Tính ổn định và ổn định vững của một số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LÊ VĂN NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 9460112.01 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình tơi hồn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS TSKH Phạm Kỳ Anh Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án chưa công bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 01 năm 2020 Tác giả Lê Văn Ngọc i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tâm huyết tận tình GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn GS TSKH Phạm Kỳ Anh Đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Giáo sư đặt tốn,dạy dỗ, bảo tận tình, chu đáo khơng q trình học tập, nghiên cứu khoa học mà sống suốt trình thực luận án Để hồn thành báo khoa học, bên cạnh giúp đỡ GS hướng dẫn đồng tác giả PGS TS Đỗ Đức Thuận, tác giả luận án nhận hỗ trợ động viên GS Trần Vũ Thiệu, PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, ThS Nguyễn Huyền Mười Nghiên cứu sinh xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn-Cơ-Tin học, tập thể Thầy Cơ giáo mơn Tốn học Tính tốn-Tốn ứng dụng, Xêmina mơn Tốn học Tính tốn- Tốn ứng dụng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả suốt trình học tập làm luận án Tác giả xin cảm ơn đến Ban Lãnh đạo Học viện, Ban chủ nhiệm Khoa, Thầy Cơ giáo mơn Tốn đồng nghiệp Khoa Cơ 1, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thông động viên, tạo điều kiện giúp đỡ công tác để nghiên cứu sinh tập trung hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Vũ Ngọc Phát, GS TS Đặng Quang Á, GS TS Cung Thế Anh, PGS Nguyễn Minh Mẫn, PGS TS Lê Văn Hiện, PGS TS Tạ Duy Phượng, PGS TS Nguyễn Sinh Bảy, TS Nguyễn Trung Hiếu, TS Hà Phi, TS Nguyễn Thị Hoài đọc luận án đóng góp nhiều ý kiến để tác giả hồn thiện luận án tốt ii Tác giả chân thành cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp toán (VIASM) tạo điều kiện, giúp đỡ khơng bố trí nơi làm việc, hoàn thiện báo với Thầy hướng dẫn năm 2018 mà cịn hỗ trợ kính phí nghiên cứu khoa học thơng qua thưởng cơng trình cho báo vào năm 2020 Bên cạnh tơi xin cảm ơn anh, chị, em, nghiên cứu sinh, bạn bè, đồng nghiệp người quan tâm tới luận án chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập làm nghiên cứu sinh Đặc biệt, tác giả dành lời cảm ơn sâu sắc tới người thân mình: bố, mẹ, vợ, người thân gia đình ln sát cánh, chia sẻ động viên để cố gắng hoàn thành tốt luận án iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vectơ ma trận 1.2 Bài toán ổn định Lyapunov 1.3 Bài toán ổn định vững hệ chịu nhiễu 1.3.1 Tính ổn định vững hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.3.2 Tính ổn định vững hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 1.4 Kết luận chương 14 14 22 26 26 28 33 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 34 2.1 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính 34 2.1.1 Tính ổn định vững hệ tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov tồn phương 34 2.1.2 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính: Phương pháp hàm Lyapunov toàn phương 38 2.1.3 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính: Cách tiếp cận nguyên lý so sánh nghiệm 45 2.2 2.3 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.2 Cận bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Kết luận chương 56 56 63 73 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN HỒN 74 3.1 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn 74 3.1.1 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu cấu trúc hệ thống 76 3.1.2 Hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn chịu nhiễu hệ thống thời điểm chuyển mạch 86 3.2 Tính ổn định hóa vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hoàn 92 3.3 Kết luận chương 103 KẾT LUẬN CHUNG 104 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 BẢNG KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R, R+ N C C+ Z ı n T K Kn rK Hn Hn+ Rez N Kn × m n×m R+ I x x y A B σ Σ det A λ( A) µ( A) A A∗ λmax ( A) Tập số thực, số thực không âm tương ứng Tập số tự nhiên Tập số phức Tập số phức có phần thực khơng âm Tập số ngun Đơn vị ảo Cỡ khơng gian Chu kỳ tuần hồn Tập số thực số phức Không gian vectơ n chiều trường K Bán kính ổn định thực với K = R phức với K = C Tập ma trận Hermit cấp n Tập ma trận Hermit xác định dương Phần thực số phức z Tập số xác định N := {1, 2, , N } Tập ma trận thực phức cỡ n × m Tập ma trận thực khơng âm cỡ n × m Ma trận đơn vị có chiều tương thích Chuẩn vectơ x ∈ Rn xi > yi (∀i ∈ n), với x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Các phần tử ma trận A lớn hẳn phần tử tương ứng ma trận B Tín hiệu chuyển mạch hệ chuyển mạch Tập tín hiệu chuyển mạch Định thức ma trận A λ( A) := {λ ∈ C : det(λI − A) = 0}, phổ ma trận vng A µ( A) := max{Reλ : λ ∈ λ( A)}, hoành độ phổ ma trận vuông A Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận phức liên hợp chuyển vị ma trận A Giá trị riêng lớn ma trận A với A λmin ( A) s( A) smax ( A), smin ( A) ρ( A) M( A) A A C ([α, β], Kn ) ma trận đối xứng Hermit Giá trị riêng nhỏ ma trận A với A ma trận đối xứng Hermit Giá trị kỳ dị ma trận A Giá trị kỳ dị lớn nhất, nhỏ ma trận A ρ( A) := max{|λ| : λ ∈ λ( A)}, bán kính phổ ma trận A Ma trận Metzler hóa ma trận A Chuẩn ma trận A Tập ma trận A1 , A2 , , A N hệ chuyển mạch Không gian hàm liên tục đoạn [α, β], nhận giá trị Kn với chuẩn x = max x (t) α≤t≤ β BV ([α, β], K p×q ) NBV ([−h, 0], K p×q ) QLF CQLF FDEs Tập hàm có biến phân giới nội đoạn [α, β] K p×q Tập hàm thuộc BV ([α, β], K p×q ) thỏa mãn η (θ ) = η (α) = 0, với θ ≤ α η (θ ) = η ( β), với θ ≥ β Hàm Lyapunov toàn phương (quadratic Lyapunov functions) Hàm Lyapunov tồn phương chung (common quadratic Lyapunov functions) Phương trình vi phân hàm (functional differential equations) MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định phần quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực bắt đầu nghiên cứu cách hệ thống từ năm cuối kỷ XIX nhà toán học Nga A.M Lyapunov phát triển sôi động Tốn học trở thành phận khơng thể thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Đến năm 60 kỷ XX với phát triển lý thuyết điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tốn ổn định hóa hệ điều khiển Các tốn ổn định điều khiển cho hệ chuyển mạch nhà nghiên cứu lý thuyết ứng dụng đặc biệt quan tâm từ 30 năm trở lại tiêu biểu như, Molchanov Pyatnitskiy 1989 ( [56]); Shorten Narendra, 2002 ( [69]); Liberzon, 2003 ( [41]); Gokcek, 2004 ( [24]); Lin v Antsaklis, 2005 ă ( [43]) (xem cỏc bi tổng quan ổn định điều khiển hệ chuyển mạch ( [44], [68])) Trong nước, số tác giả quan tâm nghiên cứu ổn định điều khiển hệ chuyển mạch V.N Phat cộng sự, 2006 ( [63]); P.K Anh P.T Linh, 2017 ( [5]) Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng lĩnh vực, chẳng hạn hệ thống khí, ngành công nghiệp ô tô, điều khiển máy bay, chuyển đổi lượng (xem sách Liberzon 2003 [41], Sun Ge 2011 [71]) Hệ chuyển mạch thuộc lớp hệ động lực lai gồm số hữu hạn hệ thời gian liên tục rời rạc quy tắc chuyển hệ Dưới biểu diễn toán học, hệ thống chuyển mạch thời gian liên tục mơ tả phương trình vi phân dạng x˙ = f σ ( x ), t ≥ 0, x (t) ∈ Kn , σ ∈ Σ, (1) K = R K = C, N := {1, 2, , N } tập số, Σ tập hợp hàm khúc (có thể phụ thuộc vào biến thời gian và/hoặc biến trạng ... 33 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN BẤT KỲ 34 2.1 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính 34 2.1.1 Tính ổn định vững hệ tuyến tính: Phương... 56 63 73 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC VỮNG CỦA HỆ CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH VỚI QUY TẮC CHUYỂN TUẦN HỒN 74 3.1 Tính ổn định vững hệ chuyển mạch tuyến tính với quy tắc chuyển tuần hồn... 2.2 2.3 Bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ 2.2.2 Cận bán kính ổn định hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ