BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐOÀN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ N[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐỒN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐỒN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN TS TRỊNH TUẤN ANH HÀ NỘI-2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trịnh Tuấn Anh Các kết trình bày luận án trung thực, trí đồng tác giả đưa vào luận án chưa công bố công trình, luận văn, luận án khác Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận án thực mơn Giải tích, khoa Tốn-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trịnh Tuấn Anh Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, đặc biệt PGS.TS Lê Văn Hiện, có định hướng đắn dẫn sát cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả nguồn động lực lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua khó khăn nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin thầy giáo, giáo mơn Giải tích ln giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn bạn nghiên cứu sinh thành viên xemina Phương trình vi phân tích phân mơn Giải tích quan tâm, trao đổi góp ý cho tơi q trình học tập làm luận án Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp tổ Tốn-Tin, trường Trung học phổ thơng Chun Trần Phú, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Sau cùng, xin dành tình cảm lịng biết ơn chân thành tới gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tơi vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 15 1.1 M-ma trận 15 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ tính ổn định Lyapunov 16 1.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn 18 1.3.1 Khái niệm ổn định thời gian hữu hạn 18 1.3.2 Mối liên hệ tính ổn định thời gian hữu hạn với tính ổn định theo Lyapunov 19 1.3.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn hợp biến thiên 20 1.4 Tính tiêu hao số lớp phương trình vi phân có trễ 22 1.4.1 Cách tiếp cận bất đẳng thức Halanay số cải biên 23 1.4.2 Tính tiêu hao lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách tiếp cận phương pháp đổi biến 25 1.5 Một số kết bổ trợ 26 1.5.1 Đạo hàm Dini 26 1.5.2 Một số bổ đề bổ trợ 27 TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ 28 2.1 Mơ hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ 28 2.2 Tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ không đồng 30 2.3 Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng nghiệm mơ hình (2.1) 34 2.4 Ví dụ minh họa 36 2.5 Kết luận Chương 42 TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ 43 3.1 Thiết lập sơ 44 3.2 Tính tiêu hao tồn cục mơ hình (3.1) 46 3.2.1 Trường hợp hệ số phản hồi quy 46 3.2.2 Trường hợp hệ số phản hồi suy biến 50 3.3 Ví dụ minh họa 55 3.4 Kết luận Chương 59 TÍNH HÚT TỒN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN DƯƠNG CỦA MỘT MƠ HÌNH NICHOLSON CĨ TRỄ 61 4.1 Kết sơ 61 4.2 Nghiệm dương tồn cục tính bền vững 64 4.2.1 Sự tồn nghiệm dương toàn cục 64 4.2.2 Tính bền vững 67 4.3 Tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương 69 4.4 Điểm cân dương tính hút tồn cục 75 4.5 Ví dụ mơ 78 4.6 Kết luận Chương 80 Kết luận chung 82 Danh mục cơng trình cơng bố 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN [n] a,b Tập hợp n số nguyên dương {1, 2, , n} b biểu thức định nghĩa a R+ Tập số thực không âm Rn Không gian Euclide n chiều kxk∞ maxi∈[n] |xi |, chuẩn max vectơ x = (xi ) ∈ Rn Rm×n Tập hợp ma trận cấp m × n A⊤ Ma trận chuyển vị ma trận A A>0 Ma trận A xác định dương, tức x⊤ Ax > 0, ∀x 6= Sn+ Tập ma trận đối xứng xác định dương Rn×n In Ma trận đơn vị Rn×n diag{a1 , , an } Ma trận chéo với phần tử a1 , a2 , , an đường chéo [A]ij Phần tử dòng i cột j ma trận A A0 Ma trận không âm, tức [A]ij ≥ với i, j A≻0 xy Rn+ ξ + (t.ư ξ+ ) λ(A) Ma trận dương, tức [A]ij > với i, j xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn y = (yi ) ∈ Rn Orthant dương {x ∈ Rn : x 0} maxi∈[n] ξi (t.ư mini∈[n] ξi ) với ξ ∈ Rn , ξ ≻ Tập hợp giá trị riêng ma trận A λmax (A), λmin (A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)} C([a, b], Rn ) Tập hàm giá trị Rn liên tục [a, b] D + v(t) lim suph→0+ v(t+h)−v(t) , h đạo hàm Dini bên phải MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết định tính phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải nhiều vấn đề đặt thực tiễn ứng dụng từ học, vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin đến mơ hình sinh thái học quần thể, kinh tế môi trường [1, 21] Trong thực tiễn, nhiều mơ hình ứng dụng mơ tả lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38] Sự xuất độ trễ ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ nói chung tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ mơ hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình thực tiễn vấn đề nghiên cứu có tính thời thu hút quan tâm nhiều tác giả nước năm gần [13] Đối với lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản lớp hệ tuyến tính dừng, hệ có trễ số vv, phương pháp hàm Lyapunov công cụ quan trọng hiệu để nghiên cứu tính ổn định Bằng việc xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, điều kiện ổn định hệ thiết lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Khi đó, cơng cụ giải số số thuật toán tối ưu lồi vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận lớp điều kiện LMIs đảm bảo tính ổn định hệ Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ mơ hình thực tiễn nhân tạo, hệ sinh thái, thường có cấu trúc phức tạp, dạng phi tuyến không dừng [30] Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng, cho lớp hệ đòi hỏi phải tiếp tục phát triển công cụ phương pháp nghiên cứu đặc thù Nhiều vấn đề mở hướng nghiên cứu lý thuyết định tính dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt lớp phương trình mơ tả mơ hình sinh thái học, cần tiếp tục nghiên cứu phát triển Đó lí động lực chúng tơi chọn chủ đề nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình sinh thái Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Trong hai thập kỉ gần đây, hệ động lực có cấu trúc mạng nơron nghiên cứu ứng dụng thành công nhiều lĩnh vực xử lí tín hiệu số, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số đặc biệt lĩnh vực trí tuệ nhân tạo [28, 34] Trong mơ hình đó, việc đảm bảo tính ổn định mạng nơron thiết kế quan trọng [40] Mặt khác, mơ hình mạng nơron, yếu tố trễ truyền tải không tránh khỏi trình xử lí truyền tín hiệu qua kênh với băng thông hạn chế Sự xuất trễ thời gian thường dẫn đến hiệu suất nguy làm tính ổn định mạng Trong cơng trình cơng bố, tính ổn định tính đồng nghiên cứu cho số mơ hình mạng nơron với trọng số kết nối nơron trễ bị chặn Các kết khơng áp dụng cho mơ hình mạng nơron với trễ tỉ lệ, lớp trễ sử dụng phổ biến mô tả động lực hệ có cấu trúc mạng [41] Chẳng hạn, với cấu trúc mạng nơron có nhiều tầng (layers), q trình xử lí truyền tín hiệu tầng thường mơ tả tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian Về dáng điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ với khoảng thời gian Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mơ hình mạng nơron với trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn so với lớp trễ khác, kể lớp trễ không bị chặn dạng phân phối Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov ứng dụng thành cơng nhiều tốn thực tiễn phát triển cách sâu rộng, khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định khoảng thời gian ngắn) mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng [2] Ra đời từ nửa sau kỉ XX [20], khái niệm ổn định thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt mơ hình điều khiển học [2] Một hệ động lực gọi ổn định thời gian hữu hạn cho trước ngưỡng điều kiện đầu (chẳng hạn lân cận trạng thái cân bằng), quỹ đạo nghiệm tương ứng hệ không vượt ngưỡng cho trước khoảng thời gian xác định trước Như vậy, khác với tính ổn định theo Lyapunov (LS), khái niệm thiên định tính, xác định dáng điệu nghiệm vô hạn, ổn định hữu hạn (FTS) khái niệm có tính định lượng Hơn nữa, LS FTS hai khái niệm độc lập theo nghĩa hệ FTS khơng ổn định theo Lyapunov ngược lại (xem phản ví dụ [16]) Trước báo [1] Danh mục công bố luận án này, chúng tơi chưa tìm thấy kết nghiên cứu đề cập đến tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Đây chủ đề chúng tơi nghiên cứu trình bày Chương luận án Cụ thể hơn, dựa báo [1] Danh mục cơng trình cơng bố, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau x′i (t) = − (t)xi (t) + + n X j=1 n X bij (t)fj (xj (t)) j=1 (1) cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), i ∈ [n], t > Dựa số kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi phân, thiết lập điều kiện đảm bảo tính ổn định hệ (1) khoảng thời gian hữu hạn cho trước 2.2 Tính tiêu hao lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên Rất nhiều tốn vật lí kĩ thuật mơ tả hệ phương trình vi phân hàm có tính tiêu hao [32] Đặc tính tiêu hao hệ vi phân thể qua tồn compact gọi tập hấp thụ bị chặn mà quỹ đạo trạng thái hệ vào nguyên sau thời gian hữu hạn Các nghiên cứu tính tiêu hao hệ cho biết dáng điệu tiệm cận nghiệm, vấn đề trọng tâm nghiên cứu định tính hệ phương trình vi phân ứng dụng Trong Chương luận án chúng tơi nghiên cứu tốn phân tích tính tiêu hao lớp hệ phương trình vi phân mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ không đồng dạng sau x′i (t) = −ai (t)xi (t) + + n X j=1 n X j=1 bij (t)fj (xj (t)) (2) cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, i ∈ [n] Để phân tích tính tiêu hao hệ phương trình vi phân dạng (2), chúng tơi phát triển số kĩ thuật so sánh dựa lý thuyết M-ma trận để thiết lập điều kiện đảm bảo tồn tập hấp thụ dạng mũ suy rộng hai trường hợp: (i) hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế nơron) thỏa mãn điều kiện quy, (t) ≥ > 0, (ii) hệ số tự phản hồi suy biến, tức (t) > inf t≥0 (t) = Nội dung chương trình bày dựa báo [2] Danh mục cơng trình cơng bố 10 2.3 Sự tồn tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến Các mơ hình tốn học đóng vai trị quan trọng việc mơ tả động lực mơ hình thực tiễn [11,30] Ví dụ, [29], Nicholson sử dụng phương trình vi phân N ′ (t) = −αN(t) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) , (3) α, β , γ số dương, để mô tả sinh trưởng quần thể lồi ve châu Úc Mơ hình (3) sau thường gọi mơ hình Nicholson sử dụng phổ biến lĩnh vực động lực học dân số sinh thái học quần thể Trong năm gần đây, lý thuyết định tính mơ hình Nicholson biến thể nghiên cứu phát triển cách rộng rãi [3,4] Chẳng hạn, dáng điệm tiệm cận nghiệm tuần hồn dương số mơ hình Nicholson có trễ nghiên cứu [22,25,26] [17] Mơ hình Nicholson với số hạng mô tả yếu tố đánh bắt hay thu hoạch nghiên cứu [10, 23, 27, 35] Gần đây, báo [6], vấn đề tính ổn định tính hút nghiên cứu cho lớp hệ Nicholson n chiều với hệ số số trễ biến thiên Hầu hết kết công bố nghiên cứu cho mơ hình Nicholson với tốc độ suy giảm (mortality rate) số lượng cá thể (sau gọi tắt dân số) tuyến tính Như [3], mơ hình với tốc độ suy giảm phụ thuộc tuyến tính vào mật độ thường quần thể có mật độ thấp Theo nhà hải dương học, nhiều mơ hình thủy sản khu bảo tồn biển mô tả phương trình vi phân trễ mơ hình Nicholson với tốc độ suy giảm phụ thuộc phi tuyến vào mật độ [3] dạng N ′ (t) = −D(N(t)) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) , tỉ lệ tử vong D(N) có dạng D(N) = a − be−N (type-I) 11 D(N) = aN b+N (type-II) với a, b số dương Trong Chương luận án này, nghiên cứu tồn tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ ′ N (t) = −D(t, N(t)) + p X k=1 βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t)) (4) với tốc độ suy giảm dân số phụ thuộc phi tuyến vào trạng thái, D(t, N) = a(t) − b(t)e−N Dựa số kĩ thuật so sánh bất đẳng thức vi-tích phân, trước hết chúng tơi tính bền vững tính tiêu hao mơ hình Nicholson (4) Trên sở tính tiêu hao bền vững đều, chứng minh tồn tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương phương trình vi phân phi tuyến dạng (4) Áp dụng kết tổng quát cho mơ hình Nicholson với hệ số số, thu số kết tồn tại, tính hút tồn cục điểm cân dương mơ hình tương ứng Nội dung chương viết dựa báo [3] Danh mục cơng trình cơng bố Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng kết hợp công cụ giải tích cổ điển, phương trình vi phân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân nguyên lí so sánh, lý thuyết ổn định Lyapunov phương pháp sử dụng phiếm hàm lượng kiểu Lyapunov Đặc biệt, luận án, phát triển số kĩ thuật so sánh để thiết lập điều kiện thơng qua lý thuyết M-ma trận đảm bảo tính ổn định, tính tiêu hao điều kiện cho tồn nghiệm tuần hoàn dương lớp phương trình vi phân nghiên cứu luận án Kết đạt luận án Luận án đạt kết sau đây: 12 Thiết lập điều kiện thông qua tính chất phổ M-ma trận đảm bảo tính ổn định hữu hạn tính đồng với tốc độ lũy thừa mơ hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Chứng minh tính tiêu hao tồn cục lớp hệ phương trình vi phân mơ tả lớp mạng nơron dạng Hopfiled hai trường hợp hệ số phản hồi thỏa mãn điều kiện quy hệ số phản hồi suy biến Chứng minh tồn tồn cục, tính bền vững tính tiêu hao nghiệm dương mơ hình Nicholson có trễ với hàm suy thối phi tuyến Đưa điều kiện chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn dương hút toàn cục mơ hình Nicholson nói Một áp dụng với mơ hình Nicholson hệ số số chứng minh tồn điểm cân dương hút toàn cục đưa Các kết luận án công bố 03 báo tạp chí quốc tế danh mục ISI báo cáo tại: • Xemina Phương trình vi phân tích phân, Bộ mơn Giải tích, khoa Toán- Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Hội nghị khoa học nghiên cứu sinh, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội • Xemina Phịng Tối ưu Điều khiển, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố tài liệu tham khảo, luận án gồm chương 13 • Chương trình bày số kết liên quan tính ổn định hữu hạn, tính tiêu hao hệ phương trình vi phân có trễ số kết bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương sau luận án • Chương nghiên cứu tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ khơng đồng • Chương trình bày kết nghiên cứu tính tiêu hao tồn cục lớp phương trình vi phân mơ hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ • Chương nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm tuần hồn dương mơ hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thối phi tuyến 14 Chương SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết bổ trợ giải tích ma trận, phương trình vi phân lý thuyết ổn định theo Lyapunov Đồng thời, chúng tơi trình bày sơ số kết liên quan tính ổn định thời gian hữu hạn lớp phương trình vi phân hàm tuyến tính làm sở cho việc trình bày nội dung luận án chương sau 1.1 M-ma trận Trong mục giới thiệu sơ vài tính chất M-ma trận từ sách [5] Ma trận A = (aij ) ∈ Rn×n gọi M-ma trận aij ≤ với i 6= j định thức A dương Ma trận B = (bij ) ∈ Rm×n ma trận khơng âm, kí hiệu B 0, bij ≥ với i, j Tính chất sau sử dụng chứng minh kết Chương Mệnh đề 1.1.1 Cho A = (aij ) ma trận với aii > 0, i ∈ [n] Các khẳng định sau tương đương: (i) A M-ma trận không suy biến; (ii) Reλj > với giá trị riêng λj ma trận A; (iii) Tồn ma trận B số s > ρ(B) cho A = sIn − B , ρ(B) = max{|λj | : λj ∈ λ(B)} bán kính phổ ma trận B ; (iv) Tồn vectơ ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0, cho Aξ ≻ 0; (v) Tồn vectơ η ∈ Rn , η ≻ 0, cho AT η ≻ 15 Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A ∈ Rn×n M-ma trận khơng suy biến Khi đó, tồn vectơ χ ∈ Rn , χ ≻ 0, cho kχk∞ = Aχ ≻ 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ tính ổn định Lyapunov Với số thực r ≥ cho trước, kí hiệu C = C([−r, 0], Rn ) không gian Banach hàm liên tục đoạn [−r, 0] với chuẩn kφkC = sup−r≤s≤0 kφ(s)k Xét tốn giá trị ban đầu cho phương trình vi phân hàm sau x′ (t) = f (t, xt ), t ≥ t0 , xt0 = φ, (1.1) f : D = [t0 , ∞) × C → Rn φ ∈ C hàm ban đầu Sự tồn nghiệm địa phương tốn (1.1) cho định lí Định lí 1.2.1 ([15]) Giả sử f : D → Rn hàm liên tục, Lipschitz địa phương theo biến thứ hai D Khi đó, với φ ∈ C , tồn tφ ∈ (t0 , ∞] cho (i) Tồn nghiệm x(t, φ) (1.1) khoảng [t0 , tφ ); (ii) Trên đoạn [t0 , t1 ] ⊂ [t0 , tφ ), nghiệm x(t, φ) nhất; (iii) [t0 , tφ ) khoảng tồn cực đại nghiệm x(t, φ); (iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f Trong Định lí 1.2.1, hàm f thỏa mãn thêm điều kiện kiểu tăng trưởng tuyến tính kf (t, φ)k ≤ a(t)kφkC + b(t), (1.2) a(.), b(.) hàm liên tục, nghiệm x(t, φ) tồn toàn cục, tức tφ = ∞ Tổng quát hơn, hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo kf (t, φ)k ≤ Φ (t, kφkC ) , (t, φ) ∈ D, (1.3) Φ : [t0 , ∞) × R+ → (0, ∞) hàm liên tục, không giảm theo t thỏa mãn Z ∞ ds = ∞, Φ(t, s) 16 t0 ≤ t < ∞, nghiệm x(t, φ) tồn xác định [t0 , ∞) Giả sử hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện cho với t0 ∈ [0, ∞) φ ∈ C , tốn (1.1) có nghiệm xác định [t0 , ∞) Để xét tính ổn định nghiệm x∗ (t) hệ (1.1), sử dụng phép biến đổi z = x − x∗ ta đưa đến hệ dạng (1.1) với hàm vế phải f˜(t, zt ) = f (t, zt + x∗t ) − f (t, x∗t ) Rõ ràng f˜(t, 0) = Do đó, để đơn giản kí hiệu, chúng tơi giả sử f (t, 0) = 0, tức (1.1) có nghiệm x = Định nghĩa 1.2.1 ([13, 15]) Nghiệm x = (1.1) gọi ổn định (theo nghĩa Lyapunov) với ǫ > 0, t0 ∈ R+ , tồn δ(t0 , ǫ) > cho kφkC < δ(t0 , ǫ) kéo theo kx(t, φ)k < ǫ với t ≥ t0 Nghiệm x = (1.1) gọi ổn định số δ nói khơng phụ thuộc t0 Định nghĩa 1.2.2 ([13]) Nghiệm x = (1.1) gọi ổn định tiệm cận x = ổn định tồn số δa > cho với η > tồn T = T (δa , η) > cho kφkC < δa kéo theo kx(t, φ)k < η với t ≥ t0 + T (δa , η) Hơn nữa, số δa chọn tùy ý nghiệm x = gọi ổn định tiệm cận toàn cục Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm x = gọi ổn định mũ toàn cục (GES) tồn số dương α, β cho nghiệm x(t, φ) (1.1) thỏa mãn đánh giá mũ kx(t, φ)k ≤ βkφkC e−α(t−t0 ) , t ≥ t0 (1.4) Giả sử V : R+ × C → R hàm liên tục x(t, φ) nghiệm (1.1) qua (t0 , φ) Đạo hàm V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) xác định h i V ′ (t, φ) = lim sup h→0+ h V (t + h, xt+h (t, φ)) − V (t, φ) , xt (.) kí hiệu đoạn quỹ đạo {x(t + θ) : θ ∈ [−r, 0]} Định lí 1.2.2 (Định lí Lyapunov-Krasovskii [13]) Giả sử f : R × C → Rn biến tập R × Ω, Ω tập bị chặn C , thành tập bị chặn Rn u, v, w : R+ → R+ hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = u(s) > 0, 17 v(s) > s > Nếu tồn phiếm hàm liên tục V : R × C → R+ thỏa mãn u(kφ(0)k) ≤ V (t, φ) ≤ v(kφkC ), ∀φ ∈ C, (1.5) đạo hàm V (t, φ) dọc theo hệ (1.1) xác định âm theo nghĩa V ′ (t, φ) ≤ −w(kφ(0)k) (1.6) Khi đó, nghiệm x = (1.1) ổn định Nếu w(s) > với s > nghiệm x = (1.1) ổn định tiệm cận Hơn nữa, lims→∞ u(s) = ∞ nghiệm x = ổn định tiệm cận tồn cục 1.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn 1.3.1 Khái niệm ổn định thời gian hữu hạn Ra đời từ nửa sau kỉ XX [20], khái niệm ổn định thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt mơ hình điều khiển học [2] Khác với tính ổn định theo Lyapunov, khái niệm thiên định tính, xác định dáng điệu nghiệm vơ hạn, ổn định hữu hạn khái niệm có tính định lượng Cụ thể hơn, hệ ổn định thời gian hữu hạn cho trước ngưỡng điều kiện đầu, quỹ đạo nghiệm tương ứng hệ không vượt ngưỡng cho trước đoạn thời gian xác định trước Để minh họa rõ hơn, ta xét lớp hệ phương trình vi phân thường sau x′ (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 , (1.7) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ Định nghĩa 1.3.1 ([2]) Cho trước số dương T tập X0 , Xt Rn , hệ (1.7) gọi ổn định hữu hạn (t0 , T, X0 , Xt ) với x0 ∈ X0 , quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t; t0 , x0 ) (1.7) thỏa mãn x(t; t0 , x0 ) ∈ Xt , ∀t ∈ [t0 , t0 + T ] 18 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐỒN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI Chun ngành: Phương trình vi phân. .. đến dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ nói chung tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ mơ hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình. .. chủ đề nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình sinh thái Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron