Tính ổn định của bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc

Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định của bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” được hoàn thành bởi chính sự nhận t

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành bản khóa luận này.

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hoa

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định của bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hoa

R tập số thực suy rộng

F : X =4 Y ánh xạ đa trị từ X vào Y

dom F tập xác định của F

gphF đồ thị của F

IIжII chuẩn của véc tơ X

B ỵ hình cầu đơn vị đóng trong không gian X

B p(x) hình cầu đóng tâm X, bán kính p

X* không gian đối ngẫu của không gian Banach X

limsup giới hạn trên cho dãy số thực

Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

in tíĩ phần trong của íỉ

clíỉ bao đóng của Q

coíỉ bao lồi của

coneíỉ nón lồi sinh bởi íỉ

N ( x ; ri) nón pháp tuyến qua giới hạn

(nón pháp tuyến Mordukhovich) của íĩ tại X

N(x-, ri) nón pháp tuyến Fréchet của ri tại X

d f ( x ) dưới vi phân giới hạn

(dưới vi phân Mordukhovich) của / tại X d°° f ( x ) dưới v i p h ân su y b iến củ a / tạ i X

d f ( x ) dưới vi phân Fréchet của / tại X

D * F ( x , ỹ ) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x , ỹ )

D * F ( x , ỹ ) đối đạo hàm Préchet của F tại (x , ỹ )

10

12

16 16 27

46

60

61

iv

lực

X k + 1 = A kx k + B kuk + Tkw k với mọi k = 0 , 1 , , JV - 1, (0.2) với ràng buộc

Uỵ € c Uỵ với mọi k = 0 , 1 , , N — 1, (0.3)

và điều kiện ban đầu

là tập con khác rỗng trong Uk,

c là tập con lồi đóng khác rỗng của x ữ,

Ak '■ Xỵ —> x k+1, Bỵ : Uỵ —>■ Xfc_|_i, T ỵ : Wỵ —> Xj.+ 1 là những ánh xạ tuyến tính.

Bài toán này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu; chẳng hạn, xem Ị5Ị [8Ị [0] và các tài liệu được trích dẫn trong đó Một

ví dụ cổ điển cho bài toán (0.1) (0.4) là bài toán ổn định kinh tế; xem [81121.

Gọi S ( w ) là tập nghiệm của bài toán (Vw) tương ứng với tham số

dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu của V và điều kiện

đủ cho tính chất Aubin (tính giả Lipschitz) của ánh xạ nghiệm s

2 M ục đích ngh iên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc, tính ổn định của tập nghiệm và hàm giá trị tối ưu.

3 N h iệm vụ n gh iên cứu

Nghiên cứu về dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich;

lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; trình bày công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich làm công cụ thiết lập tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm.

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iền cứu

Lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; dưới vi phân Préchet và dưới vi phân Mordukhovich.

5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu trong giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, giải tích đa trị, đại số tuyến tính và lý thuyết tối ưu.

6 D ự kiến đóng góp của luận văn

Nội dung của luận văn trình bày công thức tính dưới vi phân Fréchet

và dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu trong điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; sử dụng kết quả đạt được như là công cụ để thiết lập điều kiện đủ cho tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm.

II • II Với một không gian Banach bất kì X , ta xét không gian đối ngẫu của nó X* với tôpô yếu* được kí hiệu bởi w* B x và B x * kí hiệu tương ứng là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X và không gian đối ngẫu của nó Kí hiệu A* toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục Ả Hình cầu đóng tâm X bán kính p được kí hiệu bởi Bp(x).

Với mỗi tập ri c X , c lfi, in tíi, c o íỉ và c o n e íi kí hiệu tương ứng

là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón lồi sinh của íĩ Ta nhắc lại rằng

íĩ e X là đóng địa phương tại X G íĩ nếu có một lân cận u của X sao

cho Q n clu là tập đóng.

Cho F : X =£ X* ánh xạ đa trị từ một không gian Banach X vào không gian đối ngẫu X* của X Giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé - Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X*

tại X được xác định bởi

Lim sup F(a;) := {x* e X* : 3 x k —»■ X, x*k x*,x*k G F ( x k), Vk G N }.

x— ^x

(1.1)

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 ( N ó n p h á p t u y ế n ) Cho Q ỉà tập con khác rỗng trong

không gian Banach X , X G íĩ và e ^ 0.

(i) Tập các £ - vécíơ p/ìáp tuyến Fréchet của fỉ tại X được xác định bởi

N e(x-, ri) := X € X : lim sup -Ỉ* , (x*,x — X)7—— -— ^ £

íỉ _

x^x X — X

(1.2)

ở đó X A ’ X nghĩa là X —> X và X E fỉ Khi £ = 0, ta có N ( x ; í ì ) :=

N ữ(x-, ri) nón pháp tuyến Fréchet của ri tại X.

(ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của

N(:r; ri) := e X* : 3eỵ —> 0, Xỵ A X, x*ỵ X*, x*k G N £k (xỵ\ íĩ) VA; I ,

ở đó có t hể đặt £ = 0 khi íĩ ỉà tập đóng trong ỉân cận của X và X là không gian Asplund.

B ổ đ ề 1 1 (T íc h Đ ề c á c ) p , Proposition 1.2] Lấy tùy ý điểm X =

( x i , x 2) e ÍỈ 1 X ÍỈ 2 c X ị X x 2 Khi đó

N(x-,Q 1 X í ỉ 2) = N ( x 1; Oi) X N ( x2^ 2), (1-4)

N ( x ; ũ ị X í ỉ 2) = N ( x i ; í ì ị ) X N ( x 2',^Ì 2)- (1-5)

B ổ đ ề 1 2 (T ậ p c á c £— v é c t ơ p h á p t u y ế n đ ố i v ớ i t ậ p lồ i) p , Proposition 1.3] Cho Q là một tập lồi trong không gian Banach X Khi

sition 1.5] Cho u là một lăn cận của X € c X sao cho tập ri n u là

lồi Khi đó íĩ chính quy tại X với

N(x; íỉ) = {x* e x*\ (x*,x — x) ^ 0, Vx e n u} (1.9)

Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai dạng biểu diễn tương đương của nón pháp tuyến Mordukhovich trong không gian hữu hạn chiều R n

(trong trường hợp này X* = X = Mn) Do tất cả các chuẩn trong không

gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn chuẩn Euclid

và hình chiếu Euclid của X trên íỉ

n (x ; íĩ) := {x e clíỉ| ||a: — ã;II = dist(a:; íỉ) } .

k->oo y j (u\ ) 2 + (uị)

Do đó, ж* > 0 Vạy ứ = 0 Do tính chất đối xứng của x\ vă x *2 ta cũng

có x*2 — 0 Ngược lại, với (x\,x*2) = (0,0) thì (1.12)được thỏa mên Vậy

N { x \ ũ ) = {0 } Vói (Xị , X2) G ri, ía có

N { { x ị , z 2);fì)

{0 } nếu ( x i , x 2) ẽ in tíỉ,

{(a , — a)\a > 0} nếu Xi = x 2,

{(a , a)|a < 0} nếu Xi = —x 2.

Khi đó, ta có

N ( x - , í ì ) = Lim sup N ( ( x i , x 2) \ rỉ)

(Ж1,ж2)— >(0,0)

= {(^1^ 2) € Щх*2 = - Ị ^ | }

1.2 Đ ối đạo hàm của ánh x ạ đa trị

Cho F : X =4 Y ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach X và Y Tập xác định và đồ thị của F được kí hiệu bởi

d o m F := { x G X I F ( x ) Ỷ 0}j g p h F := { ( x , y ) G X X Y \ y G F ( x ) }

Đ ịn h n g h ĩa 1 3 Cho F : X = ị Y với dom F Ỷ

0-(i) Lấy (x, ỹ) e X X Y và £ > 0 £—đối đạo hàm của F tại (x , ỹ ) được định nghĩa là ánh xạ đa trị D*F( x, ỹ) : Y* =4 X* với các giá trị

D'tF(x,ỹ)(v’) ■ ■ = {z* 6 X* : Or*,-!/*) E Я((г, 5 ); 8 РЬ^)} ( 1 13 )

là £ - đối đạo hàm của của F tại (x , ỹ ) Nếu (x , ỹ ) Ệ gph F , ta đặt D* F( x , ỹ ) ( y * ) = 0 với mọi £ ^ 0 và y* e Y * Khi £ = 0 trong (1.13), biểu diễn này được gọi ỉà đối đạo hàm Fréchet của F tại ( x , ỹ ) và được

ký hiệu bởi D * F ( x , ỹ ) , nghĩa là

eịo Lưu ý rằng đối đạo hàm Mordukhovich cũng có thể được biểu diễn qua nón pháp tuyến Mordukhovich

D ’ F ( x , ỹ ) ( y ’ ) = К 6 X* : ự , - у ' ) € J V ((ä ,s);g p h F )} (1.16)

Nếu F ( x ) = { f ( x ) } là ánh xạ đơn trị thì ta viết D * f ( x ) thay cho

D * f ( x , ỹ ) và D * f ( x ) thay cho D * f ( x , ỹ )

Nhắc lại rằng một ánh xạ đơn trị / : X —>■ Y là khả vi Fréchet tại

X nếu có một toán tử tuyến tính liên tục V f ( x ) : X —> Y , được gọi là

đạo hàm Préchet của / tại X, sao cho

và

_ — ỊJ*\ nếu y* < 0,

D*F(x:ỹ)(y *)=<! Л ! :

[ ~ y * , y * ] n ế u y * > 0.

• Tập hợp

ố f { x ) := ố0f ( x ) ,

được gọi là dưới vi phẫn Fréchet dưới (thường gọi là dưới vi phẫn

Fréchet) của / tại X Rõ ràng ô f ( x ) с ôef ( x ) với mọi £ ^ 0.

Ta nhận thấy rằng X* E d f ( x ) khi và chỉ khi tồn tại các dãy Xỵ -4 X, Eỵ ị

0, và x*k € ồfgkf ( x k ) sao cho x*ỵ —> X* Hiển nhiên ta có

ỗ f ( x ) С d f ( x )

được gọi là dưới vi phân qua giới hạn suy biến (thường gọi tắt là

dưới vi phãn suy biến) của / tại X Như vậy X* e khi và chỉ

khi tồ n tạ i các d ã y Xỵ 4 ĩ , £ i k ị 0, \ ỵ ị 0, và x*k € Лỵ ồ f ekf { x ỵ ) sao

cho x*k X* Ta có thể chứng minh được rằng d ° ° f ( x ) = {0 } nếu

hàm / là Lipschitz địa phương tại X.

• Hàm / : X —>• Ш hữu hạn tại X G X được gọi là chính quy dưới tại

Sử dụng kết quả ở Ví dụ 1.1 vói íỉ = epi<£ và X = 0 ta thu được

Cho ánh xạ đa trị F : X giữa các không gian Banach X và Y

• F là nửa liên tục trên (u.s.c) tại X £ dom F nếu với mọi tập mở

V С Y thoả mãn F (х) с V tồn tại lân cận mở и của X sao cho

F( x ) С V V i e ơ

• F là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại X € dom F nếu với mọi tập mở

V С Y thoả mãn F ( x ) n V Ỷ 0 tồn tại lân cận mở и của X sao cho

F ( x ) П У 7^ 0 V i Ễ ơ П domF.

Nếu F là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc dom F thì F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trong

X

• F là liên tục tại X G dom F nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và

liên tục dưới tại X Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì

F được gọi là liên tục ở trên X

• Ánh xạ đa trị F : X =4 Y được gọi là chính quy pháp tuyến tại (ж, ỹ) € gph F nếu

• Ánh xạ đa trị F : X =4 Y là compắc pháp tuyến một phần theo dãy (PSNC) tại (x , ỹ ) nếu với mọi dãy {е-ịk, xk, y k,x*k, y l ) € [о, oo) X

( gphF) X X* X Y* thoả mãn

£k ị 0, {xk, y k) -> {x,ỹ),x*k e D*ekF ( x k, y k)(y*k),x*k 0, \\y*k\\ 0

ta có \\xị\\ 0 khi к —> 0 0.

• Cho If : X —> M hữu hạn tại X được gọi là epi-compact pháp

tuyến theo dãy (SNEC) tại (ж, ip{x)) nếu trên đồ thị của nó là SNC tại (X, <p(x)).

Cho một ánh xạ đơn trị / : X —> Y giữa các không gian Banach Lấy X € X f được gọi là Lipschitz địa phương tại X nếu có một lân cận

u của X và một số t > 0 sao cho

||/ ( z i ) - f { x 2)II < £\\xi - x 2\\ for all x u x 2 e и.

Hàm số ip: X —> Ш được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại X e X nếu

lim inf < p ( x ) ^

x —ìx

Đ ịn h lý 1 3 (Q u y t ắ c t ín h t ổ n g ch o d ư ớ i v i p h â n ) p , Theo-

rem 3.36] Cho X là một không gian Asplund, fi : X —> M, i = 1,2, ,n

là các hàm nửa liên tục dưới trong một lân cận của X và có ít nhất một hàm số là SNEC tại X Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn

Xét bài toán tối ưu

X G dom/z Lấy y € ^(ж) Giả s ứ rằng hoặc f là SNEC t ạ i (x , y ) hoặc Ф

/à SNC tại ( x , ỹ ) và điều kiện chính quy

và một trong hai điều sau xảy ra

(a) d im y < oo; Ф Lipschitz tại X với gphф chính quy tại (X, ф(х)), hoặc (b) Ф khả vi chặt tại X.

Chương 2

phân M ordu k h ovich

Trong mục này, ta đi thiết lập công thức tính dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch có tham số; cụ thể trình bày một đánh giá trên cho dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu trong bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc.

Ta xét bài toán điều khiển tối ưu (vw) mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc (0.1) (0.4).

Với mỗi X = (Xq, Xi , , XN) € X, u = (uữ, U ị , , U n - i) £ u , w =

ở đó A* và T* lần lượt là các toán tử liên hợp của A và T.

Ta kí hiệu S ( w ) là tập nghiệm của bài toán (V w) và giả sử rằng (X, ũ)

là một nghiệm của ựPỹj) tức là (X, ũ) G S ( w) ồ đó X := (xữ, X i , , XN),

ũ := (й0, M l , , Wjv-i) và w := (w 0, Wị , , WN- 1) Giả sử thêm rằng Qk

là bao đóng địa phương của Wỵ với mọi к — 0 , 1 , , N — 1.

Kết quả chính của mục này là thiết lập đánh giá cho dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu.

Đ ịn h lý 2 1 p , Theorem 1.1] Giả sử hàm giá trị tối ưu được xác định

bởi (2.1) là hữu hạn tại W, hk là khả dưới vi phẫn Fréchet tại {xỵ, ũỵ, wỵ),

h ỵ là khả dưới vi phân Fréchet tại Xx và íỉfe là chính quy phấp tuyến tại

Щ với mọi к = 0 , 1 , , N — 1 Giả thiết rằng

[ - N { { x , ũ); К) ] п A* (k e r T *) = {0 } (2.2)

Khi đó điều kiện cằn đểw* = (wq, w{, ,W*N_ 1) e d v { w ) là tồn tạix*ữ £

N ( x 0] C) , и* = (и*0,и*г , , 4 % ^ ) G N{ũ-, n) và z* = (zỊ, z%, , Z*N) G

z* sao cho

Điều kiện trên cũng là đủ đ ể W * e d v ( ũ j ) nếu ta giả sử thêm rằng ánh

xạ nghiệm s : G ~ l { K ) ^ X có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại

( w , X, ũ )

Chú ý rằng nếu Tk là toàn ánh với mọi k = 0 , 1 , , iV — 1 khi đó

kerT = {0} và (2.2) được thỏa mãn Vì vậy, cùng với V í dụ 2.1 chỉ ra

rằng điều kiện (2.2) là thực sự yếu hơn điều kiện tương ứng trong [Ẹl, ở

đó Tỵ được giả thiết là toàn ánh với mọi A; = 0 , 1 , , N — 1.

Cho X , Y và z là những không gian hữu hạn chiều Giả thiết rằng

A : X — > z và T : w — > z là những ánh xạ tuyến tính với ánh xạ

liên hợp A* : z* — > X* và T* : z* — > w * Giả sủ f : X X Y — >w là

một hàm giá trị thực mở rộng Với mỗi w € w ta đặt G ( w ) := { x € X \

Ax = T w } Giả sử w e w và K là một tập con khác rỗng của X Xét

bài toán

ịi(w) := inf f ( x , w ) (2.3)

x e G ( w ) n K

Đặt S ( w ) là tập nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số w G w

Giả sử rằng X là một nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số

w tức là X G S ( w ) và K là đóng địa phương tại X.

Kết quả sau cho ta một công thức tính dưới vi phân Fréchet của ỊJL

tại w.

Đ ịn h lý 2 2 p , Theorem 2.1]

Cho hàm giá trị tối ưu ịi xác định bởi (2.3) là hữu hạn tại W € dom ^,

và giả sử X £ S ( w ) sao cho d + f ( x , W) Ф 0 Giả sử к là chính quy pháp

xạ nghiệm s : G ~ X( K ) 4 X có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại ( w , x ) thì

u* €N (х',к) Chứng minh Giả sử ĩ Ẽ S ( w ) và H ( w ) := G ( w ) п K Khi đó ịi{w) =

inf f ( x , w ) Bởi Щ Theorem 1],

Thật vậy, giả sử rằng tp : w X X — > z là hàm được xác định bởi

<p(w, X) = — T w + A x với mọi (w , x) G w X X Khi đó, là một ánh xạ

tuyến tính liên tục và ánh xạ liên hợp của nó ip* : z * — > w * X X* được

xác định bởi ụ>*(z*) = ( —T*Z*,A*Z*) với mọi z* e z*. Khi Q là không gian véctơ,

N { ( w , x ) \ P ) = N( w ; W ) X N( x; K ) = {0} X N( x] K ) , (2.10)

với mọi (w , x ) G w X K Hơn nữa, K là chính quy pháp tuyến tại X Khi đó tập p là chính quy pháp tuyến tại ( w, x ) Khi Q là lồi thì nó là chính quy pháp tuyến tại ( w, x ) Ta thấy rằng cặp những tập p, Q thỏa

mãn điều kiện chính quy pháp tuyến

N ( { w , x ) - Q ) n [ - N { ( w , x ) - P ) ] = { (0 ,0 )}

Thật vậy, lấy tùy ý e N ( ( w , x); Q) n [ — N ( ( w , x); P)] Từ (2.8)

và (2.10) ta có w* = 0, — X* e N ( x ] K ) và w* = —T*z*,x* = A*z* với một vài z* € z*. Do đó, điều kiện chính quy pháp tuyến thỏa mãn Theo

p , Corollary 3.5],

N ( ( w , x)-, p n Q) = N ( ( w , x)-, p ) + N ( ( w , x ) \ Q )

Điều này và (2.10) thiết lập được (2.9) Từ (2.8) và (2.9) suy ra

Cuối cùng, giả sử thêm rằng / là khả dưới vi phân Fréchet tại (x, w)

và ánh xạ nghiệm s : G ~ l { K ) — > X có một lát cắt Lipschitz trên địa

phương tại ( w, x ) Rõ ràng rằng G ~ X{ K ) = domH Bởi [71 Theorem 2],

dụ,{w) = v wf { x , w) + D * H( w, x ) ( V xf ( x , w)) (2.12) Kết hợp (2.11) và (2.12) ta thiết lập được (2.6) Định lý được chứng

0-Khi đó, (2.ị ) được thỏa mãn.

Chứng minh, (a) Nếu X € intK thì N( x; K ) = {0 } và do đó (^ 4 ) được

thỏa mãn.

(b) Giả sử rằng inii4 с imT Cho X* e Л*(кегТ*) và X e X Khi đó

tồn tại z* € kerT* và w € w sao cho X* = A*z* và A x = T w Ta có

với G ( w) = { ( X I , X 2 , X 3) e M 3 I X ị + x 2 = 2 , £ 3 = 0 } D ễ ràng thấy rằng X = (1 ,1 ,0 ) là nghiệm duy nhất của bài toán tương ứng với w và ịJL{w) = 1, và N ( x ; K ) = M+ X M+ X {0 } Bằng việc tính trực tiếp, ta có

S ( w ) = < {(iưi, IƯI, 0)} với < 1,

V ì A , T là những ánh xạ tuyến tính và 0 € in t ií nền im Tn^4(intX) Ỷ

0 T/ieo Mệnh đề 2.1, điều kiện ( 2 4 ) được thỏa mãn Ta dễ dàng thấy rằng G ~ l ( K ) = (—0 0; 1] X R và s : (—0 0; 1] X 1 = ị I 3 có một lát cắt

Lipschỉtz trên địa phương tại (w : x ) Bởi (2.6), ta có

{(2 + 2w Ị,0)} nếu uỊ = u^,

0 nếu u\ Ỷ u 2

-K ế t hợp điều này với (2.13) ta suy ra rằng d ị i ( w ) = [ — 1, + o o ) X {0 }.

C h ý ý 2 1 Trong V í dụ 2.1, điều kiện (2.4) được đưa ra nhưng điều

kiện tương ứng imA c imT mà trong tài liệu [5] không có.

Chứng m in h Đ ịn h lý 2.1 Giả sử w* £ d v ( w ) Bởi Định lý 2.2 tồn tại một véctơ X* e N( z ] K ) và = (z{, z \ , , Z*N ) G z* sao cho

w* = v wf ( z , w ) + T*Z* và V J { z , w ) + x* = A*z* (2.14)

Vì X* € N ( z ; K ) = N ( x ữ; C ) X {0} X N ( ũ ; í ì ) nên ta cần tìm x*ữ €

N ( x 0; c ) và ũ* = (wq, u Ị , , U*N _ 1 ) với u*k e N(ũk'i ũ ) ( k = 0 , 1 , , N —

1) sao cho X* = (xo,0,M*) Phần còn lại của chứng minh bao gồm tính

V wf ( z , w), V zf ( z , w), T*Z*,A*Z* và thế chúng vào (2.14) Ta bỏ qua chi

tiết này, vì chúng đã được nhắc đến ở trong chứng minh p , Theorem

Lấy x a = (x0, x u x 2, x 3) = (a , 0 ,0 ,0 ) và ũa = (w0,Wi,w2) = ( - a , 0 ,0 )

Ta thấy rằng ( x, ũ) ỉà điểm chấp nhận được của bài toán { v ỵ ) và

I ( x k, k ) = (xk + ũkf + I ( x k+l ì k + 1) (k = 0 ,1 , 2),

Í(Ỉ3,3) = Ĩ T Ĩ Ĩ '

Theo щ Theorem 2 of §6.4], (x, и) € s a(w) vđi s a(w) là nghiệm của bài toán (V?) K í hiệu v a ( w) /à giá trị tối ưu của bài toán Ta có

v a{w) = 1 và v ( w ) = inf v a(w) = l.

a€( — 00,1]

Do đó, (x, ũ) £ S ( w ) với ж = (XQ,XI,X 2 ,XS) = (1 ,0 ,0 ,0 ) và ũ = (ũ0, ũ i , ũ 2) = ( - 1 , 0 , 0 ) Đặt

suy ra (2.2) được thỏa mãn Theo Định lý 2.1, tồn tại z \ , sao cho

đó, h : R 3 — > M7 được xác định bởi h ( w ) := (—1, 0, 0, 0, w 0, — 1,0, 0) với w = ( w 0, w i , w 2) ẽ M3 là một lát cắt của ánh xạ n g h i ệ m s v à nó

Lipschitz trên địa phương tại (w , x , u ) Theo Định lý 2.1, ta có d v ( w ) =

Xét bài toán (2.1) Giả sử rằng Qk là đóng địa phương tại uk, với mọi к = 0 , 1 , , N — 1 và điều kiện (A) sau đây được thỏa mãn:

(A) Với bất kì X q e N ( x ữ; C ), và u* e N(ũk; к = 0 , 1 , , N — 1,

nếu tồn tại z* = (zỊ, z%, , Z*N) ẽ l i x l 2 x , X N sao cho

thì Xg = 0 và u*k = 0 với k = 0 , 1 , , N — 1 Ta thấy rằng ánh xạ nghiệm

S( w) là V nửa liên tục dưới nội bộ tại (w, z ) nếu với mọi dãy Wỵ — w

(tứ c là V(ĩ Uỵ) —¥ v ( w ) ) , có m ộ t d ã y { z ỵ \ với Zỵ €E S ( w ) với m ọ i k , chứa

một dãy con hội tụ tới z.

Đ ịn h lý 2 3 ỊB l Theorem 2.1] Giả sử s là V - n ử a liên tục dưới nội bộ

tại (w , z) £ gphơ, hN khả vi chặt tại XN và hk khả vi chặt tại (Xk, ũịk,Zk)

với mọi k = 0 ,1 , , N — 1 Giả sử rằng ÍÌịị là chính quy pháp tuyến tại ũk, intrijfc 7^ 0 vói mọi k = 0 , 1 , , N — 1 và giả sử (A) được thỏa

mẫn Khi đó, để w* = (wq, w\ , , W*N_ 1) G w trở thành một dưới gradient Mordukhovich của V tại w = (w0 , w i , ,WN-i), điều kiện cần

ỉà tồn tại X*Q G N ( x ữ] C) , u* = (u0, Uị, , uN- i ) e N ( ũ ] f ì ) và z* =

(zq, zỊ, , Z*N ) ẽ z sao cho

Điều kiện trên cũng là đủ để w* G d v ( w ) nếu ánh xạ nghiệm s :

G ~ l { K ) = ị X có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại (ĩũ^x^ũ).

với k = 0 , 1 , , N — 1,

với k = 0 , 1 , , N — 1,

Khi ÍÌ ịị = Uỵ hoặc u € intfỉfc, ta có N( u; Qk) = {0 } Trong trường hợp này, N(ũ; íỉ) = {0} và N ( x 0; c ) = {0}, ta có kết quả sau.