ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ THỊ LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA HỆ PHÂN THỨ CAPUTO LỒI ĐA DIỆN Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGƠ THỊ LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA HỆ PHÂN THỨ CAPUTO LỒI ĐA DIỆN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận TS Li Chenglin THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Lời nói đầu Một số ký hiệu viết tắt Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 12 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Chương Tính ổn định ổn định hóa lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 16 2.1 Tính ổn định lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 16 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 23 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 LỜI NĨI ĐẦU Trong vịng ba kỷ, lý thuyết đạo hàm phân thứ phát triển chủ yếu lĩnh vực lý thuyết tuý toán học hữu ích cho nhà toán học Tuy nhiên, vài thập kỷ gần đây, nhiều nhà khoa học đạo hàm tích phân cấp khơng ngun phù hợp cho mơ tả tính chất vật liệu thực khác nhiều mơ hình kỹ thuật khác Ngồi ra, chúng cịn tìm thấy kỹ thuật vật liệu, hệ thống kinh tế, hệ thống nhớt, hệ thống tài chính, phân cực điện cực [9] Do nhiều lý trình xấp xỉ tuyến tính, mơ hình khơng xác, lỗi đo lường nên yếu tố không chắn thường xuất hệ động lực thực tế Hệ phương trình vi phân điều khiển lồi đa diện lớp hệ động lực thuộc lớp Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ phương trình vi phân lồi đa diện với bậc nguyên nghiên cứu [17, 18, 19] cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ, có số cơng trình quan trọng cơng bố tạp chí quốc tế có uy tín (xem [3, 5, 8, 10, 11, 12, 15]) Luận văn tập trung trình bày số kết tính ổn định ổn định hóa cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo lồi đa diện dựa việc tổng hợp trình bày cách có hệ thống số báo xuất năm gần tạp chí quốc tế có uy tín Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau đây: Trong Chương 1, trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lý tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [20, 21, 22] Trong Chương luận văn, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định ổn định hóa lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ Nội dung chương dự kiến viết cách tham khảo tài liệu [3, 10] Ngồi ra, chương chúng tơi trình bày 03 ví dụ số để minh họa cho kết lý thuyết Luận văn thực trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ cảm ơn tới thầy cô Ban giám hiệu anh, chị, em đồng nghiệp Trường THPT Chuyên Thái Nguyên ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân u chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn 4 Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) p λmax (A> A) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b] α t It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ lớn α Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [7, 20, 21, 22] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([22]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([22]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([22]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([22]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn n−α dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := dαe số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function) 1, t ≥ f (t) = 0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: d } D= dt AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([22]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Hệ 1.1 ([22]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b] Z t f (t ) f (s)ds RL α + t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([21]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α toán tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t dn t λ µ n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) Định nghĩa 1.3 ([21]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It n := dαe số nguyên nhỏ lớn α Dn = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n T Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α t0 Dt x(t) := T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) Định lý sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đạo hàm Caputo phân thứ cấp α 9 Định lý 1.3 ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N C t0 Dt x(t) biểu diễn dạng sau: Z t f (n) (s)ds C α D f (t) = t0 t Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, < α < f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t f (s)ds C α t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N C t0 Dt f (t) biểu diễn dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t) Đặc biệt, C t0 Dt f (t) = f (t) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.3 ([21]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Caputo cấp α tốn tử tuyến tính, tức C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2 Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau đạo hàm phân thứ Caputo Mệnh đề 1.4 ([21]) Cho trước số thực dương α Nếu ξ số C α t0 Dt ξ = Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo nghịch đảo trái tốn tử tích phân phân thứ Định lý 1.4 ([22]) Cho α > f (t) ∈ C[a, b] Khi ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t) ... 15 Chương Tính ổn định ổn định hóa lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 16 2.1 Tính ổn định lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ ... thường xuất hệ động lực thực tế Hệ phương trình vi phân điều khiển lồi đa diện lớp hệ động lực thuộc lớp Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ phương trình vi phân lồi đa diện với bậc nguyên nghiên cứu... từ tài liệu [20, 21, 22] Trong Chương luận văn, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định ổn định hóa lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ Nội dung chương dự kiến viết