Về tính ổn định mũ của một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân 1.1 Các khái niệm tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.2 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.3 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính 1.4 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính với ma trận 1.5 Tiêu chuẩ Hurwitz 1.6 Ổn định hệ phi tuyến tính 1.7 Tính ổn định theo phương pháp hàm Liapunov 1.8 Tính ổn định hệ vi phân ngẫu nhiên 12 Chương Về tính ổn định mũ lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 14 2.1 Mở đầu 14 2.2 Ổn định mũ phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính có trễ 16 2.3 Ổn định mũ phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên có trễ 22 2.4 Ổn định mũ phương trình vi phân tất định 23 2.5 Một số ví dụ 26 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỞ ĐẦU Để mơ hình hóa hệ động lực kỹ thuật Vật lý, Sinh học, Kinh tế nhà toán học sử dụng hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên (PTVP) Trong nhiều trường hợp trạng thái có mặt PTVT ngẫu nhiên tương lai phụ thuộc vào mà phụ thuộc vào khứ Vấn đề ổn định hệ PTVP ngẫu nhiên nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày tính ổn định mũ lớp PTVP ngẫu nhiên có trễ Luận văn gồm có chương Chương Trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân Chương Trình bày tính ổn định mũ lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ Luận văn thực Trường Đại học Vinh hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tâm nhiệt tình hướng dẫn dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hịa thầy, giáo khoa Tốn, khoa đào tạo Sau đại học học viên lớp cao học 15 Toán thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa học Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Xét hệ phương trình vi phân dạng vectơ không gian Rn d Y (t) = F (t, Y ) dt (1.1) 1.1.1 Định nghĩa Nghiệm Z = Z(t) (a < t < +∞) hệ (1.1) gọi ổn định Liapunov t → +∞, với ε > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ(ε, t0 ) > cho: 1) Tất nghiệm Y = Y (t) hệ (1.1) (bao gồm nghiệm Z(t)) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ (1.2) xác định khoảng t0 < t < +∞ 2) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau thỏa mãn Y (t) − Z(t) < t0 ≤ t < t < +∞ (1.3) Trường hợp đặc biệt F (t, 0) = nghiệm tầm thường (còn gọi trạng thái cân bằng) Z(t) = 0(a < t < +∞) ổn định với ε > t0 ∈ (a, +∞) tồn δ = δ(ε, t0 ) cho bất đẳng thức Y (t0 ) < δ kéo theo bất đẳng thức Y (t) < ε t0 < t < ∞ 1.1.2 Định nghĩa Nếu số δ > không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu t0 ổn định gọi ổn định 1.1.3 Định nghĩa Nghiệm Z = Z(t) (a < t < +∞) gọi không ổn định theo Liapunov, với ε > 0, t0 ∈ (a, +∞) với δ > tồn nghiệm Yδ (t1 ) − Z(t0 ) < δ Yδ (t1 ) − Z(t1 ) ≥ ε tương tự cho nghiệm tầm thường 1.1.4 Định nghĩa Nghiệm Z = Z(t) (a < t < +∞) gọi ổn định tiệm cận t → +∞ nếu: 1) Nó ổn định theo Liapunov 2) Với t0 ∈ (a; +∞) tồn δ = δ(t0 ) > cho với nghiệm Y (t) (t0 ≤ t < +∞) thỏa mãn điều kiện Y (t0 ) − Z(t0 ) < δ có tính chất lim t→+∞ Y (t) − Z(t) = Đặc biệt nghiệm tầm thường Z(t) = ổn định tiệm cận, ổn định lim Y (t) = t→∞ Y (t0 ) < δ 1.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Xét hệ phương trình vi phân d Y (t) = A(t)Y (t) + F (t) dt (1.4) Trong A(t) ma trận hàm hàm véc tơ F(t) liên tục (a, +∞) Hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.4) hệ d Y (t) = A(t)Y (t) dt (1.5) 1.2.1 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) gọi ổn định (hoặc không ổn định) tất nghiệm Y = Y (t) tương ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov t → ∞ 1.2.2 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) gọi ổn định tất nghiệm Y (t) ổn định t → +∞ thời điểm ban đầu t0 ∈ (a, +∞) 1.2.3 Định nghĩa Hệ vi phân tuyến tính (1.4) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận t → +∞ 1.2.4 Định lý Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định với số hạng tự F (t) nghiệm tầm thường Y0 = 0) (t0 < t < +∞), t0 ∈ (a, +∞) hệ tương ứng (1.5) ổn định 1.2.4.1 Hệ Hệ vi phân tuyến tính ổn định nghiệm ổn định khơng ổn định nghiệm khơng ổn định 1.2.4.2 Hệ Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định hệ vi phân tương ứng ổn định 1.2.4.3 Hệ Điều kiện cần đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận hệ vi phân tương ứng ổn định tiệm cận 1.2.5 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định nghiệm tầm thường Y0 = hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định t → +∞ 1.2.6 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường Y0 = hệ vi phân tuyến tính tương ứng ổn định tiệm cận t → +∞ 1.3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ vi phân tuyến tính nhất: dY = A(t)Y dt (1.6) Trong A(t) liên tục khoảng (a, +∞) 1.3.1 Định lý hệ vi phân tuyến tính (1.6) ổn định theo Liapunov nghiệm Y = Y (t) (t0 ≤ +∞) hệ bị chặn nửa trục t0 ≤ +∞ 1.3.1.1 Hệ Hệ vi phân tuyến tính khơng ổn định tất nghiệm giới nội không giới nội t → +∞ 1.3.2 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.6) ổn định tiệm cận tất nghiệm Y = Y (t) dẫn tới không t → +∞, tức lim Y (t) = t→+∞ 1.4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HẰNG Xét hệ phương trình vi phân dY (t) = AY (t) dt (1.7) Trong A ma trận cấp n × n Y (t) = [y1 (t), y2 (t), , yn (t)]T 1.4.1 Định nghĩa Ma trận vuông A gọi ma trận ổn định (hay ma trận Hurwitz ) tất giá trị riêng λj = λj (A) phần thực âm, tức Re (λj ) < 1.4.2 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (1.7) ổn định theo Liapunov tất giá trị riêng λj = λj (A) A có phần thực khơng dương, tức Re λj (A) ≤ (j = 1, n) 1.4.3 Định lý Hệ vi phân tuyến tính (với ma trận A) ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trưng λj = λj (A) A có phần thực âm, tức Re λj (A) < (j = 1, n) 1.5 TIÊU CHUẨN HURWITZ Xét đa thức f (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n (4) (n ≥ 1) : z = x + iy a0 , a1 , , an số thực số phức 1.5.1 Định nghĩa Đa thức f (z) bậc n ≥ gọi đa thức Hurwitz tất nghiệm z1 , , zn có phần thực âm Rezj < 0(j = 1, 2, , n) Ta giả sử a0 , a1 , an ∈ R, a0 > 0, an = Khi f (z) gọi đa thức chuẩn bậc n 1.5.2 Định lý Nếu đa thức chuẩn đa thức Hurwitz tất hệ số a0 , a1 , an dương Chú ý: Điều ngược lại đa thức chuẩn f (z) = a0 +a1 +an z 1.5.3 Định lý Hurwitz Điều kiện cần đủ để đa thức chuẩn (4) đa thức Hurwitz là: Tất định thức chéo ma trận Hurwitz dương tức: = a1 > a a = a1 a0 > n = an n−1 > 1.5.4 Ứng dụng tiêu chuẩn Hurwitz hệ vi phân - Xét hệ tuyến tính với ma trận thực A = [aj k] dY = AY dt (5) có phương trình đặt trưng det(λE − A) = Dạng khai triển λn − A1 λn−1 + A2 λn−2 + · · · + (−1)n An = (6) Điều kiện cần đủ để (5) ổn định tiệm cận định thức chéo ma trận Hurwitz (6) dương 1.6 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHI TUYẾN TÍNH Cho hệ vi phân phi tuyến quy đổi dY = F (t, Y ) với F (t, 0) ≡ dt F khả vi lân cận Y ≡ Khi dY = A(t)Y dt dY = A(t)Y + Rn (t, Y ) (7) dt (8) 1.6.1 Định lý 1) Nếu hệ (7) dừng theo xấp xỉ thứ 2) Tất số hạng Ri bị chặn theo t khai triển dựa thành chuỗi lũy n yi2 ≤ H tất khai triển thừa y1 , y2 , , yn miền i=1 số hạng không thấp bậc 3) Tất nghiệm phương trình đặc trưng det(A − λE) = (9) có phần thực âm Thì nghiệm tầm thường Y ≡ hệ (7) hệ (8) ổn định tiệm cận 1.6.2 Định lý i) Nếu hệ (7) dừng theo xấp xỉ thứ ii) Tất hàm Ri thỏa mãn điều kiện định lý iii) Có nghiệm phương trình đặc trưng (9) có phần thực dương hệ (7), (8) khơng ổn định 1.7 TÍNH ỔN ĐỊNH THEO PHƯƠNG PHÁP HÀM LIAPUNOV 1.7.1 Một số khái niệm Trong mục ta xét hàm V = V (t, X) liên tục theo biến t theo biến x1 , x2 , , xn miền Z0 Z0 = {a < t < +∞} × {X(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn X < h} 1.7.2 Định nghĩa Hàm thực V (X) gọi xác định dương nếu: 1) V (0) = 2) V (X) > 0, với X thuộc lân cận Vt0 { X < h1 } × {t ≥ t0 } Z0 1.7.3 Định nghĩa Hàm V (t, X) gọi xác định dương theo nghĩa Liapunov (hay hàm Liapunov ) thỏa mãn điều kiện i) V (t, 0) = ii) Tồn hàm W (X) xác định dương theo Định nghĩa 1.5.2 cho V (t, X) ≥ W (X) với X thuộc lân cận Ut0 Z0 1.7.4 Định nghĩa Hàm V (t, X) có giới hạn vô bé bậc cao X→0 ε > tồn δ = δ(ε) > cho V (t, X) < ε X < δ t ∈ [t0 , +∞) 1.7.5 Định lý (Quy tắc vi phân Itô) Cho x = x(t) q trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên dxt = A(t, xt )dt + B(t, xt )dw(t) yt = g(t, xt ) hàm khả vi liên tục đến cấp theo biến x Khi q trình ngẫu nhiên yt = g(t, xt ) có vi phân Itơ tính theo cơng thức sau ∂g ∂g 1∂ g dyt = dt + dxt + (Bx, Bx)dt ∂t ∂x 2∂x2 1.7.6 Vi phân Itô hàm Liapunov a) Xét hệ vi phân tuyến tính: dx = Ax dt Trong A ∈ Rn×n ma trận hằng, x ∈ Rn Ta xây dựng hàm Liapunov hệ sau V = xT Hx Trong H = H T ma trận xác định dương, xT ma trận chuyển vị x Khi vi phân hàm Liapunov dV dx dx = , Hx + x, H = (Ax, Hx) + (x, HAx) dt dt dt = (x, AT Hx) + (x, HAx) = (x, (AT H + HAx)x) = xT (AT H + HA)x b) Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên dx = Axdt + Bxdw(t) = (Adt + Bdw(t))x A B thuộc Rn×n ma trận Ta xây dựng hàm Liapunov V = xT Hx 10 2.1.2 Định nghĩa Nghiệm x(t) phương trình vi phân (1) gọi ổn định mũ hầu chắn tồn λ > cho lim sup log|x(t)| < −λ t→∞ t Chương khảo sát ổn định mũ phương trình vi phân nửa tuyến tính dạng dx(t) = [(A + A(t))x(t) + (B + B(t − τ ))x(t − τ )]dt +g(t, x(t), x(t − τ )dw(t) (1) Trong A(t) B(t−τ ) biểu thị cho tính tất định g(t, x(t), x(t−τ ))dwt thể tính nhiễu ngẫu nhiên, τ thời gian thay đổi chậm Khi A(t) = B(t − τ ) = 0, g = 0, τ = (1) trở thành phương trình vi phân tuyến tính x(t) ˙ = (A + B)x(t) (2) Giả sử (2) đạt ổn định mũ ta có lý để tin (1) đạt ổn định với điều kiện A(t), B(t − τ ), g, τ đủ nhỏ Trong trường hợp tất định, g = vấn đề gần nghiên cứu nhiều tác Hale, Mori Kokam, Su nhiều tác giả khác Vấn đề mở rộng kết trường hợp ngẫu nhiên kỹ thuật tính tốn áp dụng vào có khác với người Bên cạnh đó, chúng tơi xem xét ổn định phương trình vi phân có trễ khơng tuyến tính dx(t) = [f (t, x(t), x(t − τ )) + f (t, x(t), x(t − τ ))]dt +g(t, x(t), x(t − τ ))dw(t) (3) Nên ý ổn định phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Ví dụ Kolmanoviskii Nosov, 15 Kuschner, Mao Mohamed, hầu hết kết độc lập trễ Hiển nhiên tiêu chuẩn đạt chương phụ thuộc trễ 2.2 ỔN ĐỊNH MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN NỬA TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ Đặt w(t) = (w1 (t), , wm (t))T chuyển động Brown m-chiều xác định không gian đầy đủ (Ω, F, p) với lọc tự nhiên {Ft }t≥0 (Ft = σ{w(s : ≤ s ≤ t}) τ > 0, xác định chuẩn |.| Euclid bình thường Nếu A vectơ ma trận xác định chuẩn A thông thường A : A = sup{|Ax| : |x| = 1} Thêm xác định L2F0 (−τ, 0]; Rn ) họ Rn -đạt giá trị ngẫu nhiên ξ(s), −τ ≤ s ≤ 0, ξ(s) F0 xác định giây E|ξ(s)|2 ds < ∞ −τ Trong phần chúng tơi nghiên cứu phương trình vi phân nửa tuyến tính n-chiều dx(t) = [(A + A(t))x(t) + (B + B(t − τ ))x(t − τ )]dt +g(t, x(t), x(t − τ ))dw(t) (4) t ≥ 0, với x(t) = ξ(t), −τ ≤ s ≤ A, B ma trận n × n A(t), B(t − τ ) ma trận n × n g = R+ × Rn × Rn →Rn×m hàm liên tục địa phương Lipschitz thỏa mãn điều kiện tăng tuyến tính ξ := {ξ(s) : −τ ≤ s ≤ 0} ∈ L2F0 ([−τ, 0]; Rn ) Ta biết hệ (4) có nghiệm ký hiệu x(t, ξ), khả tích bình phương Ngồi ln giả sử g(t, 0; 0) ≡ 0, với mục đích để hệ ổn định, (4) có nghiệm tầm thường x(t; 0) ≡ 16 2.2.1 Định lý Giả sử tồn ma trận n × nG Q xác định dương thỏa mãn G(A + B) + (A + B)T G = −Q (5) Hơn giả thiết tồn số αi ≥ : ≤ i ≤ thỏa mãn A(t) ≤ α1 , B(t − τ ) ≤ α2 , ∀t ≥ (6) trace[g T (t, x, y)g(t, x, y)] ≤ α3 |x|2 + α4 |y|2 , ∀(t, x, y) ∈ R+ × Rn × Rn (7) Đặt λmin (Q) > G (2α1 + 2α2 + α3 + α4 ) 2τ [4τ ( A +2 GB + B + α12 + α22 ) + α3 + α4 ] (8) Khi hệ (4) ổn định số mũ bình phương trung bình Chứng minh Cố định liệu ban đầu ξ cách quy ước viết x(t, ξ) = x(t) cho đơn giản Theo công thức vi phân Itô d[xT (t)Gx(t)] = 2xT (t)G[(A + A(t))x(t) + (B + B(t − τ ))x(t − τ )]dt + trace[g T (t, x(t), x(t − τ ))Gg(t, x(t), x(t − τ ))]dt + 2xT (t)Gg(t, x(t), x(t − τ ))dw(t) Từ giả thiết ta có 2xT (t)G[Ax(t) + Bx(t − τ )] = −xT (t)Qx(t) − 2xT (t)GB(x(t) − x(t − τ )) ≤ −λmin (Q)|x(t)|2 + β|x(t)|2 + β = GB 2τ (4τ A + B GB /β |x(t) − x(t − τ )|2 + α12 + α22 ) + α3 + α4 Hơn 2xT (t)G[A(t).x(t) + B(t − τ )x(t − τ )] 17 (9) ≤ G ((2α1 + α2 )|x(t)|2 + α2 |x(t − τ )|2 ) trace[g T (t, x(t), x(t−τ ))Gg(t, x(t), x(t−τ ))] ≤ G (α3 |x(t)|2 +α4 |x(t−τ )|2 ) Thay điều vào (9) ta có: d[xT (t)Gx(t)] ≤ −(λmin (Q) − G (2α1 + α2 + α3 ) − β)|x(t)|2 dt + G (α2 + α4 )|x(t − τ )|2 dt GB /β |x(t) − x(t − τ )|2 dt + + 2xT (t)Gg(t, x(t)), x(t − τ ))dw(t) (10) Từ điều kiện (8) ta chọn ε > λmin (Q) = G (2α1 + α2 + α3 + ε) + G (α2 + α4 )eετ + β + GB /β (2[4τ A + α12 + α3 ]τ eετ +2[4τ ( B +α22 )+α4 ]τ e2ετ (11) Từ công thức Itô, lần ta thấy ∀t ≥ E[eεt xT (t)G(x(t))] t ≤ E[ξ T (0)Gξ(0)] − (λmin (Q) − G (2α1 + α2 + α3 + ε) − β) eεs E|x(s)|2 ds t eεs E|x(s − τ )|2 ds + G (α2 + α4 ) +( GB /β) t eεs E|x(s) − x(s − τ )|2 ds (12) Vì t ≥ τ t τ eεs E|x(s − τ )|2 ds = t eεs E|x(s − τ )|2 ds + eεs E|x(s − τ )|2 ds τ τ ≤ eετ t E|ξ(s − τ )|2 ds + eετ eε(s−τ ) E|x(s − τ )|2 ds τ 18 ≤ c1 eετ + eετ t−τ eεs E|x(s)|2 ds (13) 0 Khi c1 = E|ξ(s)|2 ds, s ≥ τ −τ s E|x(s) − x(s − τ )|2 ≤ 2τ E |(A + A(r))x(r) + (B + B(r)).x(r − τ )|2 dr s−τ s trace[g T (r, x(r), x(r − τ ))g(r, x(r), x(r − τ ))]dr + 2E s−τ s ≤ 2[4τ ( A + α12 ) + α3 ] E|x(r)|2 dr s−τ +2[4τ ( B +α2 )+α ] s E|x(r−τ )|2 dr (14) s−τ Vì t ≥ τ t eεs E|x(s) − x(s − τ )|2 ds s t ≤ c2 + 2[4τ ( A eεs + α12 ) + α3 ] τ +2[4τ ( B τ Khi c2 = + α22 ) + α4 ] t eεs τ E|x(r)|2 drds s−τ s E|x(r − τ )|2 drds s−τ eεs E|x(s) − x(s − τ )|2 ds, s s eεs τ s−τ (r+τ )∧t) t E|x(r)|2 drds = E|x(r)|2 s eεs ds dr r∨τ t ≤ τ eετ eεr E|x(r)|2 dr 19 (15) Cho nên t s eεs τ (r+τ )∧t) t E|x(r − τ )|2 drds = s−τ E|x(r − τ )|2 eεs ds dr r∨τ t ≤ τ eετ + eεr E|x(r − τ )|2 dr t ≤ τ c1 e2ετ + τ e2ετ eεr E|x(r)|2 dr Khi (13) sử dụng, thay chúng vào (15) đạt với t ≥ τ t t eεs E|x(s) − x(s − τ )|2 ds ≤ c2 + 2[4τ ( A + α12 ) + α3 ]τ eεs eεs E|x(r)|2 dr t +2[4τ ( B + α22 ) + α4 ].(τ c1 e2ετ + τ e2ετ eεr E|x(r)|2 dr) (16) Thay (13) (16) vào (12) E[eετ xT (t)Gx(t)] ≤ c3 , ∀t ≥ τ (17) Khi c3 = E[ξ T (0)Gξ(0)] + G (α1 + α4 )c1 eετ +( GB /β)(c2 + 2[2τ ( B + α22 ) + α4 ]τ c1 e2ετ Từ G xác định dương xT (t)Gx(t) ≥ λmin (G)|x(t)|2 Trong λmin (G) > giá trị nhỏ G Từ (17) suy E|x(t)|2 ≤ c3 e−εt , ∀t ≥ τ λmin (G) Suy lim sup 1t log(E|x(t)|2 ) ≤ −ε t→∞ Do (4) ổn định số mũ bình phương trung bình 20 (18) Trong chứng minh chúng tơi số mũ Liapunov không lớn −ε Trong thực tế người ta giải (11) với ε > tìm giá trị ước lượng với số mũ Liapunov 2.2.2 Định lý Với giả thiết Định lý 2.1, phương trình (4) ổn định mũ hầu chắn Chứng minh Chúng ta sử dụng ký hiệu giống chứng minh Định lý 2.1 Đặt k = 2, 3, 4, E |x(t)|2 sup kτ ≤t≤(k+1)τ (k+1)τ ≤ 3E|x(kτ )|2 + 12 [( A + α12 )E|x(t)|2 kτ (k+1)τ ( B + α12 )E|x(t − τ )|2 ]dt + 12 (α3 E|(t)|2 + α4 E|x(t − τ )|2 )dt kτ Áp dụng (18), ta có E |x(t)|2 sup ≤ c4 e−εkτ (19) kτ ≤t≤(k+1)τ Khi c4 = 3τ c3 [1 + 4( A λmin (G) + α12 + α3 ) + 4( B + α22 + α4 )e−ετ ] Giả sử ε ∈ (0, ε) tùy ý, từ (19) suy P ω: sup |x(t)| > e(ε−ε)kτ /2 ≤ c4 e−εkτ kτ ≤t≤(k+1)τ Theo Bổ đề Borel - Cantelli ta thấy hầu hết ω ∈ Ω sup |x(t)| ≤ e(ε−ε)kτ /2 kτ ≤t≤(k+1)τ 21 (20) Đúng với k hữu hạn nên tồn k0 (ω), ∀ω ∈ Ω, k ≥ k0 (ω) ε−ε log|x(t)| ≤ − t Nếu kτ ≤ t ≤ (k + 1)τ, k ≥ k0 ε−ε lim sup log |x(t)| ≤ − t→∞ t Vì ε tùy ý nên ta có ε lim sup log|x(t)| ≤ − t→∞ t Nói cách khác (4) ổn định mũ hầu chắn Hơn chứng minh ta đưa ước lượng tính cho số mũ Liapunov mẫu khơng lớn − 2ε 2.3 ỔN ĐỊNH MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN NGẪU NHIÊN CĨ TRỄ Các nội dung phần trước phát triển cách dễ dàng để giải phương trình vi phân phi tuyến có dạng sau dx(t) = [f (t, x(t), x(t − τ ) + f (t, x(t), x(t − τ ))]dt +g(t, x(t), x(t − τ ))dwt (21) Trên t ≥ với x(t) = ξ(t), −τ ≤ t ≤ Ở w(t), g(t, x, y), ξ(.) giống phần trước f, f liên tục địa phương Lipschitz R+ × Rn × Rn →Rn thỏa mãn tăng, tuyến tính Khi phương trình (21) có nghiệm ký hiệu x(t, ξ) Ta giả thiết f (t, 0, 0) = f (t, 0, 0) ≡ g(t, 0, 0) ≡ Vì phương trình có nghiệm tầm thường x(t, 0) ≡ 22 2.3.1 Định lý Giả sử tồn ma trận n × n G xác định dương số λ > thỏa mãn 2xT Gf (t, x, x) ≤ −λ|x|2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn Giả thiết thêm tồn số không âm θj ; ≤ j ≤ αi ; ≤ i ≤ cho |f (t; x; x)−f (t; x; y)| ≤ θ1 |x − y| |f (t; x; y)| ≤ θ2 |x| + θ3 |y| f (t; x; y) ≤ α1 |x| + α2 |y| trace[g T (t; x; y), g(t, x, y)] ≤ α3 |x|2 + α4 |y|2 , ∀(t, x, y) ∈ R+ × Rn × Rn Và 2τ (4τ [θ12 + θ22 + α12 + α12 ] + α3 + α4 ) λ > G (2α1 +2α2 +α3 +α4 )+2θ1 G Khi phương trình (21) ổn định số mũ bình phương trung bình ổn định mũ h.c.c Định lý chứng minh tương tự trường hợp Định lý 2.1 2.2 2.4 ỔN ĐỊNH MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TẤT ĐỊNH Chúng ta thu số hệ hữu ích ổn định mũ phương trình vi phân Trước hết g(t, x, y) ≡ (4) biến thành phương trình vi phân tuyến tính có trễ x(t) ˙ = (A + A(t))x(t) + (B + B(t − τ ))x(t − τ ) (22) t ≥ Với kiện ban đầu cho x(t) = ξ(t), −τ ≤ t ≤ Trong C([−τ ; 0]; Rn ) tồn nghiệm (22), ký hiệu x(t, ξ) Với phương trình này, có số hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.1 23 2.4.1 Hệ Giả sử tồn ma trận n × n GQ xác định dương, đối xứng cho G(A + B) + (A + B)T G = −Q Giả thiết thêm tồn hai số không âm α1 , α2 cho A(t) ≤ α1 , B(t − τ ) ≤ α2 , ∀t ≥ Gọi λmin (Q) > giá trị nhỏ Q Và λmin (Q) > G (α1 + α2 ) + 4τ GB 2( A + B + α12 + α12 ) phương trình (22) ổn định mũ Giả sử thêm A(t) = B(t − τ ) ≡ (22) trở thành x(t) ˙ = Ax(t) + Bx(t − τ ) t ≥ (23) Với phương trình có kết sau 2.4.2 Hệ Giả sử tồn hai cặp ma trận n × n G Q xác định dương đối xứng cho G(A + B) + (A + B)T G = −Q Gọi λmin (Q) > giá trị nhỏ Q τ< λmin (Q) GB 2( A + B2 ) (25) phương trình (23) ổn định mũ Hệ cho thấy phương trình vi phân x(t) ˙ = (A + B)x(t) ổn định mũ (đảm bảo chắn điều kiện (24)) phương trình (23) ổn định mũ với thời gian τ đủ nhỏ (được ràng buộc (25)) Bây chuyển sang xem xét phương trình vi phân phi tuyến 24 Nếu g(t, x, y) = (21) trở thành x(t) ˙ = f (t, x(t), x(t − τ )) + f (t, x(t), x(t − τ )) (26) t ≥ Với điều kiện ban đầu x(t) = ξ(t), −τ ≤ t ≤ Áp dụng Định lý 3.1 vào phương trình này, có kết sau 2.4.3 Hệ Giả sử tồn cặp ma trận n × n G xác định dương, đối xứng số λ > cho 2xT Gf (t, x, x) ≤ −λ|x|2 ; ∀(t, x) ∈ R+ × Rn Giả thiết thêm tồn số không âm θj , ≤ j ≤ i = 1, cho |f (t, x, x)−f (t, x, y)| ≤ θ1 |x − y| |f (t, x, y)| ≤ θ2 |x| + θ3 |y| |f (t, x, y)| ≤ α1 |x| + α2 |y|, ∀(t, x, y) ∈ R+ × Rn × Rn Khi λ > G (α1 + α2 ) + 4τ θ1 G 2(θ22 + θ32 + α12 + α22 ) phương trình (26) ổn định số mũ Hơn f ((t, x, y) ≡ (26) trở thành x(t) ˙ = f (t, x(t), x(t − τ )) t ≥ (27) Đối với phương trình có kết sau 2.4.4 Hệ Giả thiết tồn cặp ma trận n × n G xác định số λ > cho 2xT Gf (t, x, x) ≤ −λ|x|2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn Giả thiết thêm tồn số không âm θj : ≤ j ≤ |f (t; x; x) − f (t; x; y)| ≤ θ1 (x − y) |f (t; x; y)| ≤ θ2 |x| + θ3 |y|, ∀(t; x; y) ∈ R+ × Rn × Rn 25 Khi λ τ< (28) 2(θ22 4θ1 G + θ32 ) hệ (27) ổn định mũ Để kết thúc phần này, chúng tơi lưu ý (28) thay λ τ< 4θ1 G θ22 (29) + θ32 2.5 MỘT SỐ VÍ DỤ Trong phần chúng tơi đưa ví dụ để minh họa phần lý thuyết 2.5.1 Ví dụ Cho phương trình x(t) ˙ = (A + A(t))x(t) + (B + B)(t − τ ))x(t − τ ) với t ≥ A= −2 −1 (30) −1 −0, −1 B= Cả A(t) B(t − τ ) biểu thị tính khơng ổn định thỏa mãn A(t) ≤ 0, 1; B(t − τ ) ≤ 0, Áp dụng Hệ 2.4.1, chọn Q × ma trận suy λmin Q = dễ dàng tìm G= 41 240 60 cho G(A + B) + (A + B)T G = −Q Ta tính G = 0, 257, GB = 0, 319, A = 5, 236, B = 1, 64 Áp dụng Hệ 2.4.1 ta kết luận phương trình (30) ổn định với mũ với điều kiện τ < 0, 189 Bây giả sử tồn nhiều ngẫu nhiên (30) mô tả sau dx(t) = [(A + A(t))x(t) + (B + B(t − τ ))x(t − τ )]dt 26 +g(t; x(t); x(t − τ ))dw(t) (31) Khẳng định cường độ không ổn định ngẫu nhiên cụ thể trace[g T (t, x, y)g(t, x, y)] ≤ 0, 1(|x|2 + |y|2 Từ trường hợp (2.1) (2.2) suy ra: τ < 0, 175 (31) ổn định mũ bình phương trung bình ổn định số mũ h.c.c 2.5.2 Ví dụ Xem xét phương trình vi phân có trễ dx(t) = [f (x(t), x(t − τ )) + f (x(t), x(t − τ ))]dt +g(x(t), x(t − τ ))dw(t) (32) Trong −0, 5x1 − 0, 5y1 + x2 sin(x1 x2 ) f (x, y) = −x1 sin(x1 x2 ) − 0, 6x2 − 0, 4y2 Với x = (x1 , x2 )T , y = (y1 , y2 )T R2 , f : R2 × R2 →R2 g : R2 × R2 →R2×m Thể tính tất định, cụ thể hóa tính tất định giả thiết |f (x, y)| ≤ 0, 1(|x| + |y|) trace[g T (x, y)g(x, y)] ≤ 0, 1(|x|2 + |y|2 Với (x, y) ∈ R2 × R2 Dễ dàng 2xT f (x, x) ≤ −2|x|2 ; |f (x, x) − f (x, y)| ≤ 0, 5|x − y| |f (x, y)| ≤ 2, 2|x| + 0, 64|y| Áp dụng Định lý 3.1 với G = I ma trận xác định thấy τ < 0, 21 (32) ổn định mũ bình phương trung bình ổn định số mũ hầu chắn 27 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau Trình bày có hệ thống số kiến thức lý thuyết ổn định (theo nghĩa Liapunov) hệ phương trình vi phân gồm có: - Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính, tuyến tính - Tính ổn định theo phương pháp hàm Liapunov Trình bày tính ổn định mũ phương trình vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính có trễ - Thiết lập điều kiện đủ để hệ ổn định mũ bình phương trung bình (Định lý 2.1) ổn định mũ hầu chắn (Định lý 2.2) Trình bày tính ổn định mũ phương trình vi phân phi tuyến tính ngẫu nhiên có trễ - Thiết lập điều kiện đủ để hệ ổn định mũ bình phương trung bình ổn định mũ hầu chắn (Định lý 3.1) Trình bày tính ổn định mũ phương trình vi phân tất định 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Thu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb Giáo dục [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] X Mao (1994) Exponential Stability of Stocchastic Differetial Equation, New York [5] X Mao (1996) Robustness of Exponential Stability of Stocchastic Differetial Delay Equation, Vol41 N.3 29 ... văn trình bày tính ổn định mũ lớp PTVP ngẫu nhiên có trễ Luận văn gồm có chương Chương Trình bày số kiến thức lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân Chương Trình bày tính ổn định mũ lớp phương. .. LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ Trong chương này, thiết lập điều kiện đủ tính ổn định mũ phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ Cấu trúc chương sau: - Trước hết xét tính ổn định mũ phương. .. thuyết ổn định (theo nghĩa Liapunov) hệ phương trình vi phân gồm có: - Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính, tuyến tính - Tính ổn định theo phương pháp hàm Liapunov Trình bày tính ổn định mũ phương trình