Luận văn thạc sĩ toán học một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Hồng Lê Trường THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Bài tốn đếm ii 1.1 Định lí nhị thức 1.2 Lựa chọn với lặp lại 1.3 Phân hoạch 1.4 Đếm lặp 1.5 Nguyên tắc trung bình 12 1.6 Nguyên tắc bao hàm loại trừ 15 Chương Đếm nâng cao 19 2.1 Chặn cỡ tập giao 19 2.2 Đồ thị khơng có chu trình độ dài 23 2.3 Vấn đề Zarankiewicz 32 2.4 Tính trù mật ma trận nhị phân 36 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 ii MỞ ĐẦU Toán học tổ hợp nội dung quan trọng giáo dục phổ thơng Học sinh thường gặp khó khăn giải tốn Vì vậy, tìm hiểu sâu thêm toán tổ hợp cần thiết Trong toán học tổ hợp, toán đếm tốn Phép đếm cơng cụ đắc lực toán học điều tự nhiên sống người Nhiều kết biết tốn học tổ hợp giải thích phép đếm Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu để tham khảo [4] Mục đích luận văn trình bày, khẳng định lại kết có tốn học tổ hợp lí luận đếm từ đến nâng cao, phục vụ cho công việc giảng dạy mơn tốn tổ hợp bậc THPT Cấu trúc luận văn gồm chượng Chương Bài toán đếm Chương trình bày lại kiến thức toán đếm tổ hợp, với số ứng dụng điển hình chúng thơng qua lí luận đếm Đó định lí khai triển nhị thức NewTon, lựa chọn với lặp lại, phân hoạch, đếm lặp, nguyên tắc trung bình, nguyên tắc bao hàm loại trừ Chương Đếm nâng cao Trên sở vận dụng kiến thức trình bày chương 1, chương trình bày số kết nâng cao nghiên cứu từ tốn đếm Mục đích chương tập trung vào khai thác số kết quan trọng lí thuyết đồ thị Đó chặn cỡ tập giao, đồ thị khơng có chu trình độ dài 4, vấn đề Zarankiewicz, tính trù mật ma trận nhị phân Trong suốt trình làm luận văn, tác giả nhận hướng dẫn giúp iii đỡ tận tình tiến sĩ Hồng Lê Trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Tác giả bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới q thầy giảng dạy lớp cao học tốn khóa 10, trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên giảng dạy truyền thụ đến cho tác giả nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Lí Nhân Tơng, gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả mặt suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Bích Phượng Chương Bài tốn đếm 1.1 Định lí nhị thức Cho tập có n phần tử, tốn tìm số tập có k phần tử tốn cổ quan trọng với học sinh THPT Con số (số tập gồm k phần tử tập hợp có n phần tử) thường kí hiệu Cnk gọi hệ số nhị thức Nói cách khác, Cnk số khả chọn k phần tử phân biệt từ n phần tử phân biệt Đẳng thức sau chứng minh Sir Isaac Newton năm 1666, biết đến định lí khai triển nhị thức Newton Định lí khai triển nhị thức Newton Cho n số nguyên dương Khi với x, y , ta có n (x + y) = n X Cnk xk y n−k k=0 Chứng minh Ta có: (x + y)n = (x + y)(x + y) · · · (x + y), | {z n số hạng } Để chứng minh định lí ta cần chứng minh với k = 0, 1, , n ta thu Cnk số hạng xk y n−k Thật vậy, ta xét tốn tìm số số hạng có chứa xk khai triển Một cách tự nhiên thực phép đếm sau Đầu tiên, ta chọn k thừa số (x + y) n thừa số (các thừa số giống có dạng (x + y)) ta có Cnk cách chọn Tiếp theo, ứng với cách chọn đó, muốn có số hạng xk ta lấy số x thừa số chọn nhân với ta xk , số xk lại tiếp tục nhân với nhóm cịn lại, gồm (n − k) thừa số (x + y) hay nói cách khác xk cịn nhân thêm với (x + y)n−k Vì số mũ x phép k nên ta cần chọn xem khai triển (x + y)n−k = (x + y)(x + y) · · · (x + y), | {z (n−k) số hạng } Những số hạng nhân với xk mà không làm thay đổi số mũ x Ta thấy rằng, phải số hạng không chứa x, chứa y Muốn tìm số hạng chứa y khai triển trên, có cách ta lấy số y (n − k) thừa số nhân với nhau, kết ta số hạng y n−k Do đó, xk y n−k số hạng mà chứa xk ứng với cách chọn k thừa số (x + y) Vì vậy, với Cnk cách chọn k thừa số (x + y) trên, ta thu Cnk số hạng có dạng xk y n−k Chú ý định lí tổng quát hóa đẳng thức mà biết: (x + y)2 = x2 + 2xy + y Mặc dù đơn giản vậy, định lí khai triển nhị thức có nhiều ứng dụng Ví dụ 1.1 (Tính chẵn lẻ) Đây ví dụ điển hình, tính chất sau số nguyên: Nếu n,k số tự nhiên nk số lẻ n số lẻ Lời giải (⇒) Nếu n = 2m, n số chẵn nk = 2k mk phải số chẵn (⇐) Để chứng minh chiều ngược lại ta giả sử n số lẻ tức n có dạng n = 2m + (m∈ N) Áp dụng định lí khai triển nhị thức ta có: nk = (2m + 1)k = + (2m)1 Ck1 + (2m)2 Ck2 + · · · + (2m)k Ckk Từ khai triển ta thấy nk phải số lẻ 3 n giai thừa kí hiệu n! tích n số tự nhiên liên tiếp đầu tiên, n! = n(n − 1) · · · 2.1 Điều mở rộng cho tất số nguyên không âm với quy ước 0! = Chỉnh hợp chập k của n tích k thừa số Akn = n! = n(n − 1) · · · (n − k + 1) (n − k)! Chú ý Cn0 = (tập rỗng) Cnn = (tập chứa tồn n phần tử) Nói chung, hệ số nhị thức viết dạng thương giai thừa Mệnh đề 1.2 Cnk = Akn n! = k! k!(n − k)! Chứng minh Ta thấy Akn số dãy có thứ tự (x1 , x2 , · · · , xk ) gồm k phần tử khác tập hợp cố định có n phần tử Có n cách chọn phần tử x1 Có (n − 1) cách chọn phần tử x2 ,· · · Bằng cách khác ta chứng minh Ta chọn tập hợp k phần tử khác từ tập hợp có n phần tử, ta có Cnk cách chọn Ứng với cách chọn ta có Akk = k! cách xếp thứ tự phần tử dãy (x1 , x2 , · · · , xk ) Từ ta kết luận: Akn = Cnk k! Có nhiều đẳng thức hữu ích mối quan hệ hệ số nhị thức Trong nhiều tình huống, sử dụng điều tự nhiên thuộc tổ hợp để chứng minh đẳng thức đại số giống mệnh đề trên, thu kết mong muốn cách dễ dàng Ví dụ thấy tập xác định cách theo phần bù ta thu đẳng thức Cnn−k = Cnk Với đẳng thức này, với n cố định, giá trị hệ số nhị thức Cnk tăng đến lại giảm Dùng định lí khai triển nhị thức tổng tất (n + 1) hệ số 2n , 2n số tất tập tập có n phần tử: n X k=0 Cnk = n X k=0 Cnk (1)k (1)n−k = (1 + 1)n = 2n Bằng cách tương tự dùng tổ hợp ta thiết lập đồng thức hữu ích Mệnh đề 1.3 (Tam giác Pascal) Với số nguyên n≥ k ≥ 1, ta có k−1 k Cnk = Cn−1 + Cn−1 k−1 Chứng minh Số hạng đầu Cn−1 số tập hợp có k phần tử ln k có phần tử cố định Số hạng thứ hai Cn−1 số tập hợp có k phần tử khác phần tử cố định Do đó, tổng chúng Cnk Thay đổi n,k, tính cách xác hệ số nhị thức Cnk phức tạp Tuy nhiên, ứng dụng, thường quan tâm đến tỉ lệ tăng chúng cho đủ để ước lượng Ví dụ ước lượng thu cách sử dụng khai triển Taylor hàm số mũ hàm số lôgarit (2) et = + t + t2 t3 + + ··· , 2! 3! ∀t ∈ R (3) ln (1 + t) = t − t2 t3 t4 + − + ··· , ∀ − < t ≤ Điều đặc biệt kéo theo số ước lượng hữu ích khác + t < et , (4) 1−t>e (5) Mệnh đề 1.4 (6) : ( nk )k ≤ Cnk k P i=0 ∀t 6= 0, −t− t2 , ∀0 < t < k Cni ≤ ( en k ) Chứng minh Bị chặn dưới: n nn n nn−1 n−k+1 ( )k = ··· ≤ ··· = Cnk k kk k kk−1 Bị chặn trên: Cho < t ≤ 1, từ định lí nhị thức ta có bất đẳng thức sau: k X i=0 Cni ≤ k X i=0 Cni ti (1 + t)n = tk tk k n Tiếp theo ta thay t = Những ước lượng chặt chẽ sau thu từ công thức tiếng Stirling cho giai thừa: (7) n √ n! = ( )n 2πneαn , e 1/(12n + 1) < αn < 1/12n Ước lượng có nhiều ứng dụng ví dụ để tính xấp xỉ cho chỉnh hợp chập k n phần tử Akn = nk e (8) −k2 k3 − 6n +o(1) 2n với k = o(n3/4 ), thế, áp dụng hệ số tổ hợp ta có: Cnk = (9) 1.2 nk e −k2 k3 − 6n 2n k! (1 + o(1)) Lựa chọn với lặp lại Trong phần trước xét số cách chọn r phần tử phân biệt từ tập hợp có n phần tử Một điều tự nhiên đặt điều xảy chọn phần tử giống lặp lại Nói cách khác, trả lời câu hỏi có nghiệm ngun khơng âm phương trình: x1 +· · ·+xn = r (xi ≥ 0, ∀i = 1, · · · , n) (xem xi số lần mà phần tử thứ i chọn) Công thức sau vấn đề đưa Lov a´sz , P elika´n Vesztergombi Lov a´sz giải toán chia kẹo phương pháp lựa chọn với lặp lại Giả sử có r kẹo loại (giống nhau) muốn chia cho n đứa trẻ Chúng ta có cách chia ? Ta kí hiệu xi số kẹo mà phát cho đứa trẻ thứ i Câu hỏi tương đương với phát biểu Câu trả lời phụ thuộc vào có kẹo phải công Nếu công có r < n kẹo điều tự nhiên khơng có lặp lại ta phát cho đứa trẻ không nhiều kẹo (đứa trẻ xi nhận kẹo) Trong trường hợp câu trả lời thật dễ dàng Chúng ta cần chọn r đứa ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC... phổ thơng Học sinh thường gặp khó khăn giải tốn Vì vậy, tìm hiểu sâu thêm toán tổ hợp cần thiết Trong toán học tổ hợp, toán đếm toán Phép đếm cơng cụ đắc lực tốn học điều tự nhiên sống người... Nhiều kết biết toán học tổ hợp giải thích phép đếm Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu để tham khảo [4] Mục đích luận văn trình bày, khẳng định lại kết có tốn học tổ hợp lí luận đếm từ đến nâng