Tính ổn định mũ của mạng nơ ron phân thứ khalil có nhiễu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THANH BÌNH TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ KHALIL CÓ NHIỄU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hƣớng dẫn khoa học: TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Dƣơng Toàn THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ Khalil 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil 10 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 14 Chương Tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi 16 2.1 Tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi 16 2.2 Ví dụ minh họa 20 LỜI NÓI ĐẦU Năm 2014, R Khalil [10] cộng đưa loại đạo hàm phân thứ chứa đạo hàm theo nghĩa cổ điển trường hợp đặc biệt Một số tính chất quan trọng đạo hàm phân thứ Khalil quy tắc hàm hợp, hàm mũ, bất đẳng thức Gronwall, cơng thức tính tích phân phần tích phân phân thứ Khalil, mở rộng chuỗi lũy thừa Talor biến đổi Laplace trình bày cách hệ thống cơng trình T Abdeljawad [1] Một số nhà khoa học đạo hàm tích phân phân thứ Khalil có nhiều ứng dụng vật lý kỹ thuật Do đạo hàm tích phân phân thứ Khalil trở thành chủ đề quan trọng nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học [12, 15] Chẳng hạn, tốn nghiên cứu tính ổn định ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính phân thứ Khalil nghiên cứu [15] A.B Makhlouf cộng [12] nghiên cứu toán ổn định thời gian hữu hạn bị chặn thời gian hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính phân thứ Khalil Mạng nơ ron phân thứ Khalil đưa nghiên cứu u tiờn bi A Kă utahyaloglu v F Karakoác [11] vào năm 2021 Bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil [15], tác giả nghiên cứu toán tồn nghiệm, toán ổn định mũ cho mạng nơ ron phân thứ Khalil Sau tác gi [9] m rng kt qu ca A Kă utahyalıoglu F Karako¸c cho mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu cấu trúc Các điều kiện đưa [9] dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải thời gian đa thức hộp công cụ LMI Control Tool box MATLAB Các yếu tố nhiễu thường xuyên xuất mạng nơ ron phân thứ Nó nguyên nhân trực tiếp dẫn đến không ổn định mạng nơ ron Chính việc nghiên cứu tính ổn định mạng nơ ron có nhiễu chủ đề quan trọng nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Theo hiểu biết chúng tơi có số cơng bố mạng nơ ron có nhiễu dạng tổ hợp lồi [8, 14, 17, 18] Tuy nhiên kết đạt mạng nơ ron có bậc ngun Bài tốn nghiên cứu tính ổn định mũ cho mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu tổ hợp lồi chưa nghiên cứu cách đầy đủ Trong luận văn này, đưa tiêu chuẩn giải tốn Đây nội dung nghiên cứu luận văn Luận văn tập trung trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ Khalil Một số bổ đề bổ trợ chúng tơi trình bày cuối chương Nội dung chương viết dựa tài liệu [1, 10, 15] Chương kết nghiên cứu luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi dựa báo chúng tơi cơng bố tạp chí TNU Journal of Science and Technology Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Dương Tồn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn Tα toán tử đạo hàm phân thứ Khalil cấp α Iαa tốn tử tích phân phân thứ Khalil cấp α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày số kiến thức đạo hàm phân thứ Khalil, tích phân phân thứ Khalil Tiếp theo, chúng tơi trình bày tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil phương pháp hàm Lyapunov Nội dung trình bày chương tham khảo tài liệu [1, 10, 15] 1.1 Một số kiến thức tích phân đạo hàm phân thứ Khalil Cho hàm f : [0, +∞) −→ R Khi đạo hàm cấp hàm f t cho df dt (t) = lim f (t+ǫ)−f Một câu hỏi tự nhiên xuất liệu ǫ ǫ→0 ta sử dụng định nghĩa tương tự cho đạo hàm phân thứ cấp α hay khơng, α ∈ (0, 1) tổng qt α ∈ (n, n + 1], n ∈ N Năm 2014, R Khalil cộng giới thiệu loại đạo hàm phân thứ sau Định nghĩa 1.1 [10] Cho hàm f : [0, +∞) −→ R Đạo hàm phân thứ Khalil cấp α định nghĩa sau: f (t + ǫt1−α ) − f (t) , ∀t > 0, α ∈ (0, 1] ǫ→0 ǫ Khi ta nói hàm f α-khả vi Hơn nữa, hàm f α-khả vi (Tα f )(t) = lim khoảng (0, a), với a > lim+ (Tα f )(t) tồn Khi ta định nghĩa t→0 (Tα f )(0) = lim+ (Tα f )(t) t→0 Định lý sau khẳng định hàm f (t) α-khả vi điểm t0 liên tục điểm Định lý 1.1 [10] Nếu hàm f : [0, +∞) −→ R α-khả vi điểm t0 > 0, α ∈ (0, 1) f liên tục điểm t0 Chứng minh Vì f (t0 + ǫt1−α ) − f (t0 ) = lim[f (t0 + ǫ→0 ǫt01−α ) f (t0 +ǫt01−α )−f (t0 ) ǫ ǫ nên ta có f (t0 + ǫt01−α ) − f (t0 ) − f (t0 )] = lim lim ǫ ǫ→0 ǫ→0 ǫ Đặt h = ǫt1−α Khi lim [f (t0 + h) − f (t0 )] = f α (t0 ).0 = h→0 Điều chứng tỏ lim f (t0 + h) = f (t0 ) Do f (t) liên tục t0 h→0 Định lý cho ta số tính chất đạo hàm phân thứ Khalil Định lý 1.2 Cho α ∈ (0, 1) hàm f, g là α−khả vi điểm t > Khi (i) Tα (af + bg) = aTα (f ) + bTα (g), ∀a, b ∈ R, (ii) Tα (fg)= f Tα (g) + gTα (f ), (iii) Tα f g = gTα (f )−f Tα (g) g2 Ngoài ra, f hàm khả vi theo nghĩa thông thường ta có cơng thức sau (Tα f )(t) = t1−α df (t) dt Chứng minh Ta thấy tính chất (i) suy dễ dàng từ định nghĩa đạo hàm phân thứ Khalil Ta chứng minh tính chất cịn lại Trước hết, ta chứng minh (ii) Cố định t > 0, ta có f (t + ǫt1−α )g(t + ǫt1−α ) − f (t)g(t) ǫ→0 ǫ 1−α f (t + ǫt )g(t + ǫt1−α ) − f (t)g(t + ǫt1−α ) = lim ǫ→0 ǫ 1−α f (t)g(t + ǫt ) − f (t)g(t) + lim ǫ→0 ǫ (Tα f g)(t) = lim  f (t + ǫt1−α ) − f (t) g(t + ǫt1−α ) = lim ǫ→0 ǫ g(t + ǫt1−α ) − g(t) + f (t) lim ǫ→0 ǫ = (Tα f )(t) lim g(t + ǫt1−α ) + f (t)(Tα g)(t)  ǫ→0 Vì g liên tục t nên lim g(t + ǫt1−α ) = g(t) Vậy ta có (ii) ǫ→0 Ta chứng minh tính chất (iii) Trước hết, ta chứng tỏ Tα   g = −Tα (g) g21(t) Thật vậy, theo định nghĩa đạo hàm phân thứ Khalil, ta có   = lim Tα ǫ→0 g g(t+ǫt1−α ) − g(t) ǫ g(t) − g(t + ǫt1−α ) = lim ǫ→0 ǫg(t)g(t + ǫt1−α ) g(t + ǫt1−α ) − g(t) = − lim ǫ→0 ǫg(t)g(t + ǫt1−α ) 1 g(t + ǫt1−α ) − g(t) × − T (g) = − lim α ǫ→0 ǫ g(t)g(t + ǫt1−α ) g (t) Sử dụng tính chất (ii), ta có       f 1 Tα = Tα f = f (t)Tα + Tα (f ) g g g g(t) Tα (g) = −f (t) + Tα (f ) g (t) g(t) −f (t)Tα (g) + g(t)Tα (f ) = g (t) Cuối cùng, ta chứng minh tính chất cuối Đặt h = ǫt1−α Suy ǫ = tα−1 h Do f (t + ǫt1−α ) − f (t) (Tα f )(t) = lim ǫ→0 ǫ f (t + h) − f (t) f (t + h) − f (t) 1−α 1−α df = lim = t lim = t (t) h→0 h→0 htα−1 h dt Nhận xét 1.1 Một hàm α−khả vi điểm khơng thiết khả vi theo nghĩa thông thường Chẳng hạn, chọn hàm       f (t) = 3t Vì T 13 f (t) = 1, ∀t > nên T 31 f (0) = lim+ T 31 f (t) = Tuy nhiên df dt (0) không tồn t→0 Định nghĩa 1.2 [10] Cho hàm f : [a, +∞) −→ R Đạo hàm phân thứ Khalil cấp α định nghĩa sau: (Tαa f )(t) f (t + ǫ(t − a)1−α ) − f (t) = lim , ∀t > 0, α ∈ (0, 1] ǫ→0 ǫ Để đơn giản, a = 0, ta viết (Tα f )(t) thay (Tα0 f )(t) Ngoài ra, f α−khả vi khoảng (a, b) ta định nghĩa (Tαa f ) (a) = lim+ (Tαa f ) (t) Chú ý f hàm khả vi theo nghĩa thông thường t→a ta có (Tαa f ) (t) = (t − a)1−α df dt (t) Các tính chất Định lý 1.2 với hàm f Định nghĩa 1.2 cách thay (t − a) t Ví dụ 1.1 Sử dụng Định lý 1.2, ta tính p p−α (i) Tαa ((t  − a) )= p(t − a) , ∀p ∈ R (t−a)α (t−a)α = λeλ α (ii) Tαa eλ α      (t−a)α (t−a)α a = ω cos ω α + C , ω, C ∈ R (iii) Tα sin ω α + C      (t−a)α (t−a)α a (iv) Tα cos ω α + C = −ω sin ω α + C , ω, C ∈ R   α (v) Tαa (t−a) = α Tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa tích phân phân thứ Khalil Định nghĩa 1.3 Cho hàm f : [a, +∞) −→ R Khi tích phân phân thứ Khalil hàm f xác định Z a a α−1 Iα (f )(t) = I1 (t f ) = t a f (s) ds, a ≥ 0, α ∈ (0, 1), s1−α tích phân hiểu theo nghĩa thông thường Để đơn giản, a = 0, ta viết Iα (f )(t) thay Iα0 (f )(t) Khi Iα (f )(t) = R t f (s) s1−α ds Ví dụ 1.2 Sử dụng Định nghĩa 1.3, ta tính √
Rt I 01 t cos t = cos sds = sin t; √
√

I cos t = sin t 15 Bổ đề 1.3 (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z ma trận có số chiều thích hợp, X, Y hai ma trận đối xứng, xác định dương Khi X+Z T Y −1 Z < " X ZT Z −Y # < Bổ đề 1.4 [15] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n ma trận đối xứng, xác định dương x : R+ −→ Rn hàm véc tơ khả vi liên tục Khi ta có đẳng thức sau   Tα xT (t)P x(t) = 2xT (t)P Tα x(t), ∀t ≥ t0 16 Chương Tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi Chương trình bày tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi Ngồi ra, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Nội dung chương viết dựa báo công bố tạp chí TNU Journal of Science and Technology [16] 2.1 Tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi Xét mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi   Tα y(t) = −A(ξ)y(ξ) + W (ξ)g(y(t)), t ≥ 0, (2.1)  y(0) = y , α ∈ (0, 1] cấp phân thứ hệ, y(t) = (y1 (t), y2 (t), , yn (t)) ∈ Rn véc tơ trạng thái hệ, g(y(t)) = (g1 (y1 (t)), g2 (y2 (t)), , gn (yn (t))) ∈ Rn hàm kích hoạt mạng nơ ron, y0 ∈ Rn điều kiện ban đầu Các ma trận A(ξ), W (ξ) thuộc vào đa diện lồi Ω xác định Ω = {[A, W ](ξ) := N X i=1 ξi [Ai , Wi ], N X i=1 ξi = 1, ξi ≥ 0} 17 Ai = diag{ai1 , ai2 , , ain } ∈ Rn (aik > 0, ∀k = 1, 2, , n, i = 1, 2, , N ) ma trận đường chéo xác định dương cho trước, Wi ∈ Rn (i = 1, 2, , N ) ma trận số trước Các hàm gj (.) liên tục, gj (0) = 0, (j = 1, 2, , n), thỏa mãn điều kiện Lipschitz R với số Lipschitz κj > 0: |gj (a) − gj (b)| ≤ κj |a − b|, ∀a, b ∈ R, j = 1, 2, , n (2.2) Định nghĩa 2.1 Hệ (2.1) gọi ổn định mũ bất đẳng thức thỏa mãn tα ky(t)k ≤ Kky0 ke−β α , ∀t ≥ 0, < α ≤ Cho S ∈ Rn×n ma trận đối xứng, nửa xác định dương, P ∈ Rn×n ma trận đối xứng, xác định dương L = diag{κ1 , κ2 , κ3 }, ta ký hiệu P (ξ) = N X ξ i Pi , S = i=1 Ψi (Ai , Wi , Pj ) = " " S 0 # , −ATi Pj − Pj Ai + ǫLT L Pj Wi WiT Pj −ǫI # Điều kiện đủ cho tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi (2.1) cho định lý Định lý 2.1 Hệ (2.1) ổn định mũ tồn ma trận đối xứng, nửa xác định dương S ∈ Rn×n , ma trận đối xứng, xác định dương Pi ∈ Rn×n (i = 1, 2, , N ) số dương ǫ > cho điều kiện thỏa mãn Ψi (Ai , Wi , Pi ) < −S i = 1, 2, , N, Ψi (Ai , Wi , Pj ) + Ψj (Aj , Wj , Pi ) < (2.3a) S, i = 1, , N − 1, j = i + 1, , N N −1 (2.3b) Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau V (t) = V (t, y(t)) = y T (t)P (ξ)y(t), t ≥ 18 Sử dụng tính chất ma trận, ta dễ dàng tính Γ1 ky(t)k2 ≤ V (t, y(t)) ≤ Γ2 ky(t)k2 , ∀t ≥ 0, Γ1 = {λmin (Pi )}, Γ2 = i=1,2, ,N max {λmax (Pi )} Do điều i=1,2, ,N kiện (H1) Định lý 1.4 thỏa mãn Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính đạo hàm phân thứ Khalil cấp α hàm V (t) dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ (2.1) sau Tα V (t) = 2y T (t)P (ξ)Tα y(t)   = y T (t) −P (ξ)A(ξ) − AT (ξ)P (ξ) y(t) + 2y T (t)P (ξ)W (ξ)g(y(t)) (2.4) Sử dụng bất đẳng thức ma trận Cauchy điều kiện (2.2), ta thu 2y T (t)P (ξ)W (ξ)g(y(t)) ≤ ǫ−1 y T (t)P (ξ)W (ξ)W T (ξ)P (ξ)y(t) + ǫg T (y(t))g(y(t)) (2.5) ≤ ǫ−1 y T (t)P (ξ)W (ξ)W T (ξ)P (ξ)y(t) + ǫy T (t)LT Ly(t) Kết hợp điều kiện (2.4) (2.5), ta thu Tα V (t) ≤ y T (t)Ω(ξ)y(t), Ω(ξ) = −P (ξ)A(ξ) − AT (ξ)P (ξ) + ǫ−1 P (ξ)W (ξ)W T (ξ)P (ξ) + ǫLT L Từ suy Tα V (t) ≤ λmax (Ω(ξ)) ky(t)k2 , ∀t ≥ (2.6) Sử dụng Bổ đề Schur, điều kiện Ω(ξ) < tương đương với điều kiện H(ξ) = " H11 (ξ) P (ξ)W (ξ) W T (ξ)P (ξ) −ǫI H11 (ξ) = −P (ξ)A(ξ) − AT (ξ)P (ξ) # < 0, 19 Từ biểu diễn P (ξ) = H(ξ) = ξi Pi , A(ξ) = i=1 1, ξi ≥ 0, ta có N X N P N P ξi Ai , W (ξ) = N −1 X N X ξ i Wi , i=1 i=1 ξi2 Ψi (Ai , Wi , Pi )+ N P N P ξi = i=1 ξi ξj [Ψi (Ai , Wi , Pj ) + Ψj (Aj , Wj , Pi )] i=1 j=i+1 i=1 Từ điều kiện (2.3a) (2.3b), ta thu ước lượng sau N −1 N X X + H(ξ) ≤ − ξi ξj S N − i=1 i=1 j=i+1 " N # N −1 X N X X ξi2 + = − ξi ξj S N − i=1 i=1 j=i+1 N X ξi2 S Từ điều kiện (N − 1) N X ta có i=1 " − ξi2 −2 N X i=1 N −1 X N X ξi ξj = N −1 N X i=1 j=i+1 i=1 j=i+1 ξi2 + N −1 X N −1 X N X i=1 j=i+1 (ξi − ξj )2 ≥ 0, # ξi ξj S < 0, điều suy Ω(ξ) < thỏa mãn điều kiện (2.3a) (2.3b) thỏa mãn Vì Ω(ξ) < nên tồn số θ > cho T α V (t) ≤ −θky(t)k2 , ∀t ≥ Do điều kiện (H2) (H3) Định lý 1.4 thỏa mãn Do hệ (2.1) ổn định mũ Nhận xét 2.1 Lưu ý tất kết có tốn ổn định mũ hệ động lực có nhiễu dạng tổ hợp lồi tập trung vào hệ động lực với đạo hàm bậc nguyên [3, 7, 8, 13], số cơng trình nghiên cứu tốn cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [2, 5], chưa có kết nghiên cứu toán cho hệ động lực với đạo hàm phân thứ Khalil Định lý 2.1 đưa tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ mạng nơ ron phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi lần 20 Khi N = 1, hệ (2.1) trở thành   Tα y(t) = −Ay(t) + W g(y(t)), t ≥ 0,  y(0) = y (2.7) Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 2.1 Hệ 2.1 Hệ (2.7) ổn định mũ tồn ma trận đối xứng, nửa xác định dương S ∈ Rn×n , ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n số dương ǫ > cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn # " −AT P − P A + ǫLT L + S P W WTP −ǫI < (2.8) Nhận xét 2.2 Các tác giả [11] đưa điều kiện ổn định mũ cho hệ (2.7) thông qua phần tử ma trận Trong kết chúng tôi, điều kiện ổn định Hệ 2.1 thiết lập dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải số thuật tốn điểm trong tối ưu lồi thời gian đa thức 2.2 Ví dụ minh họa Trong mục này, chúng tơi đưa hai ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Ví dụ 2.1 đưa để minh họa cho tính đắn Định lý 2.1 Ví dụ 2.2 chứng tỏ điều kiện chúng tơi bảo thủ kết tác giả [11] Ví dụ 2.1 Xét hệ (2.1) với " A1 = " A2 = n = 2, N = ma trận # " # 0, 0, , W1 = , 0, 0, # " # , W2 = −1 21 Hàm kích hoạt chọn sau g(y(t)) = (sin y1 (t), sin y2 (t))T ∈ R2 Ta thấy hàm kích hoạt g(x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.2) với L = diag{1, 1} Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox MATLAB, điều kiện (2.3a) (2.3b) Định lý 2.1 thỏa mãn với ǫ = 9.9843 " # " # 3, 5578 0, 1102 2, 7757 0, 0750 P1 = , P2 = , 0, 1102 4, 2295 0, 0750 3, 6650 " # 6, 7914 0, 6824 S= 0, 6824 15, 3839 Theo Định lý 2.1, hệ cho ổn định mũ 0.8 x 0.6 x x3 0.4 0.2 α=0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 10 12 14 16 18 20 Time(sec) Hình 2.1: Quỹ đạo véc tơ trạng thái (2.9) với α = 0.2 Ví dụ 2.2 Xét mạng nơ ron Hopfield phân thứ Khalil với cấu trúc vòng   Tα x(t) = −Ax(t) + W g(x(t)), t ≥ 0, (2.9)  y(0) = y , 22 0.6 x x2 0.4 x3 0.2 α=0.4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 10 12 14 16 18 20 Time(sec) Hình 2.2: Quỹ đạo véc tơ trạng thái (2.9) với α = 0.4 α ∈ (0, 1], x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) ∈ R3  A = diag{a1 , a2 , a3 } = diag{5, 4, 5}, W = [wij ]3×3 Hàm kích hoạt g(x(t)) chọn sau  −2,   =    −1 1, −2, −1 g(x(t)) = (tanh x1 (t), x2 (t), x3 (t))T ∈ R3 Ta thấy hàm kích hoạt g(x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.2) với L = diag{1, 1, 1} Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox MATLAB, điều kiện (2.8) Hệ 2.1 thỏa mãn với ǫ = 378, 8181   90, 0484 14, 2159 4, 0217    P = 14, 2159 118, 2542 −7, 6620 , 4, 0217 −7, 6620 96, 9751   114, 2390 114, 4621 33, 6395    S= 114, 4621 188, 1833 −63, 1433   33, 6395 −63, 1433 174, 1761 23 Theo Hệ 2.1, hệ (2.9) ổn định mũ với bậc phân thứ α ∈ (0, 1] Tuy nhiên, kết [11] không đưa điều kiện ổn định cho hệ Thật vậy, vài tính tốn đơn giản, ta có a1 = 3 P P P 5, κl |w1l | = 6, 5; a2 = 4, κl |w2l | = 4, 5; a3 = 5, κl |w3l | = 5, Do l=1 P l=1 l=1 l=1 κl |wil | > (i = 1, 2, 3) Vì điều kiện Định lý [11] không thỏa mãn Vậy điều kiện đưa Hệ 2.1 bảo thủ kết tác giả [11] 0.6 x x 0.4 x3 0.2 α=0.6 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 10 12 14 16 18 20 Time(sec) Hình 2.3: Quỹ đạo véc tơ trạng thái (2.9) với α = 0.6 Kết mô phỏng: ta lấy điều kiện ban đầu x(0) = (0.5, 0.6, −0.7)T ∈ R3 Để chứng tỏ hệ ổn định mũ với giá trị α ∈ (0, 1], ta mô quỹ đạo véc tơ trạng thái với giá trị khác bậc phân thứ α ∈ S := {0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 0.9, 1} Từ kết mô phỏng, ta thấy hệ cho ổn định mũ với bậc phân thứ α ∈ (0, 1] Các hình 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 2.6 cho ta mô véc tơ trạng thái hệ với giá trị khác bậc phân thứ α ∈ S 24 0.6 x x 0.4 x3 0.2 α=0.8 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 10 12 14 16 18 20 Time(sec) Hình 2.4: Quỹ đạo véc tơ trạng thái (2.9) với α = 0.8 0.6 x1 x2 0.4 x 0.2 α=0.9 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 10 12 14 16 18 20 Time(sec) Hình 2.5: Quỹ đạo véc tơ trạng thái (2.9) với α = 0.9 25 0.6 x x2 0.4 x3 0.2 α=1 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 10 12 14 16 18 20 Time(sec) Hình 2.6: Quỹ đạo véc tơ trạng thái (2.9) với α = 26 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ Khalil bao gồm đạo hàm tích phân phân thứ Khalil; • Trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil; • Đưa điều kiện đủ cho tính ổn định mũ mạng nơ ron Hopfield phân thứ Khalil có nhiễu dạng tổ hợp lồi; • Đưa hai ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Hướng phát triển đề tài nghiên cứu tính ổn định mũ cho mạng nơ ron Hopfield phân thứ Khalil có trễ Theo hiểu biết chúng tơi, tốn chưa nghiên cứu cách đầy đủ 27 Tài liệu tham khảo [1] T Abdeljawad (2015), “On conformable fractional calculus”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 279, pp 57–66 [2] S Adelipour, A Abooee, and M Haeri (2015), “LMI-based sufficient conditions for robust stability and stabilization of LTI-fractionalorder systems subjected to interval and polytopic uncertainties”, Transactions of the Institute of Measurement and Control, 37(10), pp 1207–1216 [3] P Balasubramaniam and S Lakshmanan (2011), “Delay-intervaldependent robust-stability criteria for neutral stochastic neural networks with polytopic and linear fractional uncertainties”, International Journal of Computer Mathematics, 88(10), pp 2001–2015 [4] S Boyd, L.E Ghaoui, E Feron, and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] C H Dinh, V T Mai, and T H Duong (2020), “New results on stability and stabilization of delayed Caputo fractional-order systems with convex polytopic uncertainties”, Journal of Systems Science and Complexity, 33(3), pp 563–583 [6] Y He, Q.G Wang, and W.X Zheng (2005), “Global robust stability for delayed neural networks with polytopic type uncertainties”, Chaos, Solitons and Fractals, 26, pp 1349–1354 28 [7] Y He, M Wu, J.H She, and G.P Liu (2004), “Parameterdependent Lyapunov functional for stability of time-delay systems with polytopic-type uncertainties”, IEEE Transactions on Automatic Control, 49(5), pp 828–832 [8] Y He, Q.G Wang, and W.X Zheng (2005), “Global robust stability for delayed neural networks with polytopic type uncertainties”, Chaos, Solitons and Fractals, 26, pp 1349–1354 [9] N.T.T Huyen, N.H Sau, and M.V Thuan (2022), “LMI conditions for fractional exponential stability and passivity analysis of uncertain Hopfield conformable fractional-order neural networks”, Neural Processing Letters, Doi: 10.1007/s11063-021-10683-8 [10] R Khalil, M Al Horani, A Yousef, and M Sababheh (2014), “A new definition of fractional derivative”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 264, pp 6570 [11] A Kă utahyaloglu and F Karako¸c (2021), “Exponential stability of Hopfield neural networks with conformable fractional derivative”, Neurocomputing, 456, pp 263–267 [12] A.B Makhlouf, O Naifar, M Ali Hammami, and B.W Wu (2018), “FTS and FTB of conformable fractional order linear systems”, Mathematical Problems in Engineering, Article ID 2572986, pages [13] K Moezzi and A.G Aghdam (2015), “Delay-dependent robust stability analysis for switched time-delay systems with polytopic uncertainties”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 25(11), pp 1623–1637 [14] V.N Phat and P.T Nam (2010), “Exponential stability of delayed Hopfield neural networks with various activation functions and polytopic uncertainties”, Physics Letters A, 374(25), pp 2527–2533 29 [15] A Souahia, A.B Makhlouf, and M Ali Hammami (2017), “Stability analysis of conformable fractional-order nonlinear systems”, Indagationes Mathematicae, 28(6), pp 1265–1274 [16] M.V Thuan and N.T Binh (2022), “Exponential stability of Hopfield conformable fractional order polytopic neural networks”, TNU Journal of Science and Technology, 227(7), pp 49–55 [17] J Xia and H Zhang (2011), “Relaxed delay-dependent exponential stability condition for a class of neural networks with polytopic uncertainties and distributed delays”, Journal of Control Theory and Applications, 9(2), pp 302–306 [18] B Zhang, S Xu, and Y Zou (2006), “Relaxed stability conditions for delayed recurrent neural networks with polytopic uncertainties”, International Journal of Neural Systems, 16(6), pp 473–482