BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN ĐỨC DUYỆT TÍNH BỊ CHẶN CỦA TOÁN TỬ LOẠI HAUSDORFF TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐỨC DUYỆT TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ LOẠI HAUSDORFF TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐỨC DUYỆT TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ LOẠI HAUSDORFF TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Tuấn GS.TSKH Nguyễn Minh Chương Hà Nội, 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố bất cơng trình khác Hà Nội, tháng 04 năm 2021 NCS Nguyễn Đức Duyệt i LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Bộ mơn Giải tích, Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn tận tình chu đáo GS TSKH Nguyễn Minh Chương TS Nguyễn Văn Tuấn Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng vơ biết ơn tới hai Thầy, người truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học, định hướng tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thời sự, thú vị có ý nghĩa Trong q trình nghiên cứu hoàn thành luận án, tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, góp ý TS Đào Văn Dương (Trường ĐH Xây dựng Miền Trung) Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Khuất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng, PGS TS Nguyễn Văn Tuyên (Trường ĐHSP Hà Nội 2), PGS TS Trần Đình Kế (Trường ĐHSP Hà Nội) động viên cho tác giả góp ý, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học để tác giả hoàn thiện luận án Tác giả xin cảm ơn Thầy, Cô Anh, Chị, Em nghiên cứu sinh Xêmina Giải tích, Khoa Tốn, trường ĐHSP Hà Nội tạo môi trường học tập, nghiên cứu khoa học sôi thân thiện Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, người thân, anh chị em, bạn bè bên, tin tưởng cho tác giả động lực tinh thần để tác giả hoàn thành luận án ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án Cấu trúc luận án 11 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 Không gian Lebesgue 12 1.2 Một số kí hiệu không gian hàm 14 1.3 Trọng nhất, trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt 17 1.4 Nhóm Heisenberg 19 Chương Chương ƯỚC LƯỢNG CHUẨN CỦA TOÁN TỬ HAUSDORFF THƠ b HΦ,Ω VÀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA GIAO HỐN TỬ HΦ,Ω TRÊN KHƠNG GIAN KIỂU MORREY–HERZ 22 2.1 Giới thiệu 22 2.2 Toán tử HΦ,Ω lớp trọng lũy thừa 25 2.3 b Giao hoán tử HΦ,Ω lớp trọng 40 Chương ƯỚC LƯỢNG CHUẨN CỦA TỐN TỬ HAUSDORFF ĐA TUYẾN TÍNH HΦ,A~ TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU MORREY–HERZ 49 3.1 Giới thiệu 49 3.2 Toán tử HΦ,A~ lớp trọng lũy thừa 52 3.3 Toán tử HΦ,A~ lớp trọng Muckenhoupt 66 Chương TÍNH BỊ CHẶN CHO GIAO HỐN TỬ CỦA TỐN TỬ HAUSDORFF TRÊN NHÓM HEISENBERG 79 4.1 Giới thiệu 79 4.2 b Giao hoán tử HΦ,Ω lớp trọng lũy thừa 81 4.3 b lớp trọng Muckenhoupt Giao hoán tử HΦ,Ω 86 4.4 b lớp trọng lũy thừa Giao hoán tử HΦ,A 90 4.5 b Giao hoán tử HΦ,A lớp trọng Muckenhoupt 97 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 102 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Rn |x| dx L q (Rn ) q Lω (Rn ) q Lω,loc (Rn ) không gian vectơ thực n chiều; chuẩn x Rn ; độ đo Haar; tập hàm khả tích bậc q Rn ; tập hàm khả tích bậc q Rn với độ đo dµ = ω(x)d x; tập hàm khả tích địa phương bậc q Rn ; nhóm Heisenberg có số chiều 2n + 2; modul x nhóm Heisenberg; hàm đặc trưng tập A; không gian Lipschitz Rn ; không gian tâm Morrey có trọng Rn ; ˙ α,p,q (Rn ) K khơng gian Herz có trọng Rn ; ω ˙ α,λ,p,q (Rn ) không gian Morrey-Herz có trọng MK ω Rn ; ˙ λ,q (Rn ) M không gian tâm Morrey có hai trọng v,ω Rn ; ˙ α,p,q (Rn ) khơng gian Herz có hai trọng Rn ; K v,ω ˙ α,λ,p,q (Rn ) không gian Morrey-Herz có hai trọng MK v,ω Rn ; HΦ,Ω tốn tử Hausdorff thơ; b HΦ,Ω giao hốn tử tốn tử Hausdorff thơ; b HΦ,A giao hốn tử toán tử ma trận Hausdorff; HΦ,A~ toán tử Hausdorff đa tuyến tính; Aξ trọng Muckenhoupt Hn |x|h χA Lipβ (Rn ) ˙ λ,q (Rn ) M ω MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Một chủ đề quan trọng giải tích điều hịa nghiên cứu tính bị chặn tốn tử T khơng gian Cụ thể hơn, có tốn chứng minh bất đẳng thức kT f kY ≤ Ck f kX , (1) C số dương, X , Y hai không gian với chuẩn tương ứng k · kX k · kY Như biết, tính bị chặn tốn tử xuất cách tự nhiên nghiên cứu số tốn quan trọng giải tích điều hịa, phương trình đạo hàm riêng hay lý thuyết khơng gian hàm Để thấy tầm quan trọng toán này, nhắc lại số toán quan trọng sau • Định lý khả vi Lebesgue phát biểu rằng: với hàm khả tích địa phương f khơng gian Rn , có Z lim f ( y)d y = f (x) r→0 |B(x, r)| B(x,r) với hầu khắp x Rn Để chứng minh toán này, người ta nghiên cứu hàm cực đại Hardy–Littlewood có tâm sau Z M f (x) = sup | f ( y)|d y, r>0 |B(x, r)| B(x,r) chứng minh hàm cực đại Hardy–Littlewood có tâm bị chặn yếu (1, 1) Chúng ta có định nghĩa hàm cực đại Hardy–Littlewood sau Z M f (x) = sup | f ( y)|d y, x∈B |B| B sup lấy tất hình cầu B khơng gian Rn • Xét tốn Dirichlet sau n P ∂ x2 u(x, t) + ∂ t2 u(x, t) = 0, i với (x, t) ∈ Rn × R+ , i=1 u(x, 0) = f (x), x ∈ Rn , hầu khắp f thuộc không gian L p (Rn ) với ≤ p < ∞ Để giải toán này, người ta xét u(x, t) = ( f ∗ Pt )(x), Pt (x) = t −n P(t −1 x) Γ n+1 P(x) = n+1 n+1 π (1 + |x|2 ) hạch Poisson Rõ ràng Pt (x , , x n , t) hàm điều hòa theo biến (x , , x n , t), nghĩa n X i=1 ∂i2 Pt + d2 d t2 Pt = Do hàm u(x, t) hàm điều hịa khơng gian Rn ×R+ hội tụ đến f không gian L p (Rn ) t dần Để giải toán Dirichlet bên trên, ta hội tụ điểm hầu khắp u(x, t) f t tiến Tuy nhiên, điều dễ dàng nhận từ bất đẳng thức sup |u(x, t)| ≤ M f (x), t>0 tính bị chặn yếu (p, p) hàm cực đại Hardy–Littlewood • Chúng ta xét thêm bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh Schră odinger nh sau i∂ t u(x, t) − ∆u(x, t) = 0, u(x, 0) = u (x) (x, t) ∈ Rn × R+ , Như biết, nghiệm u(x, t) tốn cho cơng thức u(x, t) = (e−i t∆ u0 )(x), u(x, t) = (e−i t∆ u0 )(x) xác định thông qua biến đổi Fourier −i t∆ u )(ξ) = e i t|ξ| uˆ (ξ) (eÚ 0 Để nghiên cứu tính quy nghiệm, cần đánh giá ke−i t∆ (u0 − v0 )kY ≤ Cku0 − v0 kX Do đó, ta đưa tốn việc xét tính bị chặn tốn tử tuyến tính e−i t∆ thông qua bất đẳng thức ke−i t∆ f kY ≤ Ck f kX Qua trường hợp trên, thấy phần tầm quan trọng việc nghiên cứu tính bị chặn tốn tử, khơng gian để giải tốn giải tích hay lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Ngồi việc chứng minh bất đẳng thức (1), toán quan trọng thú vị đưa điều kiện cần đủ để bất đẳng thức (1) Bên cạnh xác định số C tốt Với số lớp toán tử quan trọng giải tích điều hịa, ví dụ nghiên cứu hàm cực đại Hardy–Littlewood khó Chẳng hạn, xem [37], [64] tài liệu trích dẫn bên Năm 1920, G H Hardy [40] thiết lập bất đẳng thức tích phân kH f k L p (R+ ) ≤ p p−1 k f k L p (R+ ) , với < p < ∞ f hàm đo không âm (0; ∞) Hơn nữa, p số p−1 thu tốt Ở H toán tử Hardy định nghĩa Z x H f (x) = f (t)d t x Bất đẳng thức Hardy dạng mở rộng chúng giữ vai trò quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết không gian phiếm hàm (xem [2], [29], [53]) Năm 1984, C Carton-Lebrun M Fosset [22] giới thiệu tốn tử tích phân Hardy–Littlewood có trọng, tổng quát toán tử Hardy– Littlewood từ chiều lên nhiều chiều Kể từ đó, tốn tử Hardy– Littlewood có trọng thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới, chủ yếu tập trung nghiên cứu điều kiện cần đủ để tốn tử Hardy-Littlewood có trọng bị chặn không gian Lesbegue, Hardy, BMO, Herz, Morrey–Herz, Triebel–Lizorkin, Trong số trường hợp tính chuẩn tốn tử Một toán tử quan trọng giải tích điều hịa tốn tử Hausdorff Tốn tử có liên quan mật thiết đến tốn tính khả tổng chuỗi Fourier cổ điển Cho Φ hàm khả tích địa phương (0, ∞) Tốn tử Hausdorff chiều định nghĩa sau Z∞ Φ(t) x HΦ f (x) = f d t (2) t t χ (t) toán tử Hausdorff trở thành toán Rõ ràng, chọn Φ(t) = (1,∞) t tử Hardy bên Hơn nữa, với hàm Φ thích hợp tốn tử Hausdorff trở thành số tốn tử quan trọng giải tích như: tốn tử Cesàro, tốn tử Hardy–Littlewood–Pólya, tốn tử tích phân phân số Riemann–Liouville (xem [3], [12], [13], [30], [65]) Toán tử Hausdorff mở rộng đến khơng gian Rn Brown Móricz [6], độc lập nghiên cứu A Lerneran E Liflyand [54] Cụ thể hơn, cho ϕ hàm khả tích địa phương khơng gian Rn Tốn tử Hausdorff Hϕ,A tương ứng với hàm hạch ϕ định nghĩa Z Hϕ,A f (x) = ϕ(t) f (A(t)x)d t, x ∈ Rn , Rn A(t) ma trận vuông cấp n thỏa mãn det A(t) 6= với hầu khắp t thuộc giá ϕ Nếu lấy ma trận A(t) hàm ϕ thích hợp Hϕ,A trở thành số tốn tử quen thuộc giải tích Chi tiết xem báo tổng quan [56] tài liệu tham khảo trích dẫn bên Trong năm gần đây, toán tử Hausdorff giao hoán tử chúng kể trường hợp tuyến tính đa tuyến tính nhiều nhà tốn học nước giới quan tâm nghiên cứu Trong đó, tác giả tập trung thiết lập điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff giao hoán tử, đồng thời đánh giá chuẩn tốn tử Chi tiết hơn, tham khảo cơng trình [4], [5], [6], [7], [10], [11], [12], [16], [17], [20], [27], [39], [42], [43], [49], [51], [54], [55], [56], [57], [58], [59], [60], [80], [81] [82] Từ lý trên, GS TSKH Nguyễn Minh Chương TS Nguyễn Văn Tuấn gợi ý định hướng cho nghiên cứu đề tài Tính bị chặn tốn tử loại Hausdorff số khơng gian hàm Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn số lớp toán tử Hausdorff, số trường hợp ước lượng chuẩn toán tử Nghiên cứu tính bị chặn cho giao hốn tử tốn tử Hausdorff trường thực nhóm Heisenberg Cụ thể: • Ước lượng chuẩn tốn tử Hausdorff thơ, tính bị chặn cho giao hốn tử chúng không gian tâm Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz có trọng; • Ước lượng chuẩn tốn tử Hausdorff đa tuyến tính tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng; • Tính bị chặn cho giao hốn tử tốn tử Hausdorff thơ, giao hốn tử tốn tử ma trận Hausdorff nhóm Heisenberg Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Luận án lớp toán tử Hausdorff giao hoán tử chúng trường thực nhóm Heisenberg Lớp tốn tử chứa nhiều lớp toán tử toán tử Hardy, toán tử Hardy liên hợp, toán tử Cesàro, toán tử Hardy-Cesàro, tốn tử tích phân phân số Riemann-Liouville, tốn tử trung bình Hardy-Littlewood khơng gian kiểu Morrey-Herz có trọng Phạm vi nghiên cứu Luận án thể thơng qua nội dung sau: • Nội dung 1: Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff thơ HΦ,Ω không gian tâm Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz có trọng - Ước lượng chuẩn tốn tử Hausdorff thơ HΦ,Ω kết luận ước lượng chuẩn toán tử Hardy, toán tử Hardy liên hợp cho không gian với trọng lũy thừa - Nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn cho giao hoán tử b toán tử Hausdorff thô HΦ,Ω với biểu trưng thuộc không gian Lipschitz, không gian tâm Morrey, không gian Herz, không gian MorreyHerz có hai trọng • Nội dung 2: Ước lượng chuẩn tốn tử Hausdorff đa tuyến tính HΦ,A~ tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng lũy thừa - Kết luận ước lượng chuẩn tốn tử Hardy-Cềro đa tuyến tính tích khơng gian - Nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff đa tuyến tính HΦ,A~ tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng Muckenhoupt • Nội dung 3: Nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn giao b hốn tử tốn tử Hausdorff thơ HΦ,Ω nhóm Heisenberg với biểu trưng thuộc không gian `-tâm BMO, không gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt - Nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn b tử ma trận Hausdorff HΦ,A nhóm Heisenberg với biểu trưng thuộc không gian `-tâm BMO, không gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt Phương pháp nghiên cứu • Để nghiên cứu tính bị chặn tốn tử Hausdorff trường số thực nhóm Heisenberg, dựa vào phương pháp Coifman-Rochberg-Weiss [23] xây dựng không gian với biến đổi đặc trưng trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt Đánh giá đại lượng cách chia nhỏ, kết hợp với phép biến đổi áp dụng bất đẳng thức quan trọng giải tích Chiều ngược lại, sử dụng lược đồ mà Xiao [84] phát triển Trong đó, hàm thử lựa chọn để đưa ước lượng cho chuẩn tốn tử • Đối với nghiên cứu giao hoán tử, dựa phương pháp tiếng Coifman-Rochberg-Weiss [23] Trong đó, mấu chốt đưa ước lượng dao động trung bình kết hợp với số kĩ thuật đặc trưng tiếp cận toán tử Hausdorff xây dựng D Fan, Chen, Li, Fu, Lu cộng (xem [11], [12], [21], [32]) Kết luận án Luận án đạt kết sau đây: • Nghiên cứu điều kiện cần đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff thô HΦ,Ω không gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có trọng Ngồi ra, chúng tơi ước 10 lượng chuẩn tốn tử Hausdorff thơ HΦ,Ω kết luận ước lượng chuẩn toán tử Hardy, toán tử Hardy liên hợp cho không gian với trọng lũy thừa Hơn nữa, đưa điều b kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn tử Hausdorff thô HΦ,Ω với biểu trưng thuộc không gian Lipschitz, không gian tâm Morrey, không gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng • Ước lượng chuẩn tốn tử Hausdorff đa tuyến tính HΦ,A~ tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng lũy thừa Ngồi ra, chúng tơi ước lượng chuẩn tốn tử Hardy-Cềro đa tuyến tính tích khơng gian Hơn nữa, đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn tốn tử Hausdorff đa tuyến tính HΦ,A~ tích khơng gian tâm Morrey, khơng gian Morrey-Herz có hai trọng Muckenhoupt • Nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn giao hốn tử tốn tử b nhóm Heisenberg với biểu trưng thuộc khơng Hausdorff thô HΦ,Ω gian `-tâm BMO, không gian tâm Morrey, khơng gian Herz, khơng gian Morrey-Herz có trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt Đồng thời, đưa điều kiện đủ cho tính bị chặn giao b hoán tử toán tử ma trận Hausdorff HΦ,A nhóm Heisenberg với biểu trưng thuộc khơng gian `-tâm BMO, không gian tâm Morrey, không gian Herz, không gian Morrey-Herz có trọng lũy thừa trọng Muckenhoupt Các kết luận án có ý nghĩa khoa học giải tích điều hịa, phương trình đạo hàm riêng lý thuyết không gian hàm Hy vọng, thời gian tới thiết lập mối quan hệ tốn tử tích phân kì dị, tốn tử cực đại Hardy-Littlewood tốn tử Hausdorff Các kết luận án công bố 03 báo tạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế có uy tín (trong danh mục ISI Scopus), báo cáo tại: • Xêmina Giải tích Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 11 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị, danh mục cơng trình cơng bố danh mục tài liệu tham khảo Luận án gồm chương: • Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương sau; • Chương trình bày kết ước lượng chuẩn tốn tử Hausdorff thơ, tính bị chặn giao hốn tử khơng gian kiểu Morrey-Herz có trọng; • Chương trình bày kết ước lượng chuẩn toán tử Hausdorff đa tuyến tính khơng gian kiểu Morrey-Herz có hai trọng; • Chương trình bày kết tính bị chặn cho giao hốn tử Hausdorff nhóm Heisenberg 12 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết sử dụng toàn luận án Bởi luận án nghiên cứu số kết đồng thời trường số thực nhóm Heisenberg, số kiến thức sở không gian Lebesgue, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thc Hă older, iu kin Hă older ngc, s trình bày khơng gian đo tổng qt sử dụng cho hai trường hợp trường số thực nhóm Heisenberg Bên cạnh đó, chúng tơi nhắc lại khơng gian kiểu Morrey-Herz có trọng trình bày sơ lược nhóm Heisenberg 1.1 Khơng gian Lebesgue Giả sử (X , M, µ) khơng gian đo với µ độ đo σ-hữu hạn σ-đại số M không gian X Cho < q < ∞, kí hiệu L q (X , M, µ) hay L q (X ) gồm hàm f đo X thỏa mãn Z 1 q k f k L q (X ) = | f (x)|q dµ < ∞ (1.1) X Kí hiệu L ∞ (X ) gồm hàm giá trị phức, đo X cho k f k L ∞ (X ) = inf{B > : µ({x ∈ X : | f (x)| > B}) = 0} < ∞ (1.2) Khi L q (X ) với < q < ∞ không gian vectơ trường phức Hai hàm không gian L q (X ) gọi chúng điểm hầu khắp theo độ đo µ Với ≤ q < ∞, ta có L q (X ) không gian Banach với chuẩn k · k L q (X ) Trường hợp < q < 1, không gian L q (X ) tựa Banach với tựa chuẩn k · k L q (X ) Trường hợp X = Rn dµ(x) = ω(x)d x ω hàm đo q khơng âm, khả tích địa phương Rn ta kí hiệu Lω (Rn ) thay cho 13 L q (X ) Hơn nữa, hàm thử sử dụng phần luận án Ví dụ 1.1 ([84], trang 662) Với " > tùy ý Ta đặt f" (x) = 0 n |x|− q −" |x| ≤ |x| > Khi đó, f" thuộc L q (Rn ) với < q < ∞ Chứng minh Thật vậy, ta có Z Z q q f (x) d x = kf k q n = " L (R ) " Rn n nπ n < ∞ |x|−n−q" d x = q"Γ + |x|>1 Do đó, f" ∈ L q (Rn ) Định lí 1.1 (Định lí hội tụ Lebesgue [[33], trang 54]) Giả sử { f k }∞ k=1 dãy hàm L (X ) hội tụ điểm hầu khắp nơi theo độ đo µ đến hàm f X giả sử tồn hàm g ∈ L (X ) cho | f k (x)| ≤ g(x), µ-hầu khắp nơi X với k Khi đó, f ∈ L (X ) R R f (x)dµ = lim k→∞ X f k (x)dµ X nh lớ 1.2 (Bt ng thc Hă older [[70], trang 153]) Nếu f ∈ L q (X ) g ∈ L q (X ) f g ∈ L (X ) Hơn k f gk L (X ) ≤ k f k L q (X ) kgk L q0 (X ) , ≤ q, q0 ≤ ∞ thỏa mãn q + q10 = Định lí 1.3 (Bất đẳng thức Minkowski [[70], trang 159]) Giả sử (X , M, µ) (Y, N, ν) không gian đo σ-hữu hạn f (x, y) hàm giá trị phức vi ì -o c trờn X ì Y cho với ν-hầu khắp y ∈ Y, f (·, y) ∈ L q (X ) với ≤ q ≤ ∞ Khi q ! 1q Z Z 1 Z Z q q ≤ f (x, y) dµ(x) dν( y), f (x, y)dν( y) dµ(x) X Y Y X với giả thiết vế trái bất đẳng thức hữu hạn 14 Định lí 1.4 (Fubini [[33], trang 68]) Giả sử (X , M, µ) (Y, N, ν) không gian đo σ-hữu hạn f (x, y) hàm đo theo o = ì Nu f (x, y) khơng âm khả tích tập B ∈ M × N ta có Z Z Z Z Z f (x, y)dν f (x, y)d = AìB f (x, y)dà d dà = B A A B 1.2 Một số kí hiệu không gian hàm Cho kT kX →Y chuẩn tốn tử T hai khơng gian vectơ định chuẩn X , Y Với a ∈ Rn r > 0, kí hiệu B(a, r) hình cầu ntâm a với n Với bất bán kính r Kí hiệu Sn−1 = {x ∈ Rn : |x| = 1} |Sn−1 | = Γ2π kì số thực q > 0, kí hiệu q0 số thực liên hợp q cho 1q + q10 = Tiếp theo, viết a ® b có nghĩa có số dương C khơng phụ thuộc vào biến cho a ≤ C b Kí hiệu f ' g hiểu f tương đương với g (C −1 f ≤ g ≤ C f ) Cho E tập đo Lebesgue, kí hiệu χ E hàm đặc trưng E Hàm trọng ω hàm khơng âm khả tích địa phương Rn R ω(E) = E ω(x)d x Một số kí hiệu khác, χk = χCk , Bk = x ∈ Rn : |x| ≤ 2k Ck = Bk \ Bk−1 , với k ∈ Z Cho λ, λi số thực, β, γ, β1 , γ1 , , βm , γm số thực lớn −n ≤ p, q < ∞, ≤ pi , qi < ∞ với i = 1, , m thỏa mãn p1 + ··· + pm = p , q1 + ··· + 1 = qm q Cho ma trận A = (ai j )n×n khả nghịch có chuẩn xác định kAk = n X 1 2 |ai j | i, j=1 Ta có |Ax| ≤ kAk|x| với x ∈ Rn kAk−n ≤ | det(A−1 )| ≤ kA−1 kn Nếu Ai (t) ma trận thực trực giao với hầu khắp t Rn Ai (t) 15 thỏa mãn điều kiện ρA~ := ess sup kAi (t)k · kA−1 i (t)k < ∞ (1.3) t∈Rn ,i=1, ,m −1 Khi đó, kAi (t)k ' kA−1 i (t)k −η kAi (t)kη ® kA−1 i (t)k , với η ∈ R, −η η n |Ai (t)x|η ¦ kA−1 i (t)k |x| , với η ∈ R, x ∈ R (1.4) (1.5) q Không gian Lω (Rn ) với < q < ∞ gồm tập hàm f ∈ L q (Rn ) có 1 Z q k f k Lωq (Rn ) = | f (x)|q ω(x)d x < ∞ Rn q Không gian Lω,loc (Rn ) gồm hàm f đo Rn thỏa mãn R | f (x)|q ω(x)d x < ∞, với tập compact K Rn Không K q q gian Lω,loc (Rn \ {0}) định nghĩa tương tự không gian Lω,loc (Rn ) Tiếp theo, nhắc lại định nghĩa không gian Lipschitz, không gian như: không gian tâm Morrey, không gian Herz khơng gian Morrey-Herz trường hợp có trọng có hai trọng Thông tin không gian ứng dụng giải tích, tham khảo [1], [9] [15] sách chuyên khảo [63] Định nghĩa 1.1 Cho < β ≤ Không gian Lipschitz Li pβ (Rn ) gồm hàm f : Rn → C cho k f k Lipβ (Rn ) = | f (x) − f ( y)| sup x, y∈Rn , x6= y |x − y|β < ∞ Không gian Morrey giới thiệu Ch B Jr Morrey (xem [66]) nghiên cứu hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, ứng dụng nghiên cứu tính quy nghiệm Đặc biệt, với hệ eliptic phi tuyến, sử dụng để nghiên cứu tính bị chặn số toán tử cổ điển giải tích điều hịa tốn tử Hardy-Littlewood cực đại, tốn tử tích phân kì dị Calderón-Zygmund (xem [50]) Về sau, khơng gian tâm Morrey có trọng (xem [1]) nghiên cứu xuất phát từ tính trơn nghiệm phương trình đạo hàm riêng 16 ... nghiên cứu Luận án lớp toán tử Hausdorff giao hoán tử chúng trường thực nhóm Heisenberg Lớp tốn tử chứa nhiều lớp toán tử toán tử Hardy, toán tử Hardy liên hợp, toán tử Cesàro, toán tử Hardy-Cesàro,... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐỨC DUYỆT TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ LOẠI HAUSDORFF TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học. .. Luận án nghiên cứu điều kiện đủ cho tính bị chặn số lớp toán tử Hausdorff, số trường hợp ước lượng chuẩn toán tử Nghiên cứu tính bị chặn cho giao hốn tử tốn tử Hausdorff trường thực nhóm Heisenberg