Luận án tiến sĩ toán học tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HOÀN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu Luận án Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa trung tính cơng trình nghiên cứu riêng tơi Luận án hồn thành hướng dẫn khoa học tập thể TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Các kết Luận án hoàn toàn trung thực chưa tác giả khác công bố công trình nghiên cứu Hà Nội, ngày 26 tháng 01 năm 2021 Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh TS Vũ Thị Ngọc Hà TS Lê Huy Tiễn Nguyễn Thị Loan LỜI CẢM ƠN Luận án thực trường Đại học Bách khoa Hà Nội, hướng dẫn tập thể TS Vũ Thị Ngọc Hà (Trường Đại học Bách khoa Hà Nội) TS Lê Huy Tiễn (Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội) Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai giáo viên hướng dẫn mình, người tận tình giúp đỡ đường khoa học Đặc biệt TS Vũ Thị Ngọc Hà, động viên, khích lệ cô giúp vượt qua nhiều trở ngại để vững tâm học tập Trong trình học tập, nghiên cứu Trường Đại học Bách khoa Hà Nội tham gia seminar ”Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng” PGS.TSKH.Nguyễn Thiệu Huy điều hành, Thầy bảo tận tình, Thầy ln tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi, sáng tạo Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ kính trọng đến Thầy Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên nhóm seminar có đóng góp, chia sẻ giúp thuận lợi nghiên cứu Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, ban lãnh đạo thầy cô Viện Tốn ứng dụng Tin học, thầy mơn Tốn Đại học Bách khoa Hà Nội giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện q trình nghiên cứu tơi Tơi xin bày tỏ cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Sau cùng, xin dành lời cảm ơn cho gia đình, bạn bè, người ln khuyến khích, động viên chia sẻ khó khăn sống để tơi n tâm học tập hồn thành luận án MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu 10 Phương pháp nghiên cứu 12 Kết luận án 12 Cấu trúc luận án 13 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh 15 1.2 Tính ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm 17 1.3 Không gian hàm Banach chấp nhận 19 1.4 Không gian giảm nhớ 22 1.5 Nhị phân mũ họ tiến hóa 24 1.6 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính 27 1.7 Bất đẳng thức nón 28 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH 29 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến 2.3 tính 35 Nghiệm tuần hoàn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 37 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH CĨ TRỄ HỮU HẠN TRONG KHƠNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 3.1 3.2 49 Nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn không gian hàm chấp nhận 51 Trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 55 Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH CĨ TRỄ VƠ HẠN TRONG KHƠNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC 4.1 72 Nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa trung tính có trễ vơ hạn không gian hàm chấp nhận 75 4.2 Nghiệm tuần hồn trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ 78 4.3 Đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 97 Những kết đạt 97 Đề xuất số hướng nghiên cứu 98 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 CHỈ MỤC 106 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R : Tập số thực R+ : Tập số thực không âm R− : Tập số thực không dương C : Tập số phức    1/p   Z   p   := R → R : kukp = |u(x)| dx < +∞ , ≤ p < ∞     Lp (R) R L1,loc (R+ ) := {u : R → R+ | u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R+ } ω ⊂⊂ R+ nghĩa bao đóng ω tập compact R+ X : Không gian Banach E : Không gian hàm Banach chấp nhận C := C([−r, 0], X)- không gian hàm liên tục [−r, 0], r > 0, nhận giá trị X trang bị chuẩn kukC = sup ku(t)k t∈[−r,0] Cγ : Không gian hàm liên tục (−∞, 0], nhận giá trị X kφ(θ)k kφ(θ)k = 0, trang bị chuẩn kφkγ = sup −γθ , γ > −γθ θ→−∞ e θ≤0 e lim Cb (I, X) : Không gian hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trongX, xác định I trang bị chuẩn kuk∞ = sup ku(t)k, t∈I với I R, R+ , R− , [−r, ∞)   Zt+1   M(R+ ) := f ∈ L1, loc (R+ ) : sup |f (τ )|dτ < ∞ ,   t≥0 t Zt+1 với chuẩn kf kM := sup |f (τ )|dτ t≥0 t M := {f : R+ → X | kf (·)k ∈ M} với chuẩn kf kM := kkf (·)kkM MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Phương trình vi phân công cụ quan trọng để mô tả tượng tự nhiên kỹ thuật trình truyền nhiệt, trình phản ứngkhuếch tán, mơ hình cạnh tranh, Trong lớp phương trình vi phân mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái khứ lẫn hệ trạng thái tương lai, tức phương trình vi phân vừa có “trễ” (“delay”) vừa có “sớm” (“advanced”), gọi phương trình vi phân “trung tính” (“neutral”) (xem [1, 2]) Với phương trình vi phân trung tính, việc nghiên cứu tồn ổn định nghiệm chúng phức tạp Khi đó, cách chọn khơng gian tốn tử thích hợp, lớp phương trình viết lại dạng phương trình trung tính trừu tượng khơng gian Banach thường gọi phương trình tiến hóa trung tính Trong luận án chúng tơi xét lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), dt t ≥ 0, u0 = φ, (1) với φ thuộc khơng gian hàm C khơng gian giảm nhớ Cγ , tốn tử tuyến tính t 7→ A(t) khơng bị chặn khơng gian Banach X T tuần hồn theo biến t, toán tử sai phân F : C → X tuyến tính bị chặn, tốn tử trễ phi tuyến g : R+ × C → X T -tuần hoàn liên tục Lipschitz ϕ-Lipschitz Hàm ut gọi hàm lịch sử ("history function") định nghĩa ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] θ ∈ (−∞, 0] Phương trình tiến hóa trung tính phát sinh từ nhiều ứng dụng hệ sinh thái quần thể, hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, Ta tham khảo Wu [3], Wu & Xia [4], với nhiều ví dụ ứng dụng dạng phương trình cho mạng lưới đường dây truyền tải Chẳng hạn, tác giả xét mạng lưới mơ hình tương ứng với phương trình ∂2 ∂ F ut = a F ut + Φut , ∂t ∂x hàm u thuộc C := C([−r, 0], X) với r > không gian Banach X hàm đường tròn đơn vị S , tức X = H (S ) X = C(S ), hàm lịch sử ut xác đinh ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] t ≥ Các toán tử tuyến tính F Φ bị chặn từ C([−r, 0], X) → X gọi toán tử sai phân tốn tử trễ Lý thuyết phương trình tiến hóa trung tính sau phát triển nhiều tác giả khác (xem Adimy & Ezzinbi [5], Wu and H Xia [6], Adimy, Ezzinbi & Laklach [7], Adimy, Bouzahir & Ezzinbi [8] tài liệu tham khảo đó) Trong Hale [9, 10] nghiên cứu tính chất định tính nghiệm lớp phương trình tiến hóa trung tính ơ-tơ-nơm, mang lại kết quan trọng tính ổn định, tính hút rẽ nhánh nghiệm xung quanh trạng thái dừng Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa trung tính (1), khơng thể khơng nghiên cứu đến tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình chứng minh tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hồn trường hợp tốn tử A(t), hàm phi tuyến g(t, ψ) T -tuần hoàn theo t Điểm qua lại lịch sử tốn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân Năm 1950 Massera (xem [11]) nghiên cứu chứng minh mối liên hệ nghiệm bị chặn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân thường Sau Zubelevich mở rộng vào năm 2006 (xem [12]) Với phương trình vi phân hàm, nhìn chung có số phương pháp thường sử dụng, phương pháp Massera (xem [13, 14]), phương pháp điểm bất động, chẳng hạn Hale & Lopes [15], Chow & Hale [16], Benkhalti, Bouzahir & Ezzinbi [17] Benkhalti, Elazzouzi & Ezzinbi [18] Cách tiếp cận phổ biến sử dụng theo hướng tính bị chặn nghiệm tính compact ánh xạ Poincaré thơng qua s phộp nhỳng compact (xem Serrin [19], Yoshizawa [20], Pră uss [21, 22], Burton [23], Liu, N’Guerekata & Minh [24]) Tuy nhiên, số tình thực tế, chẳng hạn trường hợp phương trình vi phân đạo hàm riêng với miền không bị chặn (theo tất hướng) phương trình có nghiệm khơng bị chặn phép nhúng compact khơng áp dụng việc lựa chọn véc tơ ban đầu thích hợp (hoặc có điều kiện) để đảm bảo tính bị chặn nghiệm xuất phát từ véc tơ khơng dễ dàng Để vượt qua khó khăn này, chúng tơi sử dụng định lý dạng Massera, tức định lý chứng minh phương trình vi phân có nghiệm bị chặn có nghiệm tuần hồn Huy [25] sử dụng phương pháp Massera kết hợp với hàm tử nội suy để tồn nghiệm tuần hồn dịng chất lỏng xung quanh chướng ngại vật quay, đó, khơng gian nội suy sử dụng kết hợp với phương pháp ergodic Sau đó, Geissert, Hieber & Huy [26] kết hợp hàm tử nội suy với tính trơn nửa nhóm lập luận tơ pơ thu nghiệm tuần hồn tốn dịng chất lỏng Gần đây, Huy & Dang [13, 14, 27, 28] sử dụng phương pháp ergodic để chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn phương trình; sau kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức nón chứng minh tồn tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn số lớp phương trình tiến hóa khơng ơ-tơ-nơm có trễ hữu hạn vơ hạn Mở rộng sang phương trình tiến hóa trung tính, tốn nghiệm tuần hồn đến có nhiều hấp dẫn, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, Mặt khác, lý thuyết định tính nghiệm phương trình vi phân, tồn đa tạp tích phân vấn đề trọng điểm cần nghiên cứu Các kết đa tạp tích phân góp phần mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Vì mà thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Khởi đầu kết Hadamard [29], Perron [30, 31], Bogoliubov & Mitropolsky [32, 33], nghiên cứu tồn đa tạp bất biến phương trình vi phân Rn Năm 2009, Huy [34] tồn đa tạp bất biến phương trình tiến hóa khơng ơ-tơ-nơm nửa tuyến tính khơng gian Banach Tiếp sau đó, Huy [35] chứng minh tồn loại đa tạp bất biến mới, đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận Vẫn tiếp nối mạch nghiên cứu, năm 2014 Huy & Duoc [36] tồn đa tạp ổn định bất biến đa tạp tâm ổn định cho phương trình tiến hóa có trễ Gần đây, nghiên cứu Huy & Bằng (xem [37, 38, 39, 40]), với việc sử dụng lý thuyết không gian hàm chấp nhận tác giả tồn đa tạp ổn định bất biến, đa tạp không ổn định, đa tạp tâm nghiệm đủ tốt (xem [41]) (“mild solution") phương trình tiến hóa trung tính trường hợp trường hợp phần tuyến tính có nhị phân mũ với điều kiện tổng quát toán tử trễ phi tuyến Và Luận án vừa công bố cổng thông tin Đào tạo trường Đại học Bách khoa Hà Nội (xem [42]) chứng minh tồn đa tạp ổn định, không ổn định, đa tạp tâm phương trình tiến hóa trung tính xung quanh nghiệm khơng phương trình Tuy nhiên, tồn đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính đến nhiều vấn đề cần nghiên cứu Những phân tích lý để chúng tơi chọn đề tài “Tính tuần hồn ổn định nghiệm phương trình tiến hóa trung tính” Bằng cách sử dụng phương pháp Masera lý thuyết nửa nhóm, chuỗi Neumann, nguyên lý điểm bất động điều kiện liên tục Lipschitz ϕ-Lipschitz kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận chứng minh tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Mặt khác, với việc sử dụng phương trình Lyapunov-Perron kết hợp bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức nón cho đánh giá tính ổn định tồn đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính khơng gian Banach X có dạng dF ut = A(t)F ut + g(t, ut ), t ∈ [0, +∞), dt (2) với điều kiện: • Tốn tử t 7→ A(t) tuyến tính (có thể không bị chặn) không gian Banach X T -tuần hồn theo biến t • Tốn tử F : H → X tuyến tính bị chặn gọi tốn tử sai phân ("difference operator"), H không gian hàm C Cγ với C := C([−r, 0], X), Cγ không gian giảm nhớ (”fading memory spaces”) định nghĩa chương I, mục 1.4 • Hàm ut gọi hàm lịch sử xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] phương trình có trễ hữu hạn θ ∈ (−∞, 0] phương trình có trễ vơ hạn • Tốn tử phi tuyến g : R+ × H → X gọi tốn tử trễ, T -tuần hồn xét trường hợp sau: – Trường hợp Toán tử g liên tục Lipschitz theo φ ∈ C, không gian H không gian hàm C – Trường hợp Toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận M (xem mục 1.3, Ví dụ 1.1), H khơng gian hàm C, phương trình có trễ hữu hạn – Trường hợp Toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận M, H không gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vơ hạn Khi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (1), chúng tơi gặp phải khó khăn chung là: Các tốn tử d dt A(t) không tác động trực tiếp vào trạng thái u(t) mà vào F ut , đó, cơng thức biến thiên số có giá trị F ut (xem cơng thức (2.18)) Để khắc phục khó khăn này, xun suốt luận án, chúng tơi giả thiết tốn tử sai phân F biểu diễn dạng F = δ0 − (δ0 − F ), với δ0 hàm Dirac tập trung (xem [1, Chương 3]) Khi đó, với số điều kiện tốn tử Ψ := δ0 − F, sử dụng phương pháp Massera kết hợp với chuỗi Neumann nhận số đánh giá kết tính tuần hồn cho trạng thái u Như biết, sử dụng thủ tục đổi chuẩn để tính nhỏ Ψ thay điều kiện Ψ khơng có trọng Trong trường hợp đó, Ψ biểu diễn tích phân với hạch η có biến phân bị chặn Tính chất “khơng có trọng 0” tương đương với điều kiện “phi nguyên tử 0” η (xem Wu [3], Huy & Bang [37]) Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: (i) Nghiên cứu tồn tại, nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) trường hợp toán tử phi tuyến g liên tục Lipschitz, ϕ-Lipschitz với hàm Lipschitz phụ thuộc vào thời gian t thuộc không gian hàm chấp nhận được, giá trị ban đầu thuộc khơng gian hàm C phương trình có trễ hữu hạn khơng gian giảm nhớ Cγ phương trình có trễ vơ hạn 10 (ii) Nghiên cứu tính ổn định nghiệm xung quanh nghiệm tuần hoàn lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) (iii) Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) tốn tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc t thuộc khơng gian hàm chấp nhận • Đối tượng nghiên cứu luận án: Tính chất nghiệm tuần hồn dáng điệu tiệm cận nghiệm số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) với số điều kiện thay đổi toán tử trễ phi tuyến g • Phạm vi nghiên cứu Luận án: Trong luận án nghiên cứu số lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng (2) với số trường hợp toán tử trễ phi tuyến g Cụ thể: – Nội dung Xét trường hợp tốn tử g liên tục Lipschitz, phương trình có trễ hữu hạn Trường hợp sử dụng không gian hàm liên tục bị chặn nhận giá trị không gian Bannach X để chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hoàn, kết hợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Growall để chứng minh tính ổn định (có điều kiện) nghiệm xung quanh nghiệm tuần hồn – Nội dung Xét trường hợp toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc khơng gian hàm chấp nhận được, phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn Khi đó, ngồi việc chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn, tính ổn định, chúng tơi cịn chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn nhờ bất đẳng thức nón định lý ánh xạ co – Nội dung Xét trường hợp toán tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz ϕ thuộc khơng gian hàm chấp nhận phương trình có trễ vơ hạn Bằng việc sử dụng khơng gian giảm nhớ, tồn tại, nhất, tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn tồn đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình chứng minh 11 Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp Massera với chuỗi Neumann, kết hợp lý thuyết nửa nhóm dạng toán tử sai phân F để chứng minh tồn tại, tính nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính • Sử dụng nguyên lý điểm bất động, điều kiện liên tục Lipschitz ϕLipschitz kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận để chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính • Dựa vào phương trình Lyapunov-Perron kết hợp với tính chấp nhận không gian hàm để chứng minh tồn nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa trung tính họ tiến hóa có nhị phân mũ • Sử dụng phương trình Lyapunov-Perron, chuỗi Neumann kết hợp bất đẳng thức Gronwall bất đẳng thức nón nguyên lý điểm bất động ánh xạ co cho đánh giá xét tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính • Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron để chứng minh tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Kết luận án Luận án đạt số kết sau đây: • Chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều kiện số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) trường hợp: (i) Toán tử phi tuyến g liên tục Lipschitz phương trình có trễ hữu hạn (ii) Tốn tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ hàm phụ thuộc t thuộc không gian hàm chấp nhận M, phương trình có trễ hữu hạn 12 (iii) Tốn tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận M, phương trình có trễ vơ hạn • Chứng minh tồn đa tạp tích phân ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn lớp phương trình dạng (2) tốn tử g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ hữu hạn vô hạn Các kết luận án đóng góp vào lý thuyết phương trình vi phân hàm, phương trình tiến hóa trung tính, kết sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân hàm Các kết nghiên cứu luận án công bố 03 báo (02 thuộc danh mục SCIE, 01 thuộc Q1, 01 thuộc Q2, 01 thuộc danh mục ESCI/Scopus) liệt kê “Danh mục cơng trình cơng bố luận án” Một phần tất kết báo cáo tại: • Seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng” Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội • Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 3, Buôn Mê Thuột, 2-4/8/2019 Cấu trúc luận án Ngồi phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục cơng trình cơng bố luận án, Chỉ mục, luận án chia thành bốn chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức sở để phục vụ cho chương Nội dung bao gồm kiến thức nửa nhóm, không gian hàm chấp nhận được, không gian giảm nhớ, tính nhị phân mũ họ tiến hóa, bất đẳng thức nón Ngồi ra, chương cịn trình bày kiến thức kết sở nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính định nghĩa đa tạp ổn định địa phương 13 Chương Sự tồn tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Chương chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều kiện lớp phương trình (2) hàm phi tuyến g liên tục Lipschitz phương trình có trễ hữu hạn Chương Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn khơng gian hàm chấp nhận Bài toán nghiên cứu chương chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều kiện lớp phương trình có trễ hữu hạn dạng (2) xét với trường hợp toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc t thuộc không gian hàm chấp nhận Ngồi ra, chúng tơi tồn đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hồn Chương Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính có trễ vô hạn không gian hàm chấp nhận Với điều kiện hàm ban đầu thuộc không gian giảm nhớ Cγ , phương trình có trễ vơ hạn, tốn tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, chứng minh tồn tại, tính nhất, tính ổn định (có điều kiện) nghiệm tuần hồn lớp phương trình dạng (2) chứng minh tồn đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hồn phương trình 14 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị cho luận án Trước tiên khái niệm sở tính chất nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh chúng Tiếp đến, chúng tơi trình bày tính ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm, khơng gian hàm chấp nhận nửa đường thẳng, không gian giảm nhớ tính nhị phân mũ họ tiến hóa Cuối chúng tơi trình bày kết nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa định nghĩa đa tạp ổn định địa phương 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử sinh Những kiến thức trình bày mục khái niệm sở nửa nhóm tốn tử toán tử sinh chúng Tài liệu tham khảo chúng tơi Engel & Nagel [43] Định nghĩa 1.1 Cho không gian Banach X Một họ tốn tử tuyến tính bị
chặn T(t) t>0 X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 -nửa nhóm) thỏa mãn điều kiện sau: (i) T(0) = I (với I toán tử đồng nhất); (ii) T(t + s) = T(t)T(s) với t, s > 0; (iii) lim+ T(t)x = T(0)x với x ∈ X t→0
Định nghĩa 1.2 Giả sử T(t) t>0 nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach X Tốn tử A : D(A) ⊆ X → X xác định Ax := lim+ t→0 T(t)x − x , t 15 miền   T(t)x − x D(A) := x ∈ X : lim+ tồn X , t t→0
gọi tốn tử sinh nửa nhóm T(t) t>0 không gian Banach X

Nếu A tốn tử sinh nửa nhóm T(t) t>0 ta nói T(t) t>0 nửa
nhóm sinh A, viết cách khác etA t>0
Định lý 1.1 Giả sử A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 khơng gian Banach X Khi đó, (i) A : D(A) ⊆ X → X toán tử tuyến tính;
(ii) x ∈ D(A) T(t) x ∈ D(A) d T(t)x = T(t)Ax = AT(t)x với t ≥ 0; dt (iii) với t ≥ 0, x ∈ X ta có Rt T(s)xds ∈ D(A); (iv) với t ≥ ta có T(t)x − x =  t R   A T(s)xds x ∈ X, Rt    T(s)Axds x ∈ D(A) 0
Định nghĩa 1.3 Cho A, D(A) tốn tử tuyến tính đóng khơng gian Banach X Tập giá trị quy (tập giải) A, ký hiệu ρ(A), với  ρ(A) := λ ∈ C|(λI − A) song ánh Khi R(λ, A) := (λI − A)−1 , với λ ∈ ρ(A) gọi giải thức A, σ(A) := C \ ρ(A) gọi tập phổ A Định lý 1.2 Trên không gian Banach X, (T(t))t>0 nửa nhóm liên tục mạnh, tồn số M > ω ∈ R cho kT(t)k M eωt với t >

Khi đó, với tốn tử sinh A, D(A) nửa nhóm T(t) t>0 , ta có tính chất sau: 16 (i) Nếu λ ∈ C cho R(λ)x := R∞ e−λs T(s)xds tồn với x ∈ X λ ∈ ρ(A) R(λ, A) = R(λ) (ii) Nếu Re λ > ω λ ∈ ρ(A) R(λ, A) = R(λ) (iii) Ta có kR(λ, A)k M Re λ−ω với Re λ > ω Chú ý 1.1 Công thức Z∞ R(λ, A)x = e−λs T(s)xds gọi biểu diễn tích phân giải thức Tích phân hiểu theo nghĩa tích phân Riemann suy rộng, Z∞ e−λs T(s)xds = lim Zt t→∞ e−λs T(s)xds Tiếp theo, nhắc lại số khái niệm ổn định mũ, nhị phân mũ nửa nhóm liên tục mạnh, đặc trưng phổ cho tính ổn định nhị phân nửa nhóm (xem Engel & Nagel [43], Engel [44]) 1.2 Tính ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm

Định nghĩa 1.4 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 với toán tử sinh A, D(A) gọi ổn định mũ tồn ε > cho lim eεt kT(t)k = t→∞
Định nghĩa 1.5 Trên khơng gian Banach X, nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 gọi có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) X viết thành tổng trực
tiếp X = Xs ⊕ Xu hai khơng gian đóng, T(t) t>0 -bất biến Xs Xu

cho nửa nhóm hạn chế Ts (t) t>0 Xs , Tu (t) t>0 Xu thỏa mãn:
(i) Nửa nhóm Ts (t) t>0 ổn định mũ Xs (ii) Toán tử Tu (t) khả nghịch Xu nửa nhóm Tu (t)−1 Xu 17
t>0 ổn định mũ Để xây dựng đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ hyperbolic nửa nhóm, ta cần đến khái niệm cận phổ toán tử đóng cận tăng trưởng nửa nhóm Định nghĩa 1.6 Cho A : D(A) → X toán tử đóng khơng gian Banach X Khi đó,  s(A) := sup Re λ : λ ∈ σ(A) gọi cận phổ tốn tử tuyến tính A

Định nghĩa 1.7 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 với toán tử sinh A, D(A) khơng gian Banach Khi đó, số thực  ω0 = ω0 (A) := inf ω ∈ R | ∃M ≥ : kT(t)k Meωt , t >
gọi cận tăng trưởng nửa nhóm T(t) t>0
Nửa nhóm T(t) t>0 ổn định mũ ω0 (A) < Tuy nhiên, thực tế, nửa nhóm khó xác định tường minh, cịn tốn tử sinh xác định cụ thể Do đó, để xây dựng đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều, ta cần đến "Định lí Ánh xạ phổ " sau Định nghĩa 1.8 Nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t>0 với toán tử sinh A gọi thỏa mãn Định lí Ánh xạ phổ
σ T(t) \ {0} = etσ(A) với t > Lưu ý: Trong trường hợp tổng quát, điều kiện s(A) < không kéo theo tính
ổn định mũ nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 sinh toán tử A (chẳng
hạn, xem Neerven [45, Ví dụ 1.2.4]) Tuy nhiên, T(t) t>0 thỏa mãn Định lý ánh xạ phổ ta có đặc trưng:
T(t) t>0 ổn định mũ s(A) < Tiếp theo, giả sử Γ := {z ∈ C : |z| = 1} đường tròn đơn vị mặt phẳng phức Khi đó, để đặc trưng cho tính nhị phân mũ nửa nhóm ta có định lý sau (xem Nagel [43])
Định lý 1.3 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T(t) t>0 , mệnh đề sau tương đương: 18 ... KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH 29 2.1 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31 2.2 Nghiệm tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính nửa... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  Nguyễn Thị Loan TÍNH TUẦN HỒN VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA TRUNG TÍNH Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ... tuần hồn phương trình tiến hóa trung tính Kết luận án Luận án đạt số kết sau đây: • Chứng minh tồn tại, nghiệm tuần hồn, tính ổn định có điều kiện số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2)