Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp “quỹ đạo” và ứng dụng vào giải một số bài toán tổ hợp dành cho học sinh khá giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  PHẠM THỊ QUỲNH PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP “QUỸ ĐẠO” VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ QUỲNH PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP “QUỸ ĐẠO” VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ QUỲNH PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP “QUỸ ĐẠO” VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt iii Lời nói đầu iv Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán đếm toán tổ hợp 1.2 Một số ngun lý, tính chất tốn tổ hợp thường vận dụng vào giải toán đếm toán tổ hợp 1.3 Một số phương pháp giải toán đếm toán tổ hợp phạm vi chương trình tốn THPT 1.3.1 Đếm trực tiếp 1.3.2 Đếm theo vị trí 1.3.3 Đếm loại trừ 1.3.4 Chọn tập trước, xếp sau 1.3.5 Đếm theo “vách ngăn” 1.3.6 Sử dụng nguyên lý bù trừ 1.3.7 Sử dụng tính chất song ánh 1.3.8 Sử dụng hàm sinh 1 4 7 11 13 Chương Vận dụng phương pháp “quỹ toán tổ hợp 2.1 Phương pháp “quỹ đạo” 2.1.1 Quan niệm “quỹ đạo” 2.1.2 Một số tính chất “quỹ đạo” 2.2 Một số vận dụng 2.2.1 Bài toán hàng 2.2.2 Bài toán bỏ phiếu 2.2.3 Quy tắc Pascal 15 15 15 16 20 20 23 24 đạo” vào giải số ii 2.3 2.2.4 Một số toán khác Ý nghĩa khái niệm “quỹ đạo” phương pháp “quỹ đạo” 25 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iii Một số ký hiệu chữ viết tắt N N∗ Z R MO IMO Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên khác Tập hợp số nguyên Tập hợp số thực National Mathematical Olympiad Internation Mathematical Olympiad iv Lời nói đầu Lý chọn đề tài Tốn tổ hợp tốn khó, thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia quốc tế Chính tốn tổ hợp ln dành quan tâm lớn từ bạn học sinh, thầy, cô giáo nhà toán học Một phương pháp có hiệu để giải số tốn tổ hợp phương pháp “quỹ đạo” Ý tưởng phương pháp “quỹ đạo” cách giải thích hình học để đưa lời giải cho tốn tổ hợp, mà chủ yếu toán tổ hợp đếm đường (hay số “quỹ đạo”) theo tính chất xác định (hay cịn gọi phương pháp quy toán đếm toán đếm số đường lưới nguyên) Phương pháp “quỹ đạo” không ứng dụng vào giải số toán tổ hợp liên quan đến lưới ngun mà cịn vận dụng để đưa lời giải cho số toán dãy số Mặt khác, với toán tối ưu hóa quen thuộc kinh tế, kỹ thuật như: Tìm đường ngắn nhất, tìm chu trình tối ưu ngồi phương pháp quen thuộc quy hoạch động, thử sai quay lui ta vận dụng tư tưởng phương pháp “quỹ đạo” để đưa thuật toán “tốt” Xuất phát từ thực tế với mục đích tích lũy thêm kiến thức cách giải toán đếm toán tổ hợp với phương pháp “quỹ đạo” vận dụng vào giải số toán đếm đề thi học sinh giỏi nước quốc tế làm tư liệu cho công việc giảng dạy thân, em lựa chọn hướng nghiên cứu vận dụng phương pháp “quỹ đạo” vào giải số tốn đếm Luận văn tập trung vào hồn thành nhiệm vụ sau • Tìm hiểu tốn đếm tốn tổ hợp ngun lý, tính chất toán tổ hợp thường vận dụng để đưa lời giải cho tốn đếm • Ý tưởng toán học phương pháp “quỹ đạo” việc tìm lời giải cho tốn đếm tốn tổ hợp v • Sưu tầm số tốn, đề thi toán đếm toán tổ hợp dành cho học sinh giỏi • Đưa ý nghĩa khái niệm “quỹ đạo” phương pháp “quỹ đạo” thơng qua thuật tốn đường Robot Nội dung đề tài luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán đếm toán tổ hợp 1.2 Một số ngun lý, tính chất tốn tổ hợp thường vận dụng vào giải toán đếm toán tổ hợp 1.3 Một số phương pháp giải toán đếm tốn tổ hợp phạm vi chương trình tốn Trung học phổ thơng Chương Vận dụng phương pháp “quỹ đạo” vào giải số toán tổ hợp 2.1 Phương pháp “quỹ đạo” 2.2 Một số vận dụng 2.3 Ý nghĩa khái niệm “quỹ đạo” phương pháp “quỹ đạo” Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy PGS TS Trịnh Thanh Hải, thầy cô giáo khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học tồn thể bạn lớp Cao học K11 tạo điều kiện, nhiệt tình ủng hộ em suốt q trình làm luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, sâu sắc với tất đóng góp q báu thầy bạn đặc biệt thầy PGS TS Trịnh Thanh Hải Tuy có nhiều cố gắng q trình làm luận văn, thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý q thầy, cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2019 Tác giả luận văn Phạm Thị Quỳnh Phương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán đếm toán tổ hợp Trong toán tổ hợp, toán đếm tốn nhằm trả lời câu hỏi: “Có cấu hình tổ hợp thuộc dạng cho?” Phương pháp đếm thường dựa vào số quy tắc, nguyên lý đếm số kết đếm cho cấu hình tổ hợp đơn giản Hai quy tắc đếm quy tắc cộng quy tắc nhân Hai quy tắc đếm Định nghĩa 1.1.1 (a) Quy tắc cộng: Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động thứ có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực (b) Quy tắc nhân: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc Hốn vị Định nghĩa 1.1.2 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hốn vị n phần tử • Kí hiệu: Pn số hốn vị n phần tử • Số hốn vị: Pn = n! = · · · · (n − 1) · n 2 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1.3 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho • Kí hiệu: Akn số chỉnh hợp chập k n phần tử, ≤ k ≤ n n! • Số chỉnh hợp: Akn = = n (n − 1) · · · (n − k + 1) (với ≤ k ≤ n) (n − k)! Nhận xét: Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử nên Pn = Ann Tổ hợp Định nghĩa 1.1.4 Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho • Kí hiệu: Cnk số tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n) n! (với ≤ k ≤ n) • Số tổ hợp: Cnk = k! (n − k)! Nhận xét: (a) Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n) k−1 k (b) (công thức Pascal): Cn−1 + Cn−1 = Cnk (1 ≤ k ≤ n) Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1.5 Cho tập A có m phần tử Ta rút từ A phần tử bất kỳ, kí hiệu a1 trả lại vào tập hợp A Ta lại rút từ A phần tử, kí hiệu a2 (a2 lại phần tử thứ nhất) trả lại vào tập hợp A Tiếp tục thao tác k lần (k không thiết nhỏ m ), ta tìm dãy (a1 , a2 , · · · , ak ) gồm k phần tử (có thể trùng nhau) A Một dãy gọi chỉnh hợp có lặp chập k m phần tử cho Tập hợp tất chỉnh hợp có lặp chập k lập nên từ phần tử tập hợp A có m phần tử tập hợp (a1 , a2 , · · · , ak ) với ∈ A Vậy tích Đề-các A × A ×{z · · · × A} = Ak | k lần Định lý 1.1.1 Số chỉnh hợp có lặp chập k m phần tử, kí hiệu Akm , tính theo cơng thức Akm = Ak = mk Chứng minh Rõ ràng có m cách chọn phần tử từ tập m phần tử cho k vị trí chỉnh hợp cho phép lặp Vì theo quy tắc nhân, có mk chỉnh hợp lặp chập k từ tập có m phần tử Hốn vị lặp Trong tốn đếm, số phần tử giống Khi cần phải cẩn thận, tránh đếm chúng lần Định lý 1.1.2 Số hoán vị n phần tử có n1 phần tử thuộc loại 1, có n2 phần tử thuộc loại 2, · · · có nk phần tử n! thuộc loại k n1 !n2 ! · · · nk ! Chứng minh Để xác định số hoán vị trước tiên nhận thấy có Cnn1 cách giữ n1 số cho n1 phần tử loại 1, lại n − n1 chỗ trống n2 Sau đó, có Cn−n cách đặt n2 phần tử loại vào hốn vị, cịn lại n − n1 − n2 chỗ trống Tiếp tục đặt phần tử loại 3, loại 4, , loại k − vào chỗ trống hoán nk vị Cuối có Cn−n cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị −n2 −···−nk−1 Theo quy tắc nhân tất hốn vị là: n2 nk Cnn1 Cn−n · · · Cn−n = 1 −n2 −···−nk−1 n! n1 !n2 ! · · · nk ! Tổ hợp lặp Một tổ hợp lặp chập k tập hợp cách chọn khơng có thứ tự k phần tử lặp lại tập cho Như tổ hợp lặp kiểu dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do k > n k Định lý 1.1.3 Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử Cn+k−1 Chứng minh Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử biểu diễn dãy n − đứng để phân cách ngăn Ngăn thứ i chứa thêm lần phần tử thứ i tập xuất tổ hợp Mỗi dãy n − k ứng với tổ hợp lặp chập k n phần tử Do dãy ứng với cách chọn k chỗ cho k từ n + k − chỗ chứa n − k ngơi Đó điều cần chứng minh  ... hợp 1.3 Một số phương pháp giải toán đếm toán tổ hợp phạm vi chương trình tốn Trung học phổ thơng Chương Vận dụng phương pháp “quỹ đạo” vào giải số toán tổ hợp 2.1 Phương pháp “quỹ đạo” 2.2 Một. .. hiệu để giải số toán tổ hợp phương pháp “quỹ đạo” Ý tưởng phương pháp “quỹ đạo” cách giải thích hình học để đưa lời giải cho toán tổ hợp, mà chủ yếu toán tổ hợp đếm đường (hay số “quỹ đạo”) theo...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ QUỲNH PHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP “QUỸ ĐẠO” VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Chuyên