Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 9460112.01 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình tơi hồn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 01 năm 2020 Tác giả Lê Văn Ngọc i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tâm huyết tận tình GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đặt toán,dạy dỗ, bảo tận tình, chu đáo khơng q trình học tập, nghiên cứu khoa học mà sống suốt q trình thực luận án Để hồn thành báo khoa học, bên cạnh giúp đỡ GS hướng dẫn đồng tác giả PGS TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án nhận hỗ trợ động viên GS Trần Vũ Thiệu, PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, tập thể Thầy Cơ giáo mơn Tốn học Tính tốn-Tốn ứng dụng, Xêmina mơn Tốn học Tính tốn- Tốn ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả suốt trình học tập làm luận án Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, Thầy Cơ giáo mơn Tốn đồng nghiệp Khoa Cơ 1, Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng ln động viên, tạo điều kiện giúp đỡ công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Vũ Ngọc Phát, GS TS Đặng Quang Á, GS TS Cung Thế Anh, PGS Nguyễn Minh Mẫn, PGS TS Lê Văn Hiện, PGS TS Tạ Duy Phượng, PGS TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn Trung Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hoài đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến để tác giả hoàn thiện luận án tốt ii Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp toán (VIASM) tạo điều kiện, giúp đỡ không bố trí nơi làm việc, hồn thiện báo với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà cịn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa học thơng qua thưởng cơng trình cho báo vào năm 2020 Bên cạnh xin cảm ơn anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp người quan tâm tới luận án chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập làm nghiên cứu sinh Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới người thân mình: bố, mẹ, vợ, người thân gia đình ln sát cánh, chia sẻ động viên để cố gắng hoàn thành tốt luận án iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vectơ ma trận 1.2 Bài toán ổn định Lyapunov 1.3 Bài toán ổn định vững hệ chịu nhiễu 1.3.1 Tính ổn định vững hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3.2 Tính ổn định vững hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 1.4 Kết luận chương 14 14 22 26 26 28 33 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 34 2.1 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính 34 2.1.1 Tính ổn định vững hệ tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương 34 2.1.2 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương 38 2.1.3 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách tiếp cận nguyên lý so sánh nghiệm 45 2.2 2.3 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.2 Cận bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Kết luận chương 56 56 63 73 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN HỒN 74 3.1 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn 74 3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống 76 3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch 86 3.2 Tính ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn 92 3.3 Kết luận chương 103 KẾT LUẬN CHUNG 104 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R, R+ N C C+ Z ı n T K Kn rK Hn Hn+ Rez N Kn × m n×m R+ I x x y A B σ Σ det A λ( A) µ( A) A A∗ λmax ( A) Tập số thực, số thực không âm tương ứng Tập số tự nhiên Tập số phức Tập số phức có phần thực khơng âm Tập số ngun Đơn vị ảo Cỡ khơng gian Chu kỳ tuần hồn Tập số thực số phức Không gian vectơ n chiều trường K Bán kính ổn định thực với K = R phức với K = C Tập ma trận Hermit cấp n Tập ma trận Hermit xác định dương Phần thực số phức z Tập số xác định N := {1, 2, , N } Tập ma trận thực phức cỡ n × m Tập ma trận thực khơng âm cỡ n × m Ma trận đơn vị có chiều tương thích Chuẩn vectơ x ∈ Rn xi > yi (∀i ∈ n), với x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Các phần tử ma trận A lớn hẳn phần tử tương ứng ma trận B Tín hiệu chuyển mạch hệ chuyển mạch Tập tín hiệu chuyển mạch Định thức ma trận A λ( A) := {λ ∈ C : det(λI − A) = 0}, phổ ma trận vuông A µ( A) := max{Reλ : λ ∈ λ( A)}, hoành độ phổ ma trận vuông A Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận phức liên hợp chuyển vị ma trận A Giá trị riêng lớn ma trận A với A λmin ( A) s( A) smax ( A), smin ( A) ρ( A) M( A) A A C ([α, β], Kn ) ma trận đối xứng Hermit Giá trị riêng nhỏ ma trận A với A ma trận đối xứng Hermit Giá trị kỳ dị ma trận A Giá trị kỳ dị lớn nhất, nhỏ ma trận A ρ( A) := max{|λ| : λ ∈ λ( A)}, bán kính phổ ma trận A Ma trận Metzler hóa ma trận A Chuẩn ma trận A Tập ma trận A1 , A2 , , A N hệ chuyển mạch Không gian hàm liên tục đoạn [α, β], nhận giá trị Kn với chuẩn x = max x (t) α≤t≤ β BV ([α, β], K p×q ) NBV ([−h, 0], K p×q ) QLF CQLF FDEs Tập hàm có biến phân giới nội đoạn [α, β] K p×q Tập hàm thuộc BV ([α, β], K p×q ) thỏa mãn η (θ ) = η (α) = 0, với θ ≤ α η (θ ) = η ( β), với θ ≥ β Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov functions) Hàm Lyapunov toàn phương chung (common quadratic Lyapunov functions) Phương trình vi phân hàm (functional differential equations) MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định phần quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực bắt đầu nghiên cứu cách hệ thống từ năm cuối kỷ XIX nhà toán học Nga A.M Lyapunov phát triển sôi động Tốn học trở thành phận khơng thể thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Đến năm 60 kỷ XX với phát triển lý thuyết điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tốn ổn định hóa hệ điều khiển Các tốn ổn định điều khiển cho hệ chuyển mạch nhà nghiên cứu lý thuyết ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại tiêu biểu như, Molchanov Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten Narendra, 2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Gokcek, 2004 ( [24]); Lin v Antsaklis, 2005 ă ( [43]) (xem cỏc tổng quan ổn định điều khiển hệ chuyển mạch ( [44], [68])) Trong nước, số tác giả quan tâm nghiên cứu ổn định điều khiển hệ chuyển mạch V.N Phat cộng sự, 2006 ( [63]); P.K Anh P.T Linh, 2017 ( [5]) Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng lĩnh vực, chẳng hạn hệ thống khí, ngành cơng nghiệp tơ, điều khiển máy bay, chuyển đổi lượng (xem sách Liberzon 2003 [41], Sun Ge 2011 [71]) Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm số hữu hạn hệ thời gian liên tục rời rạc quy tắc chuyển hệ Dưới biểu diễn toán học, hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục mơ tả phương trình vi phân dạng x˙ = f σ ( x ), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ, (1) K = R K = C, N := {1, 2, , N } tập số, Σ tập hợp hàm khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng Bổ đề 3.2 (xem chứng minh tương tự [12], [24]) Nếu có giả thiết ( H4) hệ chuyển mạch (3.3) ổn định hóa chậm Để đo độ ổn định hóa vững chậm hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn với k ∈ N ta xét hàm sau   µ( Ak ) ≥ 0;   γk ( Ak , Dk , Ek ) = (3.37) µ( Ak ) <  −   sup Ek (sI − Ak ) Dk Res≥0 Định lý 3.8 Giả sử hệ chuyển mạch (3.3) chịu nhiễu cấu trúc hệ thống (3.7) thỏa mãn giả thiết ( H4) Khi đó, N ∑ ∆k < max γk ( Ak , Dk , Ek ) (3.38) k∈ N k =1 hệ nhiễu (3.7) cịn ổn định hóa chậm N Chứng minh Giả sử ∑ k =1 ∆k < γk0 ( Ak0 , Dk0 , Ek0 ) = max γk ( Ak , Dk , Ek ) k∈ N Ta cần chứng minh µ( Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 ) < Bằng phương pháp phản chứng.Giả sử ngược lại µ( Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 ) ≥ 0, tồn số s ∈ C : Res ≥ 0, vectơ x0 ∈ Cn , x0 = cho Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 x0 = sIx0 Vì < γk0 ( Ak0 , Dk0 , Ek0 ), µ( Ak ) < nên ma trận (sI − Ak0 ) khả nghịch −1 sI − Ak0 Dk0 ∆k0 Ek0 x0 = x0 (3.39) Từ phương trình (3.39) suy Ek0 x0 = Nhân vào bên trái hai vế phương trình (3.39) với Ek , ta nhận Ek0 sI − Ak0 −1 Dk0 ∆k0 Ek0 x0 = Ek0 x0 Lấy chuẩn hai vế, ta thu Ek0 sI − Ak0 −1 Dk ∆k0 Ek0 x0 ≥ Ek0 x0 N ∑ k =1 ∆k ≥ ∆k0 ≥ Ek0 sI − Ak0 −1 ≥ Dk sup Res≥0 Ek0 sI − Ak0 = γk0 ( Ak0 , Dk0 , Ek0 ) = max γk ( Ak , Dk , Ek ) k∈ N 98 −1 Dk Điều mâu thuẫn với (3.38) Vì µ( Ak0 + Dk0 ∆k0 Ek0 ) < nên theo Bổ đề 3.2 hệ (3.7) ổn định hóa chậm Suy điều phải chứng minh Cuối ta xét hai giả thiết sau đây: (H5) Tồn ma trận B0 ổn định Hurwitz cho M( Ak ) ≤ B0 , k ∈ S ⊂ N n × lk (H6) Tồn ma trận Dk+ ∈ R+ p ×n , Ek+ ∈ R+k l × pk k , ∆+ k ∈ R+ cho | Dk | ≤ Dk+ , | Ek | ≤ Ek+ , |∆k | ≤ ∆+ k , k ∈ S Chứng minh tương tự Định lý 3.7 nhận kết sau tính ổn định hóa vững chậm hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn Định lý 3.9 Giả sử hệ chuyển mạch (3.3) chịu nhiễu cấu trúc hệ thống (3.7) thỏa mãn giả thiết ( H5)-( H6) Khi đó, N ∑ k =1 ∆+ < max k k ∈S Ek+ B0−1 Dk+ (3.40) hệ nhiễu (3.7) cịn ổn định hóa chậm Hệ 3.4 Giả sử điều kiện ( H5)-( H6) thỏa mãn Dk = Ek = I, ∀k ∈ S ⊂ N Khi đó, N ∑ k =1 ∆+ < k B0−1 (3.41) hệ chuyển mạch tuyến tính nhiễu (3.7) cịn ổn định hóa chậm Ví dụ sau minh họa Định lý 3.8 Ví dụ 3.5 Xét hệ chuyển mạch(3.3) với N = m = 2, tín hiệu chuyển mạch 1 T ≤ t < + T; = 0, 1, tuần hoàn xác định σ(t) = 2 + T ≤ t < + T,     −2 0.12 −4 0.01 0.02   −2.02 0.15 −2 1      A1 =   , A2 =  , 0.01 1.01 −2   1.02 −1 0.01 1 −3 0.03 0.11 0.11 −3 99     1 0     D1 =   , E1 = 1 , D2 =   , E2 = 1 0 0 1 Dễ dàng kiểm tra ma trận A1 , A2 Metzler ổn định Hurwitz, ma trận D1 , E1 , D2 , E2 khơng âm nên tính γ1 ( A1 , D1 , E1 ) = γ2 ( A2 , D2 , E2 ) = E1 A1−1 D1 E2 A2−1 D2 = 0.4637, = 1.8460, max γk ( Ak , Dk , Ek ) = max γ1 ( A1 , D1 , E1 ), γ2 ( A2 , D2 , E2 ) = 1.8460 k =1,2 Hệ chuyển mạch (3.3) có ma trận nhiễu cấu trúc tương ứng dạng     −2 + δ1 0.12 + δ1 −4 0.01 0.02   1+δ −2 1  −2.02 δ2 0.15     A1 =  , A =     0.01  1.01 −2  1.02 −1 0.01 + δ1 + δ1 −3 0.03 + δ2 0.11 0.11 + δ2 −3 Hệ nhiễu viết lại dạng A1 = A1 + D1 ∆1 E1 , A2 = A2 + D2 ∆2 E2 với tham số nhiễu ∆1 = δ1 , ∆2 = δ2 thỏa mãn |δ1 | + |δ2 | < 1.8460 theo Định lý 3.8 hệ nhiễu (3.7) cịn ổn định hóa chậm Ví dụ sau minh họa Định lý 3.7 mô đồ thị mô đun giá trị riêng ma trận R, nghiệm hệ trường hợp ổn định hóa nhanh Ví dụ 3.6 Xét hệ chuyển mạch(3.3) với N = m = 2, tín hiệu chuyển mạch 1 T ≤ t < ( + ) T; = 0, 1, tuần hoàn xác định σ(t) = 2 ( + ) T ≤ t < (1 + ) T, T khoảng kích hoạt ∆t1 = ∆t2 = A1 = −3 , D1 = −1 , E1 = −1 ; A2 = −2 , D2 = −1 , E2 = −1 , −1 100 ∆1 = δ1 δ2 , ∆2 = δ3 δ4 với δ1 , δ2 , δ3 , δ4 ∈ R nhiễu chưa √ 17 biết Giá trị riêng ma trận A1 − ± ma trận A2 {0, 1} Chú 2 ý ma trận A1 A2 không ổn định ma trận A1 + A2 lại ổn định Theo Bổ đề 3.1 suy cần tồn T đủ nhỏ hệ (3.3) ổn định hóa nhanh (cụ thể: hệ ổn định mũ với T = không ổn định mũ với T = Theo Bổ đề 3.1 độ lớn giá trị riêng ma trận R hàm theo T vẽ đồ thị đường cong nét mảnh Hình 3.2) abs(eig(R) 0 0.5 1.5 T 2.5 3.5 Hình 3.2: Độ lớn giá trị riêng R Chúng ta kiểm tra giả thiết Định lý 3.7 sau đây: (H2) Tồn ma trận ổn định Hurwitz A0 = −0.5 −0.5 ζ = ζ = , ζ + ζ = cho M( A1 ζ + A2 ζ ) ≤ A0 ; 1×2 + 2×2 (H3) Tồn ma trận Dk+ ∈ R2+×1 , ∆+ k ∈ R+ , Ek ∈ R+ , k = 1, cho | D1 | ≤ D1+ = , |∆1 | ≤ ∆1+ = |δ1 | |δ2 | , | E1 | ≤ E1+ = 101 , | D2 | ≤ D2+ = , |∆2 | ≤ ∆2+ = |δ3 | |δ4 | , | E2 | ≤ E2+ = 1 Ta tính −2 , E1+ A0−1 D2+ = −2 E1+ A0−1 D1+ = E2+ A0−1 D2+ = E2+ A0−1 D1+ = Trong R2 với chuẩn · theo Định lý 3.7 hệ nhiễu (3.7) ổn định hóa nhanh max{|δ1 |, |δ2 |} + max{|δ3 |, |δ4 |} < 0.5 Vì chọn tham số δ1 = 0.15, δ2 = 0.1, δ3 = 0.17, δ4 = −0.25 thỏa mãn max{|δ1 |, |δ2 |} + max{|δ3 |, |δ4 |} < 0.5 hệ nhiễu (3.7) ổn định hóa nhanh Hơn nữa, trường hợp quỹ đạo nghiệm hệ chuyển mạch ổn định mũ với T = không ổn định mũ với T = hiển thị Hình 3.3 Hình 3.4 Switching 100 $x1(t)$ $x2(t)$ 50 −50 −100 −150 10 Time(sec) Hình 3.3: Đồ thị nghiệm hệ chuyển mạch ổn định mũ chịu nhiễu cấu trúc với T = 102 Switching 14000 $x1(t)$ $x2(t)$ 12000 10000 8000 6000 4000 2000 −2000 10 Time(sec) Hình 3.4: Đồ thị nghiệm hệ chuyển mạch khơng ổn định chịu nhiễu với T = 3.3 Kết luận chương Trong chương này, đưa khái niệm bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch, thu ước lượng cận bán kính ổn định Trường hợp đặc biệt hệ nhiễu không cấu trúc luận án nhận cơng thức bán kính ổn định phức với ma trận Metzler, ổn định Hurvitz có vectơ chung ứng với giá trị riêng lớn ma trận hệ Cuối luận án đưa khái niệm ổn định hóa nhanh, ổn định hóa chậm Chúng đánh giá chặn nhiễu để hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn cịn ổn định hóa nhanh ổn định hóa chậm 103 KẾT LUẬN CHUNG Kết đạt luận án Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững ổn định hóa vững số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính Luận án thu kết sau: • Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển Đưa đánh giá bán kính ổn định hệ dựa hàm Lyapunov chung • Chứng minh số điều kiện đủ ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ tổng qt mơ tả phương trình vi phân phiếm hàm sử dụng điều kiện đánh giá độ ổn định vững hệ ma trận hệ chịu nhiễu cấu trúc affine • Đưa khái niệm bán kính ổn định cấu trúc cho hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn đưa đánh giá bán kính ổn định Hướng nghiên cứu • Mở rộng kết luận án cho hệ thống chuyển mạch mơ tả phương trình sai phân, phương trình thang thời gian, phương trình vi phân đại số hệ vơ hạn chiều • Xây dựng đánh giá tính ổn định vững với giả thiết nhẹ lớp nhiễu tổng quát • Xây dựng thuật tốn đánh giá tính bán kính ổn định 104 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [CT1] Thuan D.D., Ngoc L.V (2019), "Robust stability and robust stabilizability for periodically switched linear systems", Applied Mathematics and Computation 361(15), pp 112-130 (SCIE-Q1) [CT2] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "On robust stability of switched linear systems", IET Control Theory & Applications 14, pp 19-29 (SCI-Q1) [CT3] Son N.K., Ngoc L.V (2020), "Robustness of stability of general timedelay switched linear systems" (gửi đăng tạp chí ISI) 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO [*] Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục Hà nội [2] Phạm Hữu Anh Ngọc (2018), Ổn định mũ phương trình vi phân phiếm hàm, NXB Đại học Quốc gia TPHCM [3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [*] Tiếng Anh [4] A.A Agrachev, D Liberzon (2001), "Lie-algebraic stability criteria for switched systems", SIAM Journal on Control and Optimization 40, pp 253269 [5] P.K Anh, P.T Linh (2017), "Stability of periodically switched discretetime linear singular systems", Journal of Difference Equations and Applications 23, pp 1680-1693 [6] M.A.Bagherzadeh, J.Ghaisari, J.Askari (2016), "Robust exponential stability and stabilisation of parametric uncertain switched linear systems under arbitrary switching", IET Control Theory and Applications 10, pp 381390 [7] F Blanchini, P Colaneri, M E Valcher (2015), Switched positive linear systems, Foundations and Trends in Systems and Control 2, pp 101-273 [8] R Bhatia (1997), Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York [9] A Berman, R.J Plemmons (1979), Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, New York 106 [10] P Bolzern, P Colaneri (2013), "Switched periodic systems in discrete time: stability and input-output norms", International Journal of Control 86, pp 1258-1268 [11] S Boyd, L Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press, New York [12] M.S Branicky (1998), "Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems", IEEE Transactions on automatic control 43, pp 475-482 [13] X Dai, Y Huang, M Xiao (2011),"Periodically switched stability induces exponential stability of discrete-time linear switched systems in the sense of Markovian probabilities", Automatica 47, pp 1512-1519 [14] X Dai (2014), "Robust periodic stability implies uniform exponential stability of Markovian jump linear systems and random linear ordinary differential equations", J Franklin Inst 351, pp 2910-2937 [15] X Dai, Y Huang, M Xiao (2015), "Pointwise stability of discrete-time stationary matrix-valued Markovian processes", IEEE Transactions on automatic control 60, pp 1898-1903 [16] N.H Du, V.H Linh (2006), "Stability radii for linear time-varying differential–algebraic equations with respect to dynamic perturbations", Journal of Differential Equations 230(2),pp 579-599 [17] S Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, Springer Verlag, New York [18] L Farina, S Rinaldi (2000), Positive Linear Systems: Theory and Applications, Wiley-Interscience, Series on Pure and Applied Mathematics, New York [19] L Fainshil , M Margaliot , P Chigansky (2009), "On the stability of positive linear switched systems under arbitrary switching laws", IEEE Trans Automat Control 54, pp 897–899 [20] E Fornasini , M.E Valcher (2010), "Linear copositive Lyapunov functions for continuous-time positive switched systems", IEEE Trans Automat Control 55, pp 1933-1937 107 [21] Z.Gajic, M.Tahir, J.Qureshi (1995), Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control, Academic Press, San Diego [22] X Gao, D Liberzon, J Liu, T Basar (2018), "Unified stability criteria for slowly time-varying and switched linear systems", Automatica 96, pp 110-120 [23] J.C Geromel, P Colaneri (2006), "Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems", SIAM J Control Optim 45, pp 1915-1930 ă [24] C Gokcek (2004), "Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory", Math Prob Eng 1, pp 1-10 [25] W.M Haddad, V Chellaboina (2004), "Stability theory for nonnegative and compartmental dynamical systems with time delay", Systems Control Lett 51, pp 355-361 [26] W.M Haddad, V Chellaboina (2008), Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach, Princeton university press, Princeton [27] J Hale, S V Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [28] L Hetel (2007), Robust stability and control of switched linear systems , PhD Thesis, TU Eindhoven [29] E Hewitt, K.R Stromberg (1965), Real and Abstract Analysis, SpringerVerlag, New York [30] D Hinrichsen, A Ilchmann, A.J Pritchard (1989), "Robustness of stability of time-varying linear systems", Journal of Differential Equations, 82(2), 219-250 [31] D.Hinrichsen, B.Kelb, A Linnemann (1989), "An algorithm for the computation of the structured complex stability radius", Automatica 25(5), pp 771-775 [32] D.Hinrichsen, N.K.Son (1998), "Stability radii of positive discrete-time systems under parameter perturbations", International Journal of Robust and Nonlinear Control 4, pp 1169-1188 108 [33] D.Hinrichsen, A.J.Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters 7, pp 1-10 [34] D Hinrichsen, A.J Pritchard (1986), "Stability radii of linear systems", Systems & Control Letters 8, pp 105-113 [35] D Hinrichsen, A.J Pritchard (2005), Mathematical Systems Theory I, Springer, Berlin [36] R.A Horn, C.R Johnson (1985), Matrix Analysis, Cambridge Unviversity Press, London (1985) [37] B Jacob (1998), "A formula for the stability radius of time-varying systems", Journal of Differential Equations 142, pp 167-187 [38] S Kim, S.A Campbell, X Liu (2006), "Stability of a class of linear switching systems with time delay", IEEE Trans Circuits Syst 53, pp 384-393 [39] A Kundu, D Chatterjee (2015), "Stabilizing switching signals for switched system", IEEE Trans Automat Control 60, pp 882-888 [40] T.J.Laffey, H.Smigoc (2009), "Common Lyapunov solutions for two matrices whose difference has rank one", Linear Algebra and its Applications 431, pp 228-240 [41] D Liberzon (2003), Switching in Systems and Control, Birkhauser, Boston [42] D Liberzon, S Trenn (2009), "On stability of linear switched differential algebraic equations", Proc IEEE 48th Conf Decision Control, pp 21562161 [43] H.Lin, P.J Antsaklis (2005), "Stability and stabilizability of switched linear systems: A short survey of recent results", Proc IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation Intelligent Control, pp 24-29 [44] H.Lin, P.J Antsaklis (2009), "Stability and stabilizability of switched linear systems: A survey of recent results", IEEE Trans Automat Control 54, pp 308-332 [45] V.H Linh, D.D Thuan (2015), "Spectrum-based robust stability analysis of linear delay differential-algebraic equations", In Numerical Algebra, 109 Matrix Theory, Differential-Algebraic Equations and Control Theory, pp 533557 [46] X Liu, C Dang (2011), "Stability analysis of positive switched linear systems with delays", IEEE Trans Automat.Control 56, pp 1684-1690 [47] L Liu, Q Zhou , H Liang, L Wang (2017), "Stability and stabilization of nonlinear switched systems under average dwell time", Appl Math Comput 298, pp 77-94 [48] Y Li, Y Sun , F Meng (2017), "New criteria for exponential stability of switched time-varying systems with delays and nonlinear disturbances", Nonlinear Anal Hybrid Syst 26, pp 284-291 [49] Y Li, Y Sun, F Meng, Y Tian (2018), "Exponential stabilization of switched time-varying systems with delays and disturbances", Appl Math Comput 324, pp 131-140 [50] X Liu, W Yu, L Wang (2010), "Stability analysis for continuous-time positive systems with time-varying delays", IEEE Trans Automat Control 55, pp 1024 -1028 [51] C King, M Nathanson (2006), "On the existence of a common quadratic Lyapunov function for a rank one difference", Linear Algebra and its Applications 419, pp 400-416 [52] O.Mason, R.N Shorten (2006), "On the simultaneous diagonal stability of a pair of positive linear systems", Linear Algebra and its Applications 23, pp 13-23 [53] O Mason, R Shorten (2007), "On linear copositive Lyapunov functions and the stability of switched positive linear systems", IEEE Trans Automat.Control 52, pp 1346-1349 [54] Z Meng, W Xia, K H Johansson, S Hirche (2017), "Stability of Positive Switched Linear Systems: Weak Excitation and Robustness to TimeVarying Delay", IEEE Trans Automat Control 62, pp 399-405 [55] Y Mori, T Mori, Y.Kuroe (1997), "A solution to the common Lyapunov function problem for continuous-time systems", Proceedings of the 36th Conference on Decision and Control, (San Diego, California) pp 3530-3531 110 [56] A P Molchanov, E.S.Pyatnitskiy (1989), "Criteria of asymptotic stability of differential and difference inclusions encountered in control theory", Systems Control Lett 13, pp 59-64 [57] K S Narendra, J Balakrishnan (1994), "A common Lyapunov function for stable LTI systems with commuting A-matrices", IEEE Transactions on automatic control 39, pp 2469-2471 [58] P H A Ngoc (2013), "Novel criteria for exponential stability of functional differential equations", Proc American Math Soc 141, pp 3083-3091 [59] P H A Ngoc, T Naito, J S Shin (2007), " Characterizations of positive linear functional differential equations", Funkc Ekvacioj 50, pp - 17 [60] P H A Ngoc, N K Son (2005), "Stability radii of positive linear functional differential equations under multi-perturbations", SIAM J Control and Optimization 43, pp 2278-2295 [61] R V Patel, M Toda (1980), "Quantitative measures of robustness for multivariable systems", Proceedings of Joint Automatic Control Conference, San Francisco, CA [62] P Peleties, R A DeCarlo (1991), "Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov-like functions", Proceedings of the American Control Conference, IEEE, New Jersey, pp 1679-1684 [63] V.N Phat, S Pairote (2006), "Global stabilization of linear periodically time-varying switched systems via matrix inequalities", Journal of Control Theory and Applications 4, pp 26-31 [64] L Qiu, B Bernhardsson, A Rantzer, E J Davison, P M Young, J C Doyle (1995), "A formula for computation of the real structured stability radius", Automatica 31, pp 879-890 [65] N K Son, D Hinrichsen (1996), "Robust stability of positive continuoustime systems", Numerical functional analysis and optimization 17, pp.649659 [66] N.K Son, P H A Ngoc (1999), "Robust stability of positive linear time delay systems under affine parameter perturbations", Acta Mathematica Vietnamica 24 (3), pp.353-372 111 [67] N K Son, P H A Ngoc (2001),"Robust stability of linear functional differential equations", Advanced Studies in Contemporary Mathematics (Pusan) 3, pp.43-59 [68] R Shorten, F Wirth, F Mason, K Wulff, C King (2007), "Stability criteria for switched and hybrid systems", SIAM Review 47, pp 545-592 [69] R Shorten, K S Narendra (2002), "Necessary and sufficient conditions for the existence of a common quadratic Lyapunov function for a finite number of stable second order linear time invariant systems", Inter J Adapt Control Signal Process 16, pp 709-728 [70] J Sreedhar, P Van Dooren, A Tits ( 1996), "A fast algorithm to compute the real stability radius", Stability Theory Birkhauser, Basel pp 219-231 [71] Z Sun, S S Ge (2011), Stability Theory of Switched Dynamical Systems, Springer, London [72] Y Sun (2016), "Stability analysis of positive switched systems via joint linear copositive Lyapunov functions", Nonlinear Anal Hybrid Syst 19, pp 146-152 [73] X Sun, W Wang, G Liu, J Zhao (2008), "Stability analysis for linear switched systems with time-varying delay", IEEE Trans Syst Man, Cyber Part B: Cyber 38, pp 528-533 [74] J Tokarzewski (1987), "Stability of periodically switched linear systems and the switching frequency", International Journal of Systems Science 18, pp 697-726 [75] Q.Yu, B.Wu (2013), "Robust stability analysis of uncertain switched linear systems with unstable subsystems", International Journal of Systems Science 21, pp 1-11 [76] G Zhai, X Xu, H Lin, A N Michel (2006), "Analysis and design of switched normal systems", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 12, pp 2248-2259 [77] L Zhang, P Shi, M Basin (2007), "Robust stability and stabilisation of uncertain switched linear discrete time-delay systems", IET Control Theory and Applications 2, pp 606-614 112 ... 33 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 34 2.1 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính 34 2.1.1 Tính ổn định vững hệ tuyến tính: Phương... 56 63 73 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN HỒN 74 3.1 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn... chuyển mạch tổng qt hệ chuyển mạch tuyến tính; tốn ổn định vững hệ 12 chịu nhiễu hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ phương trình vi phân có trễ Chương Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính