematics and Computation (xem [CT1]), IET Control Theory & Applications (xem [CT2]), tiền ấn phẩm (xem [CT3]) Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận kiến nghị, danh mục cơng trình cơng bố danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm không gian định chuẩn, chuẩn tốn tử tuyến tính số kết bổ trợ khác; lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tổng quát, hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ chuyển mạch tổng qt hệ chuyển mạch tuyến tính; tốn ổn định vững hệ 12 chịu nhiễu hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ phương trình vi phân có trễ Chương Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển mạch Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov thiết lập điều kiện đủ ổn định mũ Tiếp theo, sử dụng điều kiện ổn định mũ thu đánh giá độ ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ thơng qua khái niệm bán kính ổn định có cấu trúc Chương Tính ổn định ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn Chúng tơi đưa định nghĩa bán kính ổn định hệ chuyển mạch chịu nhiễu cấu trúc hệ thống nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch Từ đó, chúng tơi đưa đánh giá cận trên/dưới cho bán kính ổn định Tiếp theo chúng tơi đưa khái niệm, định lý ổn định hóa nhanh ổn định hóa chậm hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống 13 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số khái niệm kết biết lý thuyết ổn định hệ động lực nói chung, tốn ổn định vững hệ tuyến tính số kết bổ trợ sử dụng luận án (xem [1, 2, 17, 24, 35, 41, 71]) 1.1 Vectơ ma trận Cho số nguyên dương l, q tập hợp tất ma trận cỡ l × q với phần tử K (K = C K = R) kí hiệu Kl ×q Đối với hai ma trận thực cỡ l × q A = ( aij ) B = (bij ) bất đẳng thức A ≥ B có nghĩa aij ≥ bij với i ∈ l := {1, 2, , l }, j ∈ q := {1, 2, , q} Đặc biệt aij > bij với i ∈ l, j ∈ q ta viết A B thay cho A ≥ B Ma trận A = ( aij ) ∈ Rl ×q gọi ma trận không âm aij ≥ với i ∈ l, j ∈ q (tương tự phát biểu cho vectơ) Ma trận A = ( aij ) gọi đối xứng A = A> = ( a ji ), ma trận chuyển vị A gọi Hermit A = A∗ = ( a¯ ji ), ma trận phức liên hợp chuyển vị A Với x = ( x1 , x2 , , xm )> ∈ Rm P = ( pij ) ∈ Rl ×q ta định nghĩa giá trị tuyệt đối vectơ ma trận sau | x | = (| x1 |, | x2 |, , | xm |)> | P| = (| pij |) Cho trước hai ma trận C D (với kích thước phù hợp) kiểm tra |C + D | ≤ |C | + | D | |CD | ≤ |C || D | Định nghĩa 1.1 (xem [17]) Cho X không gian vectơ trường K Ánh xạ k · k : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau: i) k x k ≥ 0, ∀ x ∈ X, k x k = ⇔ x = 0; ii) kλx k = |λ|k x k, ∀ x ∈ X, ∀λ ∈ K; 14 iii) k x + yk ≤ k x k + kyk, ∀ x, y ∈ X Giá trị k x k gọi chuẩn vectơ x Không gian vectơ X với chuẩn k · k gọi khơng gian định chuẩn kí hiệu ( X, k · k) Một không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Chẳng hạn Kn không gian Banach với chuẩn sau n kxk p = ∑ | xi | p 1p k x k∞ = max | xi | , 1≤ i ≤ n i =1 x = ( x1 , x2 , , xn )> ∈ Kn ≤ p < ∞ Một chuẩn k · k Kn gọi đơn điệu | x | ≤ |y| k x k ≤ kyk với x, y ∈ Kn Từ định nghĩa thấy k · k chuẩn đơn điệu k x k = k| x |k với x ∈ Rn Chú ý chuẩn k · k p Kn với ≤ p ≤ ∞ đơn điệu Trên không gian Kn chuẩn vectơ tương đương, có nghĩa là, k · k1 k · k2 chuẩn xác định khơng gian vectơ Kn tồn số dương α β cho αk x k1 ≤ k x k2 ≤ βk x k1 với x ∈ Kn (xem [36]) Sau đưa số khái niệm ma trận Cho ma trận A ∈ Kn×n ta định nghĩa kí hiệu hồnh độ phổ, bán kính phổ A µ( A) := max{Reλ : λ ∈ λ( A)}, ρ( A) := max{|λ| : λ ∈ λ( A)}, λ( A) := {z ∈ C : det(zI − A) = 0} phổ ma trận A (tập hợp tất giá trị riêng A) Nếu ma trận A ∈ Kn×n ma trận đối xứng (A = A> ) Hermit (A = A∗ ) giá trị riêng A số thực Định nghĩa 1.2 Một ma trận thực cấp n gọi ma trận Metzler phần tử nằm ngồi đường chéo khơng âm Điều có nghĩa ma trận A := aij ∈ Rn×n , i, j ∈ n gọi ma trận Metzler aij ≥ với i, j ∈ n, i 6= j Hơn đưa khái niệm ma trận Metzler hóa kí hiệu M( A) định nghĩa | a | i 6= j ij M( A) = ( aˆ ij ) aˆ ij = (1.1) aii ngược lại 15 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Toán ứng... 33 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 34 2.1 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính 34 2.1.1 Tính ổn định vững hệ tuyến tính: Phương... 45 2.2 2.3 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.2 Cận bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ