ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460112.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Danh sách ký hiệu Lời nói đầu Chương Martingale bất đẳng thức 1.1 1.2 Martingale tính chất 1.1.1 Định nghĩa Martingale ví dụ 1.1.2 Các tính chất 10 Các bất đẳng thức 11 1.2.1 Một số bất đẳng thức 11 1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương 15 Chương Luật số lớn định lý hội tụ 22 2.1 Định lý hội tụ martingale 22 2.2 Luật số lớn 24 2.2.1 Luật số lớn 24 2.2.2 Luật mạnh số lớn 26 Hội tụ Lp 35 2.3 Chương Định lý giới hạn trung tâm 46 3.1 Hội tụ L1 − yếu, hội tụ ổn định 46 3.2 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 53 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Lời cảm ơn Với tình cảm chân thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học q thầy giáo tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, chủ nhiệm môn Xác suất thống kê toán học, Khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, người Thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học cho em Xin cảm ơn lãnh đạo huy Học viện Phịng Khơng - Khơng Quân, lãnh đạo huy Phòng Quản Lý học viên Đồn 871 Tổng cục trị - Bộ Quốc Phịng, đồng nghiệp, người thân gia đình, bạn bè thân thiết động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập nâng cao trình độ chun mơn Dù tác giả cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý, dẫn q thầy, giáo, bạn đồng nghiệp người quan tâm tới đề tài nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2018 Học viên Dương Thị Ánh Tuyết Danh sách ký hiệu ||.||p Chuẩn không gian Banach Lp (Xn ) Dãy biến ngẫu nhiên ↓ h.c.c Giảm Hầu chắn d → Hội tụ theo phân phối p → Hội tụ theo xác suất (Ω, F , P ) Không gian xác suất Lp Tập biến ngẫu nhiên X cho E|X|p < ∞ Lp Tập hợp biến ngẫu nhiên X cho E|X|p < ∞ ↑ Tăng Lời nói đầu Cái tên martingale Ville đưa vào ngôn ngữ xác suất đại (1939) chủ đề làm bật qua công trình Doob năm 1940 đầu năm 1950 Lý thuyết Martingale, giống lý thuyết xác suất, bắt nguồn từ trò chơi cờ bạc, trở thành loại q trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn, đặc biệt cơng cụ khơng thể thiếu tính tốn ngẫu nhiên tốn học tài Thật ra, thuật ngữ martingale có lịch sử lâu dài trị chơi cờ bạc, ban đầu có nghĩa hệ thống để bù đắp tổn thất cách tăng gấp đôi tiền thưởng sau mát Từ điển tiếng Anh Oxford bắt đầu sử dụng thuật ngữ từ năm 1815 Khái niệm đại có tài liệu tham khảo Bachelier (1900) Các nghiên cứu lý thuyết martingale Bernstein (1927, 1939, 1940, 1941) Lévy (1935a, b, 1937) có trước sử dụng tên martingale Các tác giả giới thiệu martingale dạng tổng liên tiếp để tổng quát hoá kết giới hạn cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên, cơng trình Doob, bao gồm việc khám phá định lý hội tụ martingale, hoàn toàn thay đổi hướng đề tài Cuốn sách ông (1953) ảnh hưởng lớn gần ba thập niên Chỉ gần có hồi sinh quan tâm thực hoạt động lĩnh vực lý thuyết giới hạn martingale mà đề cập tới việc tổng quát hóa kết cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập Lý thuyết xác suất nói chung, lý thuyết martingale nói riêng đóng góp vai trị vơ quan trọng phát triển chung toán học đại Nó nghành tốn học lớn, vừa có tầm lý thuyết trình độ cao, đáp ứng đầy đủ tiêu chuẩn chặt chẽ xác tốn học túy đồng thời lại có phạm vi ứng dụng rộng rãi khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y sinh học Với tính ứng dụng cao vậy, martingale mảng đáng quan tâm nghiên cứu phát triển sâu rộng Tuy nhiên, với vốn kiến thức hạn hẹp chuyên nghành Lý thuyết xác suất thống kê toán học, tác giả cố gắng học hỏi, tìm tịi, với hướng dẫn, bảo vơ tận tình từ Thầy hướng dẫn, tác giả xin trình bày kết tìm hiểu thơng qua luận văn mang tên: Một số định lý giới hạn lý thuyết Martingale Nội dung luận văn chia làm chương Cụ thể: Chương 1: Martingale bất đẳng thức Nội dung chương luận văn khơng chọn trình bày lại số kiến thức số kết qua học tập, nghiên cứu mơn học chương trình đào tạo thạc sĩ Toán học chuyên nghành Xác suất thống kê tốn học mà tập trung chủ yếu trình bày số kiến thức lý thuyết Martingale Đó định nghĩa martingale, số ví dụ, tính chất bất đẳng thức liên quan như: Bất đẳng thức Doob, Bất đẳng thức cắt ngang, Bất đẳng thức Burkholder, Bất đẳng thức Rosenthal Tiếp theo, nội dung chương 2: Luật só lớn định lý hội tụ Bố cục chương trình bày chi tiết sau: 2.1 Định lý hội tụ Martingale 2.2 Luật số lớn 2.2.1 Luật số lớn 2.2.2 Luật mạnh số lớn 2.3 Hội tụ Lp Đó nội dung trọng tâm chương này.Ở đây, hầu hết chứng minh định lý hôi tụ Martingale dựa số mở rộng bất đẳng thức, bất đẳng thức thiết lập sử dụng nhiều lần phần sau Trong chương tác giả áp dụng chúng để chứng minh luật số lớn trình bày cơng cụ Sau chương 3: Định lý giới hạn trung tâm Trọng tâm chương giới thiệu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Bản chất martingale dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn số điều kiện đặc biệt Lý thuyết hội tụ dãy biến ngẫu nhiên, luật số lớn, luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm có lẽ ko xa lạ lý thuyết xác suất Và tìm hiểu chút khác biệt lý thú chúng qua ngôn ngữ mới, ngôn ngữ martingale Chương Martingale bất đẳng thức 1.1 Martingale tính chất 1.1.1 Định nghĩa Martingale ví dụ Giả sử (Ω, F , P ) không gian xác suất, G ⊂ F σ−trường F Một biến ngẫu nhiên X gọi tương thích với G X G −đo Trong trường hợp ấy, ta viết X ∈ G Một dãy Fn , n = 1, 2, gọi dãy tăng σ− trường Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F , ∀n Cho dãy tăng σ− trường Fn Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) gọi tương thích với dãy Fn với n, Xn ∈ Fn Dãy (Xn ) gọi thuộc Lp ta viết (Xn ) ∈ Lp với n E|Xn |p < ∞ Dãy Xn ∈ L1 gọi martingale dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) = Xm Kí hiệu: martingale {Xn , Fn } Dãy Xn ∈ L1 gọi supermartingale (martingale trên) dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) Xm Dãy Xn ∈ L1 gọi submartingale (martingale dưới) dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) > Xm Chú ý: Điều kiện E(Xn |Fm ) = Xm Tương đương với E(Xn+1 |Fn ) = Xn Thật vậy, Fn ⊂ Fn+1 nên theo tính chất kỳ vọng có điều kiện E(Xn+2 |Fn ) = E(E(Xn+2 |Fn+1 )|Fn ) = E(Xn+1 |Fn ) = Xn Tiếp tục vậy, quy nạp ta có với k E(Xn+k |Fn ) = Xn Tương tự cho điều kiện E(Xn |Fm ) Xm E(Xn |Fm ) > Xm Dãy(Xn ) martingale dãy Fn −Xn martingale dãy Fn Giả sử σ(X)n trường bé sinh {Xm , m n} Hiển nhiên dãy (σ(X)n ) dãy tăng ta gọi σ− trường tự nhiên sinh dãy (Xn ) Hiển nhiên dãy (Xn ) ln tương thích với dãy (σ(X)n ) Ta nói (Xn ) martingale martingale σ−trường tự nhiên Ví dụ 1.1.1 Cho dãy σ−trường tăng Fn giả sử X biến ngẫu nhiên X ∈ L1 Đặt Xn = E(X|Fn ) Khi đó, với m < n ta có tính chất kỳ vọng có điều kiện E(Xn |Fm ) = E(E(X|Fn )|Fm ) = E(X|Fm ) = Xm Vậy (Xn )là martingale Fn Ví dụ 1.1.2 Cho (Yn ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập với EYn = với n Giả sử Fn = B (Y1 , , Yn ) Khi đó, tổng riêng S n = Y1 + Y2 + · · · + Yn Lập thành martingale Fn Thật Sn ⊂ Fn Yn+1 độc lập với Fn nên ta có E(Sn+1 |Fn ) = E(Sn + Yn+1 |Fn ) = Sn + E(Yn+1 |Fn ) = Sn + E(Yn+1 ) = Sn Ví dụ 1.1.3 Cho (Yn ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập EYn = với n Giả sử Fn = B (Y1 , , Yn ) Khi đó, tích riêng Un = Y1 Y2 Yn lập thành martingale Fn Thật Un ∈ Fn Un+1 độc lập với Fn , nên ta có E(Un+1 |Fn ) = E(Un Yn+1 |Fn ) = Un E(Yn+1 |Fn ) = Un E(Yn+1 ) = Un Ví dụ 1.1.4 Cho (Yn ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng 0, EYn = với n Gọi Fn σ đại số sinh (Y1 , , Yn ) Giả sử (Vn ) dãy cácbiến ngẫu nhiên cho với n > Vn ∈ Fn−1 Xét dãy (Xn ) sau X0 = 0, Xn+1 = Xn + Vn+1 Yn+1 Khi (Xn ) martingale dãy (Fn ) Thật vậy, Vn+1 ∈ Fn , EYn+1 = nên Xn ∈ Fn E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn |Fn ) + E(Vn+1 Yn+1 |Fn ) = Xn + Vn+1 EYn+1 = Xn 1.1.2 Các tính chất Định lý 1.1.5 Cho {Zn , Fn , n ≥ 1} martingale L1 -bị chặn Khi tồn biến ngẫu nhiên Z cho limn→∞ Zn = Z hầu chắn E|Z| ≤ lim inf n→∞ < ∞ Nếu martingale khả tích đều, Zn hội tụ tới Z L1 , {Zn , Fn } martingale L2 -bị chặn, Zn hội tụ tới Z L2 Định lý 1.1.6 Cho (Xn ) martingale Fn Cho Φ hàm lồi cho Φ(Xn ) ∈ L1 Khi (Φ(Xn )) martingale Fn Chứng minh Theo bất đẳng thức Jensen ta có với m < n Φ(Xm ) = Φ(E(Xn |Fm )) E(Φ(Xn )|Fm ) Nói riêng |Xn | martingale Xn ∈ Lp , p > |X|p martingale Định lý 1.1.7 Cho {Xn , Fn } martingale Khi đó, kỳ vọng EXn số (không phụ thuộc n) Cho {Xn , Fn } martingale Khi đó, dãy kỳ vọng an = EXn dãy không giảm theo n Cho {Xn , Fn } martingale Xn ∈ Lp , p > Khi đó, dãy un = E|Xn |p dãy không giảm theo n 10 Thật vậy, với m n ta có EXm = E((EXn |Fm )) = EXn Xn martingale Nếu Xn martingale EXm E[(EXn |Fm )] = EXn 1.2 Các bất đẳng thức 1.2.1 Một số bất đẳng thức Có nhiều bất đẳng thức liên quan tới martingale martingale trên, Dưới trình bày vài bất đẳng thức Các bất dẳng thức sử dụng để thiết lập định lý hội tụ luật số lớn cho martingale Ta bắt đầu kết tổng quát hóa chặt bất đẳng thức Kolmogorov Định lý 1.2.1 Nếu {Si , Fi , ≤ i ≤ n} martingale dưới, với số thực λ ta có: λP max Si > λ ≤ E Sn I(max Si > λ) i6n i≤n Chứng minh Đặt [ [ n n E = max Si > λ = Si > λ; max Sj ≤ λ = Ei i≤n 1≤j 0, p λP max |Si | > λ ≤ E|Sn |p i≤n Định lý 1.2.1 có ứng dụng theo hướng khác, mà kéo theo kết sau Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Doob) Nếu {Si , Fi , ≤ i ≤ n} martingale, với p > 1, kSn kp ≤ max |Si | ≤ qkSn kp , i≤n p p−1 + q −1 = 1, ||Sn ||p = (E|Sn |p )1/p , n > chuẩn Lp Sn ∈ Lp Chứng minh Vế trái bất đẳng thức hiển nhiên Để chứng minh vế phải bất đẳng thức ta ý rằng, theo Định lý 1.2.1 bất đẳng thức Holder ta Z ∞ p p−1 E max |Si | = p x P max |Si | > x dx i≤n i≤n Z ∞ p−2 ≤p x E |Sn |I max |Si | > x dx i≤n " # Z maxi≤n |Si | xp−2 dx = pE |Sn | p−1 = qE |Sn | max |Si | i≤n p 1/p ≤ q(E|Sn | ) 1/q p E max |Si | i≤n Nếu −∞ < a < b < ∞, kí hiệu v = v(a, b, n) số lần vượt qua từ giá trị ≤ a tới giá trị > b dãy {Si , i n}, v gọi số lần cắt đoạn [a, b] (từ lên trên) dãy {Si } 12 Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức cắt ngang) Ký hiệu v số lần cắt đoạn compact [a, b] martingale {Si , Fi , ≤ i ≤ n} Khi (b − a)E(v) ≤ E(Sn − a)+ − E(S1 − a)+ (1.1) Chứng minh Do {Si , Fi , ≤ i ≤ n} martingale dưới, nên {(Si − a)+ = max(Si − a, 0), Fi , ≤ i ≤ n}, số lần cắt đoạn [a, b] dãy {Si } số lần cắt đoạn [0, b − a] {(Si − a)+ } Cho nên ta cần chứng minh với martingale không âm {Si , Fi , ≤ i ≤ n} số lần cắt v đoạn [0, b] thỏa mãn bE(v) ≤ E(Sn − S1 ) (1.2) Đặt τ0 = 1, τ1 giá trị j nhỏ cho Sj = 0, τ2i giá trị j nhỏ khoảng τ2i−1 < j ≤ n cho Sj ≥ b (i ≥ 1), τ2i−1 giá trị j nhỏ khoảng τ2i−2 < j ≤ n cho Sj = (i ≥ 2) Ký hiệu l giá trị i lớn cho τi xác định (1 ≤ l ≤ n), đật τi = n với i > l Khi τn = n, Sn − S1 = n−1 X X (Sτi +1 − Sτi ) = t=0 i chẵn + X i lẻ Giả sử i lẻ Nếu i > l Sτi+1 ≥ b > = Sτi ; i = l Sτi+1 = Sn ≥ = Sτi ; i > l Sτi+1 = Sn = Sτi Cho nên X i lẻ (Sτi+1 − Sτi ) ≥ X (Sτi+1 − Sτi ) ≥ [l/2]b = vb (1.3) i lẻ i 0, λP max |Si | > 2λ ≤ λP (|Sn | > λ) + E[(|Sn | − 2λ)I(|Sn | ≥ 2λ)] i≤n ≤ E[|Sn |I(|Sn | > λ)] (1.4) Chứng minh Đặt En = {mini≤n Si ≤ −2λ} S0 = 0, ký hiệu F0 σtrường thông thường Do E(S1 ) = 0, dãy mở rộng {Si , Fi , ≤ i ≤ n} martingale Ký hiệu v số vượt qua đoạn [−2λ, −λ] {Si , ≤ i ≤ n} Từ Định lý 1.2.4 ta có λE(v) ≤ E(Sn + 2λ)+ − E(S0 + 2λ)− = E(Sn + 2λ)+ − 2λ Bây giờ, P (En ) = P (En ; Sn ≥ −λ) + P (En ; Sn < −λ) ≤ P (v > 0) + P (Sm < −λ) ≤ E(v) + P (Sn < −λ) Cho nên λP (En ) ≤ E(Sn + 2λ)+ − 2λ + λP (Sn < −λ) Bằng cách xét số lần cắt đoạn [−2λ, −λ] {Si , ≤ i ≤ n} ta suy λP max Si > 2λ ≤ E(−Sn + 2λ)+ − 2λ + λP (Sn > λ) i≤n Cộng hai bất đẳng thức cuối lại ta thu bất đẳng thức (1.4), bất đẳng thức thứ hai thu sau số thao tác nhỏ 14 1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương Bất đẳng thức hàm bình phương phát triển Burkholder số tác giả khác Trước tiên, ta xét số bổ đê mà kết dùng nhiều bất đẳng thức quan trọng mục này, bất đẳng thức Burkholder, bất đẳng thức Rosenthal, Đặt X1 = S1 ký hiệu Xi = Si − Si−1 , ≤ i ≤ n hiệu martingale Si , Si−1 dãy {Si , ≤ i ≤ n} Bổ đề 1.2.6 Giả sử {Si , Fi , ≤ i ≤ n} martingale L1 -bị chặn martingale không âm Với λ > xác định thời điểm dừng τ min{i ≤ n | |Si | > λ} tập khác rỗng, τ= n + ngược lại Khi E τ −1 X ! Xi2 + E(Sτ2−1 ) ≤ 2λE|Sn | i=1 Chứng minh Với m ≤ n + m−1 X X 2 Xi2 + Sm−1 = 2Sm−1 −2 i=1 Xi Xj 1≤i Khi với λ > 0, λP (Y > βλ) ≤ 3E[Si I(Y > λ)], (1.5) β = (1 + 2θ2 )1/2 , với < p < ∞, !1/2 X n ≤ 9p1/2 qkSn kp , X i i=1 (1.6) p p−1 + q −1 = Chứng minh Vì β > 1, vế trái (1.5) không vượt n X 1/2 λP (max Sn > λ) + λP θ Xi > βλ, max Si ≤ λ i≤n i≤n i=1 Sử dụng Định lý 1.2.1 ta chặn số hạng E Sn I max Si > λ ≤ E[Sn I(Y > λ)] i≤n Pn 1/2 i=1 Xi ) > λ), m ≤ n Vì " # m−1 X 1/2 Xi2 > λ Fm−1 E(Tm | Fm−1 ) ≥ E Sn I θ Đặt Tm = Sm I(θ( i=1 m−1 X 1/2 = E(Sm | Fm−1 )I θ Xi >λ i=1 16 (1.7) (1.8) ≥ Tm−1 , {Ti , Fi , ≤ i ≤ n} martingale không âm Ký hiệu Y1 = T1 Yi = Ti − Ti−1 Ta chứng minh !1/2 !1/2 n n X X 2 θ Xi > βλ, max Si ≤ λ ⊆ Yi > λ, max Ti ≤ λ i≤n i≤n i=1 i=1 (1.9) Từ suy số hạng thứ hai (1.7) bị chặn !1/2 " n ! # n X X λP Yi2 > λ, max Ti ≤ λ ≤ λ−1 E Yi2 I max Ti ≤ λ i=1 i≤n i=1 i≤n ≤ 2E(Tn ) ≤ 2E[Sn I(Y > λ)], sử dụng Bổ đề 1.2.6 để thu đưược bất đẳng thức thứ hai Kết hợp với bất đẳng thức (1.8) ta thu (1.5) Bất đẳng thức (1.6) suy từ (1.5): Z ∞ E(Y p ) = p xp−1 P (Y > x)dx Z ∞ p y p−1 P (Y > βy)dy = pβ Z ∞ p y p−2 E[Sn I(Y > y)]dy ≤ 2pβ i h Z ∞ p−2 p y dy = 3pβ E Sn p = 3qβ E[Sn Y p−1 ] ≤ 3qβ p (ESnp )1/p (EY p )1/q Do đó, n X 1/2 Xi2 θ ≤ kY kp ≤ 3qβ p kSn kp i=1 p Nếu θ = p−1/2 , β p = (1 + 2/p)p/2 < e < 3, suy (1.6) Ta phải chứng minh 1.9 Xét thời điểm dừng P 1/2 i min i ≤ n θ >λ tập khác rỗng j=1 Xj v= n ngược lại 17 Trong tập vế trái (1.9), maxi≤n Ti ≤ λ 2 β λ 1, δ > 0, ε > thỏa mãn với λ > 0, P (X > βλ; Y ≤ δλ) ≤ εP (X > λ) (1.10) Khi < p < ∞ ε < β −p E(X p ) ≤ β p δ −p (1 − εβ p )−1 E(Y p ) (1.11) Chứng minh Từ (1.10), P (X > βλ) = P (X > βλ, Y ≤ δλ) + P (X > βλ, Y > δλ) ≤ εP (X > λ) + P (Y > δλ) Cho nên p E(X ) = pβ p ≤ εpβ Z p ∞ xp−1 P (X > βx)dx Z0 ∞ x p−1 P (X > x)dx + pβ p p ∞ Z xp−1 P (Y > δx)dx p p −p p = εβ E(X ) + β δ E(Y ), kéo theo (1.11) Định lý 1.2.9 (Bất đẳng thức Burkholder) Nếu {Si , Fi , ≤ i ≤ n} martingale < p < ∞, tồn số C1 C2 phụ thuộc vào p cho p/2 p/2 n n X X p 2 C1 E Xi ≤ E|Sn | ≤ C2 E Xi i=1 i=1 18 (1.12) ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460112.02... luận văn mang tên: Một số định lý giới hạn lý thuyết Martingale Nội dung luận văn chia làm chương Cụ thể: Chương 1: Martingale bất đẳng thức Nội dung chương luận văn không chọn trình bày lại số. .. chương 3: Định lý giới hạn trung tâm Trọng tâm chương giới thiệu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Bản chất martingale dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn số điều kiện